第一章特殊的平行四边形 正方形同步练习2024-2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版数学9年级上第一章特殊的平行四边形正方形 一．选择题（共10小题） 1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则∠AEB′为（　　） A．70° B．65° C．30° D．60° 2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE．若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为（　　） A．80° B．90° C．105° D．115° 3．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为（　　） A．2 B． C． D． 4．已知，如图边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为（　　） A． B． C． D．2 5．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，AF⊥BE于点F，交BD于点G，则下述结论中不成立的是（　　） A．AG＝BE B．△ABG≌△BCE C．AE＝DG D．∠AGD＝∠DAG 6．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PDEC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（　　） A．①②④⑤⑥ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 7．如图：E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（　　） A． B． C． D． 8．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠，使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则的值是（　　） A． B．1 C．2 D．3 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段OC长的最大值是（　　） A． B． C． D．8 10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在BC和CD上，分别连接AE、AF、EF，若∠EAF＝45°，EC＝3，则CF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二．填空题（共6小题） 11．如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E在线段BC上，OF⊥OE交CD于点F，小明向正方形内投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是 　 　 ． 12．已知：如图所示，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，则∠AEB＝　 　 ． 13．如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到如图所示的位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是 　 　 ． 14．如图，正方形ABCD的边长是2，以正方形ABCD的边AB为边，在正方形内作等边三角形ABE，P为对角线AC上的一点，则PD+PE的最小值为　 　 ． 15．如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝　 　 ． 16．如图，边长为1的正方形ABCD，点P为边AD上一动点（不与点A重合）．连接BP，将△ABP沿直线BP折叠，点A落在点A′处，如果点A′恰好落在正方形ABCD的对角线上，则AP的长为　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面积． 18．已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足． 求证：AP＝EF． 19．如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BG⊥AE，垂足为点G，延长BG交CD于点F，连接AF． （1）求证：BE＝CF． （2）若正方形边长是5，BE＝2，求AG的长． 20．综合与实践 【操作感知】如图①，在矩形纸片ABCD的AD边上取一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连结PM、BM．∠DPM＝60°，则∠MBC的大小为 　 　 度． 【迁移探究】如图②，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片ABCD按照【操作感知】进行折叠，并延长PM交CD于点Q，连结BQ． （1）判断△MBQ与△CBQ的关系并证明． （2）若正方形ABCD的边长为4，点P为AD中点，则CQ的长为 　 　 ． 21．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，E为对角线AC上一个动点，连接DE．过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形（提示：过点E作EM⊥BC于点M，过点E作EN⊥CD于点N）． （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 22．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD、DC的中点，AF、BE交于点G，连接CG，试说明：△CGB是等腰三角形． 23．如图所示，在正方形ABCD中，M为AB上任意一点，MN丄DM，BN平分∠CBE，试说明：MD＝MN． 北师大版数学9年级上第一章特殊的平行四边形正方形 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B A D A C C B B 一．选择题（共10小题） 1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则∠AEB′为（　　） A．70° B．65° C．30° D．60° 【分析】依据正方形的性质以及折叠的性质，即可得到∠AEB'＝60°． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFC＝180°， ∵∠EFC＝120°， ∴∠BEF＝180°﹣∠EFC＝60°， ∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上， ∴∠BEF＝∠FEB'＝60°， ∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°， 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键． 2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE．若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为（　　） A．80° B．90° C．105° D．115° 【分析】先根据正方形的性质及EF∥BC得∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°，进而得∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF，然后证△AEF和△DFE全等得∠CAE＝∠FDE＝15°，从而得∠ADE＝30°，最后利用三角形的内角和定理可求出∠AED的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴OA＝OD，∠OBC＝∠OCB＝∠OAD＝∠ODA＝45°， ∵EF∥BC， ∴∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°， ∴∠OEF＝∠OFE＝45°， ∴∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF， ∵OA＝OD， ∴AE＝DF， 在△AEF和△DFE中， AE＝DF，∠AEF＝∠DFE＝135°，EF＝FE， ∴△AEF≌△DFE（SAS）， ∴∠CAF＝∠FDE＝15°， ∴∠ADE＝∠ODA﹣∠FDE＝45°﹣15°＝30°， ∴∠AED＝180°﹣∠OAD﹣∠ADE＝180°﹣45°﹣30°＝105°． 故选：C． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，解答此题的关键是依据正方形的性质得出判定△AEF和△DFE全等的条件． 3．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】首先证明出MN是△AEF的中位线，得出 MN，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当BE最大时，AE最大，此时MN最大，进而得到当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，最后代入求解即可． 【解答】解：如图所示，连接AE， ∵M，N分别是EF，AF的中点， ∴MN是△AEF的中位线， ∴MNAE， ∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°， ∴AE， ∴当BE最大时，AE最大，此时MN最大， ∵点E是BC上的动点， ∴当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度， ∴此时此时AE2， ∴MNAE， ∴MN的最大值为． 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 4．已知，如图边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为（　　） A． B． C． D．2 【分析】根据旋转的性质得∠BCF＝30°，CB＝CF＝3，∠F＝∠B＝90°，则可根据“HL”判断Rt△CHF≌Rt△CHD，所以∠FCH＝∠DCH＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解． 【解答】解：连接CH，如图， ∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG， ∴∠BCF＝30°，CB＝CF＝3，∠F＝∠B＝90°， ∴∠DCF＝60°， 而CB＝CD＝3， ∴CD＝CF， 在Rt△CHF和Rt△CHD中 ， ∴Rt△CHF≌Rt△CHD， ∴∠FCH＝∠DCH， ∴∠DCH∠DCF＝30°， ∴DHDC3． 故选：A． 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． 5．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，AF⊥BE于点F，交BD于点G，则下述结论中不成立的是（　　） A．AG＝BE B．△ABG≌△BCE C．AE＝DG D．∠AGD＝∠DAG 【分析】根据ASA方法求证△ABG≌△BCE，得AE＝DG，AG＝BE，故A、B、C选项正确． 【解答】解：在△ABG和△BCE中，AB＝BC， ∵AC，BD为正方形的角平分线∴∠ABG＝∠BCE＝45°， ∵AF⊥BE，∴∠BAF+∠ABF＝90°， 又∵∠ABF+∠CBE＝90°，∴∠BAF＝∠CBE， 所以△ABG≌△BCE，故B选项正确； ∵全等三角形对应边相等 ∴AE＝DG，故C选项正确； 且AG＝BE． 故A选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形中对应边相等，考查了正方形对角线垂直且对角线互相平分的性质．解题关键是找出全等三角形，并且求证． 6．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PDEC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（　　） A．①②④⑤⑥ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，求得DPEC． ②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8； ③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形； ④由②可知，四边形PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP＝EF； ⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于2； ⑥证明∠PFH+∠HPF＝90°，则AP⊥EF． 【解答】解：①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H， ∵GF∥BC， ∴∠DPF＝∠DBC， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠DBC＝45° ∴∠DPF＝∠DBC＝45°， ∴∠PDF＝∠DPF＝45°， ∴PF＝EC＝DF， ∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2， ∴DPEC． 故①正确； ②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°， ∴四边形PECF为矩形， ∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8， 故②正确； ③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°， ∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形， 除此之外，△APD不是等腰三角形， 故③错误． ④∵四边形PECF为矩形， ∴PC＝EF， 由正方形为轴对称图形， ∴AP＝PC， ∴AP＝EF， 故④正确； ⑤由EF＝PC＝AP， ∴当AP最小时，EF最小， 则当AP⊥BD时，即APBD2时，EF的最小值等于2， 故⑤正确； ⑥∵BD平分∠ABC，PG⊥AB，PE⊥BC， ∴PG＝PE， ∵AP＝PC，∠AGP＝∠EPF＝90°， ∴△AGP≌△FPE（SAS）， ∴∠BAP＝∠PFE， ∵GF∥BC， ∴∠AGP＝90°， ∴∠BAP+∠APG＝90°， ∵∠APG＝∠HPF， ∴∠PFH+∠HPF＝90°， ∴AP⊥EF， 故⑥正确； 本题正确的有：①②④⑤⑥； 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题． 7．如图：E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】连接BP，过C作CM⊥BD，利用面积法求解，PQ+PR的值等于C点到BE的距离，即正方形对角线的一半． 【解答】解：连接BP，过C作CM⊥BD，如图所示： ∵BC＝BE， ∴S△BCE＝S△BPE+S△BPC BC×PQBE×PRBC×（PQ+PR）BE×CM， ∴PQ+PR＝CM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，CD＝BC＝1，∠CBD＝∠CDB＝45°， ∴BD， ∵BC＝CD，CM⊥BD， ∴M为BD中点， ∴CMBD， 即PQ+PR值是． 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法求解是解决问题的关键． 8．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠，使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则的值是（　　） A． B．1 C．2 D．3 【分析】设正方形纸片ABCD的边长为2a，由折叠的性质与正方形的性质可得AM＝BM＝DN＝NC＝a，AD＝DF＝MN＝2a，AE＝EF，∠EMF＝∠DNF＝90°，由勾股定理可求FN的长，进而可求FM的长，设AE＝EF＝x，再利用勾股定理可求x，得到EM的长，代入，计算即可． 【解答】解：设正方形纸片ABCD的边长为2a． 由题意可知：AM＝BM＝DN＝NC＝a，AD＝DF＝MN＝2a，AE＝EF，∠EMF＝∠DNF＝90°， ∴FNa， ∴FM＝MN﹣FN＝（2）a． 设AE＝EF＝x，则EM＝AM﹣AE＝a﹣x． 在Rt△EMF中，∵EM2+MF2＝EF2， ∴（a﹣x）2+[（2）a]2＝x2， ∴x＝（4﹣2）a， ∴EM＝a﹣（4﹣2）a＝（23）a， ∴2． 故选：C． 【点评】此题考查了翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了正方形的性质，利用勾股定理得到FN与EM的长是解答此问题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段OC长的最大值是（　　） A． B． C． D．8 【分析】取AB的中点E，连接OE、CE，则BEAB，根据正方形的性质及勾股定理得出CE＝2，，结合图形得出当点E在线段OC上时，线段OC的长最大，即可求解． 【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、CE， 则 ， ∵四边形ABCD是正方形，边长为4， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝4， ∴， 在Rt△CEB 中，∠CBE＝90°，由勾股定理，得， 在 Rt△AOB中，∠AOB＝90°，点E是斜边AB的中点， ∴， 由图可知：OC≤OE+EC，当点E在线段OC上时，线段OC的长最大，最大值是OE+CE＝2+2． 故选：B． 【点评】本题主要考查正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理解三角形及三角形三边关系，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在BC和CD上，分别连接AE、AF、EF，若∠EAF＝45°，EC＝3，则CF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，根据旋转的性质可得HD＝BE，AH＝AE，∠DAH＝∠BAE，然后求出∠FAH＝∠EAF，再利用“边角边”证明△AEF和△AHF全等，由勾股定理可求DF的长，即可求解． 【解答】解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH， 由旋转的性质得，HD＝BE，AH＝AE，∠DAH＝∠BAE， 所以，∠FAH＝∠DAH+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣∠EAF， ∵∠EAF＝45°， ∴∠FAH＝90°﹣45°＝45°， ∴∠FAH＝∠EAF， 在△AEF和△AHF中， ， ∴△AEF≌△AHF（SAS）， ∴EF＝FH， ∵EC＝3， ∴BE＝3， ∴HF＝3+DF＝EF， ∵EF2＝FC2+EC2， ∴（3+DF）2＝（6﹣DF）2+9， ∴DF＝2， ∴FC＝CD﹣DF＝4， 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于利用旋转变换作出全等三角形． 二．填空题（共6小题） 11．如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E在线段BC上，OF⊥OE交CD于点F，小明向正方形内投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是 　　 ． 【分析】根据正方形的性质易得△OEC≌△OFD，所以S△OEC＝S△OFD，则S阴影部分＝S△ODCS正方形ABCD，然后根据几何概率的意义求解． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴OC＝OD，∠COD＝90°，∠OCE＝∠ODF， ∵OF⊥OE， ∴∠EOC+∠COF＝90°， ∵∠DOF+∠COF＝90°， ∴∠EOC＝∠FOD， ∴△OEC≌△OFD， ∴S△OEC＝S△OFD， ∴S阴影部分＝S△ODCS正方形ABCD， ∴飞镖落在阴影区域的概率． 故答案为：． 【点评】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．也考查了正方形的性质． 12．已知：如图所示，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，则∠AEB＝　30°　 ． 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠DAE，然后求出∠BAE的度数，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【解答】解：∵AE＝AD，∠ADE＝75°， ∴∠DAE＝180°﹣2∠DAE＝180°﹣2×75°＝30°， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+30°＝120°， ∵AB＝AD， ∴AB＝AE， ∴∠AEB（180°﹣∠BAE）（180°﹣120°）＝30°． 故答案为：30°． 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，解题的关键是掌握正方形四边相等的性质和等边三角形等边对等角的性质． 13．如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到如图所示的位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是 　　 ． 【分析】如图所示，△ENC、△MPF为等腰直角三角形，先求出MB＝NC，证明△PBC≌△PEC，进而得到EP＝BP，设MP＝x，则EP＝BP，解出x，最后阴影部分面积等于2倍△BPC面积即可求解． 【解答】解：方法一：正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上， ∴EF＝CE＝1， ∴CF， ∴BF1， ∵∠BFE＝45°， ∴阴影部分的面积1×1（1）21； 方法二：∵过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP，如图所示， ∵B在对角线CF上， ∴∠DCE＝∠ECF＝45°，EC＝1， ∴△ENC为等腰直角三角形， ∴MB＝CNEC， 又BC＝AD＝CD＝CE，且CP＝CP，△PEC和△PBC均为直角三角形， ∴Rt△PEC≌Rt△PBC（HL）， ∴PB＝PE， 又∠PFB＝45°， ∴∠FPB＝45°＝∠MPE， ∴△MPE为等腰直角三角形， 设MP＝x，则EP＝BP， ∵MP+BP＝MB， ∴，解得， ∴BP， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是能想到过E点作BC的平行线，再证明△ENC、△MPF为等腰直角三角形进而求解线段长． 14．如图，正方形ABCD的边长是2，以正方形ABCD的边AB为边，在正方形内作等边三角形ABE，P为对角线AC上的一点，则PD+PE的最小值为　2　 ． 【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为P点．此时PD+PE＝BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE＝AB，从而得出结果． 【解答】解：连接BD，与AC交于点F，则BE与AC交点为P，连接PD， ∵点B与D关于AC对称， ∴PD＝PB， ∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小． 又∵△ABE是等边三角形， ∴BE＝AB＝2． 即所求最小值为2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，难点主要是确定点P的位置．注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点P的位置即可．要灵活运用对称性解决此类问题． 15．如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝　1　 ． 【分析】设CG＝x，则BG＝8﹣x，根据勾股定理可得AB2+BG2＝CE2+CG2，可求得x的值，进而求出BG的长． 【解答】解：连接AG，EG， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE＝4， 设CG＝x，则BG＝8﹣x， 在Rt△ABG和Rt△GCE中，根据勾股定理，得 AB2+BG2＝CE2+CG2， 即82+（8﹣x）2＝42+x2， 解得x＝7， ∴BG＝BC﹣CG＝8﹣7＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练运用线段垂直平分线的性质构造辅助线． 16．如图，边长为1的正方形ABCD，点P为边AD上一动点（不与点A重合）．连接BP，将△ABP沿直线BP折叠，点A落在点A′处，如果点A′恰好落在正方形ABCD的对角线上，则AP的长为　1或1　 ． 【分析】根据翻折的性质和正方形的性质以及勾股定理解答即可． 【解答】解：连接A'D， （1）当P在A、D之间时， ∵将△ABP沿直线BP折叠，点A落在点A′处，如果点A′恰好落在正方形ABCD的对角线BD上， ∴∠A＝∠PA'B＝∠PA'D＝90°，AP＝A'P，AB＝A'B， ∵边长为1的正方形ABCD， ∴BD， 设AP＝x，则PD＝1﹣x， ∴A'P＝AP＝x，DA'＝BD﹣BA'＝BD﹣AB1， 在Rt△PDA'中．PD2＝PA'2+A'D2， 即， 解得：x1， 即AP1， （2）当点A'与点C重合时，亦符合题意， 此时，AP＝AD＝1， 故答案为：1或1． 【点评】此题考查翻折的性质，关键是根据翻折的性质和正方形的性质以及勾股定理解答． 三．解答题（共7小题） 17．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面积． 【分析】（1）根据SAS只要证明AD＝AB，∠D＝∠ABF，DE＝BF即可； （2）只要证明△AEF是等腰直角三角形即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°， 而F是CB的延长线上的点， ∴∠ABF＝90°， 在△ADE和△ABF中 ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）； （2）解：∵BC＝8， ∴AD＝8， 在Rt△ADE中，DE＝6，AD＝8， ∴AE10， ∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到， ∴AE＝AF，∠EAF＝90°， ∴△AEF的面积AE2100＝50． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积．等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键利用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型． 18．已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足． 求证：AP＝EF． 【分析】利用正方形的关于对角线成轴对称，利用轴对称的性质可得出EF＝AP． 【解答】证明：如图，连接PC， ∵PE⊥DC，PF⊥BC，四边形ABCD是正方形， ∴∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°， ∴四边形PECF为矩形， ∴PC＝EF， 又∵P为BD上任意一点， ∴PA、PC关于BD对称， 可以得出，PA＝PC，所以EF＝AP． 【点评】此题主要考查了正方形的对称性．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形． 19．如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BG⊥AE，垂足为点G，延长BG交CD于点F，连接AF． （1）求证：BE＝CF． （2）若正方形边长是5，BE＝2，求AG的长． 【分析】（1）根据ASA证明△ABE≌△BCF，可得结论； （2）根据（1）得：△ABE≌△BCF，则CF＝BE＝2，最后利用勾股定理可得AF的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF， ∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∵BG⊥AE， ∴∠BGE＝90°， ∴∠AEB+∠EBG＝90°， ∴∠BAE＝∠EBG， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BE＝CF； （2）∵正方形边长是5， ∴AB＝BC＝CD＝5， ∵BE＝2， ∴AE， ∴AG：AB＝AB：AE， AG：5＝5：， ∴AG． 【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明△ABE≌△BCF是解本题的关键． 20．综合与实践 【操作感知】如图①，在矩形纸片ABCD的AD边上取一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连结PM、BM．∠DPM＝60°，则∠MBC的大小为 　30　 度． 【迁移探究】如图②，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片ABCD按照【操作感知】进行折叠，并延长PM交CD于点Q，连结BQ． （1）判断△MBQ与△CBQ的关系并证明． （2）若正方形ABCD的边长为4，点P为AD中点，则CQ的长为 　　 ． 【分析】操作感知：根据折叠求出∠ABP＝∠MBP＝30°，即可得出结论； 迁移探究：（1）根据HL证Rt△MBQ≌Rt△CBQ即可； （2）设CQ的长为x，则DQ＝4﹣x，MQx，利用勾股定理求出x的值即可． 【解答】解：【操作感知】：由折叠知，∠APB＝∠MPB，∠ABP＝∠MBP，∠A＝∠M＝90°， ∵∠DPM＝60°， ∴∠APB＝∠MPB＝（180°﹣∠DPM）÷2＝60°， ∴∠ABP＝∠MBP＝30°， ∴∠MBC＝90°﹣∠ABP﹣∠MBP＝30°， 故答案为：30； 【迁移探究】（1）判断：△MBQ≌△CBQ， 证明：∵正方形纸片ABCD按照【操作感知】进行折叠， ∴AB＝BM＝BC，∠A＝∠BMP＝∠BMQ＝∠C＝90° 在Rt△MBQ和Rt△CBQ中， ， ∴Rt△MBQ≌Rt△CBQ（HL）， 即△MBQ≌△CBQ； （2）设CQ的长为x， ∵正方形ABCD的边长为4，点P为AD中点， ∴DQ＝4﹣x，MQx，PM＝AP2， 在Rt△PDQ中，PQ2＝PD2+DQ2， 即（2+x）2＝22+（4﹣x）2， 解得x， 故答案为：． 【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，长方形的性质，全等三角形的判定等知识是解题的关键． 21．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，E为对角线AC上一个动点，连接DE．过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形（提示：过点E作EM⊥BC于点M，过点E作EN⊥CD于点N）． （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）作出辅助线，得到EM＝EN，然后再判断∠MEF＝∠NED，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF，即可判断矩形DEFG为正方形； （2）由四边形ABCD为正方形，四边形DEFG是正方形可知AD＝CD，DE＝DG，故可得△ADE≌△CDG，得到AE＝CG，即可判断CE+CG＝8，为定值． 【解答】（1）证明：如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°， ∵EM⊥BC，EN⊥CD， ∴∠EMF＝∠ENC＝∠END＝90°， ∴∠MEN＝90°， ∵四边形DEFG为矩形， ∴∠FED＝90°， ∴∠MEN﹣∠FEN＝∠FED﹣∠FEN，即∠MEF＝∠NED， ∵E是正方形ABCD对角线的交点， ∴EN＝EM， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形． （2）解：CE+CG的值为定值， ∵矩形DEFG为正方形， ∴DE＝DG，∠EDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°， ∴∠EDG﹣∠EDC＝∠ADC﹣∠EDC，即∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝8， ∴CE+CG＝8是定值． 【点评】本题考查了正方形的性质，判定和矩形的性质，关键是结合图形得出三角形全等． 22．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD、DC的中点，AF、BE交于点G，连接CG，试说明：△CGB是等腰三角形． 【分析】先由SAS证明△ABE≌△DAF，得出∠ABE＝∠DAF，再根据角的互余关系求出AF⊥BE，同理得出CM⊥BE，证出AF∥CM，得出CM垂直平分BG，从而证出CG＝BC，得出结论． 【解答】解：取AB的中点M，连接CM交BE于N，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA＝CD，∠BAE＝∠ADF＝90°， ∵点E、F分别是边AD和CD的中点， ∴AEAB，DFCD， ∴AE＝DF， 在△ABE和△DAF中， ， ∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴∠ABE＝∠DAF， ∵∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠DAF+∠AEB＝90°， ∴∠AGE＝90°， ∴AF⊥BE， 同理可得CM⊥BE， ∴AF∥CM， ∵M是AB的中点， ∴MN是△ABG的中位线， ∴N是BG的中点， ∴CM垂直平分BG， ∴CG＝BC， ∴△CGB是等腰三角形． 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质、平行的判定；通过证明三角形全等，进一步证出平行线是解决问题的关键． 23．如图所示，在正方形ABCD中，M为AB上任意一点，MN丄DM，BN平分∠CBE，试说明：MD＝MN． 【分析】在AD上取一点P，使DP＝BM，连接PM，利用正方形的性，证得△MPD≌△NBM，得出结论． 【解答】解：在AD上取一点P，使DP＝BM，连接PM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD； ∴AM＝AP； ∴∠AMP＝∠APM＝45°； ∴∠DPM＝135°； 而BN平分∠CBE， ∴∠NBE＝45°； ∴∠MBN＝135°； ∵MN⊥MD， ∴∠ADM+∠AMD＝∠NMB+∠AMD＝90°， ∴∠ADM＝∠NMB，即∠MDP＝∠NMB． 在△MPD与△NBM中， ， ∴△MPD≌△NBM（ASA）， ∴MD＝MN． 【点评】此题考查正方形的性质，三角形全等的判定；把正方形和全等三角形的知识结合起来，巧妙作出辅助线解决问题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/30 15:24:00；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 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