2024-2025学年湘教版九年级数学下册期中模拟检测卷

期中检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列函数中，是二次函数的是（　B　） A.y＝3x－1 B.y＝3x2－1 C.y＝（x＋1）2－x2 D.y＝x3＋2x－3 2.抛物线y＝－3（x＋1）2－2的顶点坐标是（　A　） A.（－1，－2） B.（－1，2） C.（1，－2） D.（1，2） 3.已知☉O的直径为6 cm，点O到直线l的距离为4 cm，则l与☉O的位置关系是（　A　） A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交 4.若点P1（－1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝－x2＋2x－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　A　） A.y1＝y2＞y3 B.y3＞y1＝y2 C.y1＞y2＞y3 D.y1＜y2＜y3 5.如图，BC是☉O的直径，A是☉O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是（　A　） 第5题图 A.58° B.60° C.64° D.68° 6.如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片（图中阴影部分），则弦AB的长为（　C　） 第6题图 A.10 cm B.16 cm C.24 cm D.26 cm 7.如图，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA绕点C顺时针旋转.当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A'，则此时线段CA扫过的图形的面积为（　D　） A.4 B.6 C.π D.π 8.已知☉O是正方形ABCD的外接圆，P是☉O上不与点A，B重合的任意一点，则∠APB的度数为（　C　） A.45° B.60° C.45° 或135° D.60° 或120° 9.刘星同学通过观察如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，得出下面5个结论：①b2－4ac＞0；②c＞1；③2a－b＜0；④a＋b＋c＜0；⑤abc＞0.其中你认为错误的有（　A　） 第9题图 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如图，半圆O的直径AB为4，C是的中点，连接CO，CA，CB.点P从点A出发沿A→O→C运动至点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F.设点P的运动路程为x，则四边形CEPF的面积y随x变化的函数图象大致为（　A　） 第10题图 　 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.已知抛物线y＝x2－2x＋n与x轴只有一个公共点，则n＝　1　. 12.如图，点A，B，C都在☉O上，连接AB，BC，AC，OA，OB.若∠BAO＝20°，则∠ACB的度数是　70°　. 第12题图 13.如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边BC上一点，以点O为圆心，OB的长为半径作☉O与边AC相切于点A.若BC＝9，则弦AB的长为　3　. 第13题图 14.一个菱形的周长是20 cm，两对角线之比是4∶3，则该菱形的内切圆的半径是　　cm. 15.二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式－x2＋bx＋c＞0的解集为　－1＜x＜5　. 第15题图 16.如图，☉O的弦AB的延长线与半径OC的延长线交于点D，BD＝OA.若∠AOC＝105°，则∠D＝　25　°. 第16题图 17.如图，在矩形ABCD中，AD＝，AB＝2，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交CD于点E，则弧BE的长为　π　.（结果保留π） 第17题图 18.如图，在Rt△AEF的内部作一个矩形ABCD，AE＝30 m，AF＝40 m，其中AB和AD分别在两直角边上，点C在斜边上.设矩形的边AB为 x m，矩形的面积为y m2，则y的最大值为　300　. 第18题图 三、解答题（共66分） 19.（6分）已知抛物线y＝a（x－1）2＋h经过点（0，－3）和（3，0）. （1）求a，h的值； （2）将该抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到新的抛物线，直接写出新抛物线的函数表达式. 解：（1）将点（0，－3）和（3，0）分别代入y＝a（x－1）2＋h，得 解得 （2）由（1）可知，该抛物线的表达式为y＝（x－1）2－4，将该抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到新抛物线的表达式为y＝（x－2）2－2. 20.（6分）如图，已知△ABC内接于☉O，AB＝AC，∠BOC＝120°，延长BO交☉O于点D. （1）求∠BAD的度数； （2）求证：△ABC为等边三角形. 解：（1）∵BD是☉O的直径， ∴∠BAD＝90°. （2）证明：∵∠BOC＝120°， ∴∠BAC＝∠BOC＝60°. 又∵AB＝AC， ∴△ABC为等边三角形. 21.（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝16 cm，AD＝4 cm，点P，Q分别从点A，B同时出发.点P在边AB上沿箭头方向以2 cm/s 的速度匀速运动，点Q在边BC上沿箭头方向以1 cm/s的速度匀速运动，当一点停止运动时，另一点也随之停止运动.设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2）. （1）求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围； （2）当△BPQ的面积取最大值时，求x的值. 解：（1）由题意，知PB＝AB－AP＝（16－2x）cm，BQ＝x cm. ∵S△BPQ＝PB·BQ， ∴y＝·（16－2x）·x＝－x2＋8x（0＜x≤4）. （2）由（1），知y＝－x2＋8x＝－（x－4）2＋16， ∴当x＝4时，y取最大值， 即△BPQ的面积取最大值时，x的值为4. 22.（8分）如图，已知AB是☉O的直径，C，D是☉O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC. （1）求证：AE＝ED； （2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积. 解：（1）证明：∵AB是☉O的直径， ∴∠ADB＝90°. ∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD. 又∵OC为☉O的半径，∴AE＝ED. （2）如图，连接CD，OD. ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝∠OCB＋∠ABC＝60°. ∵OC⊥AD，∴＝， ∴∠COD＝∠AOC＝60°，∴∠AOD＝120°. 在Rt△ABD中， ∵AB＝6，∴BD＝3，AD＝3. ∵OA＝OB，AE＝ED， ∴OE＝BD＝， ∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝－×3×＝3π－. 23.（9分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现，当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件. （1）写出商场销售这种文具每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）. （2）若商场要尽快减少库存，并使每天获得的销售利润为2 000元，则销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，该商场销售这种文具每天所得的销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：（1）由题意，得w＝（x－20）[250－10（x－25）] ＝－10x2＋700x－10 000. （2）当w＝2 000时，得－10x2＋700x－10 000＝2 000， 解得x1＝30，x2＝40. ∵要尽快减少库存，∴销售单价应定为30元. （3）w＝－10x2＋700x－10 000＝－10（x－35）2＋2 250. ∵－10＜0， ∴当x＝35时，w有最大值，w最大值＝2 250. 答：当销售单价为35元时，该商场销售这种文具每天所得的销售利润最大，最大利润是2 250元. 24.（9分）如图，AB是☉O的直径，D是☉O上一点，E是 的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B. （1）求证：CD是☉O的切线； （2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长. 解：（1）证明：如图，连接OD. ∵AB是☉O的直径，∴∠BDA＝90°， ∴∠BDO＋∠ADO＝90°. ∵OB＝OD，∴∠B＝∠BDO. 又∵∠CDA＝∠B， ∴∠CDA＋∠ADO＝90°， 即∠ODC＝90°，∴OD⊥CD. 又∵OD是☉O的半径， ∴CD是☉O的切线. （2）如图，连接OE. ∵∠BDE＝30°， ∴∠BOE＝2∠BDE＝60°. 又∵E是 的中点， ∴∠EOD＝∠BOE＝60°， ∴△EOD是等边三角形， ∴OD＝DE＝2. 又∵∠BOD＝∠BOE＋∠EOD＝120°， ∴∠DOC＝180°－∠BOD＝180°－120°＝60°， ∴CD＝OD·tan∠DOC＝2×＝2. 25.（10分）一座抛物线形拱桥侧面的示意图如图1所示.水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离点D 6 m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系. （1）求桥拱顶点O到水面的距离. （2）如图2，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1 m. ①求出其中一条钢缆所在抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，要在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值. 解：（1）根据题意可知，点F的坐标为（6，－1.5）. 设拱桥侧面所在抛物线的函数表达式为y1＝a1x2. 将F（6，－1.5）代入，得－1.5＝36a1，解得a1＝－，∴y1＝－x2. 当x＝12时，y1＝－×122＝－6， ∴桥拱顶部O到水面的距离为6 m. （2）①由题意可知，右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），设其函数表达式为y2＝a2（x－6）2＋1. 将H（0，4）代入，得4＝a2（0－6）2＋1，解得a2＝， ∴右边钢缆所在抛物线的函数表达式为y2＝（x－6）2＋1. ②设彩带的长度为L m， 则L＝y2－y1＝（x－6）2＋1－（－x2）＝x2－x＋4＝（x－4）2＋2. ∵＞0，∴当x＝4时，L取得最小值，L最小值＝2. 答：彩带长度的最小值是2 m. 26.（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线y＝x2＋bx＋c（b，c为常数）经过点A（－4，0）和点B（0，－2）. （1）求抛物线的表达式. （2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. （3）M为直线AB下方抛物线上的一点，N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，直接写出2MN＋ON的最小值. 　 解：（1）将A（－4，0），B（0，－2）代入y＝x2＋bx＋c，得解得 故抛物线的表达式为y＝x2＋x－2.① （2）存在. 如图，过点O作直线m∥AB，在直线AB下方和直线m等间隔作直线n，则直线m，n和抛物线的交点即为点P. 由点A，B的坐标，得直线AB的表达式为y＝－x－2， 则直线m的表达式为y＝－x，② 直线n的表达式为y＝－x－4.③ 分别联立①②，①③，解得x＝－2±2或x＝－2. 故点P的坐标为（－2－2，1＋）或（－2＋2，1－）或（－2，－3）. （3）2＋3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列函数中，是二次函数的是（　 　） A.y＝3x－1 B.y＝3x2－1 C.y＝（x＋1）2－x2 D.y＝x3＋2x－3 2.抛物线y＝－3（x＋1）2－2的顶点坐标是（　 　） A.（－1，－2） B.（－1，2） C.（1，－2） D.（1，2） 3.已知☉O的直径为6 cm，点O到直线l的距离为4 cm，则l与☉O的位置关系是（　 　） A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交 4.若点P1（－1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝－x2＋2x－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　 　） A.y1＝y2＞y3 B.y3＞y1＝y2 C.y1＞y2＞y3 D.y1＜y2＜y3 5.如图，BC是☉O的直径，A是☉O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是（　 　） A.58° B.60° C.64° D.68° 6.如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片（图中阴影部分），则弦AB的长为（　 ） A.10 cm B.16 cm C.24 cm D.26 cm 7.如图，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA绕点C顺时针旋转.当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A'，则此时线段CA扫过的图形的面积为（　 　） A.4 B.6 C.π D.π 8.已知☉O是正方形ABCD的外接圆，P是☉O上不与点A，B重合的任意一点，则∠APB的度数为（　 　） A.45° B.60° C.45° 或135° D.60° 或120° 9.刘星同学通过观察如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，得出下面5个结论：①b2－4ac＞0；②c＞1；③2a－b＜0；④a＋b＋c＜0；⑤abc＞0.其中你认为错误的有（　 ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如图，半圆O的直径AB为4，C是的中点，连接CO，CA，CB.点P从点A出发沿A→O→C运动至点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F.设点P的运动路程为x，则四边形CEPF的面积y随x变化的函数图象大致为（　 　） 　 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.已知抛物线y＝x2－2x＋n与x轴只有一个公共点，则n＝　 　. 12.如图，点A，B，C都在☉O上，连接AB，BC，AC，OA，OB.若∠BAO＝20°，则∠ACB的度数是　 　. 13.如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边BC上一点，以点O为圆心，OB的长为半径作☉O与边AC相切于点A.若BC＝9，则弦AB的长为　 　. 14.一个菱形的周长是20 cm，两对角线之比是4∶3，则该菱形的内切圆的半径是　 cm. 15.二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式－x2＋bx＋c＞0的解集为　 　. 16.如图，☉O的弦AB的延长线与半径OC的延长线交于点D，BD＝OA.若∠AOC＝105°，则∠D＝　 　°. 17.如图，在矩形ABCD中，AD＝，AB＝2，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交CD于点E，则弧BE的长为　 　.（结果保留π） 18.如图，在Rt△AEF的内部作一个矩形ABCD，AE＝30 m，AF＝40 m，其中AB和AD分别在两直角边上，点C在斜边上.设矩形的边AB为 x m，矩形的面积为y m2，则y的最大值为　 　. 三、解答题（共66分） 19.（6分）已知抛物线y＝a（x－1）2＋h经过点（0，－3）和（3，0）. （1）求a，h的值； （2）将该抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到新的抛物线，直接写出新抛物线的函数表达式. 20.（6分）如图，已知△ABC内接于☉O，AB＝AC，∠BOC＝120°，延长BO交☉O于点D. （1）求∠BAD的度数； （2）求证：△ABC为等边三角形. 21.（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝16 cm，AD＝4 cm，点P，Q分别从点A，B同时出发.点P在边AB上沿箭头方向以2 cm/s 的速度匀速运动，点Q在边BC上沿箭头方向以1 cm/s的速度匀速运动，当一点停止运动时，另一点也随之停止运动.设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2）. （1）求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围； （2）当△BPQ的面积取最大值时，求x的值. 22.（8分）如图，已知AB是☉O的直径，C，D是☉O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC. （1）求证：AE＝ED； （2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积. 23.（9分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现，当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件. （1）写出商场销售这种文具每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）. （2）若商场要尽快减少库存，并使每天获得的销售利润为2 000元，则销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，该商场销售这种文具每天所得的销售利润最大？最大利润是多少元？ 24.（9分）如图，AB是☉O的直径，D是☉O上一点，E是 的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B. （1）求证：CD是☉O的切线； （2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长. 25.（10分）一座抛物线形拱桥侧面的示意图如图1所示.水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离点D 6 m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系. （1）求桥拱顶点O到水面的距离. （2）如图2，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1 m. ①求出其中一条钢缆所在抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，要在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值. 26.（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线y＝x2＋bx＋c（b，c为常数）经过点A（－4，0）和点B（0，－2）. （1）求抛物线的表达式. （2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. （3）M为直线AB下方抛物线上的一点，N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，直接写出2MN＋ON的最小值. 　 学科网（北京）股份有限公司 $$