甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

兰州一中2024-2025-2学期3月月考考试试题 高一数学 命题：齐小娟审题：姚小娟 说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间 120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡 第I卷（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.某校为了解高三年级学生体重情况，从该年级1000名学生中抽取125名学生测量他们 的体重进行分析.在这项调查中，抽取的125名学生的体重是 () A.总体 B.样本 C.总体容量 D.样本容量 2.若向量a,6满足=3，a万=-6，则a在6上的投影向量是 () A B.-6 3 C. D.-26 3 3.在三角形ABC中，AD为BC边上的中线，则BD= A.}+c B.号+4 C.+C D.4-C 4.己知向量AB=(5,1),BC=(m,9),CD=(8,5).若A、C、D三点共线，则m=() A月 5 B.-11 C.11 D.- 4 5.关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论错误的是 A.某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查 B.为了解高一学生的视力情况，现有高一男生480人，女生420人，按性别进行分层 抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为63，则样本容量为135 C.若甲、乙两组数据的标准差满足、m<sz则可以估计乙比甲更稳定 D.若数据x,x,x,…,xn的平均数为下，则数据y=a心，-b(i=1,2,3,…,n)的平均数为 ax-b BA BC 6.已知三角形ABC满足 AC=0,则三角形ABC的形状一定是 () BA BC A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 7.已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上，且AP=2PB,则点P的坐标为( ) 兰州一中20242025-2学期3月月考试题第1页共4页 A.(-5,8) B.0 C.(7,-10) D.60-58 8.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心， 以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形 就是勒洛三角形：在如图所示的勒洛三角形中，己知AB=4,P为弧AC (含端点)上的一点，则PB.(BC-BP)的范围为 () A.[0,8 B.[1,8] c.0,4w5 D.[0,9 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列命题中的真命题是 ( A若a为非零向量，则 与a同向 B.设入，“为实数，若1a=ub,则a与b共线 C.若a=b,b=c,则a=c D.a=i的充要条件是d=8且aW6 10.AQI表示空气质量指数，AQ1的数值越小，表明空气质量越好.当AQI的数值不大于 100时称空气质量为“优良”，大于100时称空气质量为污染”，某地2022年8月1日到 20日AQ/数值的统计数据的折线图如下，则下列说法正确的是 () 4AQI的数值 300 250 200 150 100 50 01234567891011121314151617181920日痈 A.这20天中，有10天空气质量为“优良”，上旬的空气质量比中旬的好 B.这20天中，空气质量最好的是8月5日，最差的是8月19日 C.这20天AQ/的数值的中位数大于100 D.这20天AQ1的数值中，上旬数值的方差小于中旬数值的方差 11.若三角形ABC的三个内角均小于120°，点M满足∠AMB=∠AMC=∠BMC=120°， 则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点，根据以上性质，己知 a是平面内的任意一个向量，向量五，c满足方1c,且=2=2W3,则 兰州一中20242025-2学期3月月考试题第2页共4页 a-+a-+a+d的取值可以是 A.9 B.4V5 C.6 D.3V5 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量m=(2,-1),n=(1,2),则2m-n= 13.由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9， 其余的数不变，得到新的一组数据的方差为5子，则s子-S子=一 14.已知OA+0B与0C为相反向量，若0A=2,O8+0C=4,则OA,0B夹角的余弦 的最小值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15.某单位为了了解退休职工生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查，满分100 分，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下： 分数 77 79 81 84 88 92 93 人数 1 1 1 3 2 1 试回答以下问题： (1)求抽取的10名退休职工问卷得分的均值x和方差s2: (2)10名退休职工问卷得分在下-s与x+S之间有多少人？这些人占10名退休职工的百 分比为多少？ 16.已知向量a=(1,2),b=(2,-1),c=(m,2)m∈R. ()当（ā+b)1(2ā-b)时，求实数2的值： (2)当b∥（ā+c)时，求向量ā与c的夹角的余弦值 17.黔西一中为了提高学生对“黔西一中校史”的了 ◆频率/组距 解，举办了“知史爱校守初心”的知识竞赛活动，现 从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取100份作 0.025 为样本数据，将样本答卷中分数x(40≤x≤100) 0.020 的整数分成六段：[40,50)[50,60)…[90,100]， 0.010 0.005 0405060708090100分数 兰州一中20242025-2学期3月月考试题第3页共4页 并作出如图所示的频率分布直方图. (I)求频率分布直方图中a的值： (2)求样本数据的第59百分位数： (3)已知样本数据落在[50,60)的平均数是52，方差是6：落在[60,70)的平均数是64，方差 是3.求这两组数据的总平均数x和总方差s2, 18.在AABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP 于R,且A=2OC,设AB=a,AC-6. (I)试用ā，b表示AR: (2)若a2,6=l,(a,b=60°，求∠ARB的余弦值： 6诺H在c上，且m1c月=2闪-10-位，若0[后求 CH 的范围 CB 19.给定两组数据A=(,x,…,x)与B=(以，，y,称X(A,B)=∑：-y为这两组 数据之间的“差异量”.鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目.现有n个古董，它们的 价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价 值的真实排序为I=(1,2,…,n).现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的 经验对这n个古董的价值从高到低依次进行重新排序为x,x,,x。,其中x,为该专家给真 实价值排第i位古董的位次编号，记A=(x,x2,“,x),那么A与I的差异量 X(4)=∑：-可以有效反映一个专家的水平，该差异量X(4,)越小说明专家的鉴宝 能力越强 (1)当n=3时，求X(A,I)的所有可能取值： (2)当n=5时，求满足X(A,I)=4的A的个数： (3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值/的差异量为 a,专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I的差 异量是否可能为a+6？请说明理由. (注：实数a,b满足：a+≤d+,当且仅当ab≥0时取“=”号) 兰州一中20242025-2学期3月月考试题第4页共4页 兰州一中2024-2025-2学期3月月考考试试题 高一数学（参考答案) 题号 1 2 3 4 6 8 9 10 11 答案 B D B D AC ACD AB 12.5 13.4 14.-1 15.(1)抽取的10名退休职工问卷得分的均值为 1 x=,×(77+79+81+3×84+2×88+92+93)=85, 10 抽取的10名退休职工问卷得分的方差为 2-d*7-85r+(09-85+81-89+3x4-85+28-85+02-85+03-851=-25 (2)由(1)可得s=5, 所以x-s=85-5=80,x+s=85+5=90, 所以10名退休职工问卷得分在x-s与+s之间有6人，占的百分比为60% 16.(1)由题意可得a+b=(3,1),a-b=(2-2,2+1). 因为(a+)上(a-), 所以3(2-2)+(2元+1)=0，解得1=1 (2)a+c=(1+m,4, 因为6∥（ā+），所以8+m+1=0解得m=-9,所以c=（9,2), 所以cosa,d a.c -5 7 5xV85=-17 即向量a与的夹角的余弦值为- 17 17.(1)由题意10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1,解得a=0.03: (2)由直方图知前3组数的频率为10×(0.005+0.01+0.02)=0.35 前4组数的频率为10×(0.005+0.01+0.02+0.03)=0.65， 因此第59百分位数在第4组即区间[70,80]上，设第59百分位数为x, 则8983-后”解得=8 (3)样本数据在区间[50,60]的个数为0.1×100=10，在区间[60,70]上的个数为02×100=20， 所以x=0020x52+020 10+20 20x64=60, 总方差为r产-006+(62-6010B+4-601-c 18.(1)因P,R,C共线，则存在A使PR=1PC, 则(-P)-(ac-P）,整理得硕=1-)+4C=之a+6 2 由B,R,O共线，则存在4使BR=uBO, 则(4R-B)=(A0-AB),整理得AR=(1-4)AB+u40=(1-)ā+平万. 3 1-=1-4 根据平面向量基本定理，有 2 则-+ 2 2)由1，派-+，歌=6- 2 4 4 16 4 4 2 则cos(ARR)= ARB歌。21： AB丽 7 (3)由知所=元，则c=元=6- 由CH,CB共线，设C币=kCB=k(AB-AC上ka-b)k>0. 又RH⊥BC→R.BC(RC+C可·BC0. 期后方+6-砂}-(-6=0 5认3 →60时-+4小a00e 3 、) 19.(1)若n=3时，则A=(1,2,3)(1,3,2),(21,3).(2,31),(31,2),(32,1),且1=(1,2,3)， 可得X(A,)=0,2,2,44,4, 所以X(A,)的所有可能取值为0,2,4 (2)若对调两个位置的序号之差大于2，则X(A,)>4, 可知X(A,)=4只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序， 若调整两次两个连续序号：则有{(1,2)(3,4)}，{1,2)，(4,5)}{(2,3)，(4,5}，共有3种可能： 若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，共3组， 由(1)可知：每组均有3种可能满足X(A,)=4,可得共有3×3=9种可能： 所以A的个数为3+9=12. (3)不可能，理由如下： 设专家甲的排序为，x,,x。,记A=(x,2,…,x): 专家乙的排序为，2，…，，记B=（,2,y): 由题意可得：x(4)--a,X(1)-∑-小=4， 因为y-=《y-x)+(x,-川≤y-x+x-=x,-+x,-y, 结合i的任意性可得∑y-s∑x-i+∑x-y川=a+4<a+6, 所以专家乙的鉴定结果与真实价值1的差异量不可能为a+6