正余弦定理与解三角形 零基础讲义-2025届高三体育单招数学一轮复习

【2025届体育单招数学零基础讲义】 正余弦定理与解三角形知识点·梳理 1、正余弦定理 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1）边化角 ，，； （2）角化边 ，，； ； ． 2、三角形常用面积公式 （1）(表示边上的高)； （2）； （3）(为三角形内切圆半径)． 3、三角形中的射影定理 在 中，；；． 4、常用解题技巧 在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 重点题型·归类精讲 题型一 正余弦定理的选择 【例1-1】（2023年真题）记的内角的对边分别是，若，则AB边上的高为 ． 【例1-2】（2022年真题）在中，边AB、AC、BC分别对应着角C、角B、角A，已知，则AB=（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例1-3】（2019年真题）在中，，则___ 【例1-4】（2017年真题）的内角的对边分别为，若，则 A、 B、 C、 D、 【例1-5】（2015年真题）已知是钝角三角形，，则 A、 B、 C、 D、 【例1-6】（2014年真题）在中，三边的比为，则的最大角等于 A、 B、 C、 D、 【变式1】（2011年真题）在中，，则 【变式2】在中，角的对边分别是，已知，，，则（    ） A．7 B．19 C． D． 【变式3】在中，角所对的边分别为，若，则角（    ） A． B． C． D． 【变式4】在中，边长，则边长（    ） A． B． C． D． 【变式5】在中，已知，则 ； 【变式6】在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（    ） A． B． C． D． 题型二 三角形的周长与面积 【例2-1】（2021年真题）记的内角A、B、C的对边分别是，已知。 （1）求； （2）求的面积。 【例2-2】（2008年真题）是锐角的三条边，已知的面积是，则 【例2-3】（2006年真题）在中，已知其三边长的长度分别是，且是边上的高，则的长度等于___ 【变式1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【变式2】在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【变式3】在锐角中，，，分别为角、、所对的边，且. (1)求角. (2)，，求的面积. 【变式4】的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 题型三 边角互换常见形式 【例3-1】（2016年真题）的内角的对边分别为，且，则 A、 B、 C、 D、 【例3-2】（2014年真题）的内角的对边分别是，且 (1)证明：为直角三角形 (2)若成等差数列，求 【例3-3】（2007年真题）中和的对边分别是和，满足，则的大小为 A、 B、 C、 D、 【例3-4】（2005年真题）在中，角的对边分别是，则 A、 B、 C、 D、 【变式1】在中，角所对的边分别为，，角= 。 【变式2】在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，角= 【变式4】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，:，求角= 题型四 解三角形的综合运用 【例4-1】（2024年真题）在中， (1)求 (2)点在边上，且，求的面积 【例4-2】（2020年真题）的内角的对边分别为 (1)若，求 (2)若，求的面积 【例4-3】（2019年真题）的内角成等差数列 (1)求 (2)求的最大值 【例4-4】（2012年真题）已知是锐角三角形，证明： 【变式1】已知A、B、C为的三个内角，它们的对边分别为a、b、c，若2acosA=ccosB+bcosC． （1）求A； （2）若，的面积，求b+c的值． 【变式2】在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【变式3】已知的三个内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 课后模拟·巩固练习 1、在中，角、、的对边分别为、、，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 2、在中，若，则（　　） A． B． C． 3、在中，已知，则角A等于（    ） A．150° B．120° C．60° D．30° 4、在中，，，分别为角，，的对边，已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 5、在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求． 6、在中，内角、、的对边分别为、、，已知，则等于（ ） A． B． C． D． 7、在中，已知，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 8、在中，，则（ ） A． B． C． D． 9、在中，角，，的对边分别为，，，若的面积等于，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 10、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． 若，，，则边c=_______，ABC的面积等于_______ 11、在中，角所对的边分别为，若角依次成等差数列，且，则____________． 12、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求角C的大小； （2）求的值； （3）求的值． 13、在锐角中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 14、（1）在中，角所对的边分别为，若，则角 。 （2）已知中，角的对边分别为，，则角 ． （3）在中，，则 （4）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 15、在△ABC中，若，则（    ） A． B． C． D． 16、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则 ． 17、在中，，，，则边上的高为 ． 18、在中，角的对边分别为.已知向量，向量，且. （1）求角的大小； （2）若，，求的值. 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第1页共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$【2025届体育单招数学零基础讲义】 正余弦定理与解三角形知识点·梳理 1、正余弦定理 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1）边化角 ，，； （2）角化边 ，，； ； ． 2、三角形常用面积公式 （1）(表示边上的高)； （2）； （3）(为三角形内切圆半径)． 3、三角形中的射影定理 在 中，；；． 4、常用解题技巧 在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 重点题型·归类精讲 题型一 正余弦定理的选择 【例1-1】（2023年真题）记的内角的对边分别是，若，则AB边上的高为 ． 【答案】 【解析】本题考查余弦定理，根据题意作出大致图形 所以三角形为等腰三角形，边上的高，过向作垂线，易得高为 【例1-2】（2022年真题）在中，边AB、AC、BC分别对应着角C、角B、角A，已知，则AB=（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】 【解析】本题考查余弦定理 ,解得 【例1-3】（2019年真题）在中，，则___ 【答案】 【解析】 【例1-4】（2017年真题）的内角的对边分别为，若，则 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】 【例1-5】（2015年真题）已知是钝角三角形，，则 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】正弦定理，，若、 则三角形为直角三角形，所以 【例1-6】（2014年真题）在中，三边的比为，则的最大角等于 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】大边对大角，设最大角为，则 【变式1】（2011年真题）在中，，则 【答案】 【解析】为锐角 【变式2】在中，角的对边分别是，已知，，，则（    ） A．7 B．19 C． D． 【答案】D 【解析】由余弦定理得，所以．所以． 【变式3】在中，角所对的边分别为，若，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，即，所以，所以为锐角，所以. 【变式4】在中，边长，则边长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理得即，解得，故选：B. 【变式5】在中，已知，则 ； 【答案】 【解析】由余弦定理可得, 【变式6】在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且，所以，所以， 因为，所以，故选：A 题型二 三角形的周长与面积 【例2-1】（2021年真题）记的内角A、B、C的对边分别是，已知。 （1）求； （2）求的面积。 解:(1) (两边同时得) 解得(舍去)或 (2) 【例2-2】（2008年真题）是锐角的三条边，已知的面积是，则 【答案】 【解析】 因为三角形为锐角三角形，所以 由余弦定理得 【例2-3】（2006年真题）在中，已知其三边长的长度分别是，且是边上的高，则的长度等于___ 【答案】2 【解析】设长为，则长为 由勾股定理得 即 【变式1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由于， ，则．因为， 由正弦定理知，则． （2）因为，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面积． 【变式2】在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：因为，则，已知得，可得，因此，. （2）解：由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周长为. 【变式3】在锐角中，，，分别为角、、所对的边，且. (1)求角. (2)，，求的面积. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）由得，因为，所以，则， 因为为锐角三角形，所以. （2）由余弦定理得，整理得，又，则， 所以. 【变式4】的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正弦定理知,所以故选：D 题型三 边角互换常见形式 【例3-1】（2016年真题）的内角的对边分别为，且，则 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】-2-2， 【例3-2】（2014年真题）的内角的对边分别是，且 (1)证明：为直角三角形 (2)若成等差数列，求 解：(1)因为，所以 因为，所以，则为直角三角形 (2)由(1)得，成等差数列， ，由上面两个等式消掉 ，化简得 【例3-3】（2007年真题）中和的对边分别是和，满足，则的大小为 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】， ，所以，即 【例3-4】（2005年真题）在中，角的对边分别是，则 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】 【变式1】在中，角所对的边分别为，，角= 。 【答案】 【解析】， 由正弦定理得，即， 即，， ， 【变式2】在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以由正弦定理得，即， 则，故，又，所以.故选：B. 【变式3】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，角= 【答案】 【解析】因为，所以，因为，，所以，所以.又，所以. 【变式4】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，:，求角= 【答案】 【解析】因为，可得，所以由正弦定理可得， 又为三角形内角，，所以，因为，所以，可得，所以 题型四 解三角形的综合运用 【例4-1】（2024年真题）在中， (1)求 (2)点在边上，且，求的面积 解:(1)，即 是三角形三个角由三角函数诱导公式得由正弦定理得，解得，即 (2)由余弦定理得 ，解得或(舍去) 【例4-2】（2020年真题）的内角的对边分别为 (1)若，求 (2)若，求的面积 解: (2) 【例4-3】（2019年真题）的内角成等差数列 (1)求 (2)求的最大值 解:(1)因为成等差数列，所以 又因为 (2) 因为，所以，所以当，即时，取最大值2 【例4-4】（2012年真题）已知是锐角三角形，证明： 证明： 是锐角三角形 【变式1】已知A、B、C为的三个内角，它们的对边分别为a、b、c，若2acosA=ccosB+bcosC． （1）求A； （2）若，的面积，求b+c的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）在中，因2acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理得：2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC， 则2sinAcosA=sin(B+C)=sinA，由于sinA≠0，于是得2cosA=1，即，而，解得， 所以. （2）依题意，，则bc=4， 由余弦定理得：， 则，所以. 【变式2】在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）在中，由正弦定理得， ∵，∴，∴， ，即，∵，∴. （2）由题意得.在中，由正弦定理得. ，∴ 【变式3】已知的三个内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）依题意：，由正弦定理得， 由于，，所以，即，由于，所以. （2）由余弦定理和三角形的面积公式得即可得. 故的周长为. 课后模拟·巩固练习 1、在中，角、、的对边分别为、、，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，由余弦定理的推理得， 又因为,所以.故选：C. 2、在中，若，则（　　） A． B． C． 【答案】A 【解析】由题意可得，， 由余弦定理可得，即， 又，可得，利用正弦定理可知 , 所以.故选：A. 3、在中，已知，则角A等于（    ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】C 【解析】因为，整理得，由余弦定理可得，且，所以.故选：C. 4、在中，，，分别为角，，的对边，已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，由正弦定理可得，整理可得，所以，为三角形内角，，∴，∵，，则，故B错误；∵，，，解得， 由余弦定理得， 解得或（舍去），故C正确，D错误. 又，所以，则三角形为等边三角形， 所以，则，故A错误.故选：C 5、在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求． 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）由正弦定理可得，，即，解得：； （2）由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． （3）由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 6、在中，内角、、的对边分别为、、，已知，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知及正弦定理得：， 又，所以， 化简可得，即，因为为三角形的内角，所以.故选：B. 7、在中，已知，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，由正弦定理，可得， 又由余弦定理得，因为，可得.故选：A 8、在中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ ，∴ ， 由正弦定理得，．故选：A. 9、在中，角，，的对边分别为，，，若的面积等于，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的面积等于，所以由余弦定理得，所以，又，所以．故选:． 10、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． 若，，，则边c=_______，ABC的面积等于_______ 【答案】 【解析】在ABC中，，，，由余弦定理得：， 即 ，解得 ；所以，故答案为：3， 11、在中，角所对的边分别为，若角依次成等差数列，且，则____________． 【答案】 【解析】由题设，若公差为，则，可得， 由余弦定理有，即， ∴，则.故答案为：. 12、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求角C的大小； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1）由余弦定理得，，所以 . （2）由（1）知，有，由正弦定理得，. （3）由，知为锐角，故，进而， 所以，所以. 13、在锐角中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）因为，所以由正弦定理得， 因为，所以，即，因为角为锐角，所以 （2）由余弦定理得，，解得， 所以的面积为 14、（1）在中，角所对的边分别为，若，则角 。 （2）已知中，角的对边分别为，，则角 ． （3）在中，，则 （4）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】依题意，，即，所以，所以为锐角，所以. （2）因为，则，即， 可得，且，所以.故答案为：. （3）依题意，， 由正弦定理得， 由于，所以，所以，所以是锐角，且.故选：B （4）在中，由及正弦定理，得， 则，整理得，而， 因此，又，所以.故答案为： 15、在△ABC中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理得，即，解得.故选：A 16、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则 ． 【答案】 【解析】由，由余弦定理得，由正弦定理得，因为，即，即，因为，则，因为，故.故答案为： 17、在中，，，，则边上的高为 ． 【答案】/ 【解析】在中，，，， 由余弦定理，即，所以， 设边上的高为，则，即，解得. 18、在中，角的对边分别为.已知向量，向量，且. （1）求角的大小； （2）若，，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】（1） ，解得： （2）由余弦定理得：由正弦定理得： 为锐角 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第1页共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$