精品解析：新疆维吾尔自治区哈密市伊州区哈密市第十五中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

高一3月数学月考 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，从而可求出的值. 【详解】解：因为向量，， 所以， 所以， 故选：D 【点睛】此题考查平面向量的坐标运算，向量的模，向量的减法运算，属于基础题. 2. 在平行四边形ABCD中，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量加法法则即可求出答案. 【详解】画出图形，如图所示： . 故选：D. 【点睛】用符号表示的向量的加减法： ①加法：首尾相连，方向为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点（符合三角形法则）； ②减法：起点相同，方向指向被减向量（符合三角形法则）. 3. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法的几何意义分类讨论. 【详解】，当，同向时，；当，反向时，； 当，不共线时， ； 故选：C. 4. 在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解作答. 【详解】在中，，，由正弦定理得， 因此，显然， 所以. 故选：C 5. 已知向量，，则“”是“与的夹角为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据与的夹角为锐角求出的取值范围，再结合必要不充分条件的概念可得答案. 【详解】当与的夹角为锐角时，且与不共线， 即，∴且， ∴“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 下列关于向量的运算，不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A：根据数量积的分配律即可判断； 对于B：左边为的共线向量，右边为的共线向量，即可判断； 对于C：根据数量积的定义，即可判断； 对于D：利用数量积的模的定义即可判断． 【详解】对于A：根据数量积的分配律可知A正确； 对于B：选项B中，左边为的共线向量，右边为的共线向量，故B不正确； 对于C：根据数量积的定义，可知，故C正确； 对于D：= ≤=， 故，故D正确． 故选：B 7. 如图所示，已知，点C是点B关于点A的对称点，和交于点E，若，则实数的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，，用表示，由三点共线即可求出. 【详解】由题意知：点为中点，则，又，则，故 ， 又三点共线，可得，解得. 故选：B. 8. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min．若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为________m． A. 50 B. 50 C. 50 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可得长度，∠CDO＝60°，在△OCD中，利用余弦定理可得解 【详解】 连结OC，在△OCD中，OD＝=100，CD＝150，∠CDO＝60°， 由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17 500， 解得OC＝50 (m)． 故选：C 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设点是正方形的中心，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与共线 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由正方形的性质和向量的性质进行分析判断 【详解】解：因为点是正方形的中心，所以，所以A正确，与的模相同，但长度不相等，所以D错误， ，与共线，所以BC正确， 故选：ABC 10. 已知向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 与的夹角为 【答案】AC 【解析】 【分析】对两边平方可判断A；计算出可判断B；利用求出可判断CD． 【详解】对于A，因为，，且，所以， 则，则，故A正确； 对于B，因为，所以与不垂直，故B错误； 对于C ，，又，所以与的夹角为， 故C正确D错误． 故选：AC． 11. 在中，下列命题正确的是（    ） A. 是的充要条件 B. 若，则是直角三角形 C. 若，，则是等边三角形 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断ACD正确，选项B中由正弦定理可得，所以是等腰三角形. 【详解】对于A，若，则，由正弦定理知， 反之，若，由正弦定理知，则有， 故是的充要条件，A正确； 对于B，若且，易得：， 由正弦定理得：，即，则，有， 所以是等腰三角形，B错误； 对于C，若，由正弦定理得，而， 则，化简得：且， 即，得，故，所以是等边三角形，C正确； 对于D，若，由正弦定理得， 从而，化简得：， 而，所以且，得，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知， 则在上的投影向量为_____．（用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】作图，结合图像，由投影和投影向量的定义可得结果. 【详解】如图： 不妨设起点都在原点，设，则， 故在上的投影向量即为在所在直线轴上的投影向量，而， 所以在上的投影向量为． 故答案为： 13. 已知向量的夹角为，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得， 可知. 14. 已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据平面向量的数量积求，在结合面积公式求解即可. 【详解】因为. 所以. 所以以，为邻边的平行四边形的面积为：. 故答案为：6 四、解答题：本题共5小题，共 77分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15. 已知向量， （1）若，求实数x的值． （2）若，求实数x的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量平行列方程，由此求得. （2）根据向量垂直列方程，由此求得. 【小问1详解】 ， 若，则. 【小问2详解】 若，则， ，解得或 16. 已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解； （2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可. 【小问1详解】 ， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . 【小问2详解】 由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 17. 如图，的外接圆半径是1，且. （1）求证：； （2）求的值； （3）过分别做的垂线，垂足依次是的值. 【答案】（1） 证明：为的外心，， 由已知，， 两边平方， ， 同理，， . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知两边平方得出，同理得出，利用数量积结果进行判断； （2）由（1）中三个数量积相加得到结果进行判断； （3）将，代入所求式子进行计算得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 . 【小问3详解】 为等腰三角形，， ， 同理， . 18. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得. （2）由面积公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出周长. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，则，即， 化简得，又，所以. 【小问2详解】 由（1）及三角形面积公式，得，解得， 由余弦定理得， 所以的周长为. 19. 数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如：如图甲，在△ABC中，D为BC的中点，则，，两式相加得，.因为D为BC的中点，所以，于是.请用“算两次”的方法解决下列问题： （1）如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，证明：. （2）如图丙，在四边形中，E，F分别在边AD，BC上，且，，，，与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值. 【答案】（1） 在四边形ABFE中，，① 在四边形CDEF中，，② 由①②，得， 因为E，F分别为AD，BC的中点， 所以，， 于是. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用图形关系的向量运算法则结合已知求解即可； （2）由图形关系的向量运算得到，求出其模长；再利用定义式求解，最后再利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在四边形ABFE中，①， 在四边形CDEF中，②， 由，， 得，. 由，得， 所以， 所以， ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一3月数学月考 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形ABCD中，（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，则“”是“与的夹角为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 下列关于向量的运算，不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图所示，已知，点C是点B关于点A的对称点，和交于点E，若，则实数的值为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min．若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为________m． A. 50 B. 50 C. 50 D. 50 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设点是正方形的中心，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与共线 D. 10. 已知向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 与的夹角为 11. 在中，下列命题正确的是（    ） A. 是的充要条件 B. 若，则是直角三角形 C. 若，，则是等边三角形 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知， 则在上的投影向量为_____．（用坐标表示） 13. 已知向量的夹角为，则__________. 14. 已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共 77分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15. 已知向量， （1）若，求实数x的值． （2）若，求实数x的值． 16. 已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 17. 如图，的外接圆半径是1，且. （1）求证：； （2）求的值； （3）过分别做的垂线，垂足依次是的值. 18. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 19. 数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如：如图甲，在△ABC中，D为BC的中点，则，，两式相加得，.因为D为BC的中点，所以，于是.请用“算两次”的方法解决下列问题： （1）如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，证明：. （2）如图丙，在四边形中，E，F分别在边AD，BC上，且，，，，与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $