第2章 圆　单元检测卷 2024-2025学年湘教版九年级数学下册

第2章　单元检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.如图，点A，B，C在☉O上，∠AOB＝72°，则∠ACB＝ （　 　） A.28° B.54° C.18° D.36° 2.若☉O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝3 cm，则点A与☉O的位置关系为（　 　） A.点A在圆上 B.点A在圆内 C.点A在圆外 D.无法确定 3.下列命题中，真命题的个数有（　 　） ①过圆心的线段是直径；②弧分优弧和劣弧；③三角形的内心到三边的距离相等；④同弧或等弧所对的圆周角相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB＝（　 　） A.10° B.14° C.16° D.26° 5.P是☉O内一点，过点P的最长弦的长为10 cm，最短弦的长为6 cm，则OP的长为（　 　） A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 6.如图，在☉O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是（　 ） A.AD＝2OB B.CE＝EO C.∠OCE＝40° D.∠BOC＝2∠BAD 7.如图，☉O是等边三角形ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是 上一点，则∠EPF的度数是（　 　） A.65° B.60° C.58° D.50° 8.如图，以半圆O的直径AB为边向上作正方形ABCD，连接AC交半圆弧于点E.若AB＝10，则图中阴影部分的面积为（　 　） A.－π B.50－π C.π D.25－π 9.已知正六边形ABCDEF内接于☉O，如果四边形AOEF的面积为2，那么☉O的半径为　（　　） A.1 B.2 C. D. 10.如图，等边三角形ABC的边长为2，△ABC在直线l上绕其右下角的顶点C顺时针旋转120°至三角形①的位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转120°至三角形②的位置……以此类推，连续旋转9次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　 　） A.8π B.9π C.10π D.12π 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.如图，☉O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，PA切☉O于点A，则PA＝　 　.　 12.如图，在☉O中，点A，B，C在圆上，∠ACB＝45°， AB＝2，则☉O的直径的长是　 　. 13.如图，已知☉O的半径为10 cm，弦AB的长为16 cm，P是AB延长线上的一点，BP＝4 cm，则OP＝　 　cm. 14.如图，☉O的周长为4π，B是弦CD上的任意一点（与点C，D不重合），过点B作OC的平行线交OD于点E，则EO＋EB的值为　 　. 15.如图，四边形ABCD内接于☉O，AB是☉O的直径，过点C的切线与AB的延长线交于点P.若∠P＝40°，则∠D的度数为　 　. 16.如图，AB，AC与☉O相切于点B，C，∠A＝48°.若P为☉O上异于点B，C的一个动点，则∠BPC的度数为　 　. 17.如图，已知AB为☉O的直径，直线l与☉O相切于点D，AC⊥l于点C，AC交☉O于点E.若AE＝3，CD＝2，则AD＝　 　. 18.如图，☉M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），P是☉M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点.若点A，B关于原点O对称，则当AB取得最大值时，点A的坐标为　 　. 三、解答题（共66分） 19.（6分）如图，△ABC的三个顶点都在☉O上，AP⊥BC于点P，AM为☉O的直径.求证：∠BAM＝∠CAP. 20.（6分）如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，且AE＝BF.求证：CE＝DF. 21.（8分）一座圆弧形拱桥如图所示，它的跨度AB为60 m，拱高PM为18 m，当洪水泛滥到跨度只有30 m时，就要采取紧急措施.若某次洪水中，拱顶离水面只有 4 m，即PN＝4 m，试通过计算说明是否需要采取紧急措施. 22.（8分）如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E.点M在☉O上，MD恰好经过圆心O，连接MB. （1）若CD＝16，BE＝4，求☉O的直径； （2）若∠M＝∠D，求∠D的度数. 23.（9分）如图，在△ABC中，AB＝CB，以BC为直径的☉O交AC于点E，过点E作☉O的切线交AB于点F. （1）求证：EF⊥AB； （2）若AC＝16，☉O的半径是5，求EF的长. 24.（9分）如图，在半径为5 cm的☉O中，AB是☉O的直径，CD是过☉O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE＝3 cm. （1）求证：CD是☉O的切线； （2）求AD的长. 25.（10分）如图，AB是☉O的直径，P是☉O外一点，PA与☉O相切于点A，C为☉O上的一点，连接PC，AC，OC，且PC＝PA. （1）求证：PC为☉O的切线； （2）延长PC交AB的延长线于点D.求证：PD·OC＝PA·OD； （3）若∠CAB＝30°，OD＝8，求图中阴影部分的面积. 26.（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，☉O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交☉O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF. （1）求证：ED＝EC； （2）求证：AF是☉O的切线； （3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章　单元检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.如图，点A，B，C在☉O上，∠AOB＝72°，则∠ACB＝ （　D　） A.28° B.54° C.18° D.36° 2.若☉O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝3 cm，则点A与☉O的位置关系为（　B　） A.点A在圆上 B.点A在圆内 C.点A在圆外 D.无法确定 3.下列命题中，真命题的个数有（　B　） ①过圆心的线段是直径；②弧分优弧和劣弧；③三角形的内心到三边的距离相等；④同弧或等弧所对的圆周角相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB＝（　C　） 第4题图 A.10° B.14° C.16° D.26° 5.P是☉O内一点，过点P的最长弦的长为10 cm，最短弦的长为6 cm，则OP的长为（　B　） A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 6.如图，在☉O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是（　D　） 第6题图 A.AD＝2OB B.CE＝EO C.∠OCE＝40° D.∠BOC＝2∠BAD 7.如图，☉O是等边三角形ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是 上一点，则∠EPF的度数是（　B　） 第7题图 A.65° B.60° C.58° D.50° 8.如图，以半圆O的直径AB为边向上作正方形ABCD，连接AC交半圆弧于点E.若AB＝10，则图中阴影部分的面积为（　A　） 第8题图 A.－π B.50－π C.π D.25－π 9.已知正六边形ABCDEF内接于☉O，如果四边形AOEF的面积为2，那么☉O的半径为　（　B　） 第9题图 A.1 B.2 C. D. 10.如图，等边三角形ABC的边长为2，△ABC在直线l上绕其右下角的顶点C顺时针旋转120°至三角形①的位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转120°至三角形②的位置……以此类推，连续旋转9次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　A　） 第10题图 A.8π B.9π C.10π D.12π 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.如图，☉O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，PA切☉O于点A，则PA＝　4　.　 第11题图 12.如图，在☉O中，点A，B，C在圆上，∠ACB＝45°， AB＝2，则☉O的直径的长是　4　. 第12题图 13.如图，已知☉O的半径为10 cm，弦AB的长为16 cm，P是AB延长线上的一点，BP＝4 cm，则OP＝　6　cm. 第13题图 14.如图，☉O的周长为4π，B是弦CD上的任意一点（与点C，D不重合），过点B作OC的平行线交OD于点E，则EO＋EB的值为　2　. 第14题图 15.如图，四边形ABCD内接于☉O，AB是☉O的直径，过点C的切线与AB的延长线交于点P.若∠P＝40°，则∠D的度数为　115°　. 第15题图 16.如图，AB，AC与☉O相切于点B，C，∠A＝48°.若P为☉O上异于点B，C的一个动点，则∠BPC的度数为　66°或114°　. 第16题图 17.如图，已知AB为☉O的直径，直线l与☉O相切于点D，AC⊥l于点C，AC交☉O于点E.若AE＝3，CD＝2，则AD＝　2　. 18.如图，☉M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），P是☉M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点.若点A，B关于原点O对称，则当AB取得最大值时，点A的坐标为　（－14，0）　. 三、解答题（共66分） 19.（6分）如图，△ABC的三个顶点都在☉O上，AP⊥BC于点P，AM为☉O的直径.求证：∠BAM＝∠CAP. 证明：如图，连接BM. ∵＝，∴∠M＝∠C. ∵AM为☉O的直径， ∴∠ABM＝90°. ∵AP⊥BC，∴∠APC＝90°， ∴∠M＋∠BAM＝∠C＋∠CAP＝90°， ∴∠BAM＝∠CAP. 20.（6分）如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，且AE＝BF.求证：CE＝DF. 证明：连接OC，OD（图略）. ∵OA＝OB，AE＝BF，∴OE＝OF. ∵CE⊥AB，DF⊥AB， ∴∠OEC＝∠OFD＝90°. 在Rt△OEC和Rt△OFD中， ∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），∴CE＝DF. 21.（8分）一座圆弧形拱桥如图所示，它的跨度AB为60 m，拱高PM为18 m，当洪水泛滥到跨度只有30 m时，就要采取紧急措施.若某次洪水中，拱顶离水面只有 4 m，即PN＝4 m，试通过计算说明是否需要采取紧急措施. 解：如图，设圆弧所在圆的圆心为O，半径为x m，连接OA，OA'，OM，则OA＝OA'＝OP＝x m. 由垂径定理，知AM＝BM，A'N＝B'N. ∵AB＝60 m，PM＝18 m， ∴AM＝30 m，OM＝OP－PM＝（x－18）m. 在Rt△AOM中，由勾股定理，得AO2＝OM2＋AM2， 即x2＝（x－18）2＋302，解得x＝34， ∴ON＝OP－PN＝34－4＝30（m）. 在Rt△A'ON中，由勾股定理，得A'N＝＝＝16（m）， ∴A'B'＝2A'N＝32 m. ∵32 m＞30 m，∴不需要采取紧急措施. 22.（8分）如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E.点M在☉O上，MD恰好经过圆心O，连接MB. （1）若CD＝16，BE＝4，求☉O的直径； （2）若∠M＝∠D，求∠D的度数. 解：（1）∵AB是☉O的直径，CD⊥AB， ∴DE＝CD＝×16＝8. ∵BE＝4，∴OE＝OB－BE＝OD－4. 在Rt△OED中，OE2＋DE2＝OD2， 即（OD－4）2＋82＝OD2，解得OD＝10， ∴☉O的直径是20. （2）∵CD⊥AB，∴∠OED＝90°， ∴∠EOD＋∠D＝90°. ∵OM＝OB，∴∠M＝∠B，∴∠EOD＝2∠M. ∵∠M＝∠D，∴∠EOD＋∠D＝3∠D＝90°， ∴∠D＝30°. 23.（9分）如图，在△ABC中，AB＝CB，以BC为直径的☉O交AC于点E，过点E作☉O的切线交AB于点F. （1）求证：EF⊥AB； （2）若AC＝16，☉O的半径是5，求EF的长. 解：（1）证明：如图，连接OE. ∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCA. ∵AB＝CB，∴∠A＝∠OCA， ∴∠A＝∠OEC，∴OE∥AB. ∵EF是☉O的切线， ∴EF⊥OE，∴EF⊥AB. （2）如图，连接BE. ∵OB＝OC，OE∥AB， ∴AE＝EC＝AC＝8，AB＝CB＝2BO＝10. ∵BC是☉O的直径，∴∠BEC＝90°， ∴BE＝＝＝6. 在Rt△ABE中，8×6＝10EF，∴EF＝4.8. 24.（9分）如图，在半径为5 cm的☉O中，AB是☉O的直径，CD是过☉O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE＝3 cm. （1）求证：CD是☉O的切线； （2）求AD的长. 解：（1）证明：如图，连接OC. ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠CAO. ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴AD∥OC. ∵AD⊥DC， ∴CO⊥DC. ∵OC是☉O的半径， ∴CD是☉O的切线. （2）∵E是BC的中点，OA＝OB， ∴OE是△ABC的中位线，∴AC＝2OE. ∵OE＝3 cm， ∴AC＝6 cm. ∵AB是☉O的直径， ∴AB＝10 cm，∠ACB＝∠ADC＝90°. ∵∠DAC＝∠CAB， ∴△DAC∽△CAB， ∴＝，即＝， ∴AD＝ cm. 25.（10分）如图，AB是☉O的直径，P是☉O外一点，PA与☉O相切于点A，C为☉O上的一点，连接PC，AC，OC，且PC＝PA. （1）求证：PC为☉O的切线； （2）延长PC交AB的延长线于点D.求证：PD·OC＝PA·OD； （3）若∠CAB＝30°，OD＝8，求图中阴影部分的面积. 解：（1）证明：如图，连接PO. ∵PA是☉O的切线， ∴∠PAO＝90°. 在△PAO和△PCO中， ∴△PAO≌△PCO（SSS）， ∴∠PAO＝∠PCO＝90°. ∵OC为☉O的半径， ∴PC为☉O的切线. （2）证明：∵PC为☉O的切线， ∴OC⊥PD， ∴sin D＝＝， ∴PD·OC＝PA·OD. （3）∵∠CAB＝30°， ∴∠COD＝2∠CAB＝60°. ∵OC⊥PD， ∴∠D＝30°， ∴OC＝OD＝4， ∴CD＝4， ∴S阴影＝S△OCD－S扇形COB＝OC·CD－π·OC2＝×4×4－×42＝8－π. 26.（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，☉O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交☉O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF. （1）求证：ED＝EC； （2）求证：AF是☉O的切线； （3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长. 解：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. 又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC， ∴∠BCD＝∠ADC，∴ED＝EC. （2）证明：如图1，连接OA，OB，OC. ∵OB＝OC，AB＝AC， ∴AO是BC的垂直平分线，∴OA⊥BC. ∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA， ∴∠ACD＝∠CAF＋∠CFA＝2∠CAF. ∵∠ACB＝∠BCD， ∴∠ACD＝2∠ACB， ∴∠CAF＝∠ACB，∴AF∥BC， ∴OA⊥AF，∴AF是☉O的切线. （3）如图2，连接AG. ∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB， ∴△ABE∽△CBA，∴＝，∴AB2＝BC·BE. 又∵BC·BE＝25，∴AB＝5. ∵点G是△ACD的内心，∴∠DAG＝∠GAC. ∵∠BAG＝∠BAD＋∠DAG， ∠BGA＝∠GAC＋∠ACB， ∴∠BAG＝∠BGA，∴BG＝AB＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $$