北京市第五十七中学2024—2025学年下学期3月阶段性练习九年级数学试题

第 1 页 共 8 页 57中九年级阶段性练习 2025.3.27 学校 姓名 一、选择题（共 16分，每题 2分） 1. 一个正五棱柱如右图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是 （A） （B） （C） （D） 2. 若关于 x的一元二次方程 2 2 0x x m   有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 （A） 1m  （B） 1m  （C） 1m  （D） 1m  3. 实数 a在数轴上对应点的位置如图所示．若实数 b满足 a+b<0，则 b的值可以是 （A） 2 （B） 1 （C）0 （D）1 4. 如图，由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）6 5. 投掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数相同的概率是 （A） 1 12 （B） 1 6 （C） 1 3 （D） 1 2 6. 如果 2a b  ，那么代数式 2 21 b a b a b       的值是 （A） 1 2 （B）1 （C） 2 （D）2 7.如图， ,PA PB切 O 于 A，B两点．连接 AB，连接OP交 AB于点 C， 若 8AB  ， 2OC  ，则 PC的长为 （A） 52 （B） 54 （C）8 （D）10 8.小明近期计划阅读一本总页数不低于 300页的名著，他制定的阅读计划如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 页数 15 20 15 10 20 40 30 若小明按照计划从星期 x开始连续阅读，10天后剩下的页数为 y，则 y与 x的图象可能为 （A） （B） 第 2 页 共 8 页 （C） （D） 第二部分 非选择题 二、填空题（共 16题，每题 2分） 9. 若代数式 1 2 x 有意义，则实数 x的取值范围是 ． 10. 分解因式： 2 4ax a = ． 11. 如上图，正方形 ABCD，点 A在直线 l上，点 B到直线 l的距离为 3，点 D到直线 l的距离为 2，则正方形的边 长为 ． 12. 在平面直角坐标系 xOy中，点 1(1 )A y， 和点 2(3 )B y， 在反比例函数 k y x  的图象上．若 1 2y y ，写出一个满足 条件的 k 的值 ． 13. 咖啡树种子的发芽能力会随着保存时间的增长而减弱．咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为 95％；从三个 月到五个月，发芽率会逐渐降到 75％；从五个月到九个月，发芽率会逐渐降到 25％．农科院记录了某批咖啡树 种子的发芽情况，结果如下表所示： 种子数量 n 10 50 150 300 500 800 发芽数量m 9 41 133 261 431 689 发芽率 m n 0.9 0.82 0.887 0.87 0.862 0.861 据此推测，下面三个时间段中，这批咖啡树种子的保存时间是 （填“三个月内”“三至五个月”或“五至九 个月”）． 14.如图，矩形 ABCD中，点 P在边 AD上，PD = 2AP,连接 CP并延长，交 BA的延长线于点 E，连接 BD交 CP于点 Q.则 BE CD 的值为 第 14题图 第 15题图 15．如图，AB为☉O的弦，C为☉O上一点，OC⊥AB于点 D. 若 10OA  ，AB=6，则 tan AOD = ． 第 3 页 共 8 页 16．初三年级收到一批书籍放在图书馆，现需要把这批书籍整理到各班班级书架上，需要进行以下四个步骤：运回 书籍、擦书架、查损坏、贴书签，志愿者分为甲、乙、丙三个小组完成任务，任务要求如下： ①运回书籍只能由甲小组完成.，运回书籍完成后，才能进行其他三个步骤，这三个步骤可由任意小组完成并可 同时进行. ②一个步骤只能由一个小组完成，此步骤完成后该小组才能进行其他步骤. ③每个班级每个步骤所需时间如下表所示： 在不考虑其他因素的前提下，若由甲小组单独完成 1个班级的整理任务，则需要____分钟；若由甲、乙、 丙合作完成 4个班级的整理任务，则最少需要____分钟. 三、解答题（共 68 分，第 17 - 21题，每题 5 分，第 22 - 24 题，每 题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分， 第 27 - 28 题，每题 7 分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算： 0 1 1 3 t 1 an 60 (π 202 2 3           ）． 18．解不等式 1 2 1 2 3 x x  ≥ ，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．下面是过直线外一点，作已知直线的平行线的两种方法. 请选择一种作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留 作图痕迹），并完成证明. 已知：如图，直线 l及直线 l外一点 P. 求作：直线 PQ，使得 PQ∥l. 作法：如图， ①在直线 l上取两点 A，B，连接 AP； ②分别以点 P，点 B为圆心，AB，AP的长为半径画弧，两弧在 l上方交于点 Q； ③作直线 PQ. 所以直线 PQ就是所求作的直线. 证明：连接 BQ. ∵AP = ，AB = ， ∴四边形 APQB是平行四边形 （ ）（填推理的依据）. ∴PQ∥l （ ） （填推理的依据）. A B l P 第 4 页 共 8 页 20．为防治污染，保护和改善生态环境，某汽车厂生产新型汽车，汽车尾气排放量要求如下：A类物质排放量不超 过 30 mg/km ，A，B 两类物质排放量之和不超过 60 mg/km .已知该型号某汽车的 A 类比 B 两类物质排放量多 20 mg/km .经过一次技术改进，该汽车的 A类物质排放量降低了 50%，B类物质排放量降低了 80% ，A，B两类物 质排放量之和为 52 mg/km .判断这次技术改进后该汽车的 A类物质排放量是否符合要求，并说明理由. 21．在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象由正比例函数 y＝ 2 1 x的图象平移得到，且经过点 （2，3）． （1）求 k，b的值； （2）当 x＜2时，对于 x的每一个值，函数 y=mx  2(m≠0)的值小于一次函数 y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出 m 的取值范围． 22．已知：如图，在四边形 ABCD中， ,AB DC AC BD∥ ，垂足为 M，过点 A作 AE AC ，交CD的延长线 于点 E． （1）求证：四边形 ABDE是平行四边形； （2）若 48,sin 5 AC ABD   ，求 BD的长． 23．青少年的健康素质是全民族健康素质的基础． 某校为了解学生寒假参加体育锻炼的情况，从七、八、九年级 学生中各随机抽取了该年级学生人数的5%，调查了他们平均每周参加体育锻炼的时长，并对这些数据进行整理、 描述和分析，下面给出部分信息． a．七、八年级学生平均每周参加体育锻炼时长数据的折线图如下： 第 5 页 共 8 页 b．九年级学生平均每周参加体育锻炼的时长： 7，8，8，11，9，7，6，8 c．七、八、九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的平均数、中位数、众数： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 7．1 7 6，10 八年级 7 m n 九年级 p 8 8 根据所给信息，回答下列问题： （1）表中 m的值是___________，n的值是___________，p的值是___________； （2）设七、八、九三个年级学生参加体育锻炼时长的方差分别是 21s ， 2 2s ， 2 3s ，直接写出 2 1s ， 2 2s ， 2 3s 之间的大小 关系___________（用“<”连接）； （3）估计全校九年级所有学生中，共有___________名学生参加体育锻炼的时长不少于 9小时． 24如图，以 BC为直径的半圆 O上有一动点 F，点 E为弧 CF的中点，连接 BE、FC相交于点 M，延长 CF到 A点， 使得 AB＝AM，连接 AB、CE． (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若 tan∠ACB＝ 5 12 ，BM＝10．求 EC的长． 第 6 页 共 8 页 25．数学学习小组的同学共同探究体积为 330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表 面积与底面半径的关系． 具体研究过程如下，请补充完整： （1）建立模型：设该容器的表面积为 S 2cm ，底面半径为 x cm，高为 y cm，则 2330 x y ， ① 22 2S x xy   ， ② 由①式得 2 330y x  ，代入②式得 2 6602S x x   ． ③ 可知，S是 x的函数，自变量 x的取值范围是 。 （2）探究函数： 根据函数解析式③，按照下表中自变量 x的值计算（精确到个位），得到了 S与 x的几组对应值： / cmx … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 … 2/ cmS … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 … 在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （3）解决问题：根据图表回答， ①半径为 2.4cm的圆柱形容器比半径为 4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）； ②若容器的表面积为 300 2cm ，容器底面半径约为______cm（精确到 0.1）． 第 7 页 共 8 页 26．在平面直角坐标系 xOy中，点 0( )A x m, ， ),2( 0 nxB  在抛物线 2 2 1y x bx   上. （1）当 b=2， 0 3x  时，比较 m与 n的大小，并说明理由； （2）若对于 03 4x  ，都有 m<n<1，求 b的取值范围. 27. 如图，在△ABC 中，AB AC ，  90 120BAC        ，D为 BC 的中点，E是线段CD上的动点（不 与点C，D重合）．连接 AE，将线段 AE绕点A逆时针旋转 得到线段 AF ，连接 EF 交 AC于点G，过点 B作 AC的平行线交 FE的延长线于点H ． （1）求证： ACF CBH   ； （2）若M 为线段 FH 的中点，连接DM ，用等式表示线段DM 与 FG 之间的数量关系并证明． 第 8 页 共 8 页 28．在平面直角坐标系 xOy中，⊙O的半径为 1，对于⊙O的弦 AB和⊙O外一点 C，给出如下定义：若直线 CA， CB都是⊙O的切线，则称点 C是弦 AB的“关联点”． （1）已知点 A（﹣1，0）． ①如图 1，若⊙O的弦�� = 3，在点�1( − 1， 3)，C2（﹣1，1），�3( − 1， − 3)中，弦 AB的“关联点” 是 ； ②如图 2，若点�( − 12， − 3 2 )，点 C是⊙O的弦 AB的“关联点”，求 OC的长； （2）已知点 D（3，0），线段 EF是以点 D为圆心，以 1为半径的⊙D的直径，对于线段 EF上任意一点 S，存 在⊙O的弦 AB，使得点 S是弦 AB的“关联点”．当点 S在线段 EF上运动时，将其对应的弦 AB长度的最大值 与最小值的差记为 t，直接写出 t的取值范围．