等比数列 讲义-2025届高三数学一轮复习

第三节 等比数列 考点一：等比数列的定义 1. 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用表示 ( )．用递推关系式表示为：＝q(n>1)(或＝q，n∈N*). 2. 等比数列的判定： (1)利用定义：＝q(与n无关的常数). (2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N*). ◆典例分析◆ 例1　(1)以下数列中是等比数列的有________.(填序号) ①数列1，2，6，18，…； ②数列{an}中，已知＝2，＝2； ③常数列a，a，a，…，a，…； ④数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N＋. 答案　④ 解析　在数列①中，≠，∴①不是等比数列； 在数列②中，不一定都满足＝2； 在数列③中，a若为0，则不是等比数列； ④中数列是等比数列. 例2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(an－1)(n∈N*). (1)求a1，a2； (2)证明：数列{an}是等比数列. 【解析】(1)解　∵a1＝S1＝(a1－1)，∴a1＝－. 又a1＋a2＝S2＝(a2－1)，∴a2＝. (2)证明　∵Sn＝(an－1)，∴Sn＋1＝(an＋1－1)， 两式相减得an＋1＝an＋1－an，即an＋1＝－an， 又a1＝－≠0，∴an≠0，∴＝－，n∈N*， ∴数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列. 例3 已知数列中，，，证明：数列是等比数列 【详解】因为，所以，即， 所以， 又，∴是以为首项，3为公比的等比数列. ◆对点练习运用◆ 1. 已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.证明：数列{an＋4}是等比数列. 证明　∵a1＝－2，∴a1＋4＝2. ∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)， ∴＝2， ∴{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列. 2. 已知数列满足，. （1）求； （2）记，证明：数列为等比数列. 【详解】（1）因为已知数列，满足，. 所以，，； （2），，所以，，， 猜想数列是以4为首项，以2为公比的等比数列， 证明如下：， 所以数列是以4为首项，以2为公比的等比数列. 3. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N＋).求证：{bn}是等比数列. 证明　∵an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1，∴bn＋1＝an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)＝2bn，又∵b1＝a1＋1＝2， ∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列. 考点二 等比数列通项公式 1. 等比数列的通项公式为，通项公式还可以写成． 2. 通项公式的拓展：an＝amqn－m(n，m∈N＋，q≠0) ◆典例分析◆ 例1 　在等比数列{an}中： (1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n； (2)已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an. 解　设等比数列{an}的公比为q. (1)由得q＝. 再由a3＋a6＝a3·(1＋q3)＝36得a3＝32， 则an＝a3·qn－3＝32×＝＝，所以n－8＝1，所以n＝9. (2)由a7＝a5·q2得q2＝. 因为an>0，所以q＝， 所以an＝a5·qn－5＝8×＝(n∈N＋). 例2 已知数列为等比数列，首项，，且公比为正数． （1）写出等比数列的通项公式； （2）是否为中的项？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 【详解】（1）设公比为， 由，得，解得， 所以． （2）令，可得，解得． 故是中的项，且为第8项． 例3. 某企业2021年第一季度的营业额为亿，以后每个季度的营业额比上个季度增加亿；该企业第一季度的利润为亿，以后每季度比前一季度增长4％． （1）求2021年起前20季度营业额的总和； （2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18％． 【详解】（1）设为第个季度的营业额，为前个季度的营业额的总和， 由题意可知是首项为，公差为的等差数列， 所以（亿元）； （2）设为第个季度的利润，由题意知是首项为，公比为的等比数列， 又因为，令， 所以，所以（*）， 设，所以， 当时，，为递增数列， 当时，，为递减数列， 当时，， 经验证，当时，，当时，， 所以年起第个季度的利润首次超过该季度营业额的. ◆对点练习运用◆ 1. 在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为(　　) A.2 B. C.2或 D.－2或 解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，∴a1(1＋q3)＝18，a1(q＋q2)＝12，q≠－1，化为2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或.故选C. 2. 在等比数列{an}中. (1)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (2)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式. 解　(1)∵an＝a1·qn－1，∴a1＝＝＝5，故a1＝5. (2)∵a3＝a1·q2，即8＝2q2，∴q2＝4，∴q＝±2. 当q＝2时，an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n， 当q＝－2时， an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n， ∴数列{an}的公比为2或－2， 对应的通项公式分别为an＝2n或an＝(－1)n－12n，n∈N＋. 3. 设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于(　　) A.607.5 B.608 C.607 D.159 答案　C 解析　∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n－1， ∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝＝607. 4. 在等比数列{an}中，若a3＝3，a10＝384，则公比q＝________. 答案　2 解析　a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，所以q＝2. 5. 已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12. (1)求{an}的通项公式； (2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值. 解　(1)设数列{an}的公差为d，由题意知 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n(n∈N＋). (2)由(1)可得Sn＝＝＝n(1＋n). 因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以a＝a1Sk＋2，从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6. 考点三 等比数列性质 1.等比中项：如果 成等比数列，那么叫做与的等比中项，且，在等比数列中， . 2. (1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么是等比数列. (2)如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列，{an·bn}，，{|an|}是等比数列. (3)等比数列各项均不能为0. ◆典例分析◆ 例1　已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项. 证明：因为b是a，c的等比中项，所以b2＝ac，且a，b，c均不为零， 又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， (ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， 所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)， 由a，b，c均不为零，可得，故 即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项. 例2 已知等比数列满足，则公比（ ） A． B． C． D． 【详解】，即，解得．故选：B． ◆对点练习运用◆ 1. 设数列为等比数列，且，则必有（ ） A． B． C． D． 【详解】因为为等比数列，所以，又，所以，故选：D. 2. 等比数列中，若，则（ ） A．与都有最小值 B．与都有最小值 C．当时有最小值，有最大值 D．当时与都有最大值 【详解】设等比数列的公比为，根据等比中项的性质得到：， 得，所以，等号成立的条件为， 有最小值； 当时，，等号成立的条件为， 有最大值. 故选：C. 3. 已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于(　　) A.64 B.81 C.128 D.243 答案　A 4. 在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于(　　) A.4 B.8 C.16 D.32 答案　C 5. 在等比数列{an}中，an＞0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为(　　) A.16 B.27 C.36 D.81 答案　B 6. 在正项等比数列{an}中，若3a1，a3，2a2成等差数列，则＝________. 答案　 解析　设正项等比数列{an}的公比q＞0， ∵3a1，a3，2a2成等差数列， ∴2×a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q， ∴q2－2q－3＝0，q＞0，解得q＝3. 则原式＝＝＝. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三节 等比数列 考点一：等比数列的定义 1. 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用表示 ( )．用递推关系式表示为：＝q(n>1)(或＝q，n∈N*). 2. 等比数列的判定： (1)利用定义：＝q(与n无关的常数). (2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N*). ◆典例分析◆ 例1　(1)以下数列中是等比数列的有________.(填序号) ①数列1，2，6，18，…； ②数列{an}中，已知＝2，＝2； ③常数列a，a，a，…，a，…； ④数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N＋. 例2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(an－1)(n∈N*). (1)求a1，a2；(2)证明：数列{an}是等比数列. 例3 已知数列中，，，证明：数列是等比数列. ◆对点练习运用◆ 1. 已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.证明：数列{an＋4}是等比数列. 2. 已知数列满足，. （1）求； （2）记，证明：数列为等比数列. 3. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N＋).求证：{bn}是等比数列. 考点二 等比数列通项公式 1. 等比数列的通项公式为，通项公式还可以写成． 2. 通项公式的拓展：an＝amqn－m(n，m∈N＋，q≠0) ◆典例分析◆ 例1 　在等比数列{an}中： (1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n； (2)已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an. 例2 已知数列为等比数列，首项，，且公比为正数． （1）写出等比数列的通项公式； （2）是否为中的项？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 例3. 某企业2021年第一季度的营业额为亿，以后每个季度的营业额比上个季度增加亿；该企业第一季度的利润为亿，以后每季度比前一季度增长4％． （1）求2021年起前20季度营业额的总和； （2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18％． ◆对点练习运用◆ 1. 在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为(　　) A.2 B. C.2或 D.－2或 2. 在等比数列{an}中. (1)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (2)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式. 3. 设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于(　　) A.607.5 B.608 C.607 D.159 4. 在等比数列{an}中，若a3＝3，a10＝384，则公比q＝________. 5. 已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12. (1)求{an}的通项公式； (2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值. 考点三 等比数列性质 1.等比中项：如果 成等比数列，那么叫做与的等比中项，且，在等比数列中， . 2. (1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么是等比数列. (2)如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列，{an·bn}，，{|an|}是等比数列. (3)等比数列各项均不能为0. ◆典例分析◆ 例1　已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项. 例2 已知等比数列满足，则公比（ ） A． B． C． D． ◆对点练习运用◆ 1. 设数列为等比数列，且，则必有（ ） A． B． C． D． 2. 等比数列中，若，则（ ） A．与都有最小值 B．与都有最小值 C．当时有最小值，有最大值 D．当时与都有最大值 3. 已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于(　　) A.64 B.81 C.128 D.243 4. 在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于(　　) A.4 B.8 C.16 D.32 5. 在等比数列{an}中，an＞0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为(　　) A.16 B.27 C.36 D.81 6. 在正项等比数列{an}中，若3a1，a3，2a2成等差数列，则＝________. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$