2025年中考数学一轮复习-第5讲 一次方程（组）及其应用

第5讲 一次方程（组）及其应用 一、选择题： 1.解方程，移项正确的是(    ) A. B. C. D. 2.若是关于的一元一次方程，则等于(    ) A. B. C. 或 D. 3.已知是关于的方程的解，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺．设绳索长尺，则符合题意的方程是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 5.若，则 ______． 6.若是关于的一元一次方程，则的值是          ． 7.按照如图所示的程序计算，若输出的值是，则输入的值是          ． 8.九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四意思是：现有几个人共买一件物品，每人出钱多出钱； 每人出钱，还差钱根据题意列方程，则方程中所表示的量是______． 9.如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为______． 10.鸡兔同笼是中国古代著名典型趣题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”若设有鸡雉只，则由题意可列方程：________________． 11.“方程”二字最早见于我国九章算术这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，则表示的方程是          ． 12.定义新运算：例如：，若，则的值为______． 13.同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，则的值为          ． 14.已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为______． 三、解答题： 15. 已知是关于的一元一次方程． 求的值，并求解上述一元一次方程； 若上述方程的解是关于的方程的解的倍，求的值． 16. 已知关于的方程与的解互为相反数，求的值． 17. 九章算术记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺 18. 小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程即【】 去分母，得【】 去括号，得【】 移项，得【】 合并同类项，得【】 系数化为，得【】 他错在哪一步？______请填后面的大写字母代号，错误的原因是______； 请你帮助正确写出求解过程． 19. 解方程： ； 20.如图在数轴上点表示数，点表示数，、满足； 点表示的数为          ；点表示的数为          ； 若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以个单位秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以个单位秒的速度也向左运动，在碰到挡板后忽略球的大小，可看作一点以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒， 当时，甲小球到原点的距离______；乙小球到原点的距离______； 当时，甲小球到原点的距离______；乙小球到原点的距离______； 试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为，求出解． 方程利用等式的基本性质移项得到结果，即可作出判断． 【解答】 解：根据移项法则，移项要变号，可知移项得， 故选A． 2.【答案】  【解析】解：根据题意可知，是关于的一元一次方程， ， ， 或， 解得：或， 又， 解得：， 故． 故选：． 根据一元一次方程的定义可得：，，再解即可． 本题主要考查了一元一次方程的定义，绝对值，掌握解一元一次方程的步骤是关键． 3.【答案】  【解析】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：． 把代入方程得出，再求出方程的解即可． 本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设绳索长尺，则竿长尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【解答】 解：设绳索长尺，则竿长尺， 依题意，得：． 5.【答案】  【解析】解：， ， 即， 则， 解得：， 故答案为：． 由题意可得，即，则，解得的值即可． 本题考查同底数幂乘法及解一元一次方程，结合已知条件得出是解题的关键． 6.【答案】  7.【答案】或  8.【答案】物价  【解析】解：根据人数是不变的和每人出钱多出钱；每人出钱，还差钱，列方程， 则方程中所表示的量是物价． 故选：物价． 根据人数是不变的和每人出钱多出钱；每人出钱，还差钱，可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 9.【答案】或  【解析】解：设点的运动速度为， 当点，相遇在点右侧时，， 解得：； 当点，相遇在点左侧时，， 解得：， 点的运动速度为或． 故答案为：或． 设点的运动速度为，分点，相遇在点右侧及点，相遇在点左侧两种情况考虑，利用路程速度时间，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 10.【答案】．  【解析】【分析】 此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出兔的数量是解题关键．设笼中有只鸡，则有只兔，根据下有只脚，即可得出关于的一元一次方程，即可得出结论． 【解答】 解：根据题意可得： ． 故答案为：． 11.【答案】  12.【答案】或  【解析】解：， 当时，， 解得或不合题意，舍去； 当时，， 解得； 由上可得，的值为或， 故答案为：或． 根据题目中的新定义，利用分类讨论的方法列出方程，然后求解即可． 本题考查一元一次方程的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 13.【答案】或  【解析】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列方程是解题的关键． 根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的个数之和为，再由已经填写的数即可求解． 【详解】解：，横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， 横、竖、外圈、内圈的个数之和为， ， ， 内圈上空缺的数为：， 当外圈空缺数为时，则，解得， 则； 当外圈空缺数为时，则，解得， 则； 即的值为或． 故答案为：或． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元一次方程的解，正确掌握转化思想是解题的关键． 方程可整理得：，则该方程的解为，方程可整理得：，令，则原方程可整理得：，则，得到关于的一元一次方程，解之即可． 【解答】 解：根据题意得： 方程可整理得：， 则该方程的解为， 方程可整理得：， 令， 则原方程可整理得：， 则， 即， 解得：． 15.【答案】解：是关于的一元一次方程， 且， ， 方程为， ， ， 即，方程的解是； 上述方程的解是关于的方程的解的倍，上述方程的解是， 方程的解是， ， ， ， ．  【解析】根据一元一次方程的定义得出且，求出，得出方程为，再根据等式的性质求出方程的解即可； 先求出方程是，代入方程得出，再根据等式的性质求出方程的解即可． 本题考查了一元一次方程的解，一元一次方程的定义和绝对值等知识点，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 16.【答案】解：方程， 解得：， 与的解互为相反数， 把代入第一个方程得：， 解得：．  【解析】求出第二个方程的解，根据两方程解互为相反数求出第一个方程的解，即可求出的值． 此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 17.【答案】解：设井深为尺， 根据题意，得， ， 解得， 所以尺． 答：绳长为尺，井深为尺．  【解析】主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，不变的是井深，用代数式表示井深是此题的关键，用代数式表示井深即可得方程，此题中的等量关系有：将绳三折测之，绳多四尺；绳四折测之，绳多一尺． 18.【答案】  利用分式的基本性质，等式右边的不能乘以  【解析】解：根据小明的做法可知，他错在，错误的原因是利用分式的基本性质，等式右边的不能乘以， 故答案为：，利用分式的基本性质，等式右边的不能乘以； 原方程可变为， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 根据小明的解法进行判断即可； 根据一元一次方程的解法进行解答即可． 本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是正确解答的关键． 19.【答案】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得； 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得．   【解析】本题主要考查了解一元一次方程，理解并掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键． 按照去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可； 按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可． 20.【答案】【小题】   【小题】 解：当时， 小球甲从点处以个单位秒的速度向左运动， 甲小球秒钟向左运动个单位，此时，甲小球到原点的距离， 小球乙从点处以个单位秒的速度也向左运动， 乙小球秒钟向左运动个单位，此时，乙小球到原点的距离， 当时， 小球甲从点处以个单位秒的速度向左运动， 甲小球秒钟向左运动个单位，此时，甲小球到原点的距离， 小球乙从点处以个单位秒的速度也向左运动， 乙小球秒钟向左运动个单位，此时，刚好碰到挡板，改变方向向右运动，再向右运动秒钟，运动个单位， 乙小球到原点的距离． 故答案为；；；； 当时，得， 解得； 当时，得， 解得． 故当秒或秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．   【解析】  利用绝对值的非负性即可确定出，即可得出答案； 【详解】解：， ，， 解得：，， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，；   根据运动时间确定出运动的单位数，即可得出结论； 根据，，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于的方程，解方程即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$