2025年陕西省渭南市临渭区中考数学一模试卷

2025年陕西省渭南市临渭区中考数学一模试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 2．（3分）将如图所示的平面图形绕轴旋转一周，可以得出的立体图形是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．（﹣m3）2＝﹣m5 B．m2n•m＝m3n C．3mn﹣m＝3n D．（m﹣1）2＝m2﹣1 4．（3分）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　） A．155° B．125° C．115° D．65° 5．（3分）已知点A（2，m）和点B（n，﹣6）关于x轴对称，则这个正比例函数的表达式为（　　） A．y＝3x B．y＝﹣3x C． D． 6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为B，且BD＝4，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，则MN的长为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，则∠ABD的大小为（　　） A．76° B．52° C．50° D．38° 8．（3分）如表是一个二次函数的自变量x与函数值y的4组对应值： x … ﹣1 1 2 4 … y … ﹣7 3 5 3 … 下列说法： ①函数图象的开口向下； ②函数图象与x轴有两个交点； ③函数的最大值是5； ④当x＞3时，y的值随x值的增大而减小．正确说法的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9．（3分）若a2﹣2a﹣5＝0，则2a2﹣4a+1＝　 　 ． 10．（3分）如图，已知AB，BC，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°　 　 ． 11．（3分）如图，小明在矩形ABCD中裁剪出扇形EOF，，O为BC中点，则扇形EOF的面积为 　 　 ． 12．（3分）如图，菱形ABCO的顶点O是坐标原点，点A在反比例函数，点B在x轴上．若菱形ABCO的面积是8，则k的值为 　 　 ． 13．（3分）如图，在矩形ABCD中，，点E在边AB上，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°　 　 ． 三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程） 14．（5分）计算：2sin60°++|﹣5|﹣（π+）0． 15．（5分）解不等式组：． 16．（5分）先化简，再代入求值：，其中． 17．（5分）已知，如图，在△ABC中，用直尺和圆规在线段AB上找一点M，使得AC2+AM2＝BM2．（不写作法，保留作图痕迹） 18．（5分）如图，点D和点C在线段BE上，AB＝EF，AC∥DF．求证：BD＝CE． 19．（5分）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲（列二元一次方程组解答） 20．（5分）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是 　 　 ； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 21．（6分）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）． 22．（7分）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升．王师傅驾驶一辆纯电动汽车从一高速公路入口A驶入时，该车的剩余电量是100千瓦时，从另一高速公路出口B驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y（千瓦时）（千米）之间的关系如图所示． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若这辆车从高速路入口A驶入时，剩余电量为78千瓦时，请问王师傅能在不充电的情况下行驶360千米路程到达高速公路出口B吗？并说明理由． 23．（7分）寒假期间休闲放松，观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评价评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析（电影评分用x表示，共分成四组：A.8＜x≤8.5；B.8.5＜x≤9；C.9＜x≤9.5；D.9.5＜x≤10），下面给出了部分信息： 上午20名学生的评价评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.4，9.4，9.4，9.6，9.7，9.8，9.9，10，10． 下午20名学生的评价评分在C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.4． 上下午所抽观众的评价评分统计表 上午 下午 平均数 9.4 9.4 中位数 9.4 b 众数 a 9.3 （1）上述图表中a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，m＝ 　 　 ； （2）根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀（x＞9） 24．（8分）如图，在⊙O中，AB是直径，且AB⊥CD，垂足为E，CD＝12，在BA的延长线上取一点F，使∠FCD＝2∠B． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）求EF的长． 25．（8分）某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，该拱门的示意图如图所示，拱门的另一端在水平地面上的点B处，拱门到水平地面的高度y（m）（m）满足函数关系式y＝ax2+x+c（a，c为常数，a≠0），已知OA＝3m，OB＝6m． （1）求出图中抛物线的函数解析式； （2）从柱子OA上的点C处拉一条横幅到拱门的点D处，CD∥OB，若CD＝4AC，请问拉上横幅CD后小华不弯腰是否能通过该拱门？说明理由． 26．（10分）问题提出：（1）如图①，在等边△ABC中，D为BC三等分点（BD＜CD），连接AD，求AE的长； 问题解决：（2）如图②，在矩形场地ABCD中，BC＝400米，AC为对角线，在AC上安装一个扫描仪器，该扫描仪的范围为α（即∠BEF＝α）时，效果最佳，以A、F、C、D四点为顶点搭建一个帐篷，四边形AFCD面积最大，最大面积为多少？ 2025年陕西省渭南市临渭区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B C A C B C 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：的相反数是﹣． 故选：D． 2．（3分）将如图所示的平面图形绕轴旋转一周，可以得出的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据面动成体，所得图形是一个圆锥． 【解答】解：直角三角形绕其一条直角边旋转一周所得立体图形是圆锥． 故选：D． 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．（﹣m3）2＝﹣m5 B．m2n•m＝m3n C．3mn﹣m＝3n D．（m﹣1）2＝m2﹣1 【分析】利用幂的乘方法则，单项式乘单项式法则，合并同类项法则，完全平方公式逐项判断即可． 【解答】解：（﹣m3）2＝m3，则A不符合题意； m2n•m＝m3n，则B符合题意； 3mn与m不是同类项，无法合并； （m﹣1）2＝m6﹣2m+1，则D不符合题意； 故选：B． 4．（3分）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　） A．155° B．125° C．115° D．65° 【分析】根据平行线的性质得到∠3＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠α+∠1＝90°，求得∠2＝∠1＝90°﹣25°＝65°，根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，∵支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行， ∴∠4＝90°， ∵重力G的方向竖直向下， ∴∠α+∠1＝90°， ∴∠2＝∠2＝90°﹣25°＝65°， ∵摩擦力F2的方向与斜面平行， ∴∠β+∠2＝180°， ∴∠β＝180°﹣∠5＝180°﹣65°＝115°， 故选：C． 5．（3分）已知点A（2，m）和点B（n，﹣6）关于x轴对称，则这个正比例函数的表达式为（　　） A．y＝3x B．y＝﹣3x C． D． 【分析】由点A，B关于x轴对称，可求出m的值，进而可得出点A的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出正比例函数的表达式． 【解答】解：∵点A（2，m）和点B（n， ∴m＝6， ∴点A的坐标为（3，6）． 设正比例函数的表达式为y＝kx（k≠0）， ∵点A（7，6）在正比例函数y＝kx的图象上， ∴6＝7k， 解得：k＝3， ∴正比例函数的表达式为y＝3x． 故选：A． 6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为B，且BD＝4，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，则MN的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】由∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB得AC∥MN∥BD，可得△BMN∽△BAC，△CMN∽△CDB，从而得，，把两式相加得，从而求出MN的长度． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CB， ∴AC∥MN∥BD， ∴△BMN∽△BAC，△CMN∽△CDB， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，则∠ABD的大小为（　　） A．76° B．52° C．50° D．38° 【分析】解法一：连接AD，如图1，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝38°，然后利用互余计算∠ABD的度数或连接OD，如图2，根据圆周角定理得到∠DOB＝76°，然后利用等腰三角形和三角形内角和计算∠ABD的度数． 解法二：先利用同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出角BOD，最后用等腰三角形的性质即可得胡结论． 【解答】解法一：连接AD，如图1， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠A＝∠BCD＝38°， ∴∠ABD＝90°﹣38°＝52°． 解法二：连接OD，如图2， 根据圆周角定理，∠DOB＝7∠DCB＝76°， ∵OD和OB均为⊙O的半径， ∴OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABD， ∴在△DOB中，∠ABD＝． 故选：B． 8．（3分）如表是一个二次函数的自变量x与函数值y的4组对应值： x … ﹣1 1 2 4 … y … ﹣7 3 5 3 … 下列说法： ①函数图象的开口向下； ②函数图象与x轴有两个交点； ③函数的最大值是5； ④当x＞3时，y的值随x值的增大而减小．正确说法的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案． 【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）， 将（﹣2，﹣7），3），8）代入y＝ax2+bx+c（a≠0）可得： ， 解得：， ∴y＝﹣x2+3x﹣1， ∴a＝﹣1＜8， ∴函数图象的开口向下，故①正确； 令y＝0，则﹣x2+8x﹣1＝0， ∵Δ＝62﹣4×（﹣4）×（﹣1）＝21＞0， ∴函数图象与x轴有交点，故②正确； ∵y＝﹣x3+5x﹣1 ＝﹣（x6﹣5x）﹣1 ＝﹣+﹣1 ＝﹣+， ∴函数的最大值为，故③错误； ∴当x＞3时，y的值随x值的增大而减小． 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9．（3分）若a2﹣2a﹣5＝0，则2a2﹣4a+1＝　11　 ． 【分析】由已知条件可得a2﹣2a＝5，将原式变形后代入数值计算即可． 【解答】解：∵a2﹣2a﹣5＝0， ∴a2﹣7a＝5， ∴原式＝2（a4﹣2a）+1 ＝6×5+1 ＝11， 故答案为：11． 10．（3分）如图，已知AB，BC，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°　12　 ． 【分析】先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案． 【解答】解：∵四边形BCMN是正方形， ∴∠NBC＝90°， ∵∠ABN＝120°， ∴∠ABC＝360°﹣90°﹣120°＝150°， ∴正n边形的一个外角为180°﹣150°＝30°， ∴n的值为． 故答案为：12． 11．（3分）如图，小明在矩形ABCD中裁剪出扇形EOF，，O为BC中点，则扇形EOF的面积为 　4π　 ． 【分析】根据已知条件求出BC，从而求出OB，根据三角函数求出∠BOE，同理求出∠COF，进而求出∠EOF，再利用扇形的面积公式求出扇形EOF的面积即可． 【解答】解：∵OE＝AB＝4， ∴BC＝AB＝5， ∵O为BC中点， ∴OB＝OC＝BC＝2， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠OBE＝90°， ∴cos∠BOE＝＝， ∴∠BOE＝45°， 同理，∠COF＝45°， ∴∠EOF＝180°﹣∠BOE﹣∠COF＝90°， ∴S扇形EOF＝×π•OE2＝5π． 故答案为：4π． 12．（3分）如图，菱形ABCO的顶点O是坐标原点，点A在反比例函数，点B在x轴上．若菱形ABCO的面积是8，则k的值为 　﹣4　 ． 【分析】根据反比例函数k值几何意义解答即可． 【解答】解：如图，作AD⊥x轴， ∵S菱形ABCO＝8， ∴S△ABO＝4， ∵AB＝AO，AD⊥BO， ∴S△AOD＝2， ∴|k|＝2S△AOD＝4， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴k＝﹣5． 故答案为：﹣4． 13．（3分）如图，在矩形ABCD中，，点E在边AB上，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°　2﹣2　 ． 【分析】点P在所对圆周角∠BPE＝60°的圆O上运动，当DP的延长线过圆心O时，PD有最小值，连接OE，OB，过O作OH⊥BE于H，过O作OM⊥AD于M，求出BE＝2，AE＝，由等腰三角形的性质推出∠EOH＝∠BOE，EH＝BE＝，由圆周角定理得到∠BOE＝2∠BPE＝120°，由tan∠EOH＝＝，求出OH＝1，由含30度角的直角三角形的性质得到PO＝OE＝2OH＝2，判定四边形AHOM是矩形，得到AM＝OH＝1，OM＝AH，由勾股定理求出OD的长，即可得到答案． 【解答】解：点P在所对圆周角∠BPE＝60°的圆O上运动， 当DP的延长线过圆心O时，PD有最小值，OB，过O作OM⊥AD于M， ∵AE：EB＝1：2，AB＝4， ∴BE＝2，AE＝， ∵OE＝OB，OH⊥BE， ∴∠EOH＝∠BOEBE＝， ∵∠BOE＝2∠BPE＝120°， ∴∠EOH＝60°， ∵tan∠EOH＝tan60°＝＝， ∴OH＝5， ∵∠OEH＝90°﹣60°＝30°， ∴PO＝OE＝2OH＝2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∵∠AMO＝∠AHO＝90°， ∴四边形AHOM是矩形， ∴AM＝OH＝3，OM＝AH， ∴DM＝AD﹣AM＝5﹣1＝7， ∵AH＝AE+EH＝2， ∴OM＝5， ∴OD＝＝2， ∴PD＝PO﹣OP＝8﹣2． ∴PD的最小值是5﹣2． 故答案为：2﹣2． 三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程） 14．（5分）计算：2sin60°++|﹣5|﹣（π+）0． 【分析】直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值，分别化简得出答案． 【解答】解：原式＝2×+2 ＝+2 ＝2+4． 15．（5分）解不等式组：． 【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可． 【解答】解：， 由①得：x＜6， 由②得：x≥﹣2， ∴不等式组的解集是﹣2≤x＜4． 16．（5分）先化简，再代入求值：，其中． 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解： ＝• ＝• ＝， 当时，原式＝＝＝． 17．（5分）已知，如图，在△ABC中，用直尺和圆规在线段AB上找一点M，使得AC2+AM2＝BM2．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】由勾股定理得AC2+AM2＝CM2，而AC2+AM2＝BM2，故CM＝BM，根据线段垂直平分线的判定可得点M为线段BC垂直平分线与AB交点． 【解答】解，如图． 18．（5分）如图，点D和点C在线段BE上，AB＝EF，AC∥DF．求证：BD＝CE． 【分析】先根据AB∥EF，AC∥DF得∠B＝∠E，∠ACB＝∠FDE，进而可依据“AAS”判定△ABC和△FED全等，则BC＝ED，由此即可得出结论． 【解答】证明：∵AB∥EF，AC∥DF， ∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠FDE， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（AAS）， ∴BC＝ED， ∴BC﹣CD＝ED﹣CD， ∴BD＝CE． 19．（5分）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲（列二元一次方程组解答） 【分析】设甲有x只羊，乙有y只羊，根据“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 根据题意得：， 解得：． 答：甲有63只羊，乙有45只羊． 20．（5分）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是 　　 ； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C卡片的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果， ∴抽中C卡片的概率是． 故答案为：． （2）四张卡片内容中是化学变化的有：A，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：AD，共2种， ∴小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为＝． 21．（6分）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）． 【分析】过P作 PH⊥AB于H，过C作CQ⊥PH于Q，而 CB⊥AB，则四边形 CQHB是矩形，先解Rt△APH，求出PH，AH，得到CQ的长度，再解Rt△PQC，得到PQ的长 即可解决问题． 【解答】解：如图所示： 过P作 PH⊥AB于H，过C作CQ⊥PH于Q， 则四边形 CQHB是矩形， ∴QH＝BC，BH＝CQ， 由题意可得：AP＝80，∠PAH＝60°，AB＝70， ∴PH＝APsin60°＝80×＝40， ∴CQ＝BH＝70﹣40＝30， ∴PQ＝CQ•tan30°＝10， ∴BC＝QH＝40﹣10， ∴大楼的高度BC为30m． 22．（7分）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升．王师傅驾驶一辆纯电动汽车从一高速公路入口A驶入时，该车的剩余电量是100千瓦时，从另一高速公路出口B驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y（千瓦时）（千米）之间的关系如图所示． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若这辆车从高速路入口A驶入时，剩余电量为78千瓦时，请问王师傅能在不充电的情况下行驶360千米路程到达高速公路出口B吗？并说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出每千米消耗的电量，计算出行驶360千米消耗的电量并与78比较大小即可得出结论． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数． 将坐标（0，100）和（150， 得， 解得， ∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣x+100． （2）王师傅能在不充电的情况下行驶360千米路程到达高速公路出口B．理由如下： 该电动汽车每千米消耗的电量为（100﹣70）÷150＝（千瓦）， 该电动汽车从高速路入口A行驶360千米消耗的电量为×360＝72（千瓦）， 78＞72， ∴王师傅能在不充电的情况下行驶360千米路程到达高速公路出口B． 23．（7分）寒假期间休闲放松，观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评价评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析（电影评分用x表示，共分成四组：A.8＜x≤8.5；B.8.5＜x≤9；C.9＜x≤9.5；D.9.5＜x≤10），下面给出了部分信息： 上午20名学生的评价评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.4，9.4，9.4，9.6，9.7，9.8，9.9，10，10． 下午20名学生的评价评分在C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.4． 上下午所抽观众的评价评分统计表 上午 下午 平均数 9.4 9.4 中位数 9.4 b 众数 a 9.3 （1）上述图表中a＝ 　9.4　 ，b＝ 　9.35　 ，m＝ 　40　 ； （2）根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀（x＞9） 【分析】（1）分别根据众数和中位数的定义可得a与b的值，用“1“分别减去其它三组所占百分比可得m的值； （2）根据平均数、众数和中位数的定义解答即可； （3）利用样本估计总体即可． 【解答】解：（1）在上午20名学生的评价评分中，9.4出现的次数最多； 下午20名学生的评价评分在A组有：20×＝6（名）， 把下午20名学生的评价评分从小到大排列，排在中间的两个数分别是：9.3，故中位数b＝； m%＝1﹣﹣3%﹣40%＝40%； 故答案为：9.4；4.35； （2）上午的观众对电影的评分较高，理由如下： 因为上、下午观众对电影的评分的平均数相同，所以上午的观众对电影的评分较高； （3）800×+600×（40%+40%） ＝600+480 ＝1080（名）， 答：估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀（x＞9）的观众人数一共是1080名． 24．（8分）如图，在⊙O中，AB是直径，且AB⊥CD，垂足为E，CD＝12，在BA的延长线上取一点F，使∠FCD＝2∠B． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）求EF的长． 【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠BCO，等量代换得到∠FCD＝∠COE，得到∠OCF＝90°，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据垂径定理得到CE＝CD＝6，根据勾股定理得到OE＝＝8，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵OC＝OB， ∴∠B＝∠BCO， ∴∠AOC＝∠B+∠BCO＝2∠B， ∵AB⊥CD， ∴∠CEO＝90°， ∴∠COE+∠OCE＝90°， ∵∠FCD＝2∠B， ∴∠FCD＝∠COE， ∴∠FCD+∠OCE＝90°， ∴∠OCF＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CF是⊙O的切线； （2）解：∵AB是直径，CD是弦， ∴CE＝CD＝6， ∵AB＝20， ∴OC＝10， ∴OE＝＝8， ∵∠OCF＝∠OEC＝90°，∠COE＝∠FOC， ∴△OCE∽△OFC， ∴， ∴， ∴OF＝， ∴EF＝OF﹣OE＝﹣5＝． 25．（8分）某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，该拱门的示意图如图所示，拱门的另一端在水平地面上的点B处，拱门到水平地面的高度y（m）（m）满足函数关系式y＝ax2+x+c（a，c为常数，a≠0），已知OA＝3m，OB＝6m． （1）求出图中抛物线的函数解析式； （2）从柱子OA上的点C处拉一条横幅到拱门的点D处，CD∥OB，若CD＝4AC，请问拉上横幅CD后小华不弯腰是否能通过该拱门？说明理由． 【分析】（1）由题意可得，抛物线过点A（0，3）和B（6，0），根据待定系数法即可求出结果． （2）设，则，根据CD＝4AC即可求出结果． 【解答】解：（1）由题意可得： ， 解得：， ∴． （2）能通过该拱门， 理由：设，则， ∴，CD＝m， ∵CD＝4AC， ∴， 解得：m＝4或m＝0（舍去）， ∴， ∵， ∴拉上横幅后小华不弯腰能通过该拱门的． 26．（10分）问题提出：（1）如图①，在等边△ABC中，D为BC三等分点（BD＜CD），连接AD，求AE的长； 问题解决：（2）如图②，在矩形场地ABCD中，BC＝400米，AC为对角线，在AC上安装一个扫描仪器，该扫描仪的范围为α（即∠BEF＝α）时，效果最佳，以A、F、C、D四点为顶点搭建一个帐篷，四边形AFCD面积最大，最大面积为多少？ 【分析】（1）先利用等边三角形的性质可得∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝9，从而可得∠BAD+∠ADB＝120°，根据已知易得BD＝BC＝3，从而可得CD＝6，再利用平角定义可得∠ADB+∠EDC＝120°，从而可得∠BAD＝∠CDE，然后证明△BAD∽△CDE，从而利用相似三角形的性质进行计算可求出CE的长，进而求出AE的长，即可解答； （2）过点B作BH⊥AC，垂足为H，延长CA到点G，使GH＝CH，连接BG，可得BH是CG的垂直的平分线，从而可得BC＝BG＝400米，进而可得∠G＝∠BCE，再利用矩形的性质可得∠ABC＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC＝500米，进而可得cos∠ACB＝，sin∠ACB＝，然后根据已知可得∠ACB＝∠G＝∠BEF，在Rt△BCH中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，从而求出CG的长，再设CE＝x米，则GE＝（640﹣x）米，最后证明△CEF∽△GBE，从而利用相似三角形的性质可求出CF＝（﹣x2+x）米，进而可得BF＝（x2﹣x+400）米，再根据四边形AFCD的面积＝矩形ABCD的面积﹣△ABF的面积＝﹣（x﹣320）2+98400，从而利用二次函数的性质即可解答． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝9， ∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B＝120°， ∵D为BC三等分点（BD＜CD）， ∴BD＝BC＝3， ∴CD＝BC﹣BD＝6， ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠ADE＝120°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△BAD∽△CDE， ∴＝， ∴＝， ∴CE＝3， ∴AE＝AC﹣CE＝7， ∴AE的长为7； （2）过点B作BH⊥AC，垂足为H，使GH＝CH， ∴BH是CG的垂直的平分线， ∴BC＝BG＝400米， ∴∠G＝∠BCE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵AB＝300米，BC＝400米， ∴AC＝＝＝500（米）， ∴cos∠ACB＝＝＝，sin∠ACB＝＝＝， ∵sinα＝sin∠BEF＝， ∴∠ACB＝∠BEF， ∴∠ACB＝∠G＝∠BEF， 在Rt△BCH中，CH＝BC•cos∠ACB＝400×， ∴CG＝2CH＝640（米）， 设CE＝x米，则GE＝CG﹣CE＝（640﹣x）米， ∵∠BEC＝∠G+∠GBE，∠BEF+∠CEF＝∠G+∠GBE， ∴∠CEF＝∠GBE， ∴△CEF∽△GBE， ∴＝， ∴＝， ∴CF＝（﹣x2+x）米， ∴BF＝BC﹣CF＝400﹣（﹣x2+x）＝（x7﹣x+400）米， ∴四边形AFCD的面积＝矩形ABCD的面积﹣△ABF的面积 ＝AB•BC﹣AB•BF ＝300×400﹣×300（x2﹣x+400） ＝﹣x2+240x+60000 ＝﹣（x﹣320）2+98400， ∴当x＝320时，四边形AFCD的面积最大， ∴将扫描仪E放置距离C320米时，四边形AFCD面积最大． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/30 20:28:27；用户：18280729802；邮箱：18280729802；学号：62624935 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$