2025年中考数学复习之11 ——二次函数的最值

中考数学复习之11 ——二次函数的最值 一．选择题（共10小题） 1．点A（s，t）在二次函数y＝2（x﹣m）2（m为常数）的图象上，s﹣m＝t≠0．当s﹣1≤x≤s+2时，二次函数的最大值与最小值的差为（　　） A． B． C．12 D． 2．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 3．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（　　） A．5 B．﹣5或 C．5或 D．﹣5或 4．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C．1 D．1 5．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为（　　） A． B． C．2 D． 6．已知二次函数的图象经过点（﹣3，7）和（﹣1，1），则当﹣2≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差是（　　） A．4 B．8 C．6 D．10 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD，点E是线段AD的三等分点（AE＜ED），动点F从点D出发向终点E运动，以BF为边作等边△BFG，在动点F运动的过程中，阴影部分面积的最小值是（　　） A． B． C． D． 8．对于点P（m+3，m2﹣4），下列描述不正确的是（　　） A．不论m为何值，点P都在抛物线y＝（x﹣3）2﹣4上 B．点P有最高点为（3，﹣4） C．在x轴上能找到两个符合条件的点P D．点P不会在第三象限出现 9．二次函数y＝x2﹣2x+3在a≤x≤a+2的范围内的最小值为6，则实数a的值为（　　） A．3 B．﹣1或3 C．﹣3或1 D．﹣3或3 10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝20cm动点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动；动点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当t＝3时，△BPQ的面积为21cm2； ②t有两个不同的值，都使△BPQ的面积为16cm2； ③△BPQ面积的最大值为50cm2． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共6小题） 11．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD＝10，则四边形ABCD的面积的最大值为 　 　 ． 12．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+5x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（2，2），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+5x+c（a≠0）的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是 　 　 ． 13．如图，已知点M（a，b），b＜0为抛物线y＝x2﹣2x﹣3上的动点，点N是以点M为圆心，1为半径的圆上的动点，点A（1，0），则线段AN的最小值为 　 　 ． 14．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为边AD上的动点，连接CE，以CE为边作正方形ECGF，连接DG，EG，则△DEG面积的最大值为　 　 ． 15．若点P（m﹣2，t1）、Q（m，t2）在二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象上，当m﹣2≤x≤m时，函数的最大值为9，最小值为t2，则m的取值范围是　 　 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，a），B（b，0），且满足2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，C（m+3，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值为 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B是一次函数y＝x图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，其中a＞0，过点A，B分别作y轴的平行线，交抛物线y＝x2﹣4x+8于点C，D． （1）若AD＝BC，求a的值； （2）点E是抛物线上的一点，求△ABE面积的最小值． 18．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“慧泉”点．例如：点（1，﹣1），（，），（，），…都是“慧泉”点． （1）判断函数y＝2x﹣3的图象上是否存在“慧泉”点，若存在，求出其“慧泉”点的坐标； （2）若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，﹣2）． ①求a，c的值； ②若﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为，求实数n的取值范围． 19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x经过点A（3，4）． （1）求a的值； （2）过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，在直线AB上任取一点P，作点A关于直线OP的对称点C； ①当点C恰巧落在x轴时，求直线OP的表达式； ②连结BC，求BC的最小值． 20．在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标与纵坐标互为相反数，则称点M为智慧点，例如：点（1，﹣1），（，），（，），…都是智慧点． （1）判断函数y＝2x﹣1的图象上是否存在智慧点，若存在，求出其智慧点的坐标； （2）若二次函数y＝ax2﹣5x+c（a≠0）的图象上有且只有一个智慧点（2，﹣2），当1≤x≤n时，函数y＝ax2﹣5x+c（a≠0）的最小值为，最大值为0，求实数n的取值范围． 21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+3． （1）求抛物线的表达式； （2）动点D在直线BC上方的二次函数图象上，连接DC，DB，设四边形ABDC的面积为S，求S的最大值； （3）当点E为抛物线的顶点时，在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请求出点Q的坐标． 22．如图，已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC． （1）请直接写出二次函数y＝ax2+x+c的表达式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标； （4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标． 中考数学复习之11 ——二次函数的最值 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C A C A B D C 1．点A（s，t）在二次函数y＝2（x﹣m）2（m为常数）的图象上，s﹣m＝t≠0．当s﹣1≤x≤s+2时，二次函数的最大值与最小值的差为（　　） A． B． C．12 D． 【答案】D 【解答】解：∵s﹣m＝t， ∴t＝2t2， 解得：或 t＝0（舍去）， ∴， ∴， ∴对称轴为直线：x＝m， ∵s﹣1≤x≤s+2， ∴， 当时，y有最大值，， 当x＝m时，y有最小值，y＝0， ∴差为． 2．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【解答】解：作PM⊥AD于M， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠ADB＝45°， ∴△PDM是等腰直角三角形， ∴PM＝DM， 设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x， ∵AP＝PF， ∴AM＝FM＝4﹣x， ∴AF＝2（4﹣x）， ∵S△APFAF•PM， ∴S△APF2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∴当x＝2时，S△APF有最大值4，故选：C． 3．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（　　） A．5 B．﹣5或 C．5或 D．﹣5或 【答案】C 【解答】解：二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ①m＞0，抛物线开口向上， x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣4， 解得：m＝5； ②m＜0，抛物线开口向下， ∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4， ∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣4， 解得：m；故选：C． 4．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C．1 D．1 【答案】C 【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE， 在Rt△AB′E和Rt△ADE中，， ∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL）， ∴∠DAE＝∠B′AE， ∵旋转角为30°， ∴∠DAB′＝60°， ∴∠DAE60°＝30°， ∴DE＝1， ∴阴影部分的面积＝1×1﹣2×（1）＝1． 5．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解答】解：如图，连接BD， ∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上， ∴∠BCD＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°， 又CD＝3，BC＝1， ∴BD， ∴AD． 6．已知二次函数的图象经过点（﹣3，7）和（﹣1，1），则当﹣2≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差是（　　） A．4 B．8 C．6 D．10 【答案】C 【解答】解：∵二次函数的图象经过点（﹣3，7）和（﹣1，1）， ∴， 解得， ∴yx2+3x， ∴抛物线对称轴为直线x1， ∵x＝﹣1时，y＝1， x＝1时，yx2+3x7， ∴当﹣2≤x≤1时，函数的最大值为7，最小值为1， ∴函数的最大值与最小值之差是6． 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD，点E是线段AD的三等分点（AE＜ED），动点F从点D出发向终点E运动，以BF为边作等边△BFG，在动点F运动的过程中，阴影部分面积的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设AF＝x，等边△BFG的边长为a，则a2＝x2+22＝x2+4， ∴△BFG的面积为：a2，△ABF的面积为：x， ∴S阴影a2﹣x（x2+4）﹣x（x）2， ∵点E是线段AD的三等分点（AE＜ED）， ∴AE， ∴当点F移动到点E的位置时，阴影部分面积最小，最小值为． 8．对于点P（m+3，m2﹣4），下列描述不正确的是（　　） A．不论m为何值，点P都在抛物线y＝（x﹣3）2﹣4上 B．点P有最高点为（3，﹣4） C．在x轴上能找到两个符合条件的点P D．点P不会在第三象限出现 【答案】B 【解答】解：A、设x＝m+3，y＝m2﹣4， ∴m＝x﹣3， ∴y＝（x﹣3）2﹣4， ∴不论m为何值，点P都在抛物线y＝（x﹣3）2﹣4上，原选项正确，不符合题意； B、∵点P都在抛物线上，1＞0， ∴点P有最低点为（3，﹣4），原选项错误，符合题意； C、当y＝0时，（x﹣3）2﹣4＝0， ∴x1＝1，x2＝5， ∴与x轴交点为（1，0），（5，0）， ∴在x轴上能找到两个符合条件的点P，原选项正确，不符合题意； D、由抛物线与x轴交点为（1，0），（5，0），顶点坐标为（3，﹣4），开口向上， ∴点P不会在第三象限出现，原选项正确，不符合题意； 9．二次函数y＝x2﹣2x+3在a≤x≤a+2的范围内的最小值为6，则实数a的值为（　　） A．3 B．﹣1或3 C．﹣3或1 D．﹣3或3 【答案】D 【解答】解：当y＝6时，有x2﹣2x+3＝6， 解得：x1＝﹣1，x2＝3． ∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）， 当x＜1时，y随x的增大而减少，当x＞1时，y随x的增大而增大， ∵当a≤x≤a+2时，函数有最小值6，分两种情况讨论： 若1＜a≤x≤a+2时，当x＝a时，y的最小值是6， ∴a＝3， 若a≤x≤a+2＜2时，当x＝a+2时，y的最小值是6， ∴a+2＝﹣1， 解得a＝﹣3． 10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝20cm动点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动；动点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当t＝3时，△BPQ的面积为21cm2； ②t有两个不同的值，都使△BPQ的面积为16cm2； ③△BPQ面积的最大值为50cm2． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：由题意得：AP＝t cm，BQ＝2t cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm， ∴S△PBQBP•BQ（10﹣t）•2t＝（﹣t2+10t）（cm2）， ∵S△PBQ＝﹣t2+10t＝﹣（t﹣5）2+25， ∵﹣2＜0， ∴当t＝5时，△PBQ的面积有最大值为25，故③错误； 当t＝3时，△PBQ的面积为：﹣（3﹣5）2+25＝21，故①正确； 令S△PBQ＝16，则﹣t2+10t＝16，即t2﹣10t+16＝0， 解得t＝2或8， ∵t＝8时，BQ＜BC，故t＝8符合题意，故②正确． 二．填空题（共6小题） 11．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD＝10，则四边形ABCD的面积的最大值为 　12.5　 ． 【答案】12.5． 【解答】解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝10﹣x， 则：SAC•BDx（10﹣x）（x﹣5）2+12.5， 当x＝5时，S最大＝12.5； 所以，四边形ABCD的面积最大值为12.5． 12．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+5x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（2，2），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+5x+c（a≠0）的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是 　m≤5　 ． 【答案】m≤5． 【解答】解：ax2+5x+c＝x，即ax2+4x+c＝0， 由题意可得，图象上有且只有一个完美点， ∴Δ＝16﹣4ac＝0，则4ac＝16， ∴方程根为x2， ∴a＝﹣1，c＝﹣4． ∴函数y＝ax2+5x+cx2+5x，该二次函数顶点坐标为（，1）， 与y轴交点为（0，），根据对称规律， 点（5，）也是该二次函数图象上的点． 在x左侧，y随x的增大而增大；在x右侧，y随x的增大而减小；且当0≤x≤m 时，函数y＝﹣x2+5x的最小值为，最大值为1，则m≤5． 13．如图，已知点M（a，b），b＜0为抛物线y＝x2﹣2x﹣3上的动点，点N是以点M为圆心，1为半径的圆上的动点，点A（1，0），则线段AN的最小值为 　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：连接AM、MN如图所示： ∵点M（a，b），在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上， ∴b＝a2﹣2a﹣3， ∴b+3＝a2﹣2a， ∵在△AMN中AN+MN≥AM， 又∵点A（1，0）， ∴AM2＝（a﹣1）2+b2， ∴AM2＝a2﹣2a+1+b2＝b2+b+4＝（b）2， ∵b＜0， ∴（b）2≥0， ∴AM， ∴当A，N，M三点一线，且AM时，AN最小， ∵点N是以点M为圆心，1为半径的圆上的动点， ∴MN＝1， ∴AN1． 14．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为边AD上的动点，连接CE，以CE为边作正方形ECGF，连接DG，EG，则△DEG面积的最大值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：连接BE，如图所示： 由条件可知∠CDE＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE＝CG，∠ECG＝90°， 设DE＝x（0≤x≤6），则CE2＝DE2+CD2＝x2+62＝x2+36， ∵∠BCE+∠DCE＝∠DCE+∠DCG＝90°， ∴∠BCE＝∠DCG， ∴△BCE≌△DCG， ∴S△BCE＝S△DCG， ∴S△DEG＝S四边形ECGD﹣S△ECG ＝S△ECD+S△DCG﹣S△ECG＝S△ECD+S△BCE﹣S△ECG ， ， ∴当x＝3时，最大，且最大值为， 即△DEG面积的最大值为． 15．若点P（m﹣2，t1）、Q（m，t2）在二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象上，当m﹣2≤x≤m时，函数的最大值为9，最小值为t2，则m的取值范围是　3≤m≤4　 ． 【答案】3≤m≤4． 【解答】解：由题意，∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， ∴当x＝2时，y取最大值为9；抛物线上的点离对称轴越远函数值越小． ∵当m﹣2≤x≤m时，函数的最大值为9，最小值为t2， ∴m﹣2≤2≤m，且m﹣2≥2﹣（m﹣2）． ∴3≤m≤4． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，a），B（b，0），且满足2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，C（m+3，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵C（m+3，2），D（m，2）， ∴CD∥x轴，CD＝3，CD所在直线的解析式为y＝2． ∵点A（0，a），B（b，0），且满足2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0， ∴2a2﹣4a+2+b2﹣10b+25＝0，即2（a﹣1）2+（b﹣5）2＝0， ∴a＝1，b＝5， ∵A（0，1），B（5，0）， ∴OA＝1，BO＝5， ∴AB， ∵四边形ABCD的周长＝AB+CD+BC+AD， ∴求四边形ABCD的周长的最小值，就是求BC+AD的最小值， 将点A向右平移3个单位长度得到点E，则AE＝3，AE∥x轴，E（3，1），如图， ∴AE∥CD，AB＝CD＝3， ∴四边形AECD为平行四边形， ∴AD＝EC． 作点E关于CD的对称点F，则F（3，3），连接CF，FB，FB交CD于点K， ∴CF＝CE， ∴CF＝AD， ∴BC+AD＝BC+CF， ∵BC+CF≥BF， ∴BC+AD≥BF， ∴当点C与点K重合时，BC+AD取得最小值，四边形ABCD的周长取得最小值． 设直线BF的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线BF的解析式为yx． 令y＝2，则2x， ∴x， ∴C（，2）， ∴m+3． ∴m． 三．解答题（共6小题） 17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B是一次函数y＝x图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，其中a＞0，过点A，B分别作y轴的平行线，交抛物线y＝x2﹣4x+8于点C，D． （1）若AD＝BC，求a的值； （2）点E是抛物线上的一点，求△ABE面积的最小值． 【解答】解：（1）∵点A，B是一次函数y＝x图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3， ∴A（a，a），B（a+3，a+3）． y＝x2﹣4x+8 ＝（x﹣2）2+4， 将x＝a代入得：y＝（a﹣2）2+4； 将x＝a+3代入得：y＝（a+1）2+4． ∴D（a，（a﹣2）2+4），C（a+3，（a+1）2+4）， ∴AD＝（a﹣2）2+4﹣a，CB＝（a+1）2+4﹣（a+3）． 由AD＝BC得：（a﹣2）2+4﹣a＝（a+1）2+4﹣（a+3）， ∴a＝1． （2）设点E（m，m2﹣4m+8），过E作EM垂直于x轴交AB于点M，作BF⊥EM，AG⊥EM，垂足分别为F，G， 由题意得：M（m，m）， ∴EM＝m2﹣4m+8﹣m＝m2﹣5m+8， ∴S△ABE＝S△AEM+S△EMB ， 由，得S△ABE有最小值． ∴当m时，S△ABE的最小值为． 18．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“慧泉”点．例如：点（1，﹣1），（，），（，），…都是“慧泉”点． （1）判断函数y＝2x﹣3的图象上是否存在“慧泉”点，若存在，求出其“慧泉”点的坐标； （2）若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，﹣2）． ①求a，c的值； ②若﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为，求实数n的取值范围． 【答案】（1）函数y＝2x﹣3的图象上存在“慧泉”点，其“慧泉”点的坐标为（1，﹣1）； （2）①a＝﹣1，c＝﹣4；②实数n的取值范围是n≤4． 【解答】解：（1）函数y＝2x﹣3的图象上存在“慧泉”点， 根据题意﹣x＝2x﹣3，解得x＝1，故其“慧泉”点的坐标为（1，﹣1）； （2）①∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有“慧泉”点， ∴﹣x＝ax2+3x+c，即ax2+4x+c＝0， ∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，﹣2）． ∴， 解得a＝﹣1，c＝﹣4； ②∵a＝﹣1，c＝﹣4， ∴二次函数为y＝﹣x2+3x﹣4， ∴x＝﹣1时，y＝﹣1﹣3﹣4＝﹣8， ∵y＝﹣x2+3x﹣4＝﹣（x）2， ∴对称轴为直线x， ∴当x时，函数有最大值为， ∵若﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为， ∴实数n的取值范围是n≤4． 19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x经过点A（3，4）． （1）求a的值； （2）过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，在直线AB上任取一点P，作点A关于直线OP的对称点C； ①当点C恰巧落在x轴时，求直线OP的表达式； ②连结BC，求BC的最小值． 【答案】（1）a； （2）①OP的表达式为y＝﹣2x或yx； ②BC的最小值为5． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x经过点A（3，4）， 令x＝3，代入y＝ax2+x，则4＝a×32+3， ∴a； （2）①如图1：由对称性可知OA＝OC，AP＝CP， ∵AP∥OC， ∴∠1＝∠2， 又∵∠AOP＝∠2， ∴∠AOP＝∠1， ∴AP＝AO， ∵A（3，4）， ∴AO＝5，∴AP＝5， ∴P1（8，4）， 同理可得P2（﹣2，4）， ∴OP的表达式为y＝﹣2x或yx． ②如图2：∵OA＝OC， ∴点C在以O为圆心，OA长为半径作⊙O上，连接BO，交⊙O于点C， 此时BC的值最小， ∵B（﹣12，4）， ∴OB， ∴BC的最小值为5． 20．在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标与纵坐标互为相反数，则称点M为智慧点，例如：点（1，﹣1），（，），（，），…都是智慧点． （1）判断函数y＝2x﹣1的图象上是否存在智慧点，若存在，求出其智慧点的坐标； （2）若二次函数y＝ax2﹣5x+c（a≠0）的图象上有且只有一个智慧点（2，﹣2），当1≤x≤n时，函数y＝ax2﹣5x+c（a≠0）的最小值为，最大值为0，求实数n的取值范围． 【答案】（1）存在，（，）； （2）n≤4． 【解答】解：（1）存在； 由题意，函数y＝2x﹣1的图象上存在智慧点， 根据题意﹣x＝2x﹣1，解得x． 故其智慧点的坐标为（，）． （2）由题意，∵二次函数y＝ax2﹣5x+c（a≠0）的图象上有智慧点， ∴﹣x＝ax2﹣5x+c，即ax2﹣4x+c＝0． ∵二次函数y＝ax2﹣5x+c（a≠0）的图象上有且只有一个智慧点（2，﹣2）． ∴， 解得：a＝1，c＝4． ∵a＝1，c＝4， ∴二次函数为y＝x2﹣5x+4， ∴x＝1时，y＝0， ∵y＝x2﹣5x+4＝（x）2， ∴对称轴为直线x， ∴当x＝1或4时，函数值为0， ∵若﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2﹣5x+c（a≠0）的最小值为0，最大值为， ∴实数n的取值范围是n≤4． 21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+3． （1）求抛物线的表达式； （2）动点D在直线BC上方的二次函数图象上，连接DC，DB，设四边形ABDC的面积为S，求S的最大值； （3）当点E为抛物线的顶点时，在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请求出点Q的坐标． 【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+3得：y＝3， ∴C（0，3）． 把y＝0代入y＝﹣x+3得：x＝3， ∴B（3，0）， 将C（0，3），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得： ，解得：， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）过点D作DF⊥x轴于点F， 设D（x，﹣x2+2x+3），则F（x，0），OF＝x，BF＝3﹣x， 则DF＝﹣x2+2x+3， S＝S梯形COFD+S△DFB+S△AOC ＝×x（3﹣x2+2x+3）+（3﹣x）（﹣x2+2x+3）+1×3＝﹣（x﹣）2+， ∴当x＝时，S有最大值，最大值为． （3）存在，理由： y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴E（1，4）． 又∵C（0，3），B（3，0）， ∴CE＝，BC＝3，EB＝2， ∴CE2+CB2＝BE2， ∴∠ECB＝90°． 如图所示：连接AC． ①∵A（﹣1，0），C（0，3）， ∴OA＝1，CO＝3． ∴， 又∵∠AOC＝∠ECB＝90°， ∴△AOC∽△ECB． ∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△ECB． ②过点C作CQ′⊥AC，交x轴于点Q′． ∵△ACQ′为直角三角形，CO⊥AQ′， ∴△ACQ′∽△AOC． 又∵△AOC∽△ECB， ∴△ACQ′∽△ECB． ∴，即， 解得：AQ′＝10． ∴Q′（9，0）． 综上所述：当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCE相似． 22．如图，已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC． （1）请直接写出二次函数y＝ax2+x+c的表达式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标； （4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0）， ∴， 解得． ∴抛物线表达式：y＝﹣x2+x+4； （2）△ABC是直角三角形． 令y＝0，则﹣x2+x+4＝0， 解得x1＝8，x2＝﹣2， ∴点B的坐标为（﹣2，0）， 由已知可得， 在Rt△ABO中AB2＝BO2+AO2＝22+42＝20， 在Rt△AOC中AC2＝AO2+CO2＝42+82＝80， 又∵BC＝OB+OC＝2+8＝10， ∴在△ABC中AB2+AC2＝20+80＝102＝BC2 ∴△ABC是直角三角形． （3）∵A（0，4），C（8，0）， ∴AC＝＝4， ①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0）， ②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0） ③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0）， 综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）． （4）设点N的坐标为（n，0），则BN＝n+2，过M点作MD⊥x轴于点D， ∴MD∥OA， ∴△BMD∽△BAO， ∴＝， ∵MN∥AC ∴＝，∴＝， ∵OA＝4，BC＝10，BN＝n+2 ∴MD＝（n+2）， ∵S△AMN＝S△ABN﹣S△BMN ＝BN•OA﹣BN•MD ＝（n+2）×4﹣×（n+2）2 ＝﹣（n﹣3）2+5， ∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$