第26章 二次函数　单元检测卷 2024-2025学年华东师大版九年级数学下册

第26章　单元检测卷 （参考时间：120分钟　总分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列函数属于二次函数的是（　A　） A.y＝8x2 B.y＝8x＋1 C.y＝－8x D.y＝－ 2.二次函数y＝－5（x＋2）2－6图象的顶点坐标是　（　D　） A.（2，6） B.（－2，6） C.（2，－6） D.（－2，－6） 3.将y＝x2－8x－3变形为y＝（x＋m）2＋n的形式，结果正确的是（　D　） A.y＝（x＋4）2－3 B.y＝（x＋4）2－7 C.y＝（x－4）2－13 D.y＝（x－4）2－19 4.下列关于抛物线y＝－（x＋1）2＋4的说法错误的是（　C　） A.形状与抛物线y＝－x2相同 B.当x＝－1时，函数有最大值4 C.当x＞－2时，y随x的增大而减小 D.当－3＜x＜1时，y＞0 5.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝－ax＋b与二次函数 y＝ax2－b的图象大致是（　D　） A B C D 6.已知关于x的二次函数y＝x2＋（a－1）x－a＋2，当x＜－1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　C　） A.a≥3 B.a＞3 C.a≤3 D.a＜3 7.如图，一座拱桥的轮廓是抛物线形，桥高为8 m，拱高为6 m，跨度为20 m.相邻两支柱间的距离均为5 m，则支柱MN的高度为（　C　） A.2.5 m B.3 m C.3.5 m D.4 m 8.抛物线y＝x2＋bx＋2的对称轴为直线x＝1.若关于x的一元二次方程x2＋bx＋2－t＝0（t为实数）在－1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（　D　） A.1≤t＜5 B.t≥1 C.5＜t＜10 D.1≤t＜10 9.如图，一段抛物线y＝－x（x－4）（0≤x≤4），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得到C3，交x轴于点A3……如此进行下去，直至得到C11.若P（43，m）在C11上，则m的值为（　B　） A.－6 B.3 C.5 D.12 10.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（－1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a＋b＝0；②9a＋c＞－3b；③b2－4ac＝0；④若点A（－3，y1）、点B、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤若方程a（x＋1）（x－5）＝－3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜－1＜5＜x2.其中正确的结论有（　B　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分） 11.已知函数y＝（m2－3m）的图象是抛物线，则m＝　－1　. 12.一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是　y＝－x2＋1（答案不唯一）　. 13.已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移2个单位得到抛物线C，点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，则y1　＜　y2.（填“＞”或“＜”） 14.如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A（2，p），B（－4，q）两点，则不等式ax2－mx＋c－n＞0的解集是　－4＜x＜2　. 15.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（－2，0），B（5，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x－1）2＋bx＝b－c的解是　x1＝－1，x2＝6　. 16.如图1，在△ABC中，∠C＝90°，点D从点A出发，沿A－C－B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连结BD.设点D的运动路径长为x，△BDE的面积为y.若y与x的对应关系如图2所示，则a－b的值为　2　. 三、解答题（本题共7小题，满分80分） 17.（8分）已知二次函数图象的对称轴为直线x＝－2，且过（1，1）和（4，4）两点. （1）写出此二次函数的表达式； 解：（1）二次函数的表达式为y＝x2＋x＋. （2）求出这个函数的最大值或最小值； （2）∵a＞0，顶点坐标为（－2，0），∴二次函数有最小值，最小值为0. （3）当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）当x＞－2时，y随x的增大而增大. 18.（10分）某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个.调查发现，售价在40元至70元范围内时，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个.为了实现每月获得最大的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？最大利润为多少元？ 解：设这种台灯的售价应定为x元，最大利润为w元. 根据题意，得w＝（x－30）[600－10（x－40）]＝－10（x－65）2＋12 250， ∴当x＝65时，w最大，最大值为12 250. 答：这种台灯的售价应定为65元，最大利润为12 250元. 19.（10分）如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（－2，0），C（0，－2）. （1）求二次函数的表达式； 解：（1）二次函数的表达式为y＝x2＋x－2. （2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标. （2）设P（m，n）（m＜0，n＞0）. ∵△PDB的面积是△CDB的面积的2倍， ∴＝＝2，∴＝2. ∵C（0，－2），∴CO＝2，∴n＝2CO＝4. 由m2＋m－2＝4，得m1＝－3，m2＝2 （舍去）， ∴点P的坐标为（－3，4）. 20.（12分）已知二次函数y＝ax2＋4ax＋3a（a为常数）. （1）若二次函数的图象经过点（2，3），求二次函数的表达式； 解：（1）二次函数的表达式为y＝x2＋x＋. （2）在（1）的条件下，当－1≤x≤2时，求二次函数的最大值和最小值； （2）∵y＝x2＋x＋＝（x＋2）2－， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为. 当x＝－1时，y＝0，当x＝2时，y＝3， ∴当－1≤x≤2时，二次函数的最大值是3，最小值是0. （3）若二次函数在－3≤x≤1上有最大值8，求a的值. （3）∵y＝ax2＋4ax＋3a＝a（x＋2）2－a，∴抛物线的对称轴为直线x＝－2.∵二次函数在－3≤x≤1上有最大值8，∴当x＝1时，y＝8或－a＝8， ∴a＝1或a＝－8，即a的值是1或－8. 21.（12分）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝－（｜x｜－1）2进行了探究.通过列表、描点、连线步骤后，得到的函数图象如图所示.请根据函数图象，回答下列问题： （1）观察探究： ①至少写出该函数的两条性质：　函数图象关于y轴对称，图象是轴对称图形；函数有最大值，最大值为0（答案不唯一）　； ②直接写出方程－（｜x｜－1）2＝－1的解为　x＝－2或x＝0或x＝2　； ③直接写出方程－（｜x｜－1）2＝a有四个实数根时a的取值范围是　－1＜a＜0　. （2）延伸思考： 将函数y＝－（｜x｜－1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝－（｜x－2｜－1）2＋3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围. 解：（2）将函数y＝－（｜x｜－1）2的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数y1＝－（｜x－2｜－1）2＋3的图象，当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围是0＜x＜4且x≠2. 22.（12分）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”.抛物线y＝ax2－2ax＋2a（a为常数且a＞0）与y轴交于点A. （1）若a＝1，求抛物线的顶点坐标； 解：（1）当a＝1时，抛物线的顶点坐标为（1，1）. （2）若线段OA（含端点）上“完美点”的个数大于3且小于6，求a的取值范围； （2）当x＝0时，y＝2a，即点A的坐标为（0，2a）. ∵线段OA上“完美点”的个数大于3且小于6， ∴“完美点”的个数为4或5. ∵a＞0，∴3≤2a＜5，∴a的取值范围是≤a＜. （3）若抛物线与直线y＝x交于M，N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围. （3）由题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，a），过点P（2，2a），Q（3，5a），R（4，10a）， ∴“完美点”（1，1），（2，2），（3，3）符合题意. ①当抛物线经过（2，1）时，解得a＝.此时，P（2，1），Q，R（4，5）.如图1所示，满足题意的“完美点”有（1，1），（2，1），（2，2），（3，3），共4个. 　　　 ②当抛物线经过（3，2）时，解得a＝.此时，P，Q（3，2），R（4，4）.如图2所示，满足题意的“完美点”有（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（4，4），共6个. ∴a的取值范围是＜a≤. 23.（16分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D（3，4）在抛物线上，点P是抛物线上一动点. （1）求该抛物线的表达式. 解：（1）该抛物线的表达式为y＝－x2＋3x＋4. （2）如图1，连结OD，若OP平分∠COD，求点P的坐标. （2）如图1，作PE∥y轴，交OD于点Q，交x轴于点E. ∵PE∥y轴，∴∠OPQ＝∠POC. ∵OP平分∠COD，∴∠POC＝∠POQ，∴PQ＝OQ. 设直线OD的表达式为y＝kx（k≠0）. 将D（3，4）代入，得k＝，∴直线OD的表达式为y＝x. 设P（t，－t2＋3t＋4），则Q，E（t，0）， ∴PQ＝－t2＋3t＋4－t＝－t2＋t＋4， ∴t＝－t2＋t＋4，解得t1＝2，t2＝－2（舍去）， ∴－t2＋3t＋4＝－4＋6＋4＝6，∴点P的坐标为（2，6）. （3）如图2，连结AC，BC，抛物线上是否存在点P，使∠CBP＋∠ACO＝45°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. （3）存在. 如图2，将△AOC绕点O顺时针方向旋转90°得到△A'OB，则A'O＝AO＝1，∠ACO＝∠A'BO，∴A'（0，1）. 由题意，知直线BP过点A'，设直线BP的表达式为y＝mx＋n（m≠0）. 将B（4，0），A'（0，1）代入，得 解得∴直线BP的表达式为y＝－x＋1. 联立解得或 ∴P， 此时∠CBP＋∠A'BO＝∠CBP＋∠ACO＝45°. 如图2，过点C作CF∥x轴，过点B作BF∥y轴，CF与BF交于点F，则四边形OBFC为正方形.作点A'关于BC的对称点G，点G在CF上，作直线BG，则直线BG与抛物线的交点满足条件， ∴GF＝OA'＝1，CG＝CF－FG＝4－1＝3，BF＝OC＝4， ∴G（3，4），与点D重合. ∵点D（3，4）在抛物线上，∴P（3，4）. ∴点P的坐标为（3，4）或. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26章　单元检测卷 （参考时间：120分钟　总分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列函数属于二次函数的是（　 　） A.y＝8x2 B.y＝8x＋1 C.y＝－8x D.y＝－ 2.二次函数y＝－5（x＋2）2－6图象的顶点坐标是　（　 　） A.（2，6） B.（－2，6） C.（2，－6） D.（－2，－6） 3.将y＝x2－8x－3变形为y＝（x＋m）2＋n的形式，结果正确的是（　 ） A.y＝（x＋4）2－3 B.y＝（x＋4）2－7 C.y＝（x－4）2－13 D.y＝（x－4）2－19 4.下列关于抛物线y＝－（x＋1）2＋4的说法错误的是（　 ） A.形状与抛物线y＝－x2相同 B.当x＝－1时，函数有最大值4 C.当x＞－2时，y随x的增大而减小 D.当－3＜x＜1时，y＞0 5.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝－ax＋b与二次函数 y＝ax2－b的图象大致是（　 　） A B C D 6.已知关于x的二次函数y＝x2＋（a－1）x－a＋2，当x＜－1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　 　） A.a≥3 B.a＞3 C.a≤3 D.a＜3 7.如图，一座拱桥的轮廓是抛物线形，桥高为8 m，拱高为6 m，跨度为20 m.相邻两支柱间的距离均为5 m，则支柱MN的高度为（　 　） A.2.5 m B.3 m C.3.5 m D.4 m 8.抛物线y＝x2＋bx＋2的对称轴为直线x＝1.若关于x的一元二次方程x2＋bx＋2－t＝0（t为实数）在－1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（　 　） A.1≤t＜5 B.t≥1 C.5＜t＜10 D.1≤t＜10 9.如图，一段抛物线y＝－x（x－4）（0≤x≤4），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得到C3，交x轴于点A3……如此进行下去，直至得到C11.若P（43，m）在C11上，则m的值为（ 　） A.－6 B.3 C.5 D.12 10.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（－1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a＋b＝0；②9a＋c＞－3b；③b2－4ac＝0；④若点A（－3，y1）、点B、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤若方程a（x＋1）（x－5）＝－3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜－1＜5＜x2.其中正确的结论有（　 　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分） 11.已知函数y＝（m2－3m）的图象是抛物线，则m＝　 　. 12.一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是　 　. 13.已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移2个单位得到抛物线C，点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，则y1　 　y2.（填“＞”或“＜”） 14.如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A（2，p），B（－4，q）两点，则不等式ax2－mx＋c－n＞0的解集是　 　. 15.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（－2，0），B（5，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x－1）2＋bx＝b－c的解是　 　. 16.如图1，在△ABC中，∠C＝90°，点D从点A出发，沿A－C－B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连结BD.设点D的运动路径长为x，△BDE的面积为y.若y与x的对应关系如图2所示，则a－b的值为　 　. 三、解答题（本题共7小题，满分80分） 17.（8分）已知二次函数图象的对称轴为直线x＝－2，且过（1，1）和（4，4）两点. （1）写出此二次函数的表达式； （2）求出这个函数的最大值或最小值； （3）当x为何值时，y随x的增大而增大？ 18.（10分）某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个.调查发现，售价在40元至70元范围内时，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个.为了实现每月获得最大的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？最大利润为多少元？ 19.（10分）如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（－2，0），C（0，－2）. （1）求二次函数的表达式； （2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标. 20.（12分）已知二次函数y＝ax2＋4ax＋3a（a为常数）. （1）若二次函数的图象经过点（2，3），求二次函数的表达式； （2）在（1）的条件下，当－1≤x≤2时，求二次函数的最大值和最小值； （3）若二次函数在－3≤x≤1上有最大值8，求a的值. 21.（12分）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝－（｜x｜－1）2进行了探究.通过列表、描点、连线步骤后，得到的函数图象如图所示.请根据函数图象，回答下列问题： （1）观察探究： ①至少写出该函数的两条性质：　 　； ②直接写出方程－（｜x｜－1）2＝－1的解为　 　； ③直接写出方程－（｜x｜－1）2＝a有四个实数根时a的取值范围是　 　. （2）延伸思考： 将函数y＝－（｜x｜－1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝－（｜x－2｜－1）2＋3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围. 22.（12分）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”.抛物线y＝ax2－2ax＋2a（a为常数且a＞0）与y轴交于点A. （1）若a＝1，求抛物线的顶点坐标； （2）若线段OA（含端点）上“完美点”的个数大于3且小于6，求a的取值范围； （ （3）若抛物线与直线y＝x交于M，N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围. 23.（16分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D（3，4）在抛物线上，点P是抛物线上一动点. （1）求该抛物线的表达式. （2）如图1，连结OD，若OP平分∠COD，求点P的坐标. （3）如图2，连结AC，BC，抛物线上是否存在点P，使∠CBP＋∠ACO＝45°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$