2025年中考数学二轮专题训练：等腰三角形

2025年中考数学二轮专题训练： 等腰三角形 一．选择题 1．等腰三角形的两边分别为5cm和12cm，则它的周长是（　　） A．32cm B．22cm或29cm C．22cm D．29cm 2．在△ABC和△A'B'C'中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝3，AC＝A'C'＝4，已知∠C＝n°，则∠C'的度数是（　　） A．30° B．n° C．n°或180°﹣n° D．30°或150° 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠C＝70°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则的长为（　　） A． B． C．π D． 4．已知△ABC中，AC＝BC＝4，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，CD交BE于点O，若CE＝CO，则AB的长是（　　） A．5 B． C．6 D．10 5．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，若△BCE的周长为18，BC＝6，则AD的长为（　　） A．12 B．8 C．6 D．3 6．如图，AB∥CD，M、N为直线AB上的两点，连接CN，ME⊥CN于点E，点F在CN上，连接DF，CF＝DF，若∠EMN＝70°，则∠D的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．45° 7．如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”，∠E＝45°，∠B＝30°，AC∥EF，CA＝CF，连结AF，则∠BAF的度数是（　　） A．127.5° B．135° C．120° D．105° 8．如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D是边BC上的一个动点（不与点B、C重合），∠DAC与∠ACB的平分线交于点O，则∠AOC的大小不可能是（　　） A．105° B．115° C．125° D．135° 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．有以下结论4个结论：①∠BCE＝36°，②BC＝AE，③，④，其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（　　）秒． A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 二．填空题 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为　 　 ． 12．等腰三角形中，一个内角比另一个内角的3倍还多20°，则该等腰三角形中最小的内角的度数是　 　 ． 13．如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，点E，F在等腰三角形ABC的内部，连接AE，EF，CF，使∠BAE＝∠AEF＝60°，且CF平分∠ACB．若AE＝5，EF＝3，则AB＝　 　 ． 14．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝3，则AC的长是 　 　 ． 15．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°、∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．在点P的滑动过程中，若△PCD是等腰三角形，则夹角α的大小是　 　 ． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E，F分别是AD上的任意两点．若△ABC的面积为20cm2，则图中阴影部分的面积为　 　 cm2． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，连结BD，作线段AD的垂直平分线EF交AD于点E，交BD于点F，连接AF，若AF＝AB，则∠D＝　 　 °． 三．解答题 18．如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，连结BD并延长到点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，交AB于点G． （1）若BD＝DE，求证：CD＝DF； （2）若BG＝GE，∠ACB＝70°，∠E＝25°，求∠A的度数． 19．在△ABC中，AB＝AC． （1）AD是BC上的高，AD＝AE． ①如图1，如果∠BAD＝20°，则∠EDC＝　 　 °； ②如图2，如果∠BAD＝50°，则∠EDC＝　 　 °． （2）思考：通过以上两小题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：　 　 ． （3）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由． 20．在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为线段CB上一点（不与C、B重合），点E为射线CA上一点，∠ADE＝∠AED．设∠BAD＝α，∠CDE＝β． （1）如图1，①若∠BAC＝42°，∠DAE＝30°，则α＝　 　 ，β＝　 　 ； ②写出α与β的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点E在CA的延长线上时，其它条件不变，写出α与β的数量关系，并说明理由． 21．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别在射线AB、AC上． 活动一：如图1所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒． 数学思考： （1）小棒能无限摆下去吗？答：　 　 ．（填“能”或“不能”） （2）设AA1＝A1A2＝A2A3，θ＝　 　 °． 活动二：如图2所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1． 数学思考： （3）若已经摆放了3根小棒，则θ3＝　 　 ；（用含θ的式子表示） （4）若只能摆放4根小棒，则θ的范围是　 　 ． 22．在△ABC中，已知点D在BC上，且CD＝CA，点E在CB的延长线上，且BE＝BA． （1）如图①，若∠BAC＝120°，AB＝AC，求∠DAE的度数； （2）试探求∠DAE与∠BAC的数量关系； （3）如图②，若AB平分∠DAE，AC⊥CD于点C，求证：BE＝2CD． 23．阅读：在同一个三角形中，相等的边所对的角相等，简称为“等边对等角”． 例如，在△ABC中，如果AB＝AC，依据“等边对等角”可得∠B＝∠C． 请运用上述知识，解决问题： 已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE是三角形的角平分线，交AD于F． （1）若∠ABC＝40°，求∠AFE的度数． （2）若AE＝AF，试判断△ABC的形状，并写出证明过程． 24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是中线，且DG⊥CE于G，2CD＝AB． （1）求证：G是CE的中点； （2）求证∠B＝2∠BCE． 25．【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，若∠C＝58°，则∠BAD的度数为 　 　 ； 【数学应用】如图②，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，AD、AG分别为△ABC和△AEF的中线，若∠BAF＝110°，∠CAE＝24°，求∠DAG的度数； 【拓展】如图③，在△ABC和△ABE中，AB＝AC，AB＝AE，AD、AF分别为△ABC和△ABE的中线，AD与BE交于点O，若∠AOF＝69°，则∠CAE的度数为 　 　 ． 26．在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC边所在的直线上，点E在射线AC上，且始终保持∠ADE＝∠AED． （1）如图1，若∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数； （2）如图2，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度数； （3）如图3，当点D在BC边的延长线上时，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D B C A A A C D 二．填空题 11．解：如图1，当AD＝AB时， ∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥BD， ∴CD＝BC＝6； 如图2，当BA＝BD时， ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴， ∴BD＝10， ∴CD＝BD﹣BC＝10﹣6＝4； 如图3，当AD＝BD时，设CD＝x，则AD＝BD＝6+x， 在Rt△ACD中，AC2+CD2＝AD2， ∴82+x2＝（6+x）2， 解得， ∴； 故答案为：6或4或． 12．解：设∠A＝x，∠B＝3x+20°， ①当∠A＝∠C为底角时，2x+（3x+20°）＝180°，解得x＝32°，则∠B＝180°﹣32°﹣32°＝116°；故三个角的度数分别为32°，32°，116°； ②当∠B＝∠C为底角时，2（3x+20°）+x＝180°，解得x＝20°，故三个角的度数分别为20°，80°，80°； ③当∠A＝∠B时，x＝3x+20°，此种情况不存在； 该等腰三角形中最小的内角的度数是32°或20°． 故答案为：32°或20°． 13．解：延长CF交AB于点G，延长EF交AB于点D， ∵∠BAE＝∠AEF＝60°， ∴△ADE是等边三角形，∠EDA＝60°， ∴AE＝AD＝ED＝5， ∵EF＝3， ∴DF＝2， 由条件可知AB＝2AG，∠CGB＝90°， ∴∠DFG＝90°﹣∠ADE＝30°， ∴， ∴AG＝AD﹣DG＝5﹣1＝4， ∴AB＝2AG＝8， 故答案为：8． 14．解：如图，连结AF， ∵AB＝AD，F是BD的中点， ∴AF⊥BD， 由题意可得可得：EF＝3， ∴AC＝2EF＝6， 故答案为：6． 15．解：∵△PCD是等腰三角形， ∠PCD＝120°﹣α，∠CPD＝30°， ①当PC＝PD时， ∴∠PCD＝∠PDC75°，即120°﹣α＝75°， ∴∠α＝45°； ②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°﹣α＝30°， ∴α＝90°； ③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠CDP＝∠CPD＝30°， ∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°， 即120°﹣α＝120°， ∴α＝0°， 此时点P与点B重合，点D和A重合， 综合所述：当△PCD是等腰三角形时，α＝45°或90°或0°． 故答案为：45°或90°或0°． 16．解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴BD＝CD， ∴S△BEF＝S△CEF， ∵， ∴阴影部分面积为， 故答案为：10． 17．解：∵∠BAC＝36°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C（180°﹣∠BAC）（180°﹣36°）＝72°， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠DBC， ∵EF垂直平分AD， ∴FA＝FD， ∴∠FAD＝∠D， ∴∠AFB＝∠D+∠FAD＝2∠D， ∵AF＝AB， ∴∠ABF＝∠AFB＝2∠D， ∴∠ABC＝∠ABF+∠DBC＝2∠D+∠D＝3∠D＝72°， ∴∠D＝24°， 故答案为：24． 三．解答题（共9小题） 18．（1）证明：∵EF∥BC， ∴∠E＝∠CBD， 在△BCD和△EFD中， ， ∴△BCD≌△EFD（ASA）， ∴CD＝DF； （2）解：∵BG＝GE， ∴∠GBE＝∠E＝25°， 由（1）知∠E＝∠CBD＝25°， ∴∠ABC＝∠GBE+∠CBD＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°． 19．解：（1）①在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAD＝20°， ∴∠BAD＝∠CAD＝20°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝80°， ∵AD是BC上的高， ∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝10°． 故答案为：10； ②∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAD＝40°， ∴∠BAD＝∠CAD＝40°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝70°， ∴∠EDC＝20°． 故答案为：20； （2）∠EDC∠BAD． 故答案为：∠EDC∠BAD； （3）仍成立，理由如下： ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC ＝2∠EDC+∠C， 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠BAD＝2∠EDC，即∠EDC∠BAD． 20．解：（1）如图（1）， ①∵∠BAC＝42°，∠ACB＝∠ABC， ∴∠ABC＝∠ACB69°， ∵∠DAE＝30°，∠ADE＝∠AED， ∴∠ADE＝∠AED＝75°， ∵∠AED是△DEC的一个外角， ∴∠AED＝∠EDC+∠ACB， ∴∠EDC＝∠AED﹣∠ACB＝75°﹣69°＝6°， 即β＝6°， α＝∠BAC﹣∠DAE＝42°﹣30°＝12°； 故答案为：12°，6°； ②α＝2β，理由是： 设∠BAC＝x，∠DAE＝y，则α＝x﹣y， ∵∠ACB＝∠ABC， ∴∠ACB， ∵∠ADE＝∠AED， ∴∠AED， ∴β＝∠AED﹣∠ACB， ∴α＝2β； （2）如图（2），2β＝180°+α，理由是： 设∠BAC＝x，∠DAE＝y， α＝x﹣（180°﹣y）＝x﹣180°+y， ∵∠ACB＝∠ABC， ∴∠ACB， ∵∠ADE＝∠AED， ∴∠AED， ∴∠EDB是△EDC的一个外角， ∴∠EDB＝∠AED+∠ACB， ∴180°﹣β， ∴2β＝x+y， ∴2β＝180°+α． 21．解：（1）∵根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上， ∴小棒能继续摆下去， 故答案为：能； （2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3， ∴∠A2A1A3＝45°， ∴∠AA2A1+θ＝45°， ∵A1A2＝AA1， ∴∠AA2A1＝∠A＝θ， ∴θ＝45°÷2＝22.5°； （3）∵A1A2＝AA1， ∴∠A1AA2＝∠AA2A1＝θ， ∴∠A2A1A3＝θ1＝θ+θ＝2θ， 即θ1＝2θ， 同理可得：θ2＝3θ，θ3＝4θ， 故答案为：4θ； （4）由题意得：， ∴18°≤θ＜22.5°， 故答案为：18°≤θ＜22.5°． 22．（1）解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC（180°﹣∠BAC）＝30°， ∵CD＝CA， ∴∠CAD＝∠CDA（180°﹣∠C）＝75°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝45°， ∵BE＝BA， ∴∠E＝∠BAE， ∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝2∠BAE， ∴2∠BAE＝30°， ∴∠BAE＝15°， ∴∠DAE＝∠BAE+∠BAD＝15°+45°＝60°； （2）解：∠DAE与∠BAC的数量关系是：∠BAC＝2∠DAE，理由如下： ∵CD＝CA， ∴设∠CAD＝∠CDA＝α， ∵BE＝BA， 设∠E＝∠BAE＝β， ∴∠ABD＝∠E+∠BAE＝2β， ∵∠CDA＝∠ABD+∠DAB， ∴∠DAB＝∠CDA﹣∠ABD＝α﹣2β， ∴∠BAC＝∠DAB+∠CAD＝α﹣2β+α＝2（α﹣β）， 又∵∠DAE＝∠BAE+∠DAB＝β+α﹣2β＝α﹣β， ∴∠BAC＝2∠DAE； （3）证明：∵AB平分∠DAE， ∴设∠BAE＝∠BAD＝θ， ∵BE＝BA， ∴∠E＝∠BAE＝θ， ∴∠ABD＝∠E+∠BAE＝2θ， ∵CD＝CA，AC⊥CD， ∴△CAD是等腰直角三角形， ∴∠ACD＝45°， 又∵∠ACD＝∠ABD+∠BAD＝3θ， ∴3θ＝45°， ∴θ＝15°， ∴∠ABD＝2θ＝30°， 在Rt△ABC中，∠ABD＝30°， ∴BA＝2CA， ∵CD＝CA，BE＝BA， ∴BE＝2CD． 23．解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABC＝40°，BE平分∠ABC， ∴∠DBF∠ABC＝20°， ∴∠BFD＝90°﹣20°＝70°， ∴∠AFE＝∠BFD＝70°； （2）∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∵∠ABE＝∠DBE，∠AFE＝∠BFD， ∴∠BAE＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB，∠BDF＝180°﹣∠DBF﹣∠BFD， ∴∠BAE＝∠BDF＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 24．证明：（1）连接DE， ∵CE是△ABC的中线， ∴DE是△ABD的中线， ∵AD是高， ∴∠ADB＝90°， ∴， ∵CE是中线， ∴AB＝2BE， ∵2CD＝AB， ∴DC＝BE， ∴DC＝DE， ∵DG⊥CE， ∴CE＝EG， 即G是CE的中点； （2）∵DE＝BE， ∴∠B＝∠EDB， ∵DC＝DE， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴∠EDB＝2∠BCE， ∴∠B＝2∠BCE． 25．解：【数学知识】∵AB＝AC，AD是中线，∠C＝58°， ∴∠B＝∠C＝58°，AD⊥BC， ∴∠B+∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝32°， 故答案为：32°； 【数学应用】∵AB＝AC，AE＝AF，AD、AG分别为△ABC和△AEF的中线， ∴，∠EAG∠EAF， ∴∠DAG＝∠DAC+∠CAE+∠EAG∠BAC+∠CAE∠EAF∠BAF∠CAE， ∵∠BAF＝110°，∠CAE＝24°， ∴∠DAG＝55°+12°＝67°； 【拓展】∵AB＝AC，AB＝AE，AD、AF分别为△ABC和△ABE的中线， ∴AF⊥BE，∠BAFBAE，∠BADBAC， ∴∠AOF+∠OAF＝90°， ∵∠AOF＝69°， ∴∠OAF＝21°， ∴∠BAF﹣∠BAD∠BAE∠BAC＝21°， ∴∠BAE﹣∠BAC＝42°， ∵∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝42°， 故答案为：42°． 26．解：（1）在△ABD中，∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝80°， ∴∠ADB＝180°﹣（∠B+∠BAD）＝180°﹣110°＝70°，∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣60°＝120°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣80°＝40°， ∵∠ADE＝∠AED， ∴∠ADE（180°﹣40°）＝70°， ∴∠EDC＝70°﹣30°＝40°； （2）∵∠ACB为△DCE的外角， ∴∠ACB＝∠AED+∠CDE， ∵∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°， ∴∠ADE＝∠AED＝55°， ∴∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝40°， ∵∠ABC为△ABD的外角， ∴∠ABC＝∠ADC+∠BAD， ∴∠BAD＝30°； （3）∠CDE和∠BAD的数量关系是∠BAD＝2∠CDE，理由如下： 当点D在BC的延长线上时， 设∠ABC＝∠ACB＝x，∠ADE＝∠AED＝y，∠CDE＝α，∠BAD＝β，则有∠ADC＝y﹣α， 根据题意得：， ②﹣①得：2α﹣β＝0，即2α＝β， 故∠BAD＝2∠CDE． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/30 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