精品解析：四川省南充市嘉陵第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

南充市嘉陵一中高2023级2025年春3月月考数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场/座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁､完整. 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有12个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位，则第7排有（ ）个座位. A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列定义计算即可. 【详解】根据题意可设第排的座位个数为， 易知成等差数列，且； 所以可得. 故选：C 2. 已知数列满足，则数列中的最小项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项可得，计算，结合即可求解. 【详解】由可知为等差数列，且公差为2，首项为， 因此， 由于且， 故中的最小项为， 故选：B 3. 函数在点处的切线斜率为2，则a=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，求出，即可得解. 【详解】，， 故选：B. 4. 记公比大于1的等比数列的前项和为，则（ ） A. 30 B. 40 C. 121 D. 160 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出等比数列的基本量，结合等比数列前n项和公式，即可求得答案. 【详解】由等比数列中，，得， 所以联立， 解得或，设公比为1），由， 解得或（舍）， 所以. 故选：B 5. 已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数 ，利用导数判断函数的单调性，根据且可得答案. 【详解】构造函数 ， 则 ， 所以函数 在 上单调递增， 故 ， 即 ， 即 . 同理， ， 即 . 故选 ： A. 6. 已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，根据极值点可得与在内有2个交点，利用导数判断的单调性和最值，结合图象分析求解. 【详解】因为，可知在内有2个变号零点， 由可得，可知：与在内有2个交点， 又因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且，， 结合图象可得，所以实数a的取值范围为. 故选：B. 7. 已知两条曲线与恰好存在两个公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，条件可转化为恰有两个不同的实数解，画函数与函数的图象，观察图象可得结论. 【详解】由题可知恰有两个不同的实数解，即恰有两个不同的实数解. 令，则， 又，所以在上单调递增， 所以函数的值域为， 所以恰有两个不同的实数解. 所以函数与函数的图象有且仅有两个交点， 设，则， 令，解得，在上单调递增， 令，解得，在单调递减， 且， 当时，，当时，， 当时，， 作出函数和的大致图象如图， 由图象可知，当时，恰有两个不同的实数解， 即的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过令将条件转化为方程恰有两个不同的实数解. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列 求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数的运算求解判断. 【详解】A，因为，所以，故正确； B，因为，所以，故错误； C，因为，所以，故错误； D，因为，所以，故正确. 故选：AD. 9. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为的最小值 C. D. 使得成立的的最大值为33 【答案】AC 【解析】 【分析】利用，作差求出的通项公式，即可判断A，根据二次函数的性质判断B，首先解出时的取值范围，则，利用计算判断C，直接解不等式，即可判断D. 【详解】因为， 当时，， 当时，, 所以， 经检验也符合上式，所以，故A正确. 由于二次函数的开口向下，对称轴为， 所以当或时取得最大值，即是的最大值，故B错误. 由解得， 所以 ，故C正确. 由， 所以使成立的的最大值为，故D错误. 故选：AC 10. 过点作曲线的切线，若切线有且仅有两条，则实数的值可以是（ ） A. 2 B. 0 C. 4 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设切点为，求得切线方程为：，将切线过点，代入切线方程，得到有两个解，结合，即可求解． 【详解】由题意，函数，可得 设切点为，则， 所以切线方程为：， 切线过点，代入得，即方程有两个不同解，则有，解得或． 故选：AD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上. 11. 记为数列的前项和，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值. 【详解】根据，可得， 两式相减得，即， 当时，，解得， 所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列， 所以，故答案是. 点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果. 12. 已知函数在时取得极大值4，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可. 【详解】由题意可知， 因为函数在时取得极大值4，所以， 解之得， 检验，此时，令或， 令， 即在上单调递增，在上单调递减，即满足题意， 故. 故答案为： 13. 已知直线是曲线和的公切线，则实数____________. 【答案】3 【解析】 【分析】因为中不含有参数，所以根据可求得的值，再根据的切线为求得参数，要注意切点既在曲线上也在切线上的隐含条件. 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为切点既在曲线上也在切线上，所以. 又，所以，且， 即切线的斜率且. 由解得，所以切线为. 设直线与曲线相切于点， 因为，所以，即， 又切点既在曲线上也在切线上，所以. 由解得. 故答案为：3 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 14. 已知数列的前项和公式为． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列中的最小项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据时求解即可； （2）由题意，进而可得的增减性，进而可得最小项. 【小问1详解】 当时， ， 当时，，满足上式， 所以 【小问2详解】 当时，，即，所以； 当时，，即； 当时，，即，所以； 所以列中最小的项为． 15. 已知函数在处的切线垂直于轴． （1）求实数的值； （2）求函数的极小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据斜率即可求解， （2）求导，得函数的单调性，即可根据极值的定义求解. 【小问1详解】 由可得， 则， 由于，故， 【小问2详解】 ， 当或时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故的极小值为 16. 已知是首项为1的等比数列，且，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据已知根据等差中项的性质列出关系式，求解即可得出； （2）根据（1）的结论得出，，然后根据错位相减法求和，即可得出答案. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，， 因为，，成等差数列， 所以，即， 化简可得，解得. 又， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为， 所以， 则，①， ，② ①-②得， 所以. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，单调递增，当时，在单调递增，在单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）求出的导数，再分类讨论导数值的正负即可得解； （2）原不等式可转化为在上恒成立，只需即可，令，利用导数求单调性进而求最大值即可. 【小问1详解】 由题意可知，， 令，则， 当时，恒成立，单调递增， 当时，由解得，由解得， 所以在单调递增，在单调递减， 综上所述当时，单调递增，当时，在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 由（1）可知不等式即在上恒成立， 即在上恒成立，只需即可， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若有两个极值点，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再按进行分类讨论，由导函数正负求出单调区间. （2）由（1）求出的范围，再结合韦达定理将用表示，进而构造函数，利用导数推理得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 方程中，， 当时，恒成立，，在上单调递增； 当时，由，解得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为， 递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，有两个极值点，则， ， 令函数，求导得，令， 求导得，函数在上单调递减，， 函数在上单调递减，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充市嘉陵一中高2023级2025年春3月月考数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场/座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁､完整. 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有12个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位，则第7排有（ ）个座位. A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 2. 已知数列满足，则数列中的最小项为（ ） A. B. C. D. 3. 函数在点处的切线斜率为2，则a=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 记公比大于1的等比数列的前项和为，则（ ） A. 30 B. 40 C. 121 D. 160 5. 已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知两条曲线与恰好存在两个公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列 求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为的最小值 C. D. 使得成立的的最大值为33 10. 过点作曲线的切线，若切线有且仅有两条，则实数的值可以是（ ） A. 2 B. 0 C. 4 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上. 11. 记为数列的前项和，若，则_____________． 12. 已知函数在时取得极大值4，则______． 13. 已知直线是曲线和的公切线，则实数____________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 14. 已知数列的前项和公式为． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列中的最小项． 15. 已知函数在处的切线垂直于轴． （1）求实数的值； （2）求函数的极小值． 16. 已知是首项为1的等比数列，且，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，，求数列的前项和. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若有两个极值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $