精品解析：河南省驻马店市汝南县第一高级中学2024-2025学年高三下学期3月阶段性测试数学试卷

2024-2025学年第二学期高三3月阶段性测试 数学 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先解对数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，可得，解得或， 所以或， 又， 所以. 故选：A 2. 已知，虚数是关于的方程的根，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将方程的根代入方程，化为复数的代数形式，根据复数为零求出参数的值. 【详解】由题，，即， 所以，得，，所以. 故选：B 3. 下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇偶性定义，结合指对数函数的性质及复合函数的单调性判断各项对应函数是否满足题设，即可得答案. 【详解】A：，定义域为R，是偶函数，不符； B：，定义域为，是奇函数， 根据复合函数的单调性，易知在上单调递减，不符； C：，定义域为R，是偶函数，不符； D：，定义域为R，是奇函数， 根据复合函数的单调性，易知在R上单调递增，符合. 故选：D 4. 有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（ ）种停放方法． A. 72 B. 144 C. 108 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】对特殊车辆货车甲的停放方法分类讨论，再停入乙车，最后停入其它车即可得. 【详解】先停入货车甲，若货车甲不靠边，共有种停法，则乙车有种停法， 除甲、乙外的其它三辆车共有种停法； 若货车甲靠边，共有种停法，则乙车有种停法， 除甲、乙外的其它三辆车的排法共有种， 故共有种停放方法. 故选：A. 5. 在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点坐标，然后表示出和，建立方程后得到点的轨迹方程，由两个圆存在公共点，得到圆与圆的位置关系，从而得到圆心距和半径的关系，求出的取值范围. 【详解】设，则，. 因为，所以， 即，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆. 又因为点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以， 即，解得. 故选：B. 6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义及已知条件得到，求出，再代入抛物线方程，求出. 【详解】抛物线的准线为， 又点在抛物线，所以点到点的距离与到直线的距离相等， 又，点到点的距离与到直线的距离相等， 所以，解得，即，所以，解得. 故选：B 7. 已知函数和的图象的对称轴完全相同，令，则下列结论错误的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知及正余弦函数的对称性得到、，进而有，再由正弦型函数的性质依次判断各项的正误，即可得答案. 【详解】令，则为的对称轴方程， 令，则为的对称轴方程， 由与的对称轴完全相同，则，即对称轴为， 所以且，则， 所以，其最小正周期，故也是一个周期，A对； ，故的图象关于直线对称，B对； ，当有， 所以的一个零点为，C对； ，则，显然在给定区间内不单调，D错. 故选：D 8. 已知四面体的顶点均在半径为的同一球面上，且，则该四面体体积的最大值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设为的中点，为的中点，为四面体外接球的球心，通过 ，同样利用进行放缩后可得最大值． 【详解】因为，四面体外接球的半径为，设球心为，设为的中点，为的中点， 则球心到的中点的距离， 球心到的中点的距离； 所以， ， 所以，又，， 所以，当且仅当与垂直，且均与垂直时取等号． 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的右焦点为，过作两条互相垂直的直线和和分别与交于和，则（ ） A. 的离心率为 B. 存在直线，使得 C. 为定值 D. 若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则变为圆 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得椭圆的离心率可判断A；设直线的方程为，，联立方程组，利用弦长公式求得，进而可求的最大值，最小值，可判断B；求得可判断C；求得变换后的轨迹方程判断D. 【详解】由椭圆，可得，所以， 所以椭圆的离心率为；故A正确； 可得椭圆的右焦点为， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，此时，， 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，， 联立，消去，可得，整理得， 所以， 所以 ， 同理可得， ，当时，，且 所以的最小值为，最大值为，故B正确； 当直线的斜率为0时，直线斜率不存在，此时，， 当直线的斜率为0时，直线斜率不存在，同理可得 当直线，的斜率不为0时， 为定值，故C正确； 若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则方程为，故不是圆，故D错误. 故选：ABC. 10. 柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何体．它们的特点是每个面都是相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同．正八面体就是柏拉图实体的一种．如图是一个棱长为2的正八面体．甲、乙二人使用它作游戏：甲任选三个顶点，乙任选三个面的中心点，构成三角形．甲、乙选择互不影响，下列说法正确的是（ ） A. 该正八面体的外接球的体积为 B. 平面截该正八面体的外接球所得截面的面积为 C. 甲能构成正三角形的概率为 D. 甲与乙均能构成正三角形的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图形，根据勾股定理求出球的半径，结合球的体积公式计算即可判断A；如图，根据等面积求出OH，进而求出截面圆的半径即可判断B；确定甲乙选择的三个点构成正三角形的情况，结合古典概型的概率公式计算即可判断CD. 【详解】A：由棱长为2，得正八面体上半部分的斜高为，高为， 则正八面体的体积为． 则正八面体的外接球的球心为，半径为， 所以外接球的体积为，故A正确； B：由于到平面的距离等于到平面的距离， 在中，过作的垂线，垂足为，则平面． 由，得， 平面截正八面体的外接球所得截面是圆，半径， 所以所得截面的面积为，故B正确； C：甲随机选择的情况有种，甲选择的三个点构成正三角形，只有一种情况： 甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有种， 甲构成正三角形的概率为，故C错误； D：乙随机选择的情况有种，乙构成正三角形，只有一种情况： 上面四个面的中心中选一个点且从下面四个面的中心选相对的两个点， 或下面四个面的中心中选一个点且从上面四个面的中心选相对的两个点， 共有种，概率为；又甲能构成正三角形的概率为， 所以甲与乙均能构成正三角形的概率为，故D正确. 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题考查几何体与球的综合问题，垂直关系的转化，平面截球的问题，关键是：⑴利用球的弦长公式计算弦长；⑵确定平面截球体所得截面的形状. 11. 已知各项均不为零的数列，其前项和是，且. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若为递增数列，则的取值范围是 C. 存在实数，使得为等比数列 D. ，使得当时，总有 【答案】ABD 【解析】 【分析】赋值法计算判断A，先应用计算化简得出数列分奇偶得出等差数列，再分类求出通项即可判断B，C，再结合指数运算判断D. 【详解】由得， 相减可得，， 由于各项均不为零，所以，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列， 对于A，，，故正确； 对于B，由于的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，所以， 若，则需要，则，故正确， 对于C，，若为等比数列，则为常数，则， 此时，故，进而可得数列的项为显然这不是等比数列，故错误， 对于D，若，只要足够大，一定会有 ， 则，只要足够的大， 趋近于0， 而，显然能满足，故，当时，总有，故正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据233，144，89，55，34，21，13，8，5，3，2，1，则它们的上四分位数为________．（用具体数值作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用分位数的定义计算即可求解. 【详解】把数据由小到大排列为1，2，3，5，8，13，34，21，55，89，144，233. 因为，所以上四分位数为. 故答案为：. 13. 幻方是一种中国传统游戏，其规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字的和都相等．如图，已知一个三阶幻方由1至9这9个不同的数组成，则________，________． 【答案】 ①. 3 ②. 16 【解析】 【分析】由对角线，得到每行、每列、对角线的和都为，列出等式求解即可； 【详解】由对角线，可知每行、每列、对角线的和都为， 所以可得： 8 7-b b 10-c 5 c 13-a a 2 所以， 解得： 所以，， 故答案为：3；16 14. 设为自然对数的底数，若函数存在三个零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】令，利用换元法，根据的函数图象以及已知条件，结合一元二次方程根的分布情况，列出不等关系，即可求得结果. 【详解】设，故0，即 对函数，其函数图象如下所示： 令， 故要满足题意，只需在内有一个实数根，且另一个根为； 或在内有一个实数根，且在内也有一个实数根. 所以 或或 即 或或 解得 . 故答案为：. 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）在线段上找一点，使平面平面，求的长； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接，可得，又可得，进而可得平面，可得平面平面，可求得的长； （2）取中点为，连接，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 取中点为，连接，因为，所以， 又平面，平面，， 因为平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以平面平面， 此时； 【小问2详解】 取中点为，连接，在平面内过点作的平行线为轴，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 所以与平面所成角的正弦值． 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4． （1）求双曲线的方程； （2）过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合离心率求出、，即可得解； （2）依题意可得直线的方程为，设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由为锐角，可得，再由数量积的坐标表示得到不等式，解得即可； 【小问1详解】 依题意，解得， 所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 由（1）知、， 依题意直线的斜率，则直线的方程为， 由，消去整理得， 设，， 当，即，由， 则，， 所以 ， 因为为锐角，所以， 即 ，解得或， 则或或， 又，所以的取值范围为. 17. 某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，科研团队从某地区（人数众多）随机选取了40位患者和60位非患者，用该试剂盒分别对他们进行了一次检测，结果如下： 抽样人群 阳性人数 阴性人数 患者 36 4 非患者 2 58 （1）试估计使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率； （2）若从该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，求恰有一人检测结果错误的概率； （3）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.2？并说明理由. 【答案】（1）0.94 （2） （3） 此人患该疾病的概率超过0.2.理由如下： 由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次， 那么结果为阳性的人数为，其中患者人数为900. 若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为. 【解析】 【分析】（1）由古典概型概率计算公式求解即可； （2）设事件：患者检测结果正确，事件：非患者检测结果正确“，事件：该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误，由求解即可； （3）求得检测一次结果为阳性的人数，确定其中患者人数，即可判断； 【小问1详解】 由题意知，使用该试剂盒进行一次检测共有100人，其中检测结果正确的共有94人， 所以使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率估计为. 【小问2详解】 设事件：患者检测结果正确，事件：非患者检测结果正确“， 事件：该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误； 根据题中数据，可估计为可估计为 该地区的患者中抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误的概率为 该地区的非患者中抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误的概率为 所以， 所以. 因此恰有一人检测结果错误的概率为 【小问3详解】 略 18. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，离心率，椭圆的短轴长为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点A，B和C，D. ①求的值； ②设的中点M，的中点为N，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）由短轴长为，得到，再由离心率结合计算可得椭圆方程； （2）①由直线，过右焦点，设出直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，计算出弦长，再由两直线的斜率乘积为，将弦长中的斜率变为可得弦，相加即可得解； ②由中点坐标公式求出、的坐标，观察坐标知的中点在轴上，所以整理后利用基本不等式即可得到面积的最值； 【详解】解：（1）依题意可得解得，故椭圆的方程为； （2）①设的方程为，， 联立消去并整理得到 ， 于是 同理可得 ②由①知，，，， 所以， 所以的中点 所以 当且仅当即时取等号， 所以面积的最大值为 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，属于中档题. 19. 定义：对于一个多项式，如果存在正整数，使得可以表示为，其中，则称为“阶整数分解多项式”． （1）判断多项式是否为整数分解多项式？并说明理由； （2）若，且互不相同，求的值； （3）若为5阶整数分解多项式，为的互不相等的整数根，试用的根来表示的整数根． 【答案】（1）是，理由如下： 因为， 所以多项式是3整数分解多项式． （2）0； （3）的根为． 【解析】 【分析】（1）直接因式分解直接得到答案； （2）因为，代入计算即可； （3）根据题意知，从而分析得仍为的根，最后再证明对无整数根即可. 【小问1详解】 是，理由略； 【小问2详解】 ， 下面对通分后的分子为0进行简单计算说明， . 【小问3详解】 由题意， 于是． 因为，所以或． 从而仍为的根． 下面证明对无整数根． 若不然，不妨设有整数根， 则， 求出． 因为与1互质，所以与互质． 取， 则与互质． 再取，即有与互质． 对于任意绝对值大于1的整数，有与互质，所以与互质． 即与互质， 所以． 由于， 则， 即， 所以的根为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期高三3月阶段性测试 数学 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，虚数是关于的方程的根，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（ ）种停放方法． A. 72 B. 144 C. 108 D. 96 5. 在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数和的图象的对称轴完全相同，令，则下列结论错误的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在单调递减 8. 已知四面体的顶点均在半径为的同一球面上，且，则该四面体体积的最大值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的右焦点为，过作两条互相垂直的直线和和分别与交于和，则（ ） A. 的离心率为 B. 存在直线，使得 C. 为定值 D. 若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则变为圆 10. 柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何体．它们的特点是每个面都是相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同．正八面体就是柏拉图实体的一种．如图是一个棱长为2的正八面体．甲、乙二人使用它作游戏：甲任选三个顶点，乙任选三个面的中心点，构成三角形．甲、乙选择互不影响，下列说法正确的是（ ） A. 该正八面体的外接球的体积为 B. 平面截该正八面体的外接球所得截面的面积为 C. 甲能构成正三角形的概率为 D. 甲与乙均能构成正三角形的概率为 11. 已知各项均不为零的数列，其前项和是，且. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若为递增数列，则的取值范围是 C. 存在实数，使得为等比数列 D. ，使得当时，总有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据233，144，89，55，34，21，13，8，5，3，2，1，则它们的上四分位数为________．（用具体数值作答） 13. 幻方是一种中国传统游戏，其规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字的和都相等．如图，已知一个三阶幻方由1至9这9个不同的数组成，则________，________． 14. 设为自然对数的底数，若函数存在三个零点，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）在线段上找一点，使平面平面，求的长； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值． 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4． （1）求双曲线的方程； （2）过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围． 17. 某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，科研团队从某地区（人数众多）随机选取了40位患者和60位非患者，用该试剂盒分别对他们进行了一次检测，结果如下： 抽样人群 阳性人数 阴性人数 患者 36 4 非患者 2 58 （1）试估计使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率； （2）若从该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，求恰有一人检测结果错误的概率； （3）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.2？并说明理由. 18. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，离心率，椭圆的短轴长为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点A，B和C，D. ①求的值； ②设的中点M，的中点为N，求面积的最大值. 19. 定义：对于一个多项式，如果存在正整数，使得可以表示为，其中，则称为“阶整数分解多项式”． （1）判断多项式是否为整数分解多项式？并说明理由； （2）若，且互不相同，求的值； （3）若为5阶整数分解多项式，为的互不相等的整数根，试用的根来表示的整数根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $