6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（8大题型）（分层作业）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

第六章 计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（8大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：分类加法计数原理 2 题型二：分步乘法计数原理 3 题型三：两个原理的综合应用 4 题型四：组数问题 5 题型五：占位模型中标准的选择 6 题型六：涂色问题 7 题型七：种植问题 9 题型八：列举法 10 拓展培优练 12 题型一：分类加法计数原理 1．已知甲部门有员工4人，乙部门有员工5人，丙部门有员工6人，现从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（    ） A．120 B．15 C．25 D．90 2．书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（    ） A．3 B．8 C．12 D．18 3．从地到地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（    ） A．3 B．9 C．24 D．以上都不对 4．集合，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 题型二：分步乘法计数原理 5．某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小红3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（   ） A．36种 B．50种 C．75种 D．125种 6．小亦从2本不同的人教A版必修系列书籍和3本不同的人教A版选择性必修系列书籍中各选1本进行复习，则不同的选择方案共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 7．小青计划从北京乘坐高铁、长途汽车或火车到山东，再从山东乘坐轮船或飞机到辽宁，则小青从北京出发，途经山东再到辽宁的交通工具乘坐方式共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 8．从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（    ） A． B． C．21 D．210 题型三：两个原理的综合应用 9．用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 10．如果一个三位正整数“”满足且，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275），当中间数为3或4时，那么所有凸数的个数为（   ） A．18 B．15 C．16 D．21 11．某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 12．如图，在十等分圆周中（10个点依次为），取四点构成凸四边形且为梯形的有几种？ 题型四：组数问题 13．用这10个数字，可以组成 个没有重复数字的三位数. 14．用数字可以组成的四位数的个数是 ． 15．我们把中间数位上的数字最大，而两边依次减小的多位数称为“凸数”，如132，341等，那么由1，2，3，4，5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是 ． 16．若一个三位数同时满足：①各数位的数字互不相同；②任意两个数位的数字之和不等于9，则这样的三位数共有 个．(结果用数字作答) 题型五：占位模型中标准的选择 17．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一楼到4楼共有走法种数为（    ） A．6 B．23 C．42 D．43 18． 3名志愿者，每人从4个不同的岗位中选择1个，则不同的选择方法共有（    ） A．12种 B．64种 C．81种 D．24种 19．阅读课上，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是（    ） A．50 B．60 C．125 D．243 20．某游泳锦标赛上有四名运动员甲、乙、丙、丁，他们每人参加项目且每人只能参加一个项目，有三个游泳项目供选择，这四人参赛方案的种类共有（    ） A． B． C．12 D．9 题型六：涂色问题 21．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ）    A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 22．如图，用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ）    A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 23．用3种不同颜色给下图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有（ ）种不同的涂色方案． A．243 B．32 C．48 D．1280 24．地图涂色是一类经典的数学问题.如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有（    ）种. A．84 B．72 C．48 D．24 题型七：种植问题 25．某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则不同种法有（    ） 1 2 3 4 5 A．30240种 B．60480种 C．120960 D．241920种 26．如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 27．某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有郁金香、玛格丽特、小月季、小杜鹃四种不同的花可供采购，要求相邻区域种不同种类的花，则不同的种植方案个数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．96 28．如图所示为某公园景观的一隅，是由五处区域构成，现为了美观要将五处区域用鲜花装饰，要求相邻区域种植不同色的鲜花，有种颜色鲜花可供选用，则不同的装饰方案数为（    ） A． B． C． D． 题型八：列举法 29．已知集合，从集合M中选一个元素作为点的横坐标，从集合N中选一个元素作为点的纵坐标，则落在第三、第四象限内点的个数是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 30．在正方形的每一个顶点处分别标上中的某一个数字（可以重复），则顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法有（    ） A．36种 B．48种 C．24种 D．26种 31．李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次．已知月日李明分别去了这四家超市配送，那么整个月他不用去配送的天数是（    ） A． B． C． D． 1．将数字，，，填入标号为，，，的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均互不相同的填法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．如图，无人机光影秀中，有架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出种不同颜色的光，至号的无人机颜色必须相同，、号无人机颜色必须相同，号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这架无人机同时发光时，一共可以有（    ）种灯光组合. A． B． C． D． 3．在某种设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂三个格子（如图），要求每种颜色都要有，李明共有多少种不同的填涂方法？（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．2160的不同正因数个数为（    ） A．42 B．40 C．36 D．30 5．根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的两位数有（    ） 1    2     3       4       5      6      7      8      9表示如下 纵式： 横式： A．81个 B．64个 C．18个 D．17个 6．某城市的电话号码由七位升为八位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是（   ） A． B． C． D． 7．数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（    ） A．147 B．112 C．65 D．50 8．在如图所示的九宫格中填入数字和字母，已知三个字母：都填到九宫格中且不能在同一行同一列，其他每格只能从数字中选择一个填入，有公共边的两个格数字不相同，则不同的填法种数为（    ） A．5230 B．3619 C．4758 D．5184 9．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ）    A．120 B．26 C．340 D．420 10．设集合A中的元素皆为无重复数字的二位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 . 11．正整数2024有 个不同的正约数 12．用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数．（用数字作答） 13．如下图，用4种不同颜色标注地图中的6个区域，相邻省颜色不同，有 种不同的涂色方式. 14．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为 ．    15．用数字1，2组成一个四位数，则数字1，2都出现的四位偶数有 个． 16．集合，则的元素两两互素的三元子集个数为 ． 17．回答下列问题： (1)5封不同的信投入3个不同的邮筒的投法有多少种？ (2)5个同学争夺3个比赛的冠军，每个比赛冠军只有1人，冠军获得情况共有多少种？ 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（8大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：分类加法计数原理 2 题型二：分步乘法计数原理 3 题型三：两个原理的综合应用 4 题型四：组数问题 5 题型五：占位模型中标准的选择 6 题型六：涂色问题 7 题型七：种植问题 9 题型八：列举法 10 拓展培优练 12 题型一：分类加法计数原理 1．已知甲部门有员工4人，乙部门有员工5人，丙部门有员工6人，现从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（    ） A．120 B．15 C．25 D．90 【答案】B 【解析】根据分类加法计数原理可知，不同的选法种数为. 故选：B. 2．书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（    ） A．3 B．8 C．12 D．18 【答案】B 【解析】书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书， 第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为. 故选：B. 3．从地到地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（    ） A．3 B．9 C．24 D．以上都不对 【答案】B 【解析】由题意可知，可以乘汽车、火车、轮船三种交通工具，汽车发3次，火车发4次，轮船发2次， 则由分类加法计数原理可得共有种不同走法. 故选：B. 4．集合，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】第二象限内的点的横坐标是负数，纵坐标是正数． 若集合提供横坐标，集合提供纵坐标，则符合题意的点有，共2个； 若集合提供纵坐标，集合提供横坐标，则有，，共4个． 综上，符合题意的点的个数为. 故选：D． 题型二：分步乘法计数原理 5．某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小红3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（   ） A．36种 B．50种 C．75种 D．125种 【答案】C 【解析】因为小明不选篮球和足球，所以小明有3种选课方法， 小强和小红各有5种选课方法， 所以不同的选课方法共有种. 故选：C. 6．小亦从2本不同的人教A版必修系列书籍和3本不同的人教A版选择性必修系列书籍中各选1本进行复习，则不同的选择方案共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 【答案】B 【解析】由分步计数原理，得不同的选择方案共有种. 故选：B 7．小青计划从北京乘坐高铁、长途汽车或火车到山东，再从山东乘坐轮船或飞机到辽宁，则小青从北京出发，途经山东再到辽宁的交通工具乘坐方式共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 【答案】B 【解析】小青从北京到山东有3种乘坐方式，从山东到辽宁有2种乘坐方式， 所以共有种． 故选：B 8．从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（    ） A． B． C．21 D．210 【答案】D 【解析】根据分步乘法计数原理，不同的选法有种. 故选：D 题型三：两个原理的综合应用 9．用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择， 而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论: ①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况， 与百位数一样，只有一种选择， 与个位数一样，也只有一种选择; ②当个位数为2时， 如果百位数为2，则十位数有6种选择， 如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择: 当个位数为4时， 如果百位数为4，则十位数有6种选择， 如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择 综上所述，. 故选：B. 10．如果一个三位正整数“”满足且，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275），当中间数为3或4时，那么所有凸数的个数为（   ） A．18 B．15 C．16 D．21 【答案】A 【解析】当中间数为3时，有（个）； 当中间数为4时，有（个）． 故共有（个）． 故选：A 11．某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 【答案】D 【解析】依题意可知，有两类衣服可选， 第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择； 第二类：选择连衣裙，共有中选择； 所以共有种选择. 故选：D 12．如图，在十等分圆周中（10个点依次为），取四点构成凸四边形且为梯形的有几种？ 【答案】60 【解析】分三种：①以十边形的一条边为底（如）：个； ②类如为底：个； ③类如为底：个． 构成凸四边形且为梯形的共有种． 故答案为：60 题型四：组数问题 13．用这10个数字，可以组成 个没有重复数字的三位数. 【答案】648 【解析】先考虑百位，有种方法； 然后考虑十位和个位，有种方法； 故没有重复数字的三位数有个. 故答案为： 14．用数字可以组成的四位数的个数是 ． 【答案】16 【解析】每个位置均可以是1或2，故可以组成个四位数. 故答案为：16. 15．我们把中间数位上的数字最大，而两边依次减小的多位数称为“凸数”，如132，341等，那么由1，2，3，4，5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是 ． 【答案】20 【解析】由三位“凸数”的特点知，中间的数字只能是3，4，5，即分三类， 第一类，当中间数字为“3”时，此时有2个（132，231）； 第二类，当中间数字为“4”时，个位数字有三种选择，百位数字有两种选择，则“凸数”有2×3＝6（个）； 第三类，当中间数字为“5”时，个位数字有四种选择，百位数字有三种选择，则“凸数”有4×3＝12（个）， 由分类加法计数原理，得到由1，2，3，4，5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是2＋6＋12＝20（个）. 故答案为：20 16．若一个三位数同时满足：①各数位的数字互不相同；②任意两个数位的数字之和不等于9，则这样的三位数共有 个．(结果用数字作答) 【答案】432 【解析】从百位开始讨论： （1）百位数字为1，十位数字有0,2,3,4,5,6,7,9，（除1,8外所有数字）； 当十位数字为0时，个位数字为2,3,4,5,6,7,（除1,0，8，9外所有数字），所以对应的三位数有种； （2）百位数字为2,3,4,5,6,7,8,9，情况同（1）； 综上这样的三位数共有：种； 故答案为：432. 题型五：占位模型中标准的选择 17．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一楼到4楼共有走法种数为（    ） A．6 B．23 C．42 D．43 【答案】B 【解析】由题意得可知： 由一层走到二层有两种选择，由二层走到三层有两种选择，由三层走到四层有两种选择，根据分步计数法的原则可知共有种走法. 故选：B 18． 3名志愿者，每人从4个不同的岗位中选择1个，则不同的选择方法共有（    ） A．12种 B．64种 C．81种 D．24种 【答案】B 【解析】每个人都有4种选择，故不同的选择方法共有种. 故选：B 19．阅读课上，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是（    ） A．50 B．60 C．125 D．243 【答案】D 【解析】由题意，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读， 其中，每名同学都有3种不同的选法，所以不同的选法种数是种. 故选：D. 20．某游泳锦标赛上有四名运动员甲、乙、丙、丁，他们每人参加项目且每人只能参加一个项目，有三个游泳项目供选择，这四人参赛方案的种类共有（    ） A． B． C．12 D．9 【答案】A 【解析】甲、乙、丙、丁每人均有3种选择，可以采用分步计数原理，得四人参赛方案的种类为． 故选：A. 题型六：涂色问题 21．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ）    A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 【答案】D 【解析】有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选， ，均有4种颜色可选，故共有涂色方法（种）． 故选：D. 22．如图，用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ）    A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 【答案】C 【解析】先A区域，再涂B，涂C，涂D，根据分步乘法计数原理共有种涂法. 故选：C. 23．用3种不同颜色给下图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有（ ）种不同的涂色方案． A．243 B．32 C．48 D．1280 【答案】C 【解析】从左到右依次涂色，第一个图形可以涂3种颜色，第二、三、四、五个图形可以涂2种颜色， 共有种不同的涂色方案. 故选：C. 24．地图涂色是一类经典的数学问题.如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有（    ）种. A．84 B．72 C．48 D．24 【答案】A 【解析】将图形区域氛围上下左右， 若上下颜色相同，则上有4种，左有3种，右有3种，共有种； 若上下颜色不同，则上有4种，下有3种，左右各有两种，共有种， 所以共有种， 故选：A 题型七：种植问题 25．某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则不同种法有（    ） 1 2 3 4 5 A．30240种 B．60480种 C．120960 D．241920种 【答案】C 【解析】由题得相邻两块实验田分成1和2；2和3；3和4；4和5四类； 第一类在1和2上种植小麦，“1”有7种选择，“2”有6种选择，剩下3块实验田种植水稻， 分别有种选择，所以共计种； 第二、三、四类和第一类种数相同．综上总计有种方法． 故选：C. 26．如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【解析】根据题意，分3步进行分析： (1)对于块，可以在3种不同的花中任选1种，有种情况； (2)对于块，可以在剩下的2种不同的花中任选1种，有种情况； (3)对于C 、D块，分2种情况： 若D块与块相同，则C块可以在其余的2种不同的花中任选1种，有种情况， 若D块与块不相同，则块有1种情况，块有1种情况，此时C 、D有1种情况， 则C 、D共有种情况； 综合可得：一共有种不同的种法. 故选：B 27．某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有郁金香、玛格丽特、小月季、小杜鹃四种不同的花可供采购，要求相邻区域种不同种类的花，则不同的种植方案个数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．96 【答案】C 【解析】先种区域1有种选择，区域2有种选择，区域3有种选择，区域4有种选择，区域5有2种选择，区域6有1种选择， 则共有：种. 故选：C. 28．如图所示为某公园景观的一隅，是由五处区域构成，现为了美观要将五处区域用鲜花装饰，要求相邻区域种植不同色的鲜花，有种颜色鲜花可供选用，则不同的装饰方案数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】区域有种颜色鲜花可供选择，区域有种颜色鲜花可供选择，区域有种颜色鲜花可供选择， 区域、各有种颜色鲜花可供选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的装饰方案数为种. 故选：B. 题型八：列举法 29．已知集合，从集合M中选一个元素作为点的横坐标，从集合N中选一个元素作为点的纵坐标，则落在第三、第四象限内点的个数是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【解析】依题意，可得点的坐标有： 其中落在第三、第四象限内点有 共6个. 故选：A 30．在正方形的每一个顶点处分别标上中的某一个数字（可以重复），则顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法有（    ） A．36种 B．48种 C．24种 D．26种 【答案】D 【解析】按顶点处标注的数字分类，有如下几种情况： 若处都标注的是4，则处的标注方法有（种）； 若处都标注的是3，则处的标注方法有（种）； 若处都标注的是2，则处的标注方法有1种； 若处标注的是4和3两个数字，则处的标注方法有（种），不同的标注方法共有（种）； 若处标注的是4和2两个数字，则处的标注方法有1种，不同的标注方法共有（种）； 若处标注的是3和2两个数字，则处的标注方法有1种，不同的标注方法共有（种）. 由分类加法计数原理可知，顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法共有（种）. 故选:D. 31．李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次．已知月日李明分别去了这四家超市配送，那么整个月他不用去配送的天数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将月剩余的30天依次编号为1，2，330， 因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次，且月日李明分别去了这四家超市配送， 所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送， 则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天； 李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共5天； 李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天； 李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天； 所以李明需要配送的天数为， 所以整个月李明不用去配送的天数是. 故选：B. 1．将数字，，，填入标号为，，，的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均互不相同的填法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解析】第一步：先把数字填入方格中，符合条件的有种方法， 第二步：把第一步中数字填入的方格的序号所对应数字填入剩下的三个方格其中之一， 又有种方法， 第三步：填余下的两个数字，只有种填法，共有种填法. 故选：B. 2．如图，无人机光影秀中，有架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出种不同颜色的光，至号的无人机颜色必须相同，、号无人机颜色必须相同，号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这架无人机同时发光时，一共可以有（    ）种灯光组合. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可知，至号的无人机颜色有4种选择； 当、号无人机颜色与至号的无人机颜色相同时，号无人机颜色有3种选择； 当、号无人机颜色与至号的无人机颜色不同时，、号无人机颜色有3种选择，号无人机颜色有2种选择； 再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有种. 故选：D 3．在某种设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂三个格子（如图），要求每种颜色都要有，李明共有多少种不同的填涂方法？（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【解析】因为每个格子填涂都有两种颜色可选， 所以三个格子填涂颜色一共有种情况， 又因为三个格子颜色相同时有2种情况， 所以李明共有种不同的填涂方法. 故选：B. 4．2160的不同正因数个数为（    ） A．42 B．40 C．36 D．30 【答案】B 【解析】， 所以2160的不同正因数个数为： . 共40个. 故选：B. 5．根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的两位数有（    ） 1    2     3       4       5      6      7      8      9表示如下 纵式： 横式： A．81个 B．64个 C．18个 D．17个 【答案】B 【解析】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，共可以摆出（个）两位数， 其中个位和十位上的算筹都为1有（个）； 个位和十位上的算筹都为2有（个）； 个位和十位上的算筹都为3有（个）； 个位和十位上的算筹都为4有（个）； 个位和十位上的算筹都为5有（个）， 共有（个）， 所以个位和十位上的算筹不一样多的两位数有（个）. 故选：B 6．某城市的电话号码由七位升为八位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】电话号码是七位数字时，因为首位数字不为零， 所以该城市可安装电话部， 同理电话号码是八位时为部， 所以可增加的电话部数是． 故选：D. 7．数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（    ） A．147 B．112 C．65 D．50 【答案】C 【解析】最高位是5的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个； 最高位是6的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个； 最高位是7的“凸数”，中间数分别为8，9，分别有7，8个，共有15个； 最高位是8的“凸数”，中间数为9，有8个， 所以没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为. 故选：C 8．在如图所示的九宫格中填入数字和字母，已知三个字母：都填到九宫格中且不能在同一行同一列，其他每格只能从数字中选择一个填入，有公共边的两个格数字不相同，则不同的填法种数为（    ） A．5230 B．3619 C．4758 D．5184 【答案】D 【解析】先填，对于，有9个位置可以选择， 除去所在的行和列，有4个位置可以选择， 再除去所在的行和列，只剩1个位置， 故填共有种；再填1，2，3，如下图， ④ ⑤ ① ⑥ ② ③ 由于公共边的两个格数字不相同，从①号位置开始: ①有3种选择，②有2种选择，③有2种选择，④有3种选择，⑤有2种选择，⑥有2种选择， 故填1，2，3有种； 所以共有种. 故选：D. 9．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ）    A．120 B．26 C．340 D．420 【答案】D 【解析】根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E， 分4步进行分析： ①，对于区域A，有5种颜色可选； ②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选； ④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选， 若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选， 则区域D、E有种选择， 所以不同的涂色方案有种. 故选：D. 10．设集合A中的元素皆为无重复数字的二位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 . 【答案】 【解析】由题意知集合中元素中任意两者之积皆为偶数， 故该集合元素中最多只能有一个奇数，其余元素均是偶数． ①当个位为0时，则十位有9个数字可供选择，则这样的偶数有个； ②当个位不为0时，则个位有2,4,6,8共4个数字可供选择，十位有8个数字可供选择， 则这样的偶数有个； 则集合中元素个数的最大值为个． 故答案为：． 11．正整数2024有 个不同的正约数 【答案】16 【解析】因为， 所以正整数2024有个不同的正约数， 故答案为：16. 12．用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数．（用数字作答） 【答案】420 【解析】①第1类，当千位数字为奇数，即取1，3，5中的任意一个时，个位数字可取0，2，4，6中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．根据分步乘法计数原理，有种法． ②第2类，当千位数字为偶数，即取2，4，6中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字外的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字，根据分步乘法计数原理，有种取法． 所以根据分类加法计数原理，共可以组成个无重复数字的四位偶数． 故答案为：420. 13．如下图，用4种不同颜色标注地图中的6个区域，相邻省颜色不同，有 种不同的涂色方式. 【答案】120 【解析】当陕西和贵州相同，陕西和贵州4种颜色，重庆3种颜色，四川有2种颜色，湖北有2种颜色，湖南有1种颜色，则共有种方法， 当陕西和贵州不同，湖北和贵州相同，则陕西有4种颜色，重庆3种颜色，贵州和湖北有2种颜色，湖南有2种颜色，四川有1种颜色，则共有种方法， 当陕西和贵州不同，湖北和贵州不同，则陕西有4种颜色，重庆3种颜色，贵州有2种颜色，湖北有1种颜色，湖南有1种颜色，四川有1种则共有种方法， 综上可知有种方法. 故答案为：120 14．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为 ．    【答案】24 【解析】梯形的上、下底平行且不相等，如图， 若以AB为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有（个）， 若以AC为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有（个）， 所以梯形的个数是（个）． 故答案为：24 15．用数字1，2组成一个四位数，则数字1，2都出现的四位偶数有 个． 【答案】7 【解析】由四位数是偶数知，最后一位是2． 在四位数中，当出现1个1时，有1222，2122，2212，共3个四位偶数； 当出现2个1时，有1122，1212，2112，共3个四位偶数； 当出现3个1时，只有1112这1个四位偶数． 故数字1，2都出现的四位偶数有（个）． 故答案为：7. 16．集合，则的元素两两互素的三元子集个数为 ． 【答案】42 【解析】符合题意的三元素子集可分为两类， 第一类：子集中的三个元素为三个奇数，此时有（个）； 第二类：子集中的三个元素为两个奇数一个偶数，按照选择的偶数分类计算可得（个）． 由计数原理可得，共有（个）． 故答案为：42. 17．回答下列问题： (1)5封不同的信投入3个不同的邮筒的投法有多少种？ (2)5个同学争夺3个比赛的冠军，每个比赛冠军只有1人，冠军获得情况共有多少种？ 【解析】（1）5封不同的信投入3个不同的邮筒的投法有种； （2）5个同学争夺3个比赛的冠军，冠军获得情况共有种. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$