2025年中考数学二轮专题训练：相似三角形综合

2025年中考数学二轮专题训练： 相似三角形综合 一．选择题（共12小题） 1．如图，点D、E分别是AB、AC的中点，则S△ADE：S四边形DBCE＝（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3 2．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝2，AD＝1，∠DAC＝∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（　　） A．a B．a C．a D． 3．如图，在△ABC中，边BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形PQMN的边QM在BC上，P，N两个顶点分别在AB，AC上，则正方形的边长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 4．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F．则DF：BF等于（　　） A．1：2 B．3：2 C．1：1 D．1：3 6．如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，CE＝DE，AB＝BE，过点O作OF⊥BD于点F，延长FO交AE于点G，若CE＝3.5，EG＝6，则AC的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC和BD相交于点E，且，下列等式成立的是（　　） A． B．2S△ADE＝3S△CDE C．S△ADE＝S△BCE D． 9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ADC＝（　　） A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24 10．如图，在矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点G，若BF•AD＝6，则AF的长度为（　　） A．3 B．6 C． D． 11．如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O、点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM，下列说法错误的是（　　） A．△AMN是等边三角形 B．MN的最小值是1 C．当MN最小时S△CMN D．当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB 12．如图，在△ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF分别交DE、CD于点G、H，且CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，有下面四个结论：①DG＝EG；②△AGD∽△ACF；③点H是AF的中点；④S△ABF＝9S△AGE．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①④ D．①②③④ 二．填空题（共8小题） 13．如图，点D，E分别在△ABC的边BC，AC上，∠BAD＝∠ADE＝90°，AD＝AB＝6，DE＝3，则△ABC的面积为 　 　 ． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE，交BC于点F，则DF的长为　 　 ． 15．如图，在△ABG中，C、E和 D、F分别是AG、BG的三等分点，且S△GCD＝6，则S四边形ABFE＝　 　 ． 16．如图，已知▱ABCD，点E为AB上一点，AE＝1，BE＝2，DE交对角线AC于点F，且∠BAC＝∠ADE，则EF＝ 　 　 ． 17．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB＝1：2，则△DOE与△BOC的面积的比为 　 　 ． 18．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝6，CD＝4，点P从点B出发沿线段BC的方向移动到点C停止，过点P作PQ⊥BC，交折线BA﹣AC于点Q，连接DQ、CQ，若△ADQ与△CDQ的面积相等，则线段BP的长度为 　 　 ． 19．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，E分别在AB，AC上，连接BE、CD交于点F．若sin∠CFE，CE•AE＝BD•BA，则的值是 　 　 ． 20．已知，在菱形ABCD中，点E为BC上一动点，点F是CD上一动点，连接AC，AF．若∠BAD＝120°，△AEF是等边三角形，若AB＝4，则△CEF面积的最大值是 　 　 ． 三．解答题（共9小题） 21．如图，在△ABC中，DE∥BC，点D、E分别在边AB、AC上，S△ADE＝3，S△BDE＝2，AC＝8．求： （1）线段AE的长； （2）△ABC的面积． 22．如图，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，EF⊥BE交CD于点F． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若AB＝4，CF＝3FD，求DE的长． 23．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F为边AB上的一点，连接CE、EF、CF． （1）如图1，当∠FEC＝90°时，求证：△EFC∽△DCE； （2）如图2，当时，求AF的长． 24．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，联结BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G． （1）求证：GE•BC＝GB•AE； （2）若GE＝4，BF＝6，求线段EF的长． 25．如图，已知矩形ABCD的一条边AD＝6，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA． （1）求证：． （2）若，求边AB的长． 26．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC边上的动点（不包括B，C两点），以点D为顶点作∠ADE＝∠ACB，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD，交射线DE于点F，连接CF． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）探索：点D在BC边上运动的过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其值． 27．如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点，连接CF、BD． （1）求证：△BGC∽△DGF； （2）求证：GD•AB＝DF•BG； （3）求∠CFE的度数． 28．如图，AB∥CD，且AB＝2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点，EF与BD相交于点M． （1）求证：△EDM∽△FBM； （2）若F是BC的中点，BD＝12，求BM的长； （3）若AD＝BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP•BP＝BF•CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由． 29．阅读材料：如图1，在△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即，∴r1+r2＝h（定值），即PE+PF＝CM． （1）深入探究 将“在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，如图2，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E，F，M，G，有类似结论吗？请写出结论并证明； （2）理解与应用 如图3，当点P在△ABC外，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，PEPF，PM和BG之间又有怎样的关系，并说明理由． 参考答案 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C B C A D D C C D B 题号 12 答案 A 一．选择题（共12小题） 1．解：∵点D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC， ∴△ADE∽△ABC， ∴S△ADE：S△ABC＝1：4， ∴S△ADC：S四边形DBCE＝1：3， 故选：B． 2．解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C， ∴△ACD∽△BCA， ∵AB＝2，AD＝1， ∴△ACD的面积：△ABC的面积为（1：2）2＝1：4， ∴△ACD的面积：△ABD的面积＝1：3， ∵△ABD的面积为a， ∴△ACD的面积为， 故选：C． 3．解：设正方形PQMN的边长为x cm．设AD交PN于点J， ∵AD⊥BC，PN∥BC， ∴AJ⊥PN， ∵PN∥BC， ∴△APN∽△ABC， ∴， ∴， ∴x＝4． ∴正方形PQMN的边长为4cm． 故选：B． 4．解：如图所示，延长CB，DE，交于点N，设AH＝1，AE＝2， ∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成， ∴BE＝1，DH＝BF＝2， ∵AD∥BN， ∴△ADE∽△BNE， ∴，即， ∴BN＝1.5， ∵DH∥NF， ∴△DHM∽△NFM， ∴， 故选：C． 5．解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△DEF∽△BCF， ∴DE：BC＝DF：BF， ∵点E是边AD的中点， ∴DE：BC＝1：2， ∴DF：BF＝1：2， 故选：A． 6．解：∵四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC，AB∥CD， ∴△DEF∽△BEC，△CED∽△GBE，△CDF∽△GAF， ∵， ∴，，， ∴，故A选项不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意； ，故C选项不符合题意； ∴， ∴，故D选项符合题意． 故选：D． 7．解：如图，连接CD． ∵EC＝ED， ∴∠ECD＝∠EDC， ∴， ∴， ∴AC＝BD， ∴EA＝EB， ∵AB＝EB， ∴AB＝EB＝AE， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠AEB＝60°， ∵OF⊥BD ∴∠GFE＝90°， ∴∠EGF＝90°﹣∠AEB＝30°， ∴EFEG＝3， ∴DF＝DE+EF＝3.5+3＝6.5， ∵OF过圆心O，且OF⊥BD， ∴BF＝DF＝6.5， ∴BE＝EF+BF＝3+6.5＝9.5， ∴AC＝AE+EC＝BE+EC＝9.5+3.5＝13． 故选：D． 8．解：∵AB∥CD， ∴∠EBA＝∠EDC，∠EAB＝∠ECD， ∴△AEB∽△CED， ∴（）2， ∵， ∴，故A不成立； ∵， ∴， ∴3S△ADE＝2S△CDE，故B不成立； ∵AB∥CD， ∴S△ABC＝S△ABD， ∴S△ABD﹣S△ABE＝S△ABC﹣S△ABE， ∴S△ADE＝S△BCE，故C成立； ∵， ∴，故D不成立， 故选：C． 9．解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4， ∴， ∴， ∵DE∥AC， ∴△BDE∽△ABC， ∴， ∴S△BDE：S△BAC＝（）2， ∴S△ADC＝S△BAC﹣（S△BDE+S△CDE）＝25﹣（1+4）＝20， ∴S△BDE：S△ADC＝1：20． 故选：C． 10．解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°， ∵将△ADE沿DE折叠，点A的对应点F落在边BC上， ∴FD＝AD，∠EFD＝∠BAD＝90°，DE垂直平分AF， ∴AG＝FGAF，EF＝AE， ∵∠B＝∠C，∠BEF＝∠CFD＝90°﹣∠BFE， ∴△BEF∽△CFD， ∴， ∴， ∴AE•AB＝BF•AD＝6， ∵∠AGE＝∠ABF＝90°，∠GAE＝∠BAF， ∴△AGE∽△ABF， ∴， ∴AG•AF＝AE•AB＝6， ∴AF2＝6， ∴AF＝2， 故选：D． 11．解：∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAC＝60°， ∴AB＝CB＝AD＝CD＝2， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ADC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠CAD＝∠ACD＝60°， ∴∠ABM＝∠ACN， ∵∠MAN＝60°， ∴∠BAM＝∠CAN＝60°﹣∠ACM， ∴△ABM≌△ACN（SAS）， ∴AM＝AN，BM＝CN， ∴△AMN为等边三角形，故A正确，不符合题意； ∵MN＝AM， ∴当AM最小时，MN也最小， 如图，当AM⊥BC时，AM的值最小， ， ∵∠AMB＝90°，， ∴， ∴MN的最小值为，故B错误，符合题意； ∵AB＝CB，BD⊥AC， ∴， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴， ∵∠AMN＝60°， ∴∠CMN＝180°﹣∠AMB﹣∠AMN＝30°， ∴MN∥BD， ∴△CMN∽△CBD， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； 如图，OM⊥BC，则∠CMO＝∠COB＝90°， ， ∵∠MCO＝∠OCB， ∴△CMO∽△COB， ∴， ∴OC2＝CM•CB， ∵BC﹣BM＝CD﹣CN， ∴CM＝DN， ∵OC＝OA，CB＝AB， ∴OA2＝DN•AB，故D正确，不符合题意； 故选：B． 12．解：∵在△ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC上的点，DE∥BC， ∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF， ∴， ∴． ∵BF＝CF， ∴DG＝EG， 故①的结论正确； ∵在△ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC上的点，DE∥BC， ∴∠AGD＝∠AFB． ∵∠AFB＞∠ACF， ∴∠AGD＞∠ACF， ∴△AGD与△ACF不相似， 故②的结论不正确； ∵CG⊥DE，DG＝EG， ∴CG垂直平分DE， ∴CE＝CD＝6， ∴AC＝AE+CE＝9． ∵在△ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC上的点，DE∥BC， ∴△AEG∽△ACF， ∴， ∴． ∵DG＝EG， ∴． ∵DE∥BC， ∴△DHG∽△CHF， ∴． 设GH＝k，则HF＝3k，由， 得， ∴AG＝2k， ∴AH＝AG+GH＝3k， ∴AH＝HF， ∴点H是AF的中点． 故③的结论正确； ∵BF＝CF， ∴S△ABF＝S△ACF． ∵DE∥BC， ∴△AGE∽△ACF， ∴， ∴S△ACF＝9S△AGE， ∴S△ABF＝9S△AGE． 故④的结论正确． ∴正确的结论有：①③④． 故选：A． 二．填空题（共8小题） 13．解：作AH⊥BD于点H， ∵∠BAD＝90°，AD＝AB＝6， ∴，H是BD的中点， ∴． ∵∠BAD＝∠ADE＝90°， ∴DE∥AB， ∴△CDE∽△CBA， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴△ABC的面积． 故答案为：36． 14．解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝4，BC＝6，∠C＝∠B＝90°， ∵点E是边BC的中点， ∴， ∴5， ∵DF⊥AE， ∴∠EFD+∠FEA＝∠FEA+∠BAE＝90°， ∴∠EFD＝∠BAE，即∠CFD＝∠BAE， 又∵∠C＝∠B＝90°， ∴△ABE∽△FCD， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．解：由条件可知，，，， ∴，， 又∵∠G＝∠G， ∴△GCD∽△GAB，△GCD∽△GEF， ∴，， ∴S△GAB＝9S△GCD＝54，S△GEF＝4S△GCD＝24， ∴S四边形ABFE＝S△GAB﹣S△GEF＝54﹣24＝30． 故答案为：30． 16．解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴△AEF∽△CDF， ∴， ∵AE＝1，BE＝2， ∴AB＝CD＝3， ∴， 设EF＝x，则DF＝3x，DE＝4x， ∵∠EAF＝∠ADE，∠AEF＝∠AED， ∴△AEF∽△DEA， ∴， ∴AE2＝EF•ED， ∴1＝x•4x， ∴x（负根已经舍去）， ∴EF， 故答案为：． 17．解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB， ∵AD：DB＝1：2， ∴AD：AB＝DE：BC＝1：3， ∴S△DOE：S△COB＝1：9． 故答案为：1：9． 18．解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AD＝BD＝6， ∴△BPQ为等腰直角三角形， ∴∠B＝45°，ABAD＝6， 当点P在BD上时，如图1， ∵△ADQ与△CDQ的面积相等， ∴点A和点C到DQ的距离相等， ∴DQ∥AC， ∴△BQD∽△BAC， ∴， 即， 解得BQ， ∵QP⊥BC， ∴∠QPB＝90°， 而∠B＝90°， ∴BP＝PQBQ； 当P点在CD上时，如图2， ∵△ADQ与△CDQ的面积相等， ∴AQ＝CQ， ∵PQ∥AD， ∴1， ∴CP＝DPCD＝2， ∴BP＝BD+DP＝6+2＝8， 综上所述，BP的长为或8． 故答案为：或8． 19．解：过点C作CG∥BD，使得CG＝BD，连接EG， ∵CG∥BD，CG＝BD， ∴四边形BDCG为平行四边形， ∴BG∥CD， ∵CE•AE＝BD•BA， ∴， ∵∠A＝90°，CG∥BD， ∴∠A＝∠BCG， ∴△ABE∽△CEG， ∴∠BEG＝90°，， ∵BG∥CD， ∴∠CFE＝∠GBE， ∴sin∠GBE， 设EG＝3x，BG＝5x， 则4x， ∴tan∠GBE， ∴． 故答案为：． 20．解：∵在菱形ABCD中，∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝DA， ∴△ABC和△ACD都是等边三角形，由“垂线段最短”可知：当等边三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短， 此时，∠BAE＝30°，，， ∴， 又S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF， 同理三角形AEF的高为， △AEF的面积， 则此时△CEF的面积就会最大， ∵△ABC和△AEF都是等边三角形， ∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAE＝60°﹣∠EAC＝∠CAF， 在△BAE和△CAF中， ， ∴△BAE≌△CAF（SAS）， ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共9小题） 21．解：（1）∵在△ABC中，点D在边AC上，S△ADE＝3，S△BDE＝2， ∴， ∵DE∥BC， ∴， ∵AC＝AE+EC， ∴， ∵AC＝8， ∴； （2）∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵S△ADE＝3， ∴． 22．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∵EF⊥BE交CD于点F， ∴∠BEF＝90°， ∴∠AEB＝∠DFE＝90°﹣∠DEF， ∴△ABE∽△DEF． （2）解：∵AB＝AD＝CD＝4，CF＝3FD， ∴EA＝4﹣DE，3FD+FD＝4， ∴FD＝1， ∵△ABE∽△DEF， ∴， ∴， 解得DE＝2， ∴DE的长是2． 23．（1）证明：∵点E是AD的中点， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠A＝90°， ∴∠CED+∠DCE＝90°，， ∵∠FEC＝90°， ∴∠CED+∠AEF＝90°， ∴∠DCE＝∠AEF， ∴△CDE∽△EAF， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵∠FEC＝∠D＝90°， ∴△EFC∽△DCE； （2）延长DA，CF交于点G，过点G作GH⊥CE，交CE延长线于H，如图所示： ∵AD＝AB＝BC＝CD＝2，∠D＝90°，AD∥BC， ∴AE＝DE＝1， ∵， ∵， ∴可设GH＝2k，CH＝3k， ∴， ∴∠H＝∠D＝90°， 又∵∠GEH＝∠CED， ∴△GEH∽△CED， ∴， 即， 由，得：， 由，得：， ∴， ∴AG＝GE﹣AE＝2.5﹣1＝1.5， ∵AD∥BC， ∴△AGF∽△BCF， ∴． ∴． 24．（1）证明：∵AD∥BC， ∴△GED∽△GBC， ∴， ∵点E是边AD的中点， ∴AE＝DE， ∴， ∴GE•BC＝GB•AE； （2）解：∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， 由（1）知，， ∴， 设EF＝x， ∵GE＝4，BF＝6， ∴， 解得x1＝2，x2＝﹣12（不合题意，舍去）， ∴EF＝2． 25．（1）证明：在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折痕与边BC交于点O， ∴∠APO＝∠B＝90°， ∴∠APD+∠CPO＝∠APD+∠PAD＝90°， ∴∠PAD＝∠CPO， ∴△APD∽△POC， ∴； （2）解：∵△APD∽△POC， ∴． ∵， ∴，DP＝2OC． 设OC＝x，则OB＝OP＝6﹣x， 在Rt△POC中，OC2+CP2＝OP2， ∵AD＝6， ∴x2+32＝（6﹣x）2， 解得， ∴， ∴． 26．（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， 又∵∠ADE＝∠ACB， ∴∠ADE＝∠ACB＝∠B， ∵∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠ADE+∠EDC， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△DCE； （2）解：的值不发生变化；理由如下： 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，如图，过点A作AM⊥BC于M，则∠AMB＝90°， ∴， ∵∠ADE＝∠ACB， ∴， ∵AF⊥AD， ∴∠DAF＝90°， 在Rt△ADF中，， 即的值不发生变化． 27．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥DE于F点， ∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC，∠GFD＝90°， ∴∠BCD＝∠GFD， ∵∠BGC＝∠FGD， ∴△BGC∽△DGF； （2）证明：∵△BGC∽△DGF， ∴， ∴DG•BC＝DF•BG， ∵AB＝BC， ∴DG•AB＝DF•BG； （3）解：∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴， ∵△BGC∽△DGF， ∴， 又∵∠BGD＝∠CGF，BF⊥DE， ∴△BGD∽△CGF，∠BFE＝90°， ∴∠BDG＝∠CFG＝45°， ∴∠CFE＝∠BFE﹣∠CFG＝45°． 28．（1）证明：∵AB＝2CD，点E是AB的中点， ∴DC＝EB． 又∵AB∥CD， ∴四边形BCDE为平行四边形． ∴ED∥BC． ∴∠EDB＝∠FBM． 又∵∠DME＝∠BMF， ∴△EDM∽△FBM； （2）解：∵△EDM∽△FBM， ∴， ∵F是BC的中点， ∴DE＝BC＝2BF， ∴DM＝2BM， ∴DB＝DM+BM＝3BM， ∵DB＝12， ∴BMDB12＝4； （3）存在，∵DC∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴DC＝BC， ∵DP•BP＝BF•CD， ∴， ∴△PDC∽△FBP， ∴∠BPF＝∠PCD， ∵∠DPC+∠CPF+∠BPF＝180°， ∠DPC+∠PDC+∠PCD＝180°， ∴∠PDC＝∠CPF， ∵AD＝BC＝DC＝BE＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠AED＝60°， ∴∠EDB＝∠PDC＝30°， ∴∠CPF＝30°． 29．解：（1）PE+PF+PM＝BG，理由如下： 连接PA、PB、PC，则S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC， 由条件可知AB＝AC＝BC， ∴， ∴， ∴PE+PF+PM＝BG； （2）PE+PF﹣PM＝BG，理由如下： 连接PA、PB、PC，则S△ABP+S△ACP﹣S△BCP＝S△ABC， 由条件可知AB＝AC＝BC， ∴， ∴， ∴PE+PF﹣PM＝BG． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/30 22:14:52；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$