精品解析：江苏省南京市励志高级中学2024-2025学年高一下学期第二次调研考试（3月）数学试题

南京市励志高级中学2024—2025高一（下）第二次调研考试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出即得解. 【详解】解：由题意可得，所以， 所以. 故选：C 2. cos420°+sin330°等于 A. 1 B. 0 C. D. ﹣1 【答案】B 【解析】 详解】试题分析： 考点：三角函数诱导公式及求值 3. 已知是锐角，那么是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于的正角 D. 第一或第二象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据是锐角求出的取值范围，进而得出答案． 【详解】因为是锐角，所以，所以，满足小于的正角. 其中D选项不包括，故错误. 故选：C. 4. 已知向量 则ABC= A. 30 B. 45 C. 60 D. 120 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题意，得，所以，故选A． 【考点】向量的夹角公式． 【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题． 5. 已知，则与方向相反的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据与方向相反的单位向量为求解即可. 【详解】因为， 所以与方向相反的单位向量的坐标为， 故选：D 6. 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：（，为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可知（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据所给公式，变形整理化简即可. 【详解】由题意可知，. 故选：A 7. 若角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边以原点为圆心的单位圆交于点，且，则等于 A. -2 B. -1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，则，应选答案B ． 8. 已知点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长到，使得，利用向量加法的平行四边形法则作图，再求出面积关系即可. 【详解】延长到，使得，以，为邻边作平行四边形，如图， 则，由，得，则， 由，得，因此， 所以与的面积比为. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知平面向量，，则与共线 B. 已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则的值为2 C. 已知复数满足，则 D. 已知复数，满足，则 【答案】BC 【解析】 【分析】求出的坐标，再利用向量共线的坐标表示即可判断A；利用投影向量的定义可判断B；设，根据复数模的概念以及共轭复数的定义、复数的乘法运算计算可判断C；举反例可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A，，因，则与不共线，故选项A错误； 对于B，因为在上的投影向量为，所以，又因为，所以，故选项B正确； 对于C，设，因为，所以，即，所以，故选项C正确； 对于D，令，，则，但，故选项D错误， 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 是函数的一条对称轴 C. D. 若，则在方向上的投影向量的模为 【答案】CD 【解析】 【分析】结合三角函数的图象与性质以及平面向量向量积的运算，逐项判断即可得到本题答案. 【详解】对于选项A，因为，所以或，或者，故A错误； 对于选项B，因为函数的对称轴方程为，且，所以不是函数的对称轴，故B错误； 对于选项C，因为函数在单调递增，且，所以，故C正确； 对于选项D，设的夹角为，因为，所以，所以在方向上的投影向量，它的模，故D正确. 故选 ：CD 11. 如图，在梯形中，分别在线段上，且线段与线段的长度相等，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为18 C. 的最大值为 D. 的面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用坐标法，以A为原点建立坐标系，写出相关点坐标，得到相关向量的坐标，利用向量的坐标运算，再求解二次函数最值即可判断各个选项. 【详解】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，设，则， 对于A,B，，故A错误，B正确； 对于C，， 当时，取得最大值，且最大值为，故C正确； 对于D，的面积 ，当时，取得最大值，且最大值为，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.） 12. 复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________． 【答案】5 【解析】 【详解】 由复数在复平面内对应的点分别为， 又三点是共线的，所以． 13. 如图所示，在直角坐标系中，角的顶角是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且.将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点.若点的横坐标为，则点的横坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】设．由三角函数定义，得 ，由此利用同角三角函数的基本关系求得 的值，再根据 利用两角和的余弦公式求得结果． 【详解】设．由三角函数定义，得 ，． 因 ，，所以． 所以  即答案为. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题． 14. 如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量的运算得出，再由的范围得出的取值范围. 【详解】 ，且. 即 设与的夹角为，则. 因为，所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.其中第15题13分，第16~17题15分，第18~19题17分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知是函数的一个零点， （1）求的值； （2）求函数在上的单调递减区间； 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用函数零点的定义，列式求出值. （2）由（1）的结论，利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的性质求出单调递减区间. 【小问1详解】 由是函数的一个零点， 得，所以. 【小问2详解】 由（1）得 ， 由，得， 而，令，得函数在上的单调递减区间为. 16. 若，，． （1）若，求实数m的值； （2）若与的夹角为，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对和两边分别平方化简可求出实数m的值； （2）先求出，，再利用向量的夹角公式列方程求解即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以，得， 由，得， 所以，整理得， 因为，所以 【小问2详解】 因为，， 所以， 由，得，则， 所以， 因为与的夹角为， 所以， ，解得， 因为，所以 17. 某地拟在一个U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一条堤坝（E在AP上，N在BQ上），围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉2条分隔线ME，MN，将所围区域分成3个部分（如图），每部分种植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，设所拉分隔线总长度为l． （1）设∠AME=2θ，求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域； （2）求l的最小值． 【答案】（1）l=，θ∈（0，）；（2）lmin=2a． 【解析】 【分析】（1）设MN=x，根据AM+BM=a，求出x=,再求得l=，θ∈（0，）；（2）令f（θ）=sinθ（1-sinθ），sinθ∈（0，），利用二次函数的图像和性质求l的最小值． 【详解】解：（1）∵EM=BM，∠B=∠MEN， ∴△BMN≌△EMN， ∴∠BNM=∠MNE， ∵∠AME=2θ， ∴∠BNM=∠MNE=θ， 设MN=x， 在△BMN中，BM=xsinθ，∴EM=BM=xsinθ， ∴△EAM中，AM=EMcos2θ=xsinθcos2θ， ∵AM+BM=a， ∴xsinθcos2θ+xsinθ=a， ∴x=， ∴l=EM+MN=，θ∈（0，）； （2）令f（θ）=sinθ（1-sinθ），sinθ∈（0，）， ∴f（θ）≤， 当且仅当θ=时，取得最大值，此时lmin=2a． 【点睛】本题主要考查三角函数的应用，考查三角恒等变换和直角三角函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 18. 如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且.设，. （1）若，以，为基底表示向量与； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算可求得向量与； （2）先表示向量，再运用向量数量积的定义和运算律可求得，从而可求得取值范围. 【小问1详解】 解： ， 所以； 因为，所以 ， 所以； 【小问2详解】 解： ， 所以， 又，，，所以， 所以 因为，所以，所以， 所以的取值范围为. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数. （1）设函数，试求的伴随向量的坐标； （2）记向量的伴随函数为，当且时，求的值； （3）设向量，的伴随函数为，的伴随函数为，记函数，求在上的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简的解析式，从而求得伴随向量； （2）先求得，由求得，进而求得，从而求得； （3）先求得，然后根据三角函数的值域与二次函数最值分类讨论求解即可. 【小问1详解】 解： ， 所以. 小问2详解】 解：依题意， 由得， 因为， 所以， 所以. 【小问3详解】 解：由题知，， 所以 因为，， 所以，， 令， 所以，问题转化为函数的最值问题. 因为函数的对称轴为， 所以，当，即时，的最大值在处取得，为； 当，即时，的最大值在处取得，为； 当，即时，的最大值在处取得，为； 综上，在上的最大值为. 【点睛】方法点睛：求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市励志高级中学2024—2025高一（下）第二次调研考试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（ ） A. B. C. D. 2 2. cos420°+sin330°等于 A. 1 B. 0 C. D. ﹣1 3. 已知是锐角，那么是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于的正角 D. 第一或第二象限角 4. 已知向量 , 则ABC= A. 30 B. 45 C. 60 D. 120 5. 已知，则与方向相反的单位向量的坐标为（ ） A B. C. D. 6. 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：（，为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可知（ ） A. B. 1 C. D. 7. 若角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边以原点为圆心的单位圆交于点，且，则等于 A. -2 B. -1 C. D. 2 8. 已知点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 下列命题中正确的是（ ） A 已知平面向量，，则与共线 B. 已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则的值为2 C. 已知复数满足，则 D. 已知复数，满足，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 是函数的一条对称轴 C. D. 若，则在方向上的投影向量的模为 11. 如图，在梯形中，分别在线段上，且线段与线段长度相等，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为18 C. 的最大值为 D. 的面积的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.） 12. 复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________． 13. 如图所示，在直角坐标系中，角顶角是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且.将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点.若点的横坐标为，则点的横坐标为________. 14. 如图，中，为中点，为圆心为、半径为1圆的动直径，则的取值范围是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.其中第15题13分，第16~17题15分，第18~19题17分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知是函数的一个零点， （1）求的值； （2）求函数在上的单调递减区间； 16. 若，，． （1）若，求实数m的值； （2）若与的夹角为，求实数m的值． 17. 某地拟在一个U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一条堤坝（E在AP上，N在BQ上），围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉2条分隔线ME，MN，将所围区域分成3个部分（如图），每部分种植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，设所拉分隔线总长度为l． （1）设∠AME=2θ，求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域； （2）求l的最小值． 18. 如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且.设，. （1）若，以，为基底表示向量与； （2）若，求的取值范围. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数. （1）设函数，试求的伴随向量的坐标； （2）记向量的伴随函数为，当且时，求的值； （3）设向量，的伴随函数为，的伴随函数为，记函数，求在上的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $