直线与圆、圆与圆的位置关系 讲义-2025届高三体育单招数学一轮复习

【2025届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 直线与圆、圆与圆的位置关系知识点·梳理 1、圆的标准方程 ①圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为,半径为,为圆上任意一点，可用集合表示为： ②圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 【即学即练1】在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】由题意可得方程为.故选：C. ③点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 1°则点在外 2°则点在上 3°则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 1°点在外 2°点在上 3°点在内 【即学即练2】求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上． 【答案】，点在这个圆上，点不在这个圆上 【详解】圆心为，半径为5的圆的标准方程是,因为以点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上．因为，所以点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上（如图）． ④圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; 1°若点在外，则; 2°若点在上，则; 3°若点在内，则; 【即学即练3】圆(x－2)2＋y2＝1上的点到原点距离的取值范围是（    ） A．(0，3] B．[0，3] C．[1，3] D．[2，3] 【答案】C【详解】圆心为(2，0)，半径1，所以圆上的点到原点的距离d满足2－1≤d≤2＋1，即1≤d≤3 2、圆的一般方程 ①圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程 叫做圆的一般方程. 1°当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； 2°当时，方程表示一个点 3°当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③ 【即学即练4】若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，解得或，所以实数的取值范围为.选：B ②圆的一般方程与圆的标准方程的特点 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 （） 圆心 半径 ③在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： 1°点在外 2°点在上 3°点在内 【即学即练5】若点在圆外，则实数的取值范围为 . 【答案】【详解】圆的标准方程为，由于点在圆外，所以，解得，故答案为： 3、直线与圆的位置关系 ①直线与圆的三种位置关系 直线与圆的位置关系的图象 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 ②判断直线与圆的位置关系的两种方法 1）几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 1°直线与圆相交 2°直线与圆相切 3°直线与圆相离 ③直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1）几何法（优先推荐） 1°弦心距（圆心到直线的距离） 2°弦长公式： 2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 【即学即练6】圆截直线所得的弦长等于（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【详解】方法一  圆的方程可化为，则圆的半径，圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为． 方法二 设直线与圆相交于点，．由，得，则，，所以．故选：A ④直线与圆相切 1）圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2）切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 【即学即练7】过点作圆的一条切线，切点为B，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为圆，所以圆的圆心为，半径为，因为与圆相切，切点为B，所以，则，因为，所以.故选：B 4、圆与圆的位置关系 ①圆与圆的位置关系 1）圆与圆相交，有两个公共点； 2）圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； 3）圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 ②圆与圆的位置关系的判定 1）几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 2）代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 【即学即练8】已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】A 【详解】由于点和都在圆上，而在圆内部，在圆外部，故两圆一定相交.故选：A. ③圆与圆的公共弦 1）圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2）公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 ④圆与圆的公切线 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，共4条； （2）两圆外切时，共3条； （3）两圆相交时，只有2条公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 重点题型·归类精讲 题型一 由圆的方程求圆心或半径 【例1-1】（2018年真题）已知直线过圆的圆心，斜率为，则的方程为 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】思路:用配方法将圆的一般方程化为标准方程，求圆心，再求直线方程。 该曲线表示以为圆心，为半径的圆。 过圆心，当时，，也就是说直线在轴的截 距为，斜率为，直线斜截式为，化为一般式 【例1-2】（2015年真题）的半径是 A、9 B、8 C、 D、 【答案】C 【解析】 【例1-3】（2003年真题）圆的圆心到直线的距离等于 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】圆心为，圆心到直线距离 【例1-4】曲线所围成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，故该曲线围成区域的面积为半径为3的圆的面积为.故选：D. 【变式1】圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 【答案】A 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 【变式2】已知圆的方程是，则圆心的坐标是 ． 【答案】 【详解】圆的方程是，即，所以圆心的坐标为. .题型二 求圆的标准方程与一般方程 【例2-1】（2017年真题）已知点，则以为直径的圆的方程为 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】圆心为两者的中点，，即;直径为两点间的距离，半径，圆的方程 【例2-2】已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，中点为，所以线段的中垂线为，令得，所以，半径，所以圆M的标准方程为．故选：B. 【例2-3】过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设过和两点的圆的圆心为，半径为， 则，故，当且仅当为中点时等号成立，故过和两点的圆的面积最小时直径为，此时圆的圆心为，故其标准方程为，故选：C. 【例2-4】经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设经过，，三个点的圆的方程为， 由题意可得，解得，且满足，所以经过，，三个点的圆的方程为，即为.故选：C. 【例2-5】知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为 . 【答案】 【详解】方法一：设所求圆的标准方程为，由题意得:， 解得：故所求圆的方程为，即. 方法二：线段的中点坐标为，即，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，即，由几何性质可知：线段的垂直平分线与的交点为圆心，联立，得交点坐标， 又点到点的距离，即半径为，所以圆的方程为，即.故答案为： 【变式1】已知点，，以线段AB为直径的圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】因为圆心的坐标为，，所以该圆的标准方程为.故答案为： 【变式2】已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为圆心为，半径为5，所以圆的标准方程为，故选：C 【变式3】已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ． 【答案】 【详解】设所求圆的一般方程为，因为点，，在圆上，所以，解得，则所求圆的一般方程为：， .题型三 对圆一般方程的理解 【例3-1】（2019年真题）若方程表示的曲线是圆，则的取值范围是 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】思路:把圆的一般方程配方成标准方程，半径的平方大于0得解。 ，该标准方程表示以为圆心，以为半径的圆。 若表示的曲线是圆，则，解不等式: 或(大于0取两边) 【例3-2】已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程表示一个圆，所以，即，所以或，故选：C. 【变式1】方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即.故选：D. 题型四 求动点轨迹方程 【例4-1】已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由题意可知，所以，又因为，所以化简可得，所以的轨迹方程为，故选：A 【例4-2】已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 . 【答案】 【详解】方法一：设点，，，，，由题意可知：， ，，整理得：，三点不共线，，，应去除.直角顶点的轨迹方程为：. 方法二：设BC中点为，则，即A在以D为圆心，为半径的圆上(不能和B、C重合)，故A的轨迹方程为 【变式1】已知点，O为坐标原点，若动点满足．试求动点P的轨迹方程 【答案】； 【详解】由动点满足，得，化简得， 所以动点P的轨迹方程是. 题型五 点与圆的位置关系 【例5-1】若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径，若点在圆外，则，解得或，所以实数的取值范围是.故选：C. 【例5-2】已知点和，求以线段AB为直径的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上． 【答案】圆的方程：；点，不在圆上． 【详解】设圆心为，因为AB为圆的直径，且，，所以圆心坐标为，半径，所以，以线段AB为直径的圆的方程为， 因为，，， 所以点，不在这个圆上． 【例5-3】已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，圆的标准方程为，故，，又点在圆外，所以，，或，所以m的取值范围为． 故选：D. 【变式1】点在圆的内部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． 或 D．   【答案】A 【详解】点在圆的内部，所以，化简得，解得，故选:A 【变式2】已知点在圆的外部，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】方程表示圆，则，由于点在圆的外部，所以，综上所述，的取值范围是.故答案为： 【变式3】若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知圆可化为，可得，即；又在圆外部，可得，解得；可得.故选：B. 题型六 与圆有关的对称问题 【例6-1】圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为，关于直线的对称点是，所以圆的圆心是，半径是，所以圆的方程为.故选：D 【例6-2】圆关于直线对称后的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆，所以圆的圆心为，半径为，设点关于直线对称的点为，所以，解得：，所以所求圆的圆心为，半径为,故所求圆的方程为：.故选：A. 【变式1】若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】圆关于直线对称,即圆心在直线上，由，得圆心，则，得.故选：D 题型七 直线与圆的位置关系 【例7-1】（2008年真题）过点的直线与圆不相交，则直线的斜率的取值范围是___ 【答案】 【解析】设过点、斜率为直线的方程为把代入圆得，，即合并同类项得 若直线与圆不相交，则，即，即 即 【例7-2】（2004年真题）圆与直线的位置关系是 A、相离 B、相交且直线不过圆心 C、相切 D、相交且直线过圆心 【答案】D 【解析】圆心为经过直线，所以圆与直线的位置关系是经过圆心、相交 【变式1】已知直线与圆相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径，因为直线与圆相交，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 【变式2】若直线与圆：有一个公共点，则实数等于 . 【答案】 【详解】由题意可知圆的圆心坐标为，半径为，因为直线l和圆C有一个公共点，圆心到直线的距离等于半径，所以，解得 故答案为： 【变式3】若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【答案】C 【详解】由圆心为，半径为，即，则，解得或.故选：C 题型八 圆的弦长问题 【例8-1】（2021年真题）已知圆 (1)求当时，圆截直线所得弦的长； (2)求点的轨迹方程。 解:(1)当时，的方程为，圆心为，半径为2，圆心到直线的距离，圆的半径为2，弦长的一半，弦长为 (2)由题意知，为圆心，即当时，，所以点的轨迹方程为 设点到直线的距离，则(把坐标代入直线求绝对值作分子，分母等于根号下)点到直线的距离算出来了，半径有了，根据勾股定理求一半的弦长，算出来之后乘以2就是弦长。圆的标准方程表示以为圆心，为半径圆的由来:设圆上任一一点坐标为，则该点到圆心的距离、即两点之间的距离等于半径的长度，也就是说 【例8-2】直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】圆的标准方程为,直线过圆心,所以直线被圆所截得的弦长等于直径长度4.故选:B． 【变式1】直线与圆交于，两点，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】圆，则圆的标准方程为，所以圆心，半径，，故直线过圆心，所以，解得.故选：C 【变式2】已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】易知圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，又，解得.故选：B. 题型九 圆的切线问题 【例9-1】（2014年真题）过圆与轴正半轴的交点作该圆的切线，切线的方程是___ 【答案】 【解析】方法一：与轴的交点，令，解得，所以交点为，圆心为：；方法二：圆心与交点(切点)的直线方程斜率，切线与直线垂直、斜率为，所以切线斜率为、截距，所以切线方程为 【例9-2】（2013年真题）已知过点的直线与圆相切，交于两点，则___ 【答案】31 【解析】圆半径为1，圆心为，点到圆心的距离， 所以 【变式1】过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由点P在圆C上，又由直线的斜率为，可得直线l的斜率为2，则直线l的方程为．故选：B． 【变式2】圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，因为，可知点在圆上，又因为，可知切线方程的斜率，所以切线方程为，即.故答案为： 【变式3】从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】圆化为，圆心为，半径为1，直线上的点向圆引切线，设切点为，则，要使切线长的最小，则最小，即直线上的点与圆心的距离最小，由点到直线的距离公式可得，. 所以切线长的最小值为.故选：B 【变式4】若从圆（x－1）2＋（y－1）2＝1外一点P（2，3）向这个圆引一条切线，则切线长为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】圆心坐标为O（1，1），半径r＝1，OP＝.因为圆心、切点、点O构成直角三角形，所以切线长为＝2 题型十 圆与圆的位置关系 【例10-1】（2014年真题）已知圆与圆外切，则半径 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】圆心为圆心为，两圆心之间的距离 【例10-2】已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，则，故，所以两圆内含；故选：A 【例10-3】若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．1 D．2 【答案】D 【详解】易知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，由题意得圆与圆只有一个交点，可得两圆内切或外切，易得圆心距，半径差与和分别为或，当两圆内切时，解得或，当两圆外切时，无解，结合选项故选：D 【变式1】圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为；，则圆的圆心为，半径为.两圆心之间的距离，且满足，可知两圆相交.故选：A 【变式2】设圆：，圆：，则圆，的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【答案】B 【详解】由题可知圆的半径为，圆心；圆的半径为，圆心，所以，，所以，故两圆外切，故选B 【变式3】已知圆和圆内切，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】圆化为标准方程为，圆心，半径，圆 化为标准方程为，圆心，半径，由两圆外切，有，即，解得.故答案为： 题型十一 相交圆的公共弦方程 【例11-1】圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】两个圆的方程相减，得，故选：C 【变式1】圆与圆的公共弦所在直线方程为 ． 【答案】 【详解】由可得圆心为，半径为，由可得圆心为，半径为， 两圆圆心距离为，两半径之和为，两半径之差为，有，故两圆相交，两圆方程作差为，化简可得，即两圆公共弦所在直线方程为.故答案为： 【变式2】已知圆，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为 . 【答案】 【详解】由圆与轴相切于点，可设圆的方程为，由，则 ，所以圆的方程为，圆与圆的方程相减得，即为两圆的相交弦所在直线方程.故答案为： 题型十二 综合运用 【例12-1】（2022年真题）已知点为坐标原点，点满足，则点的轨迹方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点坐标为,则 两边同时平方得 化简得 移项得 合并同类项得,故选A 【例12-2】（2016年真题）已知点，点在圆上运动，点为线段的中点 (1)求点的轨迹方程，并说明该轨迹是一个圆 (2)求点的轨迹与圆的公共弦的长 解：(1)设，点为线段的中点，则点的坐标为，点在圆上，，点的轨迹为圆心、半径2的圆 (2)公共弦的方程，圆半径长为4，公共弦长的一半，所以公共弦长为 【例12-3】（2012年真题）直线交圆于两点，为圆心，若的面积是，则 A、 B、1 C、 D、2 【答案】B 【解析】圆心到直线的距离之间的距离 代入圆得，整理得，即，当时符合题意，所以选 【例12-4】（2010年真题）已知直线与轴及轴分别交于点和点，则过和坐标原点的圆的圆心坐标是 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】为直角三角形，圆的圆心为的中点，中点为，即 【例12-5】（2007年真题）已知点，点在圆上运动，动点满足，则的轨迹是一个圆，其半径等于___ 【答案】 【解析】设坐标，则点坐标，点在圆上，则 ， ，故半径为 点的纵坐标是纵坐标的倍 点的横坐标可以由的横坐标减去横坐标之差的求得 【变式1】已知圆心为C的圆经过点和点两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)已知线段MN的端点M的坐标，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为圆C经过点和点两点，所以圆心C在线段的垂直平分线上，即上，联立可解得，即，所以圆C的半径为 则圆C的标准方程； （2）设线段MN的中点， 又M的坐标，且G为线段MN的中点，所以，又N在圆C上运动，可得，化简可得，所以，线段MN的中点G的轨迹方程 【变式2】两圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】两圆的圆心分别为,半径均为1，故圆心距离为,故两圆相交，圆与圆的公共弦所在的直线方程为：，即，圆的圆心到公共弦的距离：，圆的半径， 公共弦长．故选：B． 【变式3】已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可知，圆外离，，又．故选：D 课后模拟·巩固练习 1、已知圆心为，半径，写出圆的标准方程 ． 【答案】 【详解】因圆的圆心坐标为，圆的半径为，故圆的标准方程为：. 故答案为：. 2、圆心在y轴，半径为1且过点的圆的标准方程为： 【答案】 【详解】依题意，设圆心为，则，解得，所以所求圆的标准方程是 .故答案为： 3、圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆的标准方程，得圆心为，故选:C. 4、已知圆，则圆心与半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】圆的方程为为标准形式，即圆心与半径分别为，故选：D 5、已知点不在圆C：的内部，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】由题意，得点在圆上或圆的外部，∴，∴，∴， 又，∴的取值范围是 6、圆C：关于直线l：对称的圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】由题意知圆C的圆心为，半径为2；设点关于直线l对称的点为，则 ，解得，因此圆C：关于直线l：对称的圆的标准方程为，故答案为： 7、已知圆关于直线l对称的圆为圆，则直线l的方程为 . 【答案】 【详解】由题意可知圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，圆与圆关于直线对称，可得两圆心和关于直线对称，又由，可得，且的中点为，所以直线的方程为，即. 故答案为： 8、已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为圆心为，半径为5，所以圆的标准方程为，故选：C 9、圆的圆心到直线与直线的距离相等，则实数（    ） A． B．1或 C．或3 D．3 【答案】C 【详解】由，知，则，解得或．故选：C． 10、若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是（    ） A．{a|－1＜a＜1} B．{a|0＜a＜1} C．{a|a＜－1或a＞1} D．{a|－1＜a＜0} 【答案】A 【详解】点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，∴ (2a)2＋a2＜5，解得－1＜a＜1. 11、圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据圆的标准方程，即可得圆心坐标为，半径为.故选：D 12、点与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 【答案】B 【详解】因为所以点在圆内.故选：B. 13、已知圆的面积为，则实数的值为 . 【答案】 【详解】设圆的半径为r，则由题意，故，将圆一般式化为标准式得，则，故答案为：2 14、若点在圆的外部，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由在圆的外部，得，解得，或，故答案为： 15、曲线所围成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，故该曲线围成区域的面积为半径为3的圆的面积为.故选：D 16、若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，解得或，所以实数的取值范围为. 17、方程所表示的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方程化为：，所以方程所表示的圆的圆心坐标为.故选：B 18、过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为圆，即，所以圆心为，又直线的斜率为，所以所求直线的斜率为，∴所求直线的方程为，即.故选：C 19、若点在圆的外部，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆化为标准式：，则，即，又点在圆的外部，，解得，综上：.故选：C 20、（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： ①； ②． （2）已知点在圆的内部，求实数的取值范围. 【答案】（1）① 答案见解析；②答案见解析；（2）． 【详解】（1）①标准方程为，圆心为，半径为3；②圆的标准方程为，圆心为，半径为. （2）由点在圆的内部，得，解得，所以实数的取值范围是 21、知点，直线及圆. (1)求过点的圆的切线方程； (2)若直线与圆相切，求实数a的值． 【答案】(1)或；(2)或 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，过点的直线为，与圆相切；当直线的斜率存在时，设直线为，即，因为直线与圆相切， 所以，解得，所以直线方程为，所以过点的圆的切线方程为或； （2）因为直线与圆相切，所以，解得或 22、若直线与圆相切，则实数的值为 . 【答案】3 【详解】由可化为且，所以圆心为，半径为，由直线与圆相切，则，可得.故答案为：3 23、直线被圆所截得的弦长为 . 【答案】2 【详解】根据题意，圆的圆心，，则圆心到直线的距离，所以弦长为.故答案为：2 24、已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 . 【答案】 【详解】根据题意，圆，即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离，又由圆心到直线 的距离，则有，解可得：.故答案为：. 25、若直线与圆相切，则圆的半径为（    ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】C 【详解】依题意，，解得（负值舍），所以圆的半径为.故选:C. 26、过坐标原点O作圆的两条切线OA，OB，切点分别为A，B，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】如图，由圆可得x轴，y轴，即是过点O的切线，所以切点为，，故．故选：C 27、以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】联立方程组，解得，即所求圆的圆心坐标为，所以圆心到直线的距离，故所求圆的方程为．故选：A 28、若直线过点，斜率为1，圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，，又圆上恰有3个点到l的距离为1，所以圆心到直线的距离等于半径减去1，则圆心到直线l的距离为，解得.故选：D 29、直线截圆所得的弦长为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C．3 D．－3 【答案】B 【详解】易知圆心为，半径，而直线截圆所得的弦长为等于直径，故直线过圆心，所以有.故选：B 30、设直线和圆相交于两点.若，则实数 . 【答案】 【详解】如图所示，由已知，即， 可得，半径，又，所以，即为等腰直角三角形， 所以圆心到直线得距离，即，且，解得：；故答案为： 31、圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 【答案】A 【详解】由已知得圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，所以圆与圆相交.故选：A 32、圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【答案】B 【详解】的圆心为，半径为1，的圆心为，半径为1，可知两圆圆心 距为2，恰好等于两圆半径之和，所以两圆是外切.故选：B 33、已知圆，圆，则两圆的位置关系（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【答案】B 【详解】易知圆的圆心为，半径为；圆可化为 ，圆心，半径为；圆心距，所以两圆外切.故选：B 34、若圆与圆只有唯一的公共点，则 . 【答案】或 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的标准方程为，其中，圆的圆心为，半径为，由题意可知，两圆外切或内切，且，若两圆外切，则，即，解得；若两圆内切，则，即，解得.综上所述，或 35、已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上 (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为又弦的中点坐标为，所以弦的垂直平分线的方程为，即，与直线联立解得：，，所以圆心坐标为所以圆的半径，则圆C的方程为：； （2）设，线段的中点为，，为中点，所以，则，①；因为端点在圆上运动，所以，把①代入得：，所以线段的中点M的轨迹方程是 36、已知点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的中点，则，因为点为圆上的动点，所以，即.故选：D 37、已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【详解】圆：和圆：，两圆作差相减，得直线方程为，经检验，直线方程满足题意.故答案为： 38、已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 【答案】A 【详解】由题意知圆，即圆，圆心为，半径，圆 ，即圆，圆心为，半径，则 ，即两圆相交，将圆和圆的方程相减，可得直线的方程为，则到直线的距离为，故弦的长为，故选：A 39、两圆，的公切线有且仅有 条． 【答案】2 【详解】 化成标准方程为，圆心，半径， 化成标准方程为，圆心，半径，两圆圆心距离，，则两圆相交，因而公切线只有两条．故答案为：2． 40、圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】B 【详解】由题意，圆，则圆心，半径，圆，则圆心,半径，所以两圆圆心距，所以两圆外切.故选：B. 41、已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】两圆圆心分别为，半径分别为2和3，而圆心距为5，故两圆外切，所以两圆的公切线共有3条，故选：C 42、圆与圆的公共弦所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两圆相减可得，经检验，该方程满足题意，故公共弦所在直线的方程为.故选：A 43、两圆与外切，则r的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径也为，因为圆与圆外切，所以,即，解得.故选:C.    44、已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆方程； (2)若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系. 【答案】(1)(2)相交 【详解】（1）已知圆经过点和，则线段的垂直平分线过圆心，又圆心在直线上，由，解得，即圆心，圆的半径.所以圆的标准方程为. （2）圆的方程为，则圆心，半径. 圆与圆的圆心距，， 所以圆与圆相交 45、已知，． (1)求两圆公共弦所在的直线方程； (2)求两圆的公共弦长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意两圆，方程相减得，，整理得，即两圆公共弦所在的直线方程为. （2）由（1）得两圆公共弦所在的直线方程为，圆的圆心、半径分别为，圆心到直线的距离为，所以两圆的公共弦长为 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第1页共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$【2025届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 直线与圆、圆与圆的位置关系知识点·梳理 1、圆的标准方程 ①圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为,半径为,为圆上任意一点，可用集合表示为： ②圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 【即学即练1】在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． ③点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 1°则点在外 2°则点在上 3°则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 1°点在外 2°点在上 3°点在内 【即学即练2】求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上． ④圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; 1°若点在外，则; 2°若点在上，则; 3°若点在内，则; 【即学即练3】圆(x－2)2＋y2＝1上的点到原点距离的取值范围是（    ） A．(0，3] B．[0，3] C．[1，3] D．[2，3] 2、圆的一般方程 ①圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程 叫做圆的一般方程. 1°当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； 2°当时，方程表示一个点 3°当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③ 【即学即练4】若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． ②圆的一般方程与圆的标准方程的特点 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 （） 圆心 半径 ③在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： 1°点在外 2°点在上 3°点在内 【即学即练5】若点在圆外，则实数的取值范围为 . 3、直线与圆的位置关系 ①直线与圆的三种位置关系 直线与圆的位置关系的图象 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 ②判断直线与圆的位置关系的两种方法 1）几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 1°直线与圆相交 2°直线与圆相切 3°直线与圆相离 ③直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1）几何法（优先推荐） 1°弦心距（圆心到直线的距离） 2°弦长公式： 2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 【即学即练6】圆截直线所得的弦长等于（    ） A． B． C．1 D．5 ④直线与圆相切 1）圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2）切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 【即学即练7】过点作圆的一条切线，切点为B，则（    ） A．3 B． C． D． 4、圆与圆的位置关系 ①圆与圆的位置关系 1）圆与圆相交，有两个公共点； 2）圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； 3）圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 ②圆与圆的位置关系的判定 1）几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 2）代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 【即学即练8】已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 ③圆与圆的公共弦 1）圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2）公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 ④圆与圆的公切线 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，共4条； （2）两圆外切时，共3条； （3）两圆相交时，只有2条公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 重点题型·归类精讲 题型一 由圆的方程求圆心或半径 【例1-1】（2018年真题）已知直线过圆的圆心，斜率为，则的方程为 A、 B、 C、 D、 【例1-2】（2015年真题）的半径是 A、9 B、8 C、 D、 【例1-3】（2003年真题）圆的圆心到直线的距离等于 A、 B、 C、 D、 【例1-4】曲线所围成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 【变式2】已知圆的方程是，则圆心的坐标是 ． .题型二 求圆的标准方程与一般方程 【例2-1】（2017年真题）已知点，则以为直径的圆的方程为 A、 B、 C、 D、 【例2-2】已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例2-3】过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例2-4】经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2-5】知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为 . 【变式1】已知点，，以线段AB为直径的圆的标准方程为 ． 【变式2】已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ． .题型三 对圆一般方程的理解 【例3-1】（2019年真题）若方程表示的曲线是圆，则的取值范围是 A、 B、 C、 D、 【例3-2】已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四 求动点轨迹方程 【例4-1】已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 . 【变式1】已知点，O为坐标原点，若动点满足．试求动点P的轨迹方程 题型五 点与圆的位置关系 【例5-1】若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5-2】已知点和，求以线段AB为直径的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上． 【例5-3】已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】点在圆的内部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． 或 D．   【变式2】已知点在圆的外部，则的取值范围是 ． 【变式3】若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六 与圆有关的对称问题 【例6-1】圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【例6-2】圆关于直线对称后的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 题型七 直线与圆的位置关系 【例7-1】（2008年真题）过点的直线与圆不相交，则直线的斜率的取值范围是___ 【例7-2】（2004年真题）圆与直线的位置关系是 A、相离 B、相交且直线不过圆心 C、相切 D、相交且直线过圆心 【变式1】已知直线与圆相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若直线与圆：有一个公共点，则实数等于 . 【变式3】若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 题型八 圆的弦长问题 【例8-1】（2021年真题）已知圆 (1)求当时，圆截直线所得弦的长； (2)求点的轨迹方程。 【例8-2】直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式1】直线与圆交于，两点，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式2】已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A． B． C．4 D． 题型九 圆的切线问题 【例9-1】（2014年真题）过圆与轴正半轴的交点作该圆的切线，切线的方程是___ 【例9-2】（2013年真题）已知过点的直线与圆相切，交于两点，则___ 【变式1】过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】圆在点处的切线方程为 ． 【变式3】从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式4】若从圆（x－1）2＋（y－1）2＝1外一点P（2，3）向这个圆引一条切线，则切线长为（　　） A．1 B． C． D．2 题型十 圆与圆的位置关系 【例10-1】（2014年真题）已知圆与圆外切，则半径 A、 B、 C、 D、 【例10-2】已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【例10-3】若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．1 D．2 【变式1】圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【变式2】设圆：，圆：，则圆，的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【变式3】已知圆和圆内切，则实数的取值范围是 . 题型十一 相交圆的公共弦方程 【例11-1】圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】圆与圆的公共弦所在直线方程为 ． 【变式2】已知圆，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为 . 题型十二 综合运用 【例12-1】（2022年真题）已知点为坐标原点，点满足，则点的轨迹方程（    ） A． B． C． D． 【例12-2】（2016年真题）已知点，点在圆上运动，点为线段的中点 (1)求点的轨迹方程，并说明该轨迹是一个圆 (2)求点的轨迹与圆的公共弦的长 【例12-3】（2012年真题）直线交圆于两点，为圆心，若的面积是，则 A、 B、1 C、 D、2 【例12-4】（2010年真题）已知直线与轴及轴分别交于点和点，则过和坐标原点的圆的圆心坐标是 A、 B、 C、 D、 【例12-5】（2007年真题）已知点，点在圆上运动，动点满足，则的轨迹是一个圆，其半径等于___ 【变式1】已知圆心为C的圆经过点和点两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)已知线段MN的端点M的坐标，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程． 【变式2】两圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．1 【变式3】已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 课后模拟·巩固练习 1、已知圆心为，半径，写出圆的标准方程 ． 2、圆心在y轴，半径为1且过点的圆的标准方程为： 3、圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 4、已知圆，则圆心与半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 5、已知点不在圆C：的内部，求实数的取值范围. 6、圆C：关于直线l：对称的圆的标准方程为 ． 7、已知圆关于直线l对称的圆为圆，则直线l的方程为 . 8、已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 9、圆的圆心到直线与直线的距离相等，则实数（    ） A． B．1或 C．或3 D．3 10、若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是（    ） A．{a|－1＜a＜1} B．{a|0＜a＜1} C．{a|a＜－1或a＞1} D．{a|－1＜a＜0} 11、圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 12、点与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 13、已知圆的面积为，则实数的值为 . 14、若点在圆的外部，则实数a的取值范围为 ． 15、曲线所围成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 16、若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17、方程所表示的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 18、过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 19、若点在圆的外部，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 20、（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： ①； ②． （2）已知点在圆的内部，求实数的取值范围. 21、知点，直线及圆. (1)求过点的圆的切线方程； (2)若直线与圆相切，求实数a的值． 22、若直线与圆相切，则实数的值为 . 23、直线被圆所截得的弦长为 . 24、已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 . 25、若直线与圆相切，则圆的半径为（    ） A．2 B．4 C． D．8 26、过坐标原点O作圆的两条切线OA，OB，切点分别为A，B，则（    ） A． B．2 C． D．4 27、以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 28、若直线过点，斜率为1，圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 29、直线截圆所得的弦长为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C．3 D．－3 30、设直线和圆相交于两点.若，则实数 . 31、圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 32、圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 33、已知圆，圆，则两圆的位置关系（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 34、若圆与圆只有唯一的公共点，则 . 35、已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上 (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 36、已知点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 37、已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 38、已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 39、两圆，的公切线有且仅有 条． 40、圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 41、已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 42、圆与圆的公共弦所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 43、两圆与外切，则r的值为（    ） A． B． C． D．或 44、已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆方程； (2)若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系. 45、已知，． (1)求两圆公共弦所在的直线方程； (2)求两圆的公共弦长． 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第1页共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$