精品解析：百师联盟2025届高三二轮复习联考（一）数学试题

2025届高三二轮复习联考（一） 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面上对应的点位于第四象限，则复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一或二象限或虚轴的正半轴上 B. 第二或三象限或实轴的负半轴上 C. 第三或四象限或虚轴的负半轴上 D. 第一或四象限或实轴的正半轴上 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知非零向量，，满足：，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一.某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立.电池的正常使用年限（单位：年）服从正态分布，，，则这两组电池在20年内都能正常使用的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边上的高（ ） A. B. C. D. 6. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，为正实数，，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知函数，若关于的方程有实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的（ ） A. 若，，，则 B. 命题“，都有”的否定是“，使得” C. “”是“”的必要不充分条件 D. 若函数在区间上单调递减，则 10. 如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱上，且，平面平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 若，，，且平面平面，则三棱锥的体积为 D. 存在某个位置，使平面与平面的交线与底面平行 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C交于P，Q两点，且，A是椭圆C上与P，Q不重合的点.下列说法正确的是（ ） A. 若成等比数列，则椭圆C的离心率 B. 若，则的最大值为9 C. 若，，则 D. 若，直线，的斜率之积为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，且函数图象过点，则函数在区间上的最小值为______. 13. 如图，已知圆C的方程为，且是直线：上的一个动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，则线段长度的最小值为_______. 14. 某班组织了国庆文艺晚会，从甲、乙、丙、丁等7个节目中选出5个节目进行演出，选出的5个节目要求相邻依次演出，且要求甲、乙、丙必选，且甲、乙相邻，但甲、乙均不与丙相邻，若丁被选中，丁必须排在前两位，则不同的演出顺序种数为_______.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差，其前项和为，且，，成等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若，且的前项和为，求证：. 16. 已知函数. （1）判断函数在上是否存在极值点.若存在极值点，求出极值；若不存在极值点，说明理由. （2）若函数有三个极值点，求实数的取值范围. 17. 某农科所正在试验培育甲、乙两个品种的杂交水稻，水稻成熟后对每一株的米粒称重，重量达到规定的标准后，则该株水稻达标.在水稻收获后，通过科研人员的统计，甲品种的杂交水稻有不达标，乙品种的杂交水稻有不达标. （1）若假设甲、乙两个品种的杂交水稻株数相等，一科研人员随机选取了一株水稻，称重后发现不达标，求该株水稻来自甲品种和乙品种的概率分别是多少； （2）科研人员选取了8株水稻，其中甲品种5株，乙品种3株，再从中随机选取3株进行分析研究，这3株中来自乙品种水稻的有株，求的数学期望. 18. 如图，正四棱柱，其侧棱长与底面边长都为2，E，F分别为，的中点，平面与交于点P. （1）确定点P在线段上的位置； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知平行四边形（O为坐标原点）的面积，其中所在直线为，所在直线为，动点的轨迹为双曲线，且双曲线与轴没有交点. （1）求双曲线的方程； （2）设点，，，直线，与双曲线分别交于点（其中不与点重合），为直线上一点，且，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三二轮复习联考（一） 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面上对应的点位于第四象限，则复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一或二象限或虚轴的正半轴上 B. 第二或三象限或实轴的负半轴上 C. 第三或四象限或虚轴的负半轴上 D. 第一或四象限或实轴的正半轴上 【答案】D 【解析】 【分析】设复数成标准式，由题意可得实虚部的大小，利用除法，结合复数的几何意义，可得答案. 【详解】设，. ∵复数在复平面上对应的点位于第四象限，∴，. 又，，， 故复数在复平面上对应的点位于第一或四象限或实轴的正半轴上. 故选：D. 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数、分式型函数的定义域计算A，再利用补集与交集的概念计算即可. 【详解】有意义，即有，解得， 故，则或}. ∵， ∴. 故选：B 3. 已知非零向量，，满足：，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过已知条件对向量等式进行变形，利用向量模长关系求出向量点积，再根据向量夹角公式求出夹角. 【详解】由，可得，两边平方得，即， ∵，∴， ∴， ∴向量与的夹角为. 故选：C 4. 目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一.某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立.电池的正常使用年限（单位：年）服从正态分布，，，则这两组电池在20年内都能正常使用的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性确定对称轴，再利用相互独立事件的概率公式计算即可. 【详解】∵，，∴， ∴正态曲线的对称轴为，则， 即一组电池在20年内能正常使用的概率为， ∴这两组电池在20年内都能正常使用的概率为. 故选：D 5. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边上的高（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理求得边，利用三角形面积公式，可得答案. 【详解】∵，，， ∴由余弦定理得，即， 解得或（舍去），又，∴， 由三角形的面积公式可得，即. 故答案为：. 6. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为在区间上恒成立，构造函数，利用导数求解函数的单调性，进而求解最值得解. 【详解】∵，∴， 由题意可知在区间上恒成立，且， ∴在区间上恒成立. 设，则， 令，得； 令，得或， ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 又当时，； 当时，，作出的大致图象如图所示， ∴在区间上的最大值为， ∴要使函数在区间上单调递增，则需， 故实数的取值范围是. 故选：A 7. 已知，为正实数，，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知等式，对代数式整理，然后借助基本不等式确定代数式的最小值. 【详解】∵，为正实数，∴，， 又， ∴ ， 当且仅当，即，即，时取等号， 故当，时，取得最小值. 故选：B 8. 已知函数，若关于的方程有实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的值域，再令，则问题转化为关于的一元二次方程的根的问题，进而通过讨论研究一元二次函数的分类求出即可. 【详解】∵，∴，而， ∴当时，取到最大值， ∴. 设，， 则问题转化为关于的方程， 即在上存在根的问题. 设，， 则的图象为开口向上的抛物线在轴右侧部分（含轴）， 方程的判别式， ①当时，或，此时对称轴， 则函数在有唯一零点； ②当且在有唯一零点时， 或， 解得或； ③当且在有两个零点时，设这两个零点分别为，， 则解得. 综上可知：或. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的（ ） A. 若，，，则 B. 命题“，都有”的否定是“，使得” C. “”是“”的必要不充分条件 D. 若函数在区间上单调递减，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的单调性确定的范围可得选项A正确；根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得选项B错误；解不等式，结合充分条件、必要条件的概念可得选项C正确；根据复合函数的单调性可得选项D正确. 【详解】A.∵，，， ∴，故A正确； B.命题“，都有”的否定是“，使得”，故B错误； C.当时，，等价于，解得或， ∴“”是“”的必要不充分条件，故C正确； D.设，则， ∵函数在区间上单调递减，在上单调递增， ∴在上单调递减， ∵为二次函数，图象开口向上，对称轴为直线， ∴在上单调递减， ∴，故，解得，即，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱上，且，平面平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 若，，，且平面平面，则三棱锥的体积为 D. 存在某个位置，使平面与平面的交线与底面平行 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质可得平面，即可求解AB,根据面面垂直的性质可得平面，进而可得平面，即可利用体积公式求解C，根据线面平行的性质即可求解D. 【详解】对于A，∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面， 又平面，∴，故A正确； 对于B，由A知平面，又平面，∴平面平面，故B正确； 对于C，在中，，，∴，， ∴，∴， ∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面， 又平面，∴，同理可证，平面,∴平面， 而，∴三棱锥的体积为，故C正确； 对于D，设平面平面，假设底面， ∵平面平面，平面平面， ∴，，∴，则与重合，则，显然不成立，则假设不成立，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C交于P，Q两点，且，A是椭圆C上与P，Q不重合的点.下列说法正确的是（ ） A. 若成等比数列，则椭圆C的离心率 B. 若，则的最大值为9 C. 若，，则 D. 若，直线，的斜率之积为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用垂直和椭圆的定义可求离心率判断A，利用定义和基本不等式可判断B，利用定义可判断C，利用点差法可判断D. 【详解】∵成等比数列，所以, ∴，∴， 解得（负值舍去），故A正确. 对于B，∵，∴， 当且仅当时等号成立，但P点是直线与椭圆C的交点，不可能在y轴上， 所以等号不成立，故B错误. 对于C，∵，，∴， ∴ ，故C正确. 对于D，设直线，的斜率分别为，，则， 设，，则， ∵，∴，， 两式相减，∴， 而， ∴，即，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，且函数图象过点，则函数在区间上的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式结合题目条件可得函数的解析式，根据的范围可得的最小值. 【详解】由题意得，， ∵函数图象过点，∴， ∵，∴， ∴，解得， ∴. ∵，∴， 结合在单调递减， ∴函数在区间上的最小值为. 故答案为：. 13. 如图，已知圆C的方程为，且是直线：上的一个动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，则线段长度的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用切线的性质确定P，A，C，B四点共圆，设P坐标表示该圆心坐标，从而写出圆的标准方程，根据两圆公共弦方程得出方程，由点到直线的距离公式及二次函数的性质计算最值即可. 【详解】显然P，A，C，B四点共圆，且为该圆的一条直径.设这四点所在圆的圆心为Q，而P在直线：上， 设，由，可知， 又，则圆的方程为， 即①， 又圆的半径，圆的方程可化为②， 由①-②可得圆与圆的公共弦所在直线的方程， 点到直线的距离， ∴ ， ∴时，线段的长度取得最小值. 故答案为： 14. 某班组织了国庆文艺晚会，从甲、乙、丙、丁等7个节目中选出5个节目进行演出，选出的5个节目要求相邻依次演出，且要求甲、乙、丙必选，且甲、乙相邻，但甲、乙均不与丙相邻，若丁被选中，丁必须排在前两位，则不同的演出顺序种数为_______.（用数字作答） 【答案】96 【解析】 【分析】由分类加法原理，利用捆绑法与插空法，可得答案. 【详解】当丁没有被选中时，不同的演出顺序种数为； 当丁被选中且排在第一位时，不同的演出顺序种数为； 当丁被选中且排在第二位时，不同的演出顺序种数为. 综上，不同的演出顺序种数为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差，其前项和为，且，，成等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若，且的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2） 由（1）知，又，则，则， ∴. ∵，∴. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列求和公式的性质先得，再利用等比中项计算公差，求通项公式即可； （2）先根据等差数列求和公式得，作商计算得即可. 【小问1详解】 由题意，得，解得. 又∵，，成等比数列， ∴，即， 解得或（舍去，）， ∴， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 略 16. 已知函数. （1）判断函数在上是否存在极值点.若存在极值点，求出极值；若不存在极值点，说明理由. （2）若函数有三个极值点，求实数的取值范围. 【答案】（1）不存在，理由如下： ∵，， ∴， ∴在上恒成立，当且仅当时，取得等号， ∴在上单调递增，故函数在上不存在极值点. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数确定函数的单调性，即可求解， （2）将问题转化为与的图象有三个交点，求导，确定函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 函数在上不存在极值点，理由略； 【小问2详解】 ∵，函数有三个极值点， ∴有三个互不相等的正实数根. 由，得，令， 则问题转化为与的图象有三个交点，而. 令，得或，则当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又∵当时，；当时，，且，， ∴，即实数的取值范围为. 17. 某农科所正在试验培育甲、乙两个品种的杂交水稻，水稻成熟后对每一株的米粒称重，重量达到规定的标准后，则该株水稻达标.在水稻收获后，通过科研人员的统计，甲品种的杂交水稻有不达标，乙品种的杂交水稻有不达标. （1）若假设甲、乙两个品种的杂交水稻株数相等，一科研人员随机选取了一株水稻，称重后发现不达标，求该株水稻来自甲品种和乙品种的概率分别是多少； （2）科研人员选取了8株水稻，其中甲品种5株，乙品种3株，再从中随机选取3株进行分析研究，这3株中来自乙品种水稻的有株，求的数学期望. 【答案】（1）株水稻来自甲品种和乙品种的概率分别是，； （2）. 【解析】 【分析】（1）设事件A为“该株水稻来自甲品种”，事件B为“该株水稻不达标”，应用全概率公式求，再应用贝叶斯公式求该株水稻来自甲品种和乙品种的概率； （2）根据已知分析随机变量的可能取值，并求出对应概率值，进而求期望即可. 【小问1详解】 从甲、乙两个品种的杂交水稻中任取一株， 设事件A为“该株水稻来自甲品种”，事件B为“该株水稻不达标”， 则，，，， ∴， ，， 该株水稻来自甲品种和乙品种的概率分别是，. 【小问2详解】 依题意的所有可能取值为0，1，2，3，则 ，， ，， ∴的数学期望. 18. 如图，正四棱柱，其侧棱长与底面边长都为2，E，F分别为，的中点，平面与交于点P. （1）确定点P在线段上的位置； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）点为线段上靠近点的三等分点 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定与性质可得线线平行，根据三角形重心的性质，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 如图，设的中点为，连接，记，连接，. 由题意知四边形为正方形，又为的中点，∴，， ∴四边形为平行四边形，∴. 又∵平面，平面，∴平面. ∵平面，平面平面，∴， ∴. 又∵为的中点，，∴点为的重心， ∴，∴， 即点为线段上靠近点的三等分点. 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以直线，，为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，，， ∴，，，，. 设平面的法向量为， 则，即，∴， 令，则，，∴； 设平面的法向量为， 由（1）知，∴， ∴，即，解得， 令，则，，∴. 设平面与平面的夹角为，则 ， 即平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知平行四边形（O为坐标原点）的面积，其中所在直线为，所在直线为，动点的轨迹为双曲线，且双曲线与轴没有交点. （1）求双曲线的方程； （2）设点，，，直线，与双曲线分别交于点（其中不与点重合），为直线上一点，且，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点，计算点到直线的距离，表示，结合平行四边形的面积可得结果. （2）设直线：，，，根据得到的关系可得点在圆上，由此可求得的最大值. 【小问1详解】 设点，则点到直线的距离， 由得，，∴直线的方程为，整理得. 由得，， ∴， ∴平行四边形的面积，整理得. ∵动点的轨迹为双曲线，且双曲线与轴没有交点， ∴双曲线的焦点在轴上，即双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）得，点为双曲线的右焦点，双曲线渐近线方程为. 当直线斜率不存在时，可得直线关于轴对称，即直线关于轴对称， 不妨设点在点上方，此时，，直线与双曲线的一条渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点，不合题意，故直线的斜率存在. 设直线：，，， 由方程组得， 则①，，②. ∵，∴直线方程为：， 令，得，同理得，故， 将，代入上式，整理得：， 将②代入得，整理得， 若，则直线：，恒过点，不合题意； 若，则，故直线：，恒过点. ∵直线恒过点，且与双曲线始终有两个交点， ∴，解得且. ∵，，垂足为，∴点在以为直径的圆上， 设的中点为，则圆心，半径为1，圆方程为， ∴，当且仅当点在线段的延长线上时，等号成立， 由得直线方程为，与圆方程联立得或， ∴，故， ∴直线的斜率，满足题意， ∴的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $