第1章 二次函数　单元检测卷 2024-2025学年湘教版九年级数学下册

第1章　单元检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列函数不属于二次函数的是（　D　） A.y＝（x－1）（x＋2） B.y＝（x＋1）2 C.y＝1－x2 D.y＝2（x＋3）2－2x2 2.二次函数y＝（x－1）2＋3的图象的顶点坐标是（　A　） A.（1，3） B.（1，－3） C.（－1，3） D.（－1，－3） 3.将抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（　C　） A.y＝（x＋2）2＋1 B.y＝（x＋2）2－1 C.y＝（x－2）2＋1 D.y＝（x－2）2－1 4.抛物线y＝x2－5x＋6与x轴的交点情况是（　A　） A.有两个交点 B.只有一个交点 C.没有交点 D.无法判断 5.设A（－2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝－x2－2x＋2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　A　） A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2 C.y3＞y2＞y1 D.y3＞y1＞y2 6.已知函数y＝x2－2x＋3，当0≤x≤4时，y有最大值a和最小值b，则a＋b的值为（　A　） A.13 B.5 C.11 D.14 7.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋a的图象可能是（　C　） 8.如图，有一个截面边缘为抛物线形的水泥门洞.门洞内的地面宽度为8 m，两侧距地面4 m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6 m，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（　D　） 第8题图 A.7.5 m B.8 m C. m D. m 9.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：①abc＞0；②b＝2a；③3a＋c＝0；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＋k2＝0（a≠0）有两个不相等的实根；⑤若点（m，y1），（－m＋2，y2）均在该二次函数图象上，则y1＝y2.其中正确结论的个数是（　B　） 第9题图 A.4 B.3 C.2 D.1 10.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从点A出发，点M以2个单位每秒的速度沿折线A－B－C向终点C运动；点N以1个单位每秒的速度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒，△AMN的面积为y，则下列表示y与x函数关系的图象中，正确的是（　A　） A B C D 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.若函数y＝（m－3）－x＋3是关于x的二次函数，则m＝　－3　. 12.与抛物线y＝3x2形状相同，顶点坐标为（3，－2）的抛物线的表达式为　y＝3（x－3）2－2或y＝－3（x－3）2－2　. 13.二次函数y＝ax2＋bx＋c中x，y的部分对应值如下表： x … －3 0 1 3 5 … y … 6 －7 －8 －5 6 … 一元二次方程ax2＋bx＋c＝－5的解为x＝　3或－1　. 14.二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是　x＜－1或x＞5　. 第14题图 15.定义新运算：对于任意实数a，b，都有aⓧb＝ab－（a＋b）.例如，2ⓧ3＝2×3－（2＋3）＝1.若关于x的函数y＝（kx＋1）ⓧ（x－1）的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为　－1　. 16.某超市购进一批拼装玩具，进价为10元/个，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，则该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为　800　元.（利润＝总销售额－总成本） 第16题图 17.如图，为了美化校园环境，某中学准备在一块矩形空地ABCD上进行绿化，中间的四边形空地EFGH种花，剩余部分铺设草坪，已知AB＝10 m，BC＝20 m，要求AE＝AH＝CF＝CG，则当AE＝　7.5　m时，四边形EFGH的面积最大. 第17题图 18.已知二次函数y＝－x2＋4x＋5及一次函数y＝－x＋b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝－x＋b与新图象有4个交点时，b的取值范围是　－＜b＜－1　. 第18题图 三、解答题（共66分） 19.（6分）已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点（2，0），（－1，6）. （1）求二次函数的表达式； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出它的图象； （3）写出所画图象的对称轴和顶点坐标. 解：（1）二次函数的表达式为y＝2x2－4x. （2）所画图象如图所示. （3）图象的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－2）. 20.（6分）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（2，0），B（4，0），且过点C（0，4）. （1）求出抛物线的表达式和顶点坐标； （2）请你求出抛物线向左平移3个单位，再向上平移个单位后得到的抛物线的表达式. 解：（1）∵点A（2，0），B（4，0），C（0，4）在抛物线y＝ax2＋bx＋c上， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－3x＋4＝（x－3）2－， 即抛物线的顶点坐标为. （2）将抛物线y＝（x－3）2－向左平移3个单位后得到抛物线y＝x2－，再向上平移个单位后得到的抛物线的表达式为y＝x2＋1. 21.（8分）已知抛物线y＝x2－mx＋m－2. （1）求证：无论m为何值，此抛物线与x轴总有两个不同的交点； （2）若x1，x2是抛物线y＝x2－mx＋m－2与x轴交点的横坐标，且＋＝7，求m的值. 解：（1）证明：由题意可知，Δ＝b2－4ac＝（－m）2－4（m－2）＝（m－2）2＋4. ∵（m－2）2≥0， ∴（m－2）2＋4＞0， ∴无论m为何值，此抛物线与x轴总有两个不同的交点. （2）根据题意，得x1＋x2＝m，x1x2＝m－2. ∵＋＝7， ∴－2x1x2＝7， ∴m2－2（m－2）＝7. 整理，得m2－2m－3＝0， 解得m1＝3，m2＝－1. 22.（8分）掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一.一名男生掷实心球的情境如图1所示，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示.掷出时，起点处高度为 m，实心球行进至最高点5 m处开始下落. 　 （1）求y关于x的函数表达式. （2）根据该市初中毕业升学体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于12.4 m时，即可得满分.问该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由. 解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝a（x－4）2＋5. 把代入表达式，得＝a（0－4）2＋5， 解得a＝－， ∴y关于x的函数表达式为y＝－（x－4）2＋5. （2）该男生在此项考试中不能得满分.理由如下： 令y＝0，则－（x－4）2＋5＝0， 解得x1＝9，x2＝－1（舍去）. ∵9＜12.4， ∴该男生在此项考试中不能得满分. 23.（9分）如图，小明的父亲想用长为100 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD.已知房屋的外墙长40 m，设矩形ABCD的边AB为x m，面积为S m2. （1）S与x之间的函数表达式为　S＝－2x2＋100x　，其中x的取值范围是　30≤x＜50　. （2）求当x为何值时，面积为1 050 m2. （3）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积为多少？ 解：（2）令S＝1 050，得－2x2＋100x＝1 050， 解得x1＝15，x2＝35. ∵30≤x＜50，∴x＝35， ∴当x为35时，面积为1 050 m2. （3）S＝－2x2＋100x＝－2（x－25）2＋1 250. ∵－2＜0，∴当x＞25时，S随x的增大而减小. ∵30≤x＜50， ∴当x＝30时，S取最大值，最大值为1 200， ∴当AB＝30 m，BC＝40 m时，羊圈的面积最大，最大面积为1 200 m2. 24.（9分）景德镇瓷器举世闻名，物美价廉.在瓷博会上，某商家将进货单价为40元的艺术瓷盘按50元出售时，能卖出500个.经预测，这种瓷盘每涨价1元，其销售量就减少10个.设瓷盘每个涨价x元，请完成如下问题： （1）用含x的代数式表示： ①每个瓷盘的实际利润是　（10＋x）　元； ②瓷盘实际的销售量是　（500－10x）　个. （2）为了赚得8 000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ （3）当瓷盘的售价定为多少元时，商家可获得最大利润？ 解：（2）依题意，得（10＋x）（500－10x）＝8 000， 解得x1＝10，x2＝30. 当x＝10时，实际售价为10＋50＝60（元）；当x＝30时，实际售价为30＋50＝80（元）. ∵尽量兼顾顾客的利益，∴售价应定为60元. （3）设瓷盘的售价定为y元，总利润为W元， 则W＝（y－40）[500－10（y－50）]＝－10y2＋1 400y－40 000. ∵－10＜0，∴W有最大值. 当y＝－＝70时，W取得最大值，即当瓷盘的售价定为70元时，商家可获得最大利润. 25.（10分）九（7）班“数学兴趣小组”对函数的对称变换进行探究，以下是探究发现运用过程，请补充完整. （1）[探究发现] 在作函数y＝｜x｜的图象时，采用了分段函数的办法，该函数可转化为y＝请在如图1所示的平面直角坐标系中作出函数的图象. （2）[类比探究] 作函数y＝｜x－1｜的图象，可以转化为分段函数y＝然后分别作出两段函数的图象.聪明的小昕利用坐标平面上的轴对称知识，把函数y＝x－1在x轴下面的部分沿x轴进行翻折，与x轴上及上面的部分组成了函数y＝｜x－1｜的图象，如图2所示. （3）[拓展提高] 函数y＝x2－2x－3的图象如图3所示，请在原平面直角坐标系中作出函数y＝｜x2－2x－3｜的图象. （4）[实际运用] ①函数y＝｜x2－2x－3｜的图象与x轴有　2　个交点，对应方程｜x2－2x－3｜＝0有　2　个实根； ②函数y＝｜x2－2x－3｜的图象与直线y＝5有　2　个交点，对应方程｜x2－2x－3｜＝5有　2　个实根； ③函数y＝｜x2－2x－3｜的图象与直线y＝4有　3　个交点，对应方程｜x2－2x－3｜＝4有　3　个实根； ④当关于x的方程｜x2－2x－3｜＝a有4个实根时，a的取值范围是　0＜a＜4　. 解：（1）函数的图象如图1所示. （3）把函数y＝x2－2x－3的图象在x轴下面的部分，沿x轴进行翻折，翻折的部分与x轴上及上面的部分组成函数y＝｜x2－2x－3｜的图象，如图3. 26.（10分）如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c与y轴的负半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点B的坐标为（1，0），OC＝3OB. （1）求抛物线的表达式； （2）若D是第三象限内抛物线上的动点，连接AC，AD，CD，当△ACD的面积为3时，求点D的坐标； （3）将抛物线y＝ax2＋2ax＋c向右平移2个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点M，点N在原抛物线的对称轴上，H为平移后的抛物线上的一点，当以A，M，H，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点H的坐标. 解：（1）抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3. （2）如图，过点D作DE∥y轴交AC于点E. 令x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，　 ∴A（－3，0）. 设直线AC的表达式为y＝kx＋b. 把A（－3，0），C（0，－3）代入， 得解得 ∴直线AC的表达式为y＝－x－3. 设D（m，m2＋2m－3），则E（m，－m－3）， ∴DE＝－m－3－（m2＋2m－3）＝－m2－3m， ∴S△ACD＝（－m2－3m）×3＝－m2－m. ∴－m2－m＝3，解得m1＝－1，m2＝－2. 当m＝－1时，m2＋2m－3＝（－1）2－2－3＝－4； 当m＝－2时，m2＋2m－3＝（－2）2－4－3＝－3， ∴点D的坐标为（－1，－4）或（－2，－3）. （3）∵y＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，对称轴为直线x＝－1， ∴将抛物线y＝（x＋1）2－4向右平移2个单位后得到的抛物线的表达式为y＝（x－1）2－4＝x2－2x－3. 联立解得∴M（0，－3）. 设H（t，t2－2t－3），N（－1，n）. ①当MN，AH为对角线时，MN，AH的中点重合， ∴解得∴H（2，－3）； ②当MA，NH为对角线时，MA，NH的中点重合， ∴解得 ∴H（－2，5）； ③当MH，NA为对角线时，MH，NA的中点重合， ∴解得∴H（－4，21）. 综上所述，点H的坐标为（2，－3）或（－2，5）或（－4，21）. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章　单元检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列函数不属于二次函数的是（　 　） A.y＝（x－1）（x＋2） B.y＝（x＋1）2 C.y＝1－x2 D.y＝2（x＋3）2－2x2 2.二次函数y＝（x－1）2＋3的图象的顶点坐标是（　 　） A.（1，3） B.（1，－3） C.（－1，3） D.（－1，－3） 3.将抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（　 　） A.y＝（x＋2）2＋1 B.y＝（x＋2）2－1 C.y＝（x－2）2＋1 D.y＝（x－2）2－1 4.抛物线y＝x2－5x＋6与x轴的交点情况是（　 　） A.有两个交点 B.只有一个交点 C.没有交点 D.无法判断 5.设A（－2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝－x2－2x＋2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　 　） A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2 C.y3＞y2＞y1 D.y3＞y1＞y2 6.已知函数y＝x2－2x＋3，当0≤x≤4时，y有最大值a和最小值b，则a＋b的值为（　 　） A.13 B.5 C.11 D.14 7.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋a的图象可能是（　 　） 8.如图，有一个截面边缘为抛物线形的水泥门洞.门洞内的地面宽度为8 m，两侧距地面4 m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6 m，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（　 　） A.7.5 m B.8 m C. m D. m 9.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：①abc＞0；②b＝2a；③3a＋c＝0；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＋k2＝0（a≠0）有两个不相等的实根；⑤若点（m，y1），（－m＋2，y2）均在该二次函数图象上，则y1＝y2.其中正确结论的个数是（　 　） A.4 B.3 C.2 D.1 10.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从点A出发，点M以2个单位每秒的速度沿折线A－B－C向终点C运动；点N以1个单位每秒的速度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒，△AMN的面积为y，则下列表示y与x函数关系的图象中，正确的是（　 　） A B C D 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.若函数y＝（m－3）－x＋3是关于x的二次函数，则m＝　 　. 12.与抛物线y＝3x2形状相同，顶点坐标为（3，－2）的抛物线的表达式为　 　. 13.二次函数y＝ax2＋bx＋c中x，y的部分对应值如下表： x … －3 0 1 3 5 … y … 6 －7 －8 －5 6 … 一元二次方程ax2＋bx＋c＝－5的解为x＝　 　. 14.二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是　 　. 15.定义新运算：对于任意实数a，b，都有aⓧb＝ab－（a＋b）.例如，2ⓧ3＝2×3－（2＋3）＝1.若关于x的函数y＝（kx＋1）ⓧ（x－1）的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为　 　. 16.某超市购进一批拼装玩具，进价为10元/个，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，则该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为　 　元.（利润＝总销售额－总成本） 17.如图，为了美化校园环境，某中学准备在一块矩形空地ABCD上进行绿化，中间的四边形空地EFGH种花，剩余部分铺设草坪，已知AB＝10 m，BC＝20 m，要求AE＝AH＝CF＝CG，则当AE＝　 　m时，四边形EFGH的面积最大. 18.已知二次函数y＝－x2＋4x＋5及一次函数y＝－x＋b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝－x＋b与新图象有4个交点时，b的取值范围是　 　. 三、解答题（共66分） 19.（6分）已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点（2，0），（－1，6）. （1）求二次函数的表达式； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出它的图象； （3）写出所画图象的对称轴和顶点坐标. 20.（6分）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（2，0），B（4，0），且过点C（0，4）. （1）求出抛物线的表达式和顶点坐标； （2）请你求出抛物线向左平移3个单位，再向上平移个单位后得到的抛物线的表达式. 21.（8分）已知抛物线y＝x2－mx＋m－2. （1）求证：无论m为何值，此抛物线与x轴总有两个不同的交点； （2）若x1，x2是抛物线y＝x2－mx＋m－2与x轴交点的横坐标，且＋＝7，求m的值. 22.（8分）掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一.一名男生掷实心球的情境如图1所示，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示.掷出时，起点处高度为 m，实心球行进至最高点5 m处开始下落. 　 （1）求y关于x的函数表达式. （2）根据该市初中毕业升学体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于12.4 m时，即可得满分.问该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由. 23.（9分）如图，小明的父亲想用长为100 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD.已知房屋的外墙长40 m，设矩形ABCD的边AB为x m，面积为S m2. （1）S与x之间的函数表达式为　 　，其中x的取值范围是　 　. （2）求当x为何值时，面积为1 050 m2. （3）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积为多少？ 24.（9分）景德镇瓷器举世闻名，物美价廉.在瓷博会上，某商家将进货单价为40元的艺术瓷盘按50元出售时，能卖出500个.经预测，这种瓷盘每涨价1元，其销售量就减少10个.设瓷盘每个涨价x元，请完成如下问题： （1）用含x的代数式表示： ①每个瓷盘的实际利润是　　元； ②瓷盘实际的销售量是　 　个. （2）为了赚得8 000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ （3）当瓷盘的售价定为多少元时，商家可获得最大利润？ 25.（10分）九（7）班“数学兴趣小组”对函数的对称变换进行探究，以下是探究发现运用过程，请补充完整. （1）[探究发现] 在作函数y＝｜x｜的图象时，采用了分段函数的办法，该函数可转化为y＝请在如图1所示的平面直角坐标系中作出函数的图象. （2）[类比探究] 作函数y＝｜x－1｜的图象，可以转化为分段函数y＝然后分别作出两段函数的图象.聪明的小昕利用坐标平面上的轴对称知识，把函数y＝x－1在x轴下面的部分沿x轴进行翻折，与x轴上及上面的部分组成了函数y＝｜x－1｜的图象，如图2所示. （3）[拓展提高] 函数y＝x2－2x－3的图象如图3所示，请在原平面直角坐标系中作出函数y＝｜x2－2x－3｜的图象. （4）[实际运用] ①函数y＝｜x2－2x－3｜的图象与x轴有　 　个交点，对应方程｜x2－2x－3｜＝0有　 　个实根； ②函数y＝｜x2－2x－3｜的图象与直线y＝5有　 　个交点，对应方程｜x2－2x－3｜＝5有　 　个实根； ③函数y＝｜x2－2x－3｜的图象与直线y＝4有　 　个交点，对应方程｜x2－2x－3｜＝4有　 　个实根； ④当关于x的方程｜x2－2x－3｜＝a有4个实根时，a的取值范围是　 　. 26.（10分）如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c与y轴的负半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点B的坐标为（1，0），OC＝3OB. （1）求抛物线的表达式； （2）若D是第三象限内抛物线上的动点，连接AC，AD，CD，当△ACD的面积为3时，求点D的坐标； （3）将抛物线y＝ax2＋2ax＋c向右平移2个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点M，点N在原抛物线的对称轴上，H为平移后的抛物线上的一点，当以A，M，H，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点H的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$