第二章二次函数 课时练 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

第二章　二次函数 1　二次函数 1.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P是线段BC上的一点（不与点B重合），M是DB上的一点，且BP＝DM.设BP＝x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为　　y＝－x2＋4x（0＜x≤6）　. 1图 2图 3图 2.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝120°，AB＝6，AD＝4，点E，F分别在线段AD，DC上（点E与点A，D不重合）.若∠BEF＝120°，AE＝x，DF＝y，则y关于x的函数关系式为　y＝－x2＋x（0＜x＜4）　. 提示：由∠A＝∠D＝120°，∠BEF＝120°可得△ABE∽△DEF，进而求解. 3.将一副三角尺（△BCM和△AEG）按如图所示的方式放置，点E在BC上滑动，AE交BM于点D，EG交MC于点F，且在滑动过程中始终保持EF＝DE.若MB＝4，设BE＝x，△EFC的面积为y，则y关于x的函数表达式是（ D ） A.y＝2x B.y＝2x＋1 C.y＝x（4－x） D.y＝x（4－x） 提示：过点F作EC的垂线，根据题意可以分别用含x的代数式表示出点F到EC边的距离和EC的长，从而可以表示出△EFC的面积. 4.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B移动，点Q从点B开始沿BC边以2cm/s的速度向点C移动.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.经过xs后，△PBQ的面积为ycm2. （1）写出y与x之间的函数关系式. （2）当点P，Q移动3s时，△PBQ的面积是多少？ （3）根据（1）中的函数关系式说明，当点P，Q移动多长时间时，△PBQ的面积为8cm2？ 解：（1）由题意，得BP＝（6－x）cm，BQ＝2xcm， 则y＝×（6－x）×2x，即y＝－x2＋6x（0＜x≤4）. （2）由（1），得y＝－x2＋6x（0＜x≤4），当x＝3时，y＝－32＋6×3＝9， ∴当点P，Q移动3s时，△PBQ的面积是9cm2. （3）当－x2＋6x＝8时，解得x1＝2，x2＝4， ∴当点P，Q移动2s或4s时，△PBQ的面积为8cm2. 2　二次函数的图象与性质 第1课时　二次函数y＝x2与y＝－x2的图象与性质 1.如果点（m，n）在抛物线y＝－x2上，那么下列各点一定在该抛物线上的是（ B ） A.（m，－n） B.（－m，n） C.（－m，－n） D.（n，m） 2.（易错）已知点A（2，m），B（n，－9）在抛物线y＝－x2上则mn＝　－64或－　. 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2上有A，B两点，连接OA，OB，AB，OA⊥OB，AB交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与抛物线y＝x2交于点D，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D.求k的值. 　　　　　 答案图 解：如图，过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为L，M. ∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠AOL＝90°－∠BOM＝∠OBM， ∴△AOL∽△OBM，∴＝. 设A（a，a2），B（b，b2），∴AL＝a2，OL＝－a，BM＝b2，OM＝b， ∴＝，∴ab＝－1，即b＝－. 设AB的表达式为y＝mx＋c.将A，B两点代入，得 解得c＝1，∴C（0，1）.当c＝1时，令y＝x2＝1，解得x＝±1，∴D（1，1）. ∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，∴k＝1×1＝1. 第2课时　二次函数y＝ax2与y＝ax2＋c的图象与性质 1.（2023·广州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2－3上，且0＜x1＜x2，则y1　＜　y2.（填“＜”“＞”或“＝”） 2.　已知函数y＝ax2＋k的图象上有A（－3，y1），B（1，y2），C（2，y3）三点，且y2＜y3＜y1，则a的取值范围是　a＞0　. 3.已知二次函数y＝－3x2，当－3≤x≤－1时，y的取值范围是　－27≤ y ≤－3　. 4. 已知二次函数y＝2x2－3，当－1≤x≤3时，y的取值范围是　－3≤y≤15　. 5.　已知当－1≤x≤3时，二次函数y＝－x2＋2m＋1有最大值4，则实数m的值为　　. 6.如图，点C（a＜0）是y轴负半轴上的一点，过点C作直线，与抛物线y＝ax2交于A，B两点（点A在点B的左侧），连接OA，OB，设点A的横坐标为m （m＜0）. （1）若点A的坐标为（－4，－2），求点C的坐标. （2）若AC∶BC＝1∶2，m＝－1，求a的值，并证明∠AOB＝90°. （3）若AC∶BC＝1∶k（k＞1），问“∠AOB＝90°”这一结论还成立吗？无需说明理由. 解：（1）当点A的坐标为（－4，－2）时，∵点A在抛物线y＝ax2上， ∴－2＝16a，解得a＝－，∴点C的坐标为（0，－8）. （2）∵m＝－1，∴A（－1，a）.设直线AC的表达式为y＝kx＋b. 把点A（－1，a），C的坐标代入，得解得 ∴直线AC的表达式为y＝x＋. ∵AC∶BC＝1∶2，∴｜xA｜∶｜xB｜＝1∶2，∴B（2，4a）. ∵AC∶BC＝1∶2，∴AC2∶BC2＝1∶4，即BC2＝4AC2， ∴22＋＝4，解得a＝－，∴A，B（2，－2）， ∴AO2＝（－1－0）2＋＝，BO2＝（2－0）2＋（－2－0）2＝12， AB2＝（－1－2）2＋＝，∴AO2＋BO2＝AB2，∴∠AOB＝90°. （3）“∠AOB＝90°”这一结论还成立. 第3课时　二次函数y＝a（x－h）2与y＝a（x－h）2＋k的图象与性质 1.（2023·咸阳一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝－（x－3）2＋m（m是常数）上，若x1＜3＜x2，x1＋x2＜6，则下列比较大小正确的是（ D ） A.m＞y1＞y2 B.y2＞y1＞m C.y1＞m＞y2 D.m＞y2＞y1 2.设函数y1＝－（x－m）2，y2＝－（x－n）2，直线x＝1与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，a1），B（1，a2），下列说法正确的是（ C ） A.若1＜m＜n，则a1＜a2　 B.若m＜1＜n，则a1＜a2 C.若m＜n＜1，则a1＜a2　 D.若m＜n＜1，则a2＜a1 3.已知二次函数y＝（x－1）2＋3的图象平移后的顶点坐标为（2，1），则下列平移方法正确的是（ C ） A.向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度 B.向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度 C.向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度 D.向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度 4.（2023·南充）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x＋1）2上的是（ D ） A.（m，n＋1） B.（m＋1，n） C.（m，n－1） D.（m－1，n） 5.　在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝－（x－4）2＋3不动，把y轴向右平移4个单位长度，把x轴向上平移3个单位长度，那么在新的坐标系中抛物线对应的表达式为　y＝－x2　. 6.阅读材料：设二次函数y1，y2的图象的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），若h＝2m，k＝2n，且开口方向相同，则称y1是y2的“同倍二次函数”. （1）请写出二次函数y＝（x－1）2＋1的“同倍二次函数”：　y＝（x－2）2＋2　； （2）已知关于x的二次函数y1＝（x－）2－，y2＝2x2－ax＋1，若函数y1恰好是y2的“同倍二次函数”，求a的值. 解：（2）由题意，得二次函数y1＝－的图象的顶点坐标为. ∵y1是y2的“同倍二次函数”，∴y2＝2x2－ax＋1的图象的顶点坐标为. 把代入y2＝2x2－ax＋1，得－＝2×－a×＋1，解得 a＝－2或a＝4. 第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 1.函数值的大小比较 例　已知A（－4，y1），B（1，y2）两点都在二次函数y＝－3（x＋1）2＋2的图象上，判断y1与y2的大小关系. 2.（代入法）：把A（－4，y1），B（1，y2）分别代入y＝－3（x＋1）2＋2中，得y1＝　－25　，y2＝　－10　， ∴y1　＜　y2（填“＞”“＜”或“＝”）. 3.（增减性法）：∵二次函数图象的对称轴为　x＝－1　， ∴点B关于对称轴对称的点的坐标为（　－3　，y2）. ∵抛物线的开口向　下　，∴在对称轴左侧，y随x的增大而　增大　. ∵－4＜　－3　，∴y1　＜　y2（填“＞”“＜”或“＝”）. 4.（距离比较法）：∵二次函数的图象开口向　下　，且对称轴是　x＝－1　， ∴二次函数的图象上的点离对称轴越远，对应的函数值就越　小　. ∵点A（－4，y1）到对称轴的距离比点B（1，y2）到对称轴的距离　远　（填“近”或“远”）， ∴y1　＜　y2（填“＞”“＜”或“＝”）. 5..（2024·西安校级四模）如果点A（－1，y1），B（2，y2）和C（6，y3）在抛物线y＝x2－6x＋m上，那么y1，y2，y3之间的大小关系是（ D ） A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y2＜y1 D.y2＜y3＜y1 6.（2022·陕西）已知二次函数y＝x2－2x－3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当－1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3之间的大小关系是（ B ） A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y1＜y2 D.y2＜y3＜y1 7.（2024·榆林子洲三模）将抛物线y＝ax2＋2ax＋c（a＜0）向右平移2个单位长度后得到一条新的抛物线，若点P（－1，y1），Q（0，y2），M（1，y3），N（2，y4）都在新抛物线上，则y1，y2，y3，y4的大小关系是（ B ） A.y1＜y2＜y3＜y4 B.y1＜y2＝y4＜y3 C.y1＜y2＝y3＜y4 D.y1＜y2＜y3＝y4 8.已知点A（a－m，y1），B（a－n，y2），C（a＋b，y3）都在二次函数y＝x2－2ax＋1的图象上，若0＜m＜b＜n，则y1，y2，y3的大小关系是　y2＞y3＞y1（或y1＜y3＜y2）　. 3　确定二次函数的表达式 第1课时　根据两个条件确定二次函数的表达式 1.　若抛物线y＝ax2＋c与y＝2x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点是（0，－3），则该抛物线的表达式是　y＝－2x2－3　. 2.已知抛物线的顶点坐标是（1，5），当x＞1时，y随x的增大而增大，则该抛物线的表达式可以是　y＝（x－1）2＋5（答案不唯一）　.（任写一个即可） 第2课时　根据三个条件确定二次函数的表达式 1.　在二次函数y＝ax2－2ax＋b中，当0≤x≤3时，－2≤y≤6，则该二次函数的表达式为　y＝2x2－4x或y＝－2x2＋4x＋4　. 2.设抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数表达式为　y＝x2－x＋2或y＝－x2＋x＋2　. 3.已知二次函数y＝ax2－2x＋2－a（a是常数，a≠0）. （1）若a＝－，求该函数图象的顶点坐标； （2）若该二次函数的图象经过（－1，1），（1，－2），（2，－5）三个点中的一个，求该二次函数的表达式； （3）若－5≤a≤－2，当－3≤x≤0时，y＝ax2－2x＋2－a的最大值记为m，最小值记为n，求am－n的最小值. 解：（1）当a＝－时，y＝－x2－2x＋＝－（x＋2）2＋， ∴该函数图象的顶点坐标为. （2）y＝ax2－2x＋2－a＝a（x2－1）－2（x－1）＝a（x＋1）（x－1）－2（x－1）＝（x－1）（ax＋a－2）. 当x＝1时，y＝0≠－2，因此该二次函数的图象不过点（1，－2）.当x＝－1时，y＝4≠1，因此该二次函数的图象不过点（－1，1），故该二次函数的图象过点（2，－5）.将（2，－5）代入y＝ax2－2x＋2－a，得4a－4＋2－a＝－5，∴a＝－1，∴该二次函数的表达式为y＝－x2－2x＋3. （3）二次函数y＝ax2－2x＋2－a的图象的对称轴为x＝. ∵－5≤a≤－2，∴－≤≤－，且二次函数的图象开口向下. ∵当－3≤x≤0时，y＝ax2－2x＋2－a的最大值记为m，最小值记为n，∴当x＝时，y＝m，当x＝－3时，y＝n，∴m＝－＋2－a＝2－a－，n＝9a＋6＋2－a＝8a＋8， ∴am＝－a2＋2a－1，∴am－n＝－a2＋2a－1－8a－8＝－a2－6a－9＝－（a＋3）2. ∵－5≤a≤－2，∴当a＝－5时，am－n有最小值，最小值为－4. 4　二次函数的应用 第1课时　利用二次函数解决面积及抛物线型问题 1.　某养殖户准备围建一个矩形鸡舍，其中一边靠墙MN，另外的边（虚线部分）用长为28米的篱笆围成，并将矩形鸡舍分成两个相同的房间，每个房间各留出宽1米的门方便进出.已知墙的长度为12米，设这个鸡舍垂直于墙的一边的长为x米，鸡舍的面积为S平方米. （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求出S的最大值，此时x的值为多少？ 解：（1）由题意，得S＝x·（28－3x＋2）＝－3x2＋30x，且2＜28－3x＋2≤12，即6≤x＜， ∴S与x之间的函数关系式为S＝－3x2＋30x. （2）∵S＝－3x2＋30x＝－3（x－5）2＋75，∴当x＞5时，S随x的增大而减小. ∵6≤x＜，∴当x＝6时，S有最大值，最大值为72， 即S的最大值为72，此时x的值为6. 2.如图，某小区计划用18 m的铁栅栏两面靠墙（墙足够长）围成一个矩形车棚ABCD，为了方便存车，在CD（CD＞2）边上开了一个2 m宽的门EF（门不是用铁栅栏做成的），设边BC的长为x m，车棚的面积为y m2. （1）AB＝　　20－x　（用含x的式子表示）. （2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围. （3）当x是多少时，车棚的面积最大？最大面积是多少？ 解：（2）由题意，知y＝AB·BC＝（20－x）x＝－x2＋20x. ∵2＜AB＜18，∴2＜20－x＜18，解得2＜x＜18， ∴y＝－x2＋20x（2＜x＜18）. （3）y＝－x2＋20x＝－（x－10）2＋100.∵－1＜0，∴当x＝10时，y取得最大值， 即车棚的面积最大，最大面积是100 m2. 3.（2023·宝鸡陇县期中）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出的水柱呈抛物线形状，喷头上下移动时，抛物线形状水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面上.安装师傅调试发现，喷头高2.5 m时，水柱落点距O点2.5 m；喷头高4 m时，水柱落点距O点3 m.喷头高　8　m时，水柱落点距O点4 m. 3图 4图 4.（2024·西安校级二模）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示，以水平方向为x轴、喷水池中心为原点建立直角坐标系. （1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度. 解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝a（x－3）2＋5（a≠0）. 将（8，0）代入y＝a（x－3）2＋5，得25a＋5＝0，解得a＝－， ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝－（x－3）2＋5（0＜x＜8）. （2）在y＝－（x－3）2＋5中，令y＝1.8，得－（x－3）2＋5＝1.8， 解得x1＝－1，x2＝7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内. （3）在y＝－（x－3）2＋5中，令x＝0，得y＝－（0－3）2＋5＝. 设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝－x2＋bx＋. ∵该函数图象过点（16，0），∴0＝－×162＋16b＋，解得b＝3， ∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝－x2＋3x＋＝ －＋，∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米. 5.（2024·渭南富平期末）【初步探究】 （1）如图1，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，连接DE，EF.已知四边形BFED是平行四边形，BC＝4DE. ①若AB＝8，求线段AD的长； ②若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积. 【深入探究】 （2）如图2，某工厂有一块四边形铁皮ABCD，其中∠A＝∠B＝90°，AD＝8 dm，AB＝20 dm，BC＝24 dm.为了节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮BEFG（阴影部分）备用，点E，F，G分别在AB，CD，BC上.设矩形铁皮的边FG＝x dm，矩形BEFG的面积为S dm2，求出S与x之间的函数关系式，并求矩形BEFG面积的最大值. 答案图 解：（1）①∵四边形BFED是平行四边形，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△ABC，∴＝.∵BC＝4DE，∴＝，解得AD＝2，即线段AD的长为2. ②∵△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，＝＝. ∵△ADE的面积为1，∴＝，∴S△ABC＝16.设AD＝a，则AB＝4a，∴BD＝3a. ∵四边形BFED是平行四边形，∴EF＝BD＝3a，EF∥AB， ∴∠CEF＝∠A，∠CFE＝∠B，∴△CEF∽△CAB，相似比为＝＝，∴＝＝. ∵S△ABC＝16，∴＝，∴S△CEF＝9， ∴平行四边形BFED的面积为S△ABC－S△ADE－S△CEF＝16－1－9＝6. （2）如图，过点D作DH⊥BC于点H，交EF于点M，则MH＝FG＝x dm，AD＝EM＝BH＝8 dm，DH＝AB＝20 dm，∴DM＝DH－MH＝（20－x）dm，CH＝BC－BH＝24－8＝16（dm）. 设EF＝y dm，则MF＝EF－EM＝（y－8）dm. ∵四边形BEFG是矩形，∴EF∥BC，∴∠DMF＝∠DHC，∠DFM＝∠C，∴△DMF∽△DHC， ∴＝，即＝，∴y＝－x＋24， ∴S＝xy＝x＝－x2＋24x＝－（x－15）2＋180， ∴当x＝15时，矩形BEFG的面积最大，最大值为180 dm2. 第2课时　利用二次函数解决销售利润问题 1.年初，草莓进入采摘旺季，某公司经营销售草莓的业务，以3万元/吨的价格向农户收购后，分拣成甲、乙两类，甲类草莓包装后直接销售，乙类草莓深加工后再销售.甲类草莓的包装成本为1万元/吨，当甲类草莓的销售量x＜8吨时，它的平均销售价格y＝－x＋14，当甲类草莓的销售量x≥8吨时，它的平均销售价格为6万元/吨；乙类草莓的深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系为s＝12＋3t，平均销售价格为9万元/吨. （1）该公司有一次收购了一批20吨的草莓，其中甲类草莓有x吨，销售这批草莓所获得的总利润为w万元. ①求w与x之间的函数关系式； ②若该公司获得了30万元的总利润，求甲类草莓有多少吨？ （2）在某次收购中，该公司准备投入100万元资金，请你设计一种经营方案，使该公司获得的总利润最大，并求出最大的总利润. 解：（1）①∵甲类草莓有x吨，∴乙类草莓有（20－x）吨. 当0≤x＜8时， w＝x（－x＋14）－x＋9（20－x）－[12＋3（20－x）]－3×20＝－x2＋7x＋48； 当x≥8时， w＝6x－x＋9（20－x）－[12＋3（20－x）]－3×20＝－x＋48. ∴w与x之间的函数关系式为w＝ 当0≤x＜8时，－x2＋7x＋48＝30，解得x1＝9，x2＝－2，均不合题意； 当x≥8时，－x＋48＝30，解得x＝18. ∴甲类草莓有18吨. （2）设投入资金后收购的甲类草莓为x吨，乙类草莓为y吨. 由题意，得3（x＋y）＋x＋12＋3y＝100.整理，得2x＋3y＝44，∴y＝. 当0≤x＜8时，w＝（－x＋14）x＋9×－100＝－x2＋8x＋32＝－（x－4）2＋48， w的最大值为48，此时x＝4； 当x≥8时，w＝6x＋9×－100＝32，w为常数. 故经营方案为收购的甲类草莓为4吨，乙类草莓为12吨，最大总利润为48万元. 5　二次函数与一元二次方程 第1课时　二次函数与一元二次方程 1.（2024·西安长安区一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2－2ax＋c（a≠0）的图象与x轴的一个交点的横坐标为3，则另一个交点的横坐标为（ C ） A.－5 B.－3 C.－1 D.1 2.　如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A（－2，0），B两点，并且过C（m，n）和D（2－m，n），则点B的坐标为　（4，0）　. 3.　（2024·榆林横山区二模）若二次函数y＝－x2＋bx＋c（b，c为常数）的图象经过A（m，n），B（m－4，n）两点，且与x轴只有一个交点，则n的值为（ B ） A.－1 B.－4 C.－2 D.4 4.　已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为α，β（α＜β），而x2＋bx＋c－2＝0的两根为M，N（M＜N），则α，β，M，N的大小关系为（ B ） A.α＜β＜M＜N B.M＜α＜β＜N C.α＜M＜β＜N D.M＜α＜N＜β 5.　设二次函数y＝ax2＋c（a，c是常数，a＜0），已知函数值y和自变量x的三对对应值如表所示.如果关于x的方程ax2＋c－m＝0的一个正实数根为5，那么下列结论正确的是（ B ） x … －3 2 4 … y … 0 p q … A.m＞p＞0 B.m＜q＜0 C.p＞m＞0 D.q＜m＜0 解析：由表格数据和函数的对称性，画出函数的大致图象如图所示，从图象看m＜q＜0. 6. （2023·西安校级月考）设一元二次方程（x＋1）（x－3）＝m（m＞0）的两个实数根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足　α＜－1且β＞3　. 7.（2023·西安校级三模）定义：函数y＝x2＋bx＋c（c≠0）的图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为xA，xB，与y轴的交点C的纵坐标为yc，若xA，xB中至少存在一个值，满足xA＝yC（或xB＝yC），则称该函数为“M函数”，例如，函数y＝x2＋2x－3的图象与x轴的一个交点A为（－3，0），与y轴的交点C为（0，－3），满足xA＝yC，则称y＝x2＋2x－3为“M函数”. （1）请探究在“M函数”y＝x2＋bx＋c（c≠0）中，b与c的关系. （2）如图，“M函数”y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且经过点P（3，－4），现将抛物线沿射线AP方向平移，使点P落在点M处，同时抛物线上的点B落在点D处，已知由抛物线平移前点P，B之间的曲线部分，平移后点M，D之间的曲线部分及线段MP，BD所围成的图形的面积S为8，求线段PM的长. 解：（1）在y＝x2＋bx＋c中，当x＝0时，y＝c.∵函数y＝x2＋bx＋c是“M函数”， ∴当x＝c时，y＝0，即点（c，0）在抛物线y＝x2＋bx＋c上， ∴0＝c2＋bc＋c，∴0＝c（c＋b＋1）. ∵c≠0，∴b＋c＝－1，即b与c的关系为b＋c＝－1. （2）由（1），得c＝－b－1，即y＝x2＋bx－b－1. 将（3，－4）代入y＝x2＋bx－b－1，得－4＝32＋3b－b－1，解得b＝－6， ∴该“M函数”的表达式为y＝x2－6x＋5，令x2－6x＋5＝0， 解得x1＝1，x2＝5，∴A（1，0），B（5，0）. 如图，过点B作BF⊥PA于点F，过点P作PE⊥AB于点E，连接PB，MD. 根据平移的性质可知，PB与MD平行且相等，∴四边形MPBD是平行四边形. 易知P，B之间的曲线部分，M，D之间的曲线部分，线段MP，BD所围成的图形的面积就是▱MPBD的面积. ∵A（1，0），B（5，0），P（3，－4），∴PA＝＝2，AB＝4，PE＝4， ∴sin∠PAB＝＝，∴BF＝＝＝， ∴S▱MPBD＝PM·BF＝PM＝8，∴PM＝5. 章末综合提升 1.（2024·烟台）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表： x －4 －3 －1 1 5 y 0 5 9 5 －27 有下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝9有两个相等的实数根；③当－4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点（m，y1），（－m－2，y2）均在二次函数的图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2＋（b＋1）x＋c＜2的x的取值范围是x＜－2或x＞3.其中正确结论的序号为　①②④　. 2.（2024·西安校级月考）我们把函数y＝的图象记为C，若直线y＝x＋b与图象C有且只有三个交点，则b的取值是　－3或－　. 解析：根据函数表达式画出的函数图象如图所示. 当直线y＝x＋b经过点（0，－3）时，图象C与直线y＝x＋b恰好有三个交点，此时b＝－3； 当直线y＝x＋b与图象C在y轴左侧的部分只有一个交点时，图象C与直线y＝x＋b恰好也有三个交点，此时x2＋2x－3＝x＋b，∴b＝－. 综上，当b的值是－3或－时，直线y＝x＋b与图象C有且只有三个交点. 3.（2024·西安校级月考）如图，正方形ABCD的边长为6，E是CD边上的一点，以BE为对角线作正方形BGEF，连接CG，则△ECG面积的最大值为 　　. 解析：如图，连接BD，过点G作GI⊥DC，交DC的延长线于点I. 设EC＝x，则DE＝6－x，易证△BCG∽△BDE， ∴＝＝，∠BCG＝∠BDE＝45°， ∴CG＝DE＝（6－x），△CGI是等腰直角三角形， ∴GI＝CG＝×（6－x）＝（6－x），∴△ECG的面积为EC·GI＝x·（6－x）＝－（x－3）2＋.∵－＜0，∴△ECG的面积有最大值，最大值为. 4.（2023·陕西）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48 m2，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案.现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示. 方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12 m，拱高PE＝4 m.其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN. 方案二，抛物线型拱门的跨度ON'＝8 m，拱高P'E'＝6 m.其中，点N'在x轴上，P'E'⊥O'N'，OE'＝E'N'. 要在拱门中设置高为3 m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）.方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A，D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上.现知小华已求出方案二中，当A'B'＝3 m时，S2＝12 m2，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）求方案一中抛物线的表达式； （2）在方案一中，当AB＝3 m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小. 解：（1）由题意，知方案一中抛物线的顶点P的坐标为（6，4）. 设抛物线的表达式为y＝a（x－6）2＋4， 把点O（0，0）的坐标代入，得0＝a（0－6）2＋4，解得a＝－， ∴方案一中抛物线的表达式为y＝－（x－6）2＋4＝－x2＋x. （2）在y＝－x2＋x中，令y＝3，得3＝－x2＋x，解得x＝3或x＝9， ∴B（3，0），C（9，0）， ∴BC＝9－3＝6（m），∴S1＝AB·BC＝3×6＝18（m2）. ∵18＞12，∴S1＞S2. 5.（2024·西安校级三模）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴交于A（－2，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴为x＝－. （1）求抛物线的表达式； （2）M是抛物线上的点，且在第二象限，过点M作MN⊥AC于点N，求AN＋MN的最大值. 解：（1）根据题意，得解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2－x＋2. （2）如图，过点M作MT⊥x轴于点T，交AC于点K. ∵A（－2，0），C（0，2），∴OA＝2，OC＝2，直线AC的表达式为y＝x＋2， ∴tan∠OAC＝＝＝，∴∠OAC＝30°. ∵∠ATK＝90°＝∠MNK，∠AKT＝∠MKN，∴∠KMN＝∠OAC＝30°， ∴AK＝2KT，KN＝MK，MN＝MK. 设M，则K， ∴KT＝m＋2，MK＝－m2－m＋2－＝－m2－2m， ∴AK＝2KT＝m＋4，KN＝MK＝－m2－m，MN＝MK＝－m2－3m， ∴AN＋MN＝AK＋KN＋MN＝m＋4－m2－m－m2－3m ＝－2m2－m＋4＝－2＋. ∵－2＜0，∴当m＝－时，AN＋MN有最大值，最大值为. 6.（2024·西安临潼区一模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，连接对角线BD，E，F分别为BC，AB上的动点，已知AB＝2，∠EDF＝60°. （1）如图1，当CE＝AF时，DE 　＝　DF（填“＞”“＜”或“＝”）. （2）绕点D将∠EDF旋转一定角度，当CE≠AF时，如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由. （3）某校开辟了一块菱形“校园农场”ABCD，已知该农场的一条边AB长2米，且∠C＝60°.为了方便同学们随时观测农场内所种植物的生长情况，学校在“校园农场”的点D处设立了一个可旋转的监控摄像头，已知监控的可视角度为60°，且监控在旋转过程中可视角度的边界会落在CB，BA边所在的直线上.如图3，某一时刻，监控可视角度的边界交直线AB于点F，交直线BC于点E，若连接EF，则监控的视野范围为△DEF.设△DEF的面积为y，CE＝x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，求出这个最小值. 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴DC＝DA，∠C＝∠A. ∵CE＝AF，∴△DCE≌△DAF（SAS），∴DE＝DF.故答案为＝. （2）成立.证明：如图1，连接DB. ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，AD∥BC.又∵∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD，∠ADB＝60°，∠DBE＝∠ADB＝60°，∴∠DBE＝∠DAF＝60°. ∵∠EDF＝60°，∠ADB＝60°， ∴∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴DE＝DF. 图1 图2 （3）如图2，连接BD.∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB. 又∵∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD，∠ADB＝60°. 同理可得∠DBC＝60°，∴∠DBE＝120°.∵∠EDF＝∠ADB＝60°，∴∠ADF＝∠BDE， ∴△ADF≌△BDE（SAS），∴S△ADF＝S△BDE，AF＝BE，∴BF＝CE＝x. ∵S△DEF＋S△BDE＝S△ADF＋S△ABD＋S△BEF，∴y＝S△DEF＝S△BEF＋S△ABD. 过点F作FM⊥BE于点M.∵CE＝BF＝x，∠FBE＝60°，∴FM＝x， ∴S△BEF＝BE·FM＝（x－2）×x＝x2－x. ∵△ABD是等边三角形，∴S△ABD＝×2×＝，∴y＝x2－x＋. ∵y＝x2－x＋＝（x－1）2＋，∴当x＝1时，y有最小值，最小值为. 7.（2024·咸阳武功二模）【问题提出】 （1）如图1，在△ABC中，经过点B的直线l交边AC于点D，已知点A到l的距离为3，点C到l的距离为2，BD＝6，则△ABC的面积为　15　. 【问题探究】 （2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在边BC上，点F在边CD上，∠AEF＝90°.设BE＝x，CF＝y，当0＜x＜4时，求y与x之间的函数关系式. 【问题解决】 （3）图3是某果蔬基地的一块正方形田地ABCD的示意图，其中AB＝1 600 m，管理部门计划在AB边上确定一点E，以CE为边向右侧扩建一正方形试验区CEFG，边EF与边AD交于点H.根据设计要求，将△DEF区域设计为智能化种苗培育基地.设AE的长为x m，△DEF的面积为y m2. ①求y与x之间的函数关系式. ②按照设计要求，发现当AE的长度为600 m时，整体布局比较合理.试求当AE＝600 m时，智能化种苗培育基地（△DEF）的面积. 解：（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°. ∵∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECF，∴＝. ∵AB＝3，BC＝4，BE＝x，CF＝y，∴＝，∴y＝－x2＋x（0＜x＜4）. （3） ①如图，过点F作FM⊥BA，交BA的延长线于点M，∴∠M＝90°. ∵四边形ABCD与四边形EFGC都是正方形，∴∠B＝∠CEF＝∠BAD＝∠M＝90°，CE＝EF，AD＝BC＝AB＝1 600 m，∴MF∥AD，∠BCE＋∠BEC＝90°，∠BEC＋∠MEF＝90°，∴∠BCE＝∠MEF， ∴△BCE≌△MEF（AAS），∴ME＝BC＝1 600 m，MF＝BE＝（1 600－x）m. ∵AH∥MF，∴∠EAH＝∠EMF，∠EHA＝∠EFM， ∴△EAH∽△EMF，∴＝，∴＝， ∴AH＝m，∴DH＝AD－AH＝m. ∵S△DEF＝S△EDH＋S△FDH， ∴y＝DH·ME＝×1 600－×1 600＝x2－800x＋1 280 000. ②将x＝600代入y＝x2－800x＋1 280 000，得y＝×6002－800×600＋1 280 000＝980 000， ∴当AE＝600 m时，智能化种苗培育基地（△DEF）的面积为980 000 m2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章　二次函数 1　二次函数 1.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P是线段BC上的一点（不与点B重合），M是DB上的一点，且BP＝DM.设BP＝x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为　　 　. 1图 2图 3图 2.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝120°，AB＝6，AD＝4，点E，F分别在线段AD，DC上（点E与点A，D不重合）.若∠BEF＝120°，AE＝x，DF＝y，则y关于x的函数关系式为　 　. 3.将一副三角尺（△BCM和△AEG）按如图所示的方式放置，点E在BC上滑动，AE交BM于点D，EG交MC于点F，且在滑动过程中始终保持EF＝DE.若MB＝4，设BE＝x，△EFC的面积为y，则y关于x的函数表达式是（ ） A.y＝2x B.y＝2x＋1 C.y＝x（4－x） D.y＝x（4－x） 4.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B移动，点Q从点B开始沿BC边以2cm/s的速度向点C移动.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.经过xs后，△PBQ的面积为ycm2. （1）写出y与x之间的函数关系式. （2）当点P，Q移动3s时，△PBQ的面积是多少？ （3）根据（1）中的函数关系式说明，当点P，Q移动多长时间时，△PBQ的面积为8cm2？ 2　二次函数的图象与性质 第1课时　二次函数y＝x2与y＝－x2的图象与性质 1.如果点（m，n）在抛物线y＝－x2上，那么下列各点一定在该抛物线上的是（ ） A.（m，－n） B.（－m，n） C.（－m，－n） D.（n，m） 2.（易错）已知点A（2，m），B（n，－9）在抛物线y＝－x2上则mn＝　 　. 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2上有A，B两点，连接OA，OB，AB，OA⊥OB，AB交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与抛物线y＝x2交于点D，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D.求k的值. 　　　　　 第2课时　二次函数y＝ax2与y＝ax2＋c的图象与性质 1.（2023·广州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2－3上，且0＜x1＜x2，则y1　　y2.（填“＜”“＞”或“＝”） 2.　已知函数y＝ax2＋k的图象上有A（－3，y1），B（1，y2），C（2，y3）三点，且y2＜y3＜y1，则a的取值范围是　 　. 3. 已知二次函数y＝－3x2，当－3≤x≤－1时，y的取值范围是　 　. 4.已知二次函数y＝2x2－3，当－1≤x≤3时，y的取值范围是　 　. 2.已知当－1≤x≤3时，二次函数y＝－x2＋2m＋1有最大值4，则实数m的值为　　. 6.如图，点C（a＜0）是y轴负半轴上的一点，过点C作直线，与抛物线y＝ax2交于A，B两点（点A在点B的左侧），连接OA，OB，设点A的横坐标为m（m＜0）. （1）若点A的坐标为（－4，－2），求点C的坐标. （2）若AC∶BC＝1∶2，m＝－1，求a的值，并证明∠AOB＝90°. （3）若AC∶BC＝1∶k（k＞1），问“∠AOB＝90°”这一结论还成立吗？无需说明理由. 第3课时　二次函数y＝a（x－h）2与y＝a（x－h）2＋k的图象与性质 1.（2023·咸阳一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝－（x－3）2＋m（m是常数）上，若x1＜3＜x2，x1＋x2＜6，则下列比较大小正确的是（ ） A.m＞y1＞y2 B.y2＞y1＞m C.y1＞m＞y2 D.m＞y2＞y1 2.设函数y1＝－（x－m）2，y2＝－（x－n）2，直线x＝1与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，a1），B（1，a2），下列说法正确的是（ ） A.若1＜m＜n，则a1＜a2　 B.若m＜1＜n，则a1＜a2 C.若m＜n＜1，则a1＜a2　 D.若m＜n＜1，则a2＜a1 3.已知二次函数y＝（x－1）2＋3的图象平移后的顶点坐标为（2，1），则下列平移方法正确的是（ ） A.向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度 B.向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度 C.向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度 D.向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度 4.（2023·南充）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x＋1）2上的是（ ） A.（m，n＋1） B.（m＋1，n） C.（m，n－1） D.（m－1，n） 5.在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝－（x－4）2＋3不动，把y轴向右平移4个单位长度，把x轴向上平移3个单位长度，那么在新的坐标系中抛物线对应的表达式为　 　. 6.阅读材料：设二次函数y1，y2的图象的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），若h＝2m，k＝2n，且开口方向相同，则称y1是y2的“同倍二次函数”. （1）请写出二次函数y＝（x－1）2＋1的“同倍二次函数”：　 　； （2）已知关于x的二次函数y1＝（x－）2－，y2＝2x2－ax＋1，若函数y1恰好是y2的“同倍二次函数”，求a的值. 第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 1.函数值的大小比较 例　已知A（－4，y1），B（1，y2）两点都在二次函数y＝－3（x＋1）2＋2的图象上，判断y1与y2的大小关系. 2.代入法）：把A（－4，y1），B（1，y2）分别代入y＝－3（x＋1）2＋2中，得y1＝　　，y2＝　　， ∴y1　　y2（填“＞”“＜”或“＝”）. 3.（增减性法）：∵二次函数图象的对称轴为　　， ∴点B关于对称轴对称的点的坐标为（　　，y2）. ∵抛物线的开口向　　，∴在对称轴左侧，y随x的增大而　　. ∵－4＜　　，∴y1　　y2（填“＞”“＜”或“＝”）. 4.（距离比较法）：∵二次函数的图象开口向　　，且对称轴是　　， ∴二次函数的图象上的点离对称轴越远，对应的函数值就越　　. ∵点A（－4，y1）到对称轴的距离比点B（1，y2）到对称轴的距离　　（填“近”或“远”）， ∴y1　　y2（填“＞”“＜”或“＝”）. 5.（2024·西安校级四模）如果点A（－1，y1），B（2，y2）和C（6，y3）在抛物线y＝x2－6x＋m上，那么y1，y2，y3之间的大小关系是（ ） A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y2＜y1 D.y2＜y3＜y1 6.（2022·陕西）已知二次函数y＝x2－2x－3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当－1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3之间的大小关系是（ ） A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y1＜y2 D.y2＜y3＜y1 7.（2024·榆林子洲三模）将抛物线y＝ax2＋2ax＋c（a＜0）向右平移2个单位长度后得到一条新的抛物线，若点P（－1，y1），Q（0，y2），M（1，y3），N（2，y4）都在新抛物线上，则y1，y2，y3，y4的大小关系是（ ） A.y1＜y2＜y3＜y4 B.y1＜y2＝y4＜y3 C.y1＜y2＝y3＜y4 D.y1＜y2＜y3＝y4 8.已知点A（a－m，y1），B（a－n，y2），C（a＋b，y3）都在二次函数y＝x2－2ax＋1的图象上，若0＜m＜b＜n，则y1，y2，y3的大小关系是　 　. 3　确定二次函数的表达式 第1课时　根据两个条件确定二次函数的表达式 1.若抛物线y＝ax2＋c与y＝2x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点是（0，－3），则该抛物线的表达式是　 　. 2.已知抛物线的顶点坐标是（1，5），当x＞1时，y随x的增大而增大，则该抛物线的表达式可以是　 　.（任写一个即可） 第2课时　根据三个条件确定二次函数的表达式（对应同步训练P38） 1.　在二次函数y＝ax2－2ax＋b中，当0≤x≤3时，－2≤y≤6，则该二次函数的表达式为　 　. 2.　设抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数表达式为　 　. 3.已知二次函数y＝ax2－2x＋2－a（a是常数，a≠0）. （1）若a＝－，求该函数图象的顶点坐标； （2）若该二次函数的图象经过（－1，1），（1，－2），（2，－5）三个点中的一个，求该二次函数的表达式； （3）若－5≤a≤－2，当－3≤x≤0时，y＝ax2－2x＋2－a的最大值记为m，最小值记为n，求am－n的最小值. 4　二次函数的应用 第1课时　利用二次函数解决面积及抛物线型问题 1.某养殖户准备围建一个矩形鸡舍，其中一边靠墙MN，另外的边（虚线部分）用长为28米的篱笆围成，并将矩形鸡舍分成两个相同的房间，每个房间各留出宽1米的门方便进出.已知墙的长度为12米，设这个鸡舍垂直于墙的一边的长为x米，鸡舍的面积为S平方米. （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求出S的最大值，此时x的值为多少？ 2.如图，某小区计划用18 m的铁栅栏两面靠墙（墙足够长）围成一个矩形车棚ABCD，为了方便存车，在CD（CD＞2）边上开了一个2 m宽的门EF（门不是用铁栅栏做成的），设边BC的长为x m，车棚的面积为y m2. （1）AB＝　　　（用含x的式子表示）. （2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围. （3）当x是多少时，车棚的面积最大？最大面积是多少？ 3.（2023·宝鸡陇县期中）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出的水柱呈抛物线形状，喷头上下移动时，抛物线形状水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面上.安装师傅调试发现，喷头高2.5 m时，水柱落点距O点2.5 m；喷头高4 m时，水柱落点距O点3 m.喷头高　　m时，水柱落点距O点4 m. 变式1图 4.（2024·西安校级二模）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示，以水平方向为x轴、喷水池中心为原点建立直角坐标系. （1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度. 5.（2024·渭南富平期末）【初步探究】 （1）如图1，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，连接DE，EF.已知四边形BFED是平行四边形，BC＝4DE. ①若AB＝8，求线段AD的长； ②若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积. 【深入探究】 （2）如图2，某工厂有一块四边形铁皮ABCD，其中∠A＝∠B＝90°，AD＝8 dm，AB＝20 dm，BC＝24 dm.为了节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮BEFG（阴影部分）备用，点E，F，G分别在AB，CD，BC上.设矩形铁皮的边FG＝x dm，矩形BEFG的面积为S dm2，求出S与x之间的函数关系式，并求矩形BEFG面积的最大值. 第2课时　利用二次函数解决销售利润问题 1.年初，草莓进入采摘旺季，某公司经营销售草莓的业务，以3万元/吨的价格向农户收购后，分拣成甲、乙两类，甲类草莓包装后直接销售，乙类草莓深加工后再销售.甲类草莓的包装成本为1万元/吨，当甲类草莓的销售量x＜8吨时，它的平均销售价格y＝－x＋14，当甲类草莓的销售量x≥8吨时，它的平均销售价格为6万元/吨；乙类草莓的深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系为s＝12＋3t，平均销售价格为9万元/吨. （1）该公司有一次收购了一批20吨的草莓，其中甲类草莓有x吨，销售这批草莓所获得的总利润为w万元. ①求w与x之间的函数关系式； ②若该公司获得了30万元的总利润，求甲类草莓有多少吨？ （2）在某次收购中，该公司准备投入100万元资金，请你设计一种经营方案，使该公司获得的总利润最大，并求出最大的总利润. 5　二次函数与一元二次方程 第1课时　二次函数与一元二次方程 1.（2024·西安长安区一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2－2ax＋c（a≠0）的图象与x轴的一个交点的横坐标为3，则另一个交点的横坐标为（ ） A.－5 B.－3 C.－1 D.1 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A（－2，0），B两点，并且过C（m，n）和D（2－m，n），则点B的坐标为　 　. 3.（2024·榆林横山区二模）若二次函数y＝－x2＋bx＋c（b，c为常数）的图象经过A（m，n），B（m－4，n）两点，且与x轴只有一个交点，则n的值为（ ） A.－1 B.－4 C.－2 D.4 4.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为α，β（α＜β），而x2＋bx＋c－2＝0的两根为M，N（M＜N），则α，β，M，N的大小关系为（ ） A.α＜β＜M＜N B.M＜α＜β＜N C.α＜M＜β＜N D.M＜α＜N＜β 5.　设二次函数y＝ax2＋c（a，c是常数，a＜0），已知函数值y和自变量x的三对对应值如表所示.如果关于x的方程ax2＋c－m＝0的一个正实数根为5，那么下列结论正确的是（ ） x … －3 2 4 … y … 0 p q … A.m＞p＞0 B.m＜q＜0 C.p＞m＞0 D.q＜m＜0 6. （2023·西安校级月考）设一元二次方程（x＋1）（x－3）＝m（m＞0）的两个实数根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足　 　. 7.（2023·西安校级三模）定义：函数y＝x2＋bx＋c（c≠0）的图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为xA，xB，与y轴的交点C的纵坐标为yc，若xA，xB中至少存在一个值，满足xA＝yC（或xB＝yC），则称该函数为“M函数”，例如，函数y＝x2＋2x－3的图象与x轴的一个交点A为（－3，0），与y轴的交点C为（0，－3），满足xA＝yC，则称y＝x2＋2x－3为“M函数”. （1）请探究在“M函数”y＝x2＋bx＋c（c≠0）中，b与c的关系. （2）如图，“M函数”y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且经过点P（3，－4），现将抛物线沿射线AP方向平移，使点P落在点M处，同时抛物线上的点B落在点D处，已知由抛物线平移前点P，B之间的曲线部分，平移后点M，D之间的曲线部分及线段MP，BD所围成的图形的面积S为8，求线段PM的长. 章末综合提升 1.（2024·烟台）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表： x －4 －3 －1 1 5 y 0 5 9 5 －27 有下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝9有两个相等的实数根；③当－4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点（m，y1），（－m－2，y2）均在二次函数的图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2＋（b＋1）x＋c＜2的x的取值范围是x＜－2或x＞3.其中正确结论的序号为　 　. 2.（2024·西安校级月考）我们把函数y＝的图象记为C，若直线y＝x＋b与图象C有且只有三个交点，则b的取值是　 . 3.（2024·西安校级月考）如图，正方形ABCD的边长为6，E是CD边上的一点，以BE为对角线作正方形BGEF，连接CG，则△ECG面积的最大值为 　 　. 　　　　　　　 　　 4.（2023·陕西）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48 m2，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案.现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示. 方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12 m，拱高PE＝4 m.其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN. 方案二，抛物线型拱门的跨度ON'＝8 m，拱高P'E'＝6 m.其中，点N'在x轴上，P'E'⊥O'N'，OE'＝E'N'. 要在拱门中设置高为3 m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）.方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A，D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上.现知小华已求出方案二中，当A'B'＝3 m时，S2＝12 m2，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）求方案一中抛物线的表达式； （2）在方案一中，当AB＝3 m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小. 5.（2024·西安校级三模）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴交于A（－2，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴为x＝－. （1）求抛物线的表达式； （2）M是抛物线上的点，且在第二象限，过点M作MN⊥AC于点N，求AN＋MN的最大值. 6.（2024·西安临潼区一模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，连接对角线BD，E，F分别为BC，AB上的动点，已知AB＝2，∠EDF＝60°. （1）如图1，当CE＝AF时，DE 　 　DF（填“＞”“＜”或“＝”）. （2）绕点D将∠EDF旋转一定角度，当CE≠AF时，如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由. （3）某校开辟了一块菱形“校园农场”ABCD，已知该农场的一条边AB长2米，且∠C＝60°.为了方便同学们随时观测农场内所种植物的生长情况，学校在“校园农场”的点D处设立了一个可旋转的监控摄像头，已知监控的可视角度为60°，且监控在旋转过程中可视角度的边界会落在CB，BA边所在的直线上.如图3，某一时刻，监控可视角度的边界交直线AB于点F，交直线BC于点E，若连接EF，则监控的视野范围为△DEF.设△DEF的面积为y，CE＝x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，求出这个最小值. 7.（2024·咸阳武功二模）【问题提出】 （1）如图1，在△ABC中，经过点B的直线l交边AC于点D，已知点A到l的距离为3，点C到l的距离为2，BD＝6，则△ABC的面积为　　. 【问题探究】 （2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在边BC上，点F在边CD上，∠AEF＝90°.设BE＝x，CF＝y，当0＜x＜4时，求y与x之间的函数关系式. 【问题解决】 （3）图3是某果蔬基地的一块正方形田地ABCD的示意图，其中AB＝1 600 m，管理部门计划在AB边上确定一点E，以CE为边向右侧扩建一正方形试验区CEFG，边EF与边AD交于点H.根据设计要求，将△DEF区域设计为智能化种苗培育基地.设AE的长为x m，△DEF的面积为y m2. ①求y与x之间的函数关系式. ②按照设计要求，发现当AE的长度为600 m时，整体布局比较合理.试求当AE＝600 m时，智能化种苗培育基地（△DEF）的面积. 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $$