精品解析：江苏省镇江市丹阳市马相伯高级中学2024-2025学年高二下学期3月质量检测数学试题

丹阳马相伯高级中学高二3月质量检测数学试题 命题人：王圣光 审核人：孙建军 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求，错选或者多选得0分. 1. 一物体做直线运动，其运动方程为，则时，其速度为（ ） A. －2 B. －1 C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的定义求解即可； 【详解】; 故选：D 2. 已知离散型随机变量的分布列为 0 1 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用离散型随机变量的分布列求出，再利用数学期望的性质即可求出. 【详解】， ． 故选：C. 3. 设函数 ，的单调递减区间为（ ） A. B. C. 和 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，再解不等式即得单调递减区间. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，即，解得或， 所以函数的单调减区间为和. 故选：C 4. 已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是的极大值点 C. 当时， D. 在区间上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的极值以及函数的单调性，推出结果． 【详解】解：由导函数的图象可知：导函数在，导函数的符号为正，函数单调递增，A正确； 时，，函数单调递增，，，函数单调递减， 所以是的极大值点，B正确； 在区间上单调递减，D正确； 当时，函数单调递增，可能，所以C不正确； 故选：C． 5. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由求出，再检验是否符合题意即可. 【详解】由题得，因为函数在处取得极小值， 所以或， 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，符合题意， 所以函数在处取得极大值为； 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极大值，不符合题意； 综上，的极大值为4. 故选：A 6. 设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（ ） A. 与B相互独立 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】AC选项，求出各个事件的概率，得到，，A错误，C正确；BD选项，由条件概率公式进行求解. 【详解】AC选项，由题意得，， ，， ，， 故，C正确； 由于，故， 故与B不互相独立，A错误； B选项，由条件概率得，B错误； D选项，，D错误； 故选：C 7. 若直线l与两函数、的图象都相切，则该直线的斜率为（ ） A. 0或1 B. 1或 C. 1或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设出直线方程，利用导数的几何意义可得答案. 【详解】设直线l的方程为，分别与两函数相切于， ，，则，整理得①； 由，整理得②； 联立①②可得，解得或. 故选：C 8. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，根据题意可判断，是偶函数，在上是增函数，在减函数，把原不等式转化为解不等式，进而，解得即可. 【详解】令，则， 当时，，所以当时，， 即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以，所以是偶函数，在单调递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】本题考查了导数的定义、基本求导公式和法则，掌握导数的定义及常见函数的求导方法是解题的关键． 根据导数的定义、求导公式和法则，逐一计算并判断各选项的正确性． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，若，则，即，故C正确； 对于D，，故，故，故D正确． 故选：CD． 10. 从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题抽出的题不再放回，则（ ） A. “第1次抽到代数题”与“第2次抽到代数题”相互独立 B. “第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件 C. “第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”的概率是 D. 在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件，独立事件的定义判断AB，利用条件概率公式计算判断CD． 【详解】第一次抽到代数题为，第二次抽到代数题为 即不独立，故A错误； “第一次抽到代数题”与“第一次抽到几何体”显然不可能同时发生，是互斥事件，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，有两个极值点 B. 当时，有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 当时，过点可作曲线的三条切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数求解极值点即可判断A；根据函数单调性以及极值的正负即可判断B；利用函数对称的性质即可判断C；设出切点，利用导数的几何意义求解切线的方程，结合条件把问题转化为函数图象的交点个数问题，即可判断D. 【详解】对于A，由题知，定义域为，则， 当时，令，得或， 令，得或， 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 所以为极大值点，为极小值点，故A正确； 对于B，当时，当时，；当时，， 且， ， 因为，所以，， 所以，， 所以有三个零点，B正确； 对于C，若点是曲线的对称中心，则满足恒成立， 因为， ， 所以，其值不恒为0，C错误； 对于D，设过点的直线与相切的切点为， 则，且切线斜率为， 故切线的方程为，即， 因为切线过，则， 整理得，即， 构造函数与， 对于函数，， 令，得或2， 令，得或，即该函数在和上单调递增， 令，得，即该函数在上单调递减， 时，函数有极小值；时，函数有极大值， 当时，；当时，， 作出函数与的图象，如图，  因为，所以， 所以函数与图象有三个交点， 即方程有三个解， 即过点可作曲线的三条切线，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，双空题第一空2分，第二空3分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上. 12. 设随机变量，且，则______；若，则的方差为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】(1)用二项分布的概率公式可解； (2)用二项分布的方差结论即可解决. 【详解】(1) ,则， 则，解得 (2) ，由(1)得，则． ，则 故答案为：；． 13. 已知函数在定义域上单调递增，则实数m的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据在函数的定义域上，恒成立，求参数的取值范围. 【详解】因为，. 所以，. 由在定义域上单调递增，所以在上恒成立. 即，. 因为（当且仅当时取“”）. 所以. 所以实数的最大值为. 故答案为： 14. 若，，，结合函数的性质，的大小关系为__________（用“＞”连接）. 【答案】 【解析】 【分析】求导，确定函数单调性，进而可比较大小. 【详解】由， ， 当，可知， 所以在单调递减， 又，，， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设某仓库有一批产品，已知其中50%，30%，20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为，，. （1）现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率； （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，求该件产品是甲厂生产的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解即可； （2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的， 以表示事件取到的产品为次品，则 ，，， ，， 由全概率公式，得 . 【小问2详解】 若从这批产品中取出一件产品，发现是次品， 该件产品是甲厂生产的概率为 . 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）已知： ①求直线与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 【答案】（1） 如图： 连接，交于，因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以，又平面，平面， 所以平面. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，根据线线平行，证明线面平行. （2）利用体积法求点到平面的距离，再求直线与平面所成角的正弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以是直角三角形， 又为中点，且，所以. 设点到平面的距离为，则. 又因为, 所以. 因为平面，平面，所以， 又底面为正方形，所以，平面，， 所以平面. 又平面，所以.所以为直角三角形. 中，，，. 因为，所以为直角三角形，所以. 所以.即点到平面的距离为. 又， 设直线与平面所成的角为， 则. 即直线与平面所成角的正弦值为：. 17. 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7，0.6和0.5． （1）若三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率； （2）若甲单独向目标射击三次，求命中次数X的分布列和均值． 【答案】（1）0.94 （2） X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 2.1 【解析】 【分析】（1）先求出三人都不命中目标的概率，再用1减去这个概率就能得到至少有一人命中目标的概率.（2）甲单独射击三次，命中次数X服从二项分布，根据二项分布的概率公式求出X取不同值时的概率，进而列出分布列，再根据均值公式求出均值. 【小问1详解】 设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C， 由题知，， , 若三人各向目标射击一次, 则至少有一人命中目标的概率． 【小问2详解】 易知X的所有可能取值为0，1，2，3， 当时，三次射击都没命中，此时； 当时，三次射击中有一次命中，此时； 当时，三次射击中有两次命中，此时； 当时，三次射击都命中，此时， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 ． 18. 福州某公园有一个半圆形荷花池（如图所示），为了让游客深入花丛中体验荷花美景，公园管理处计划在半圆形荷花池中设计栈道观景台和栈道、、、，观景台在半圆形的中轴线上（如图，与直径垂直，与不重合），通过栈道把荷花池连接起来，使人行其中有置身花海之感．已知米，，栈道总长度为． （1）求关于的函数关系式． （2）若栈道的造价为每米千元，问：栈道长度是多少时，栈道的建设费用最小？并求出该最小值． 【答案】（1）， （2）栈道长度是时建设费用最小，最小值为千元 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的概念分别求、、的长度即可； （2）求出的导函数，得到函数的单调性，进而即可求出最值. 【小问1详解】 因为在半圆形的中轴线上，，米，， 所以，， 所以， 所以栈道总长度 ，. 【小问2详解】 由（1）得，， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当，即时，栈道的建设费用最小， 建设费用最小值为千元. 19. 已知函数. （1）讨论在的单调性； （2）若，证明：当时，. 【答案】（1） 时，在单调递增； 时，在单调递增；在单调递减； （2） 当时，， 原不等式即为： 即． 设，则． 由解析式易知在上单调递增，且，， 所以存在唯一的，使得，即，． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以， 故原命题成立． 【解析】 【分析】（1）求导，通过，讨论导数符合，即可求解； （2）不等式转化为，设函数，求导数，由解析式可知递增，由函数零点存在定理可知存在唯一的，使得，从而得到函数单调区间并得到函数最小值，证明函数最小值大于等于0即可得证. 【小问1详解】 由， 可得：， 当，即时，此时在恒成立， 所以在单调递增； 当，即时，由，可得， 由，可得， 所以在的单调递增；在单调递减； 综上：时，在单调递增； 时，在单调递增；在单调递减； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丹阳马相伯高级中学高二3月质量检测数学试题 命题人：王圣光 审核人：孙建军 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求，错选或者多选得0分. 1. 一物体做直线运动，其运动方程为，则时，其速度为（ ） A. －2 B. －1 C. 0 D. 2 2. 已知离散型随机变量的分布列为 0 1 则（ ） A. B. C. D. 3. 设函数 ，的单调递减区间为（ ） A. B. C. 和 D. 4. 已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是的极大值点 C. 当时， D. 在区间上单调递减 5. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 6. 设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（ ） A. 与B相互独立 B. C. D. 7. 若直线l与两函数、的图象都相切，则该直线的斜率为（ ） A. 0或1 B. 1或 C. 1或 D. 或 8. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 10. 从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题抽出的题不再放回，则（ ） A. “第1次抽到代数题”与“第2次抽到代数题”相互独立 B. “第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件 C. “第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”的概率是 D. 在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率是 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，有两个极值点 B. 当时，有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 当时，过点可作曲线的三条切线 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，双空题第一空2分，第二空3分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上. 12. 设随机变量，且，则______；若，则的方差为______． 13. 已知函数在定义域上单调递增，则实数m的最大值是__________. 14. 若，，，结合函数的性质，的大小关系为__________（用“＞”连接）. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设某仓库有一批产品，已知其中50%，30%，20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为，，. （1）现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率； （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，求该件产品是甲厂生产的概率. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）已知： ①求直线与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 17. 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7，0.6和0.5． （1）若三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率； （2）若甲单独向目标射击三次，求命中次数X的分布列和均值． 18. 福州某公园有一个半圆形荷花池（如图所示），为了让游客深入花丛中体验荷花美景，公园管理处计划在半圆形荷花池中设计栈道观景台和栈道、、、，观景台在半圆形的中轴线上（如图，与直径垂直，与不重合），通过栈道把荷花池连接起来，使人行其中有置身花海之感．已知米，，栈道总长度为． （1）求关于的函数关系式． （2）若栈道的造价为每米千元，问：栈道长度是多少时，栈道的建设费用最小？并求出该最小值． 19. 已知函数. （1）讨论在的单调性； （2）若，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $