6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

分类加法计数原理和分步乘法计数原理 聚/焦/大/单/元 · 共/研/新/理/念 聚/焦/大/单/元 · 共/研/新/理/念 探究新知 问题1：从A市去成都，一天中，飞机有4趟，高铁有3趟，那么一天中乘坐这些交通工具从A市到成都有多少种不同的走法？ 完成一件什么事 怎么完成这件事 有多少种方法 完成一件事 从A市去成都 方案1 乘坐飞机 4 方案2 乘坐高铁 3 4+3=7 探究新知 方案1 用大写英文字母编号 26 方案2 用阿拉伯数字编号 10 26+10=36 完成一件什么事 有多少种方法 怎么完成这件事 问题2：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个 座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 完成一件事 给座位编号 新知讲解 问题3 你能说说这两个问题的共同特点吗? 问题1 问题2 共同特点 从A市去成都 给座位编号 第1类乘坐飞机； 第2类乘坐高铁 第1类用大写英文字母编号； 第2类用阿拉伯数字编号 每类方案中的任何一种方法 能否独立完成这件事情 共有4+3=7种方法 共有26+10=36种方法 都是完成一件事情 完成这件事情有两类方案 能 都是用加法运算 概念生成 一般地，有如下分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 例题讲解 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 分析：要完成一件什么事？如何完成这件事？ 5+4=9 变式：若还有C大学，其中强项专业为：营销管理，信息工程.那么这名同学可能的专业选择共有多少种？ A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 经济学 物理学 法学 工程学 C大学 营销管理 信息工程 5+4+2=11 概念生成 推广：如果完成一件事有类不同方案, 在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为: 特点：每一类中的各种方法相互独立 你能仿照分类加法计数原理的内容，对有n类方案的分类加法计数原理推广吗？ 概念理解 1.加法原理看成“并联电路” …… A B m1 m2 mn 2.从集合运算的角度分析 A B 利用分类加法计数原理的一般步骤 分类：对完成这件事的方案进行分类， 要不重不漏； 计数：对每一类进行计数; 求和：得出总数. 新知探究 问题4 从A市到B市，高铁有4趟，从B市到成都，飞机有3趟，乘坐这些交通工具从A市经B市到成都共有多少种不同的走法？ 完成一件什么事 怎么完成这件事 有多少种方法 从A市经B市到成都 第一步从A市乘高铁到B市 第二步从B市乘飞机到成都 A市 B市 成都 问题5 用这6个大写英文字母1～9九个阿拉伯数字，以的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 完成一件什么事 怎么完成这件事 有多少种方法 新知讲解 问题6 你能说说这两个问题的共同特征吗？ 概念生成 一般地，有如下分步乘法计数原理： 完成一件事需要分成两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，则完成这件事共有 种不同的方法. 例题讲解 例2 某班有男生30名，女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛, 共有多少种不同的选派方法？ 变式：该班有10名任课老师，在(1)的基础上，若要从中增派1名老师作为领队，共有多少种不同的选法？ 分析：要完成的一件事是选男、女两名代表，第一步选男生第二步选女生 分析：要完成的一件事是选男、女和老师3名代表，第一步选男生第二步选女生第三步选老师 概念生成 你能仿照分步乘法计数原理的内容，对有n个步骤的分步乘法计数原理推广吗？ 推广：如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法 ， ……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数 为： N= m1×m2×… ×mn 特点：每一步不能独立完成这件事 概念生成 1.乘法原理看成“串联电路” … A B m1 m2 mn 2.从集合角度理解 利用分步乘法计数原理的一般步骤 分步：对完成这件事的方案进行分步， 要步骤完整； 计数：对每一步进行计数; 求积：得出总数. 分类加法计数原理与分步乘法计数原理联系和区别： 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 区别 注意 都是完成一件事的不同方法种数的问题 是方法的分类: “类类独立” 即每类方法中的每一种方法都能独立地完成这件事 是过程的分步： “步步相依” 即各个步骤是相互依存的，必须每步都完成了，才算做完这件事 分类要“不重不漏” 分步要“步骤完整” 例题讲解 例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书， (1)从书架上任取1本书，有多少不同的取法？ (2)从书架的第1, 2, 3层各取1本书, 有多少不同的取法? 分步 分析：①完成的一件事情是什么？ ②如何完成这件事情？ ③是否独立完成（分类还是分步） 分类 例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书， 变式1：从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 分析：要完成的事是“取2本不同学科的书”,有三类不同方案： 第一类：从一、二层各取一本，有4×3=12种方法； 第二类：从一、三层各取一本,有4×2=8种方法； 第三类：从二、三层各取一本,有3×2=6种方法； 变式2：从第一层取一本书后，再从第二层或者第三层取一本书，有多少种不同的取法？ 例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书， 分析：要完成的事是“从第一层取完一本书后，再从第二层或第三层取一本书” 想一想还有没有其它的方法？ 巩固提高 例4：（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？ 分析：要完成的事是4名同学选择一个项目，项目可以重复（4名同学可以都选跑步），每个同学有3种选择，只有当4名同学都选完项目后事情才算完成。 （2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（同一项目的冠军不会并列），共有多少种可能的结果？ 分析：要完成的事是从4名同学中产生冠军，每位同学可以重复成为冠军（甲可以是3个项目的冠军），每个项目的冠军有4个人选，只有当3个项目的冠军都选出事情才算完成。 当堂检测 （1）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数是 （ ） A. B. C.30 D.11 B 分析：要完成的一件事是6名同学听讲座，每个同学有5种选择，只有当6名同学都选好讲座后这件事才算完成 （2）中国有十二生肖（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）,现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有 （ ） A.30种 B.60种 C.50种 D.90种 C 分析：要完成的一件事是三位同学都选到喜欢的礼物，特殊元素优先选，甲先选。先分类再分步。 课堂小结 作业布置 复习巩固：课本P11第4，5，6 拓广探索：第11，12 研究性作业：设计一个使用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的综合问题 拓展应用 有2辆相同的红色车和2辆相同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有 种不同的停放方法．（用数字作答） 18 解析：第一、二步排红色，有 种， 第三步排黑色有3种不同的方法， 如:BD、BF、CD 所以不同的方法数是 拓展应用 有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有 种不同的停放方法．（用数字作答） 72 拓展应用 同一寝室4位同学，每人写一张贺卡放在桌子上，要求每人取一张，但不取自己的，有多少种不同的取法？ 9种 Lavf58.20.100 $$