2025年中考数学一轮复习第08讲 不等式（组）及其应用

第08讲不等式（组）及其应用 一、选择题： 1.如图，天平右盘中的每个砝码的质量是克，左盘中的每个小立方体的质量是克，则可以得到不等式(    ) A. B. C. D. 2.下列各数中，是不等式的解的是(    ) A. B. C. D. 3.下列各式中，是一元一次不等式的是(    ) A. B. C. D. 4.某市出租车的收费标准是：起步价元即行驶距离不超过千米都需付元车费，超过千米以后，每增加千米，加收元不足千米按千米计，某人从甲地到乙地经过的路程是千米，出租车费为元，那么的最大值是 A. B. C. D. 5.不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是(    ) A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6.若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 7.在数轴上表示不等式的解集，正确的是(    ) A. B. C. D. 8.下列说法中，错误的是(    ) A. 不等式的正整数解只有一个 B. 是不等式的一个解 C. 不等式的解集是 D. 不等式的整数解有无数个 9.小霞原有存款元，小明原有存款元．从这个月开始，小霞每月存元零花钱，小明每月存元零花钱，设经过个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为  (    ) A. B. C. D. 10.下列各项中，是一元一次不等式组的是(    ) A. B. C. D. 11.不等式组的解集在数轴上表示为(    ) A. B. C. D. 12.不等式组的最小整数解是(    ) A. B. C. D. 13.与的差不大于，用不等式表示为  (    ) A. B. C. D. 14.已知、、满足等式，则下列结论不正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15.小明准备用元钱购买作业本和签字笔．已知每本作业本元，每支签字笔元．小明买了支签字笔，他最多还可以买的作业本的本数为(    ) A. B. C. D. 16.一个三角形的三边长分别是，，，它的周长不超过，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 17.如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯承载的重量超过公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分别为公斤、公斤．设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为公斤，则的取值范围是  (    ) A. B. C. D. 二、填空题： 18.如图，在数轴上表示的取值范围是______． 19.若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是           ． 20.关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是          ． 21.若，且，则的取值范围为______． 22.在一次绿色环保知识竞赛中，共有道题，对于每一道题，答对得分，答错或不答扣分，则至少答对多少题，得分才不低于分？设答对题，可列不等式为          ． 23.小明用元钱购买矿泉水和冰淇淋，每瓶矿泉水元，每支冰淇淋元，他买了瓶矿泉水和若干支冰淇淋，则小明最多能买          支冰淇淋． 24.若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围是          ． 25.运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么的取值范围是          ． 三、解答题： 26.先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 27.一般来说，在水中加入的糖越多，糖溶解后，糖水就越甜，这是我们每个人都知道的生活常识．将千克白糖加水配成千克糖水，此时糖水的含糖量为，若再加入千克白糖，则糖水的含糖量变为显然，加糖后糖水的含糖量增大，糖水更甜． 请你根据这一生活常识提炼出一个不等式； 利用上述结论比较，，三个数的大小． 28.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共本，已知购买本甲种书和本乙种书共需元；购买本甲种书和本乙种书共需元． 求甲，乙两种书的单价分别为多少元； 若学校决定购买以上两种书的总费用不超过元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 29.解不等式组：并求它的所有整数解的和． 30.若关于，的方程组的解满足不等式组求满足条件的的整数值． 31.今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元． 求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？ 某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元；若要求购买跳绳的数量多于根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案． 32.已知关于、的二元一次方程组为常数． 求这个二元一次方程组的解用含的代数式表示； 若方程组的解、满足，求的取值范围； 若，设，且为正整数，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质即可求解． 【详解】解：依题意，得，即． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：各选项中的数值满足不等式的值只有， 故选：． 根据不等式的解，可得答案． 本题考查了不等式的解集，掌握不等式的解的概念是解题关键． 3.【答案】  4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元一次不等式的应用，根据出租车费为元列出关于的一元一次不等式是解题的关键． 根据出租车费为元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，取其整数即可得出结论． 【解答】 解：根据题意得：， 解得：， 故选B． 5.【答案】  【解析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即选项符合题意． 故选：． 6.【答案】  【解析】关于的不等式的解集是，，，解得，，解关于的不等式，得，，即． 7.【答案】  【解析】【分析】 先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此题的关键． 【解答】 解：    解得：  ， 在数轴上表示为： 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】此题考查了不等式的解的定义，不等式的解法以及不等式的整数解．此题比较简单，注意不等式两边同时除以同一个负数时，不等号的方向改变．解不等式求出不等式的解集，即可判定，，根据不等式的整数解，即可判定，． 【解答】解：把不等式两边同除以得． 故选C． 9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  【解析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示是解题的关键． 【详解】解： 解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组的解集为． 在数轴上表示如下：   ． 故选：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元一次不等式组的解法以及整数解，是基础知识要熟练掌握．先解两个不等式，再求出不等式组解集，从中找出整数解即可． 【解答】 解：， 解得，， 解得，， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，，． 不等式组的最小整数解是 故选B． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了不等式的概念，解答本题的关键是理解“不大于”的意思，列出不等式．不大于就是小于等于的意思，根据与的差不大于，可列出不等式． 【解答】 解：根据题意得：． 故选：． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了等式的性质和不等式的性质．根据题意得到，则，再逐一计算判断即可． 【解答】 解：， ，则， 若，则， ，故A正确，不符合题意； 若，则， ，故B不正确，符合题意； ， ， ， ，，故 C正确，不符合题意； ， ， ，即， ，故 D正确，不符合题意； 故选：． 15.【答案】  【解析】设还可以买本作业本． 根据题意，得， 解得． 因为为正整数， 所以的最大值为． 16.【答案】  【解析】提示：根据题意，得解得 17.【答案】  【解析】解：根据题意得： 解得： 故选： 根据“小丽进入电梯后不超重，小欧进入电梯后超重”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：在数轴上表示的取值范围是． 故答案为：． 根据“小于向左，大于向右及边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”求解可得． 本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 20.【答案】  【解析】 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为， 恰有个整数解， ， ． 21.【答案】  【解析】解：由得， 根据可知， 当时，取得最大值，且最大值为， 当时，取得最小值，且最小值为， 所以． 故答案为：． 由得，根据可得，当时，取得最大值，当时，取得最小值，将和代入解析式，可得答案． 本题考查了一元一次不等式的性质利用不等式的性质结合的取值范围确定出的取值范围是解答的关键． 22.【答案】  23.【答案】  【解析】设小明买了支冰激凌，根据“矿泉水的总钱数冰激凌的总钱数”列不等式求解可得． 【详解】解：设小明买了支冰激凌， 根据题意，得：， 解得：， 为整数， 小明最多能买支冰激凌， 故答案为：． 24.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于的不等式组是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组，解之可得答案． 【解答】 解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 不等式组有个整数解， 不等式组的整数解为、， 则， 解得， 故答案为：． 25.【答案】  26.【答案】解：原式 ， ， 解得：， 是使不等式成立的正整数，且，， ， 原式．  【解析】此题主要考查了分式的化简求值以及一元一次不等式的解法，正确化简分式是解题关键． 直接利用分式的混合运算法则计算，进而解不等式，把符合题意的数据代入得出答案． 27.【答案】【小题】 解： ． 【小题】 因为，所以，即．   28.【答案】解：设甲种书的单价是元，乙种书的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种书的单价是元，乙种书的单价是元； 设该校购买甲种书本，则购买乙种书本， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：该校最多可以购买甲种书本．  【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 设甲种书的单价是元，乙种书的单价是元，根据“购买本甲种书和本乙种书共需元；购买本甲种书和本乙种书共需元”，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设该校购买甲种书本，则购买乙种书本，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 29.【答案】解： 由得：， 由得：， 不等式的解集是， 则所有整数解为，，，，， 所以所有整数解之和为．  【解析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解的和即可． 30.【答案】解： ，得， ，得． 由可得 解得， 所以满足条件的的整数解为，．   【解析】【分析】解析：本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的解法先将方程组通过和变形后整体代入不等式组，化为一元一次不等式组，解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了无解。最后求出满足条件的的整数值。 解： ，得， ，得． 由 可得 解得， 所以满足条件的的整数解为，． 31.【答案】解：设购买一根跳绳需要元，购买一个毽子需要元， 依题意，得：， 解得：． 答：购买一根跳绳需要元，购买一个毽子需要元． 设购买根跳绳，则购买个毽子， 依题意，得：， 解得：． 又为正整数， 可以为，． 共有种购买方案，方案：购买根跳绳，个毽子；方案：购买根跳绳，个毽子．  【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 设购买一根跳绳需要元，购买一个毽子需要元，根据“购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设购买根跳绳，则购买个毽子，根据购买的总费用不能超过元且购买跳绳的数量多于根，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数即可得出各购买方案． 32.【答案】解 得： 得： 方程组的解、满足 解得： 设 则 解得 为正整数 或  【解析】此题主要考查二元一次方程组和一元一次方程及一元一次不等式的解法． 根据方程组的特点，选择用加减消元法解二元一次方程组； 根据方程组的解、满足，构造一元一次不等式求解； 根据设先构造一元一次方程，用含的代数式表示，再根据构造关于未知数为的一元一次不等式求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$