7.1.2 全概率公式课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.1.2 全概率公式 1 1.结合古典概型，理解全概率公式，会利用全概率公式计算概率. 2.了解贝叶斯公式. 学 习 目 标 在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率. 下面，再看一个求复杂事件概率的问题. 问题1：从有个红球和个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是.但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.下面我们给出严格的推导. 问题导入： 用表示事件“第次摸到红球”，表示事件“第次摸到蓝球”，.如图所示，事件可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即.利用概率的加法公式和乘法公式，得 新 知 讲 解 上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率. 一般地，设，，，是一组两两互斥的事件，，且，，，，，则对任意的事件， 有. 我们称上面的公式为全概率公式.全概率公式是概率论中最基本的公式之一. 1.判断正误. (1)应用全概率公式时，各个事件并不一定互斥.( ) (2)对任意事件，全概率公式都成立.( ) √ 2.从数字1，2，3，4中任取一个数，记为，再从1，，中任取一个数，记为，则 × 试一试： 3.从有10个红球和10个黑球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不放回，第1次摸到红球的概率为，那么第2次摸到红球的概率为_________. 例4.某学校有两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为.计算王同学第2天去餐厅用餐的概率. l 解：设“第1天去餐厅用餐”，“第1天去餐厅用餐”，“第2天去餐厅用餐”，则，且与互斥.根据题意得： ，， 由全概率公式，得 . 因此，王同学第2天去餐厅用餐的概率为. 例5.有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； l 解：设“任取一个零件为次品”，“零件为第台机床加工”，，且两两互斥.根据题意得， (1)由全概率公式，得 . 例5.有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (2)如果取到的零件是次品，计算它是第台机床加工的概率. l (2)“如果取到的零件是次品，计算它是第台机床加工的概率”，就是计算在发生的条件下，事件发生的概率. . 类似地，可得，. 问题2.例5中，，的实际意义是什么？ l 是实验之前就已知的概率，它是第台机床加工的零件所占的比例，称为先验概率.当已知抽到的零件是次品(发生)，是这件次品来自第台机床加工的可能性大小，通常称为后验概率.如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么，，就分别是第1，2，3台机床操作员应承担的份额. 将例5中的问题(2)一般化，可以得到贝叶斯公式. l *(选学内容)贝叶斯公式： 设是一组两两互斥的事件，且 ，，则对任意的事件，，有，. (1)， 例6.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1，发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的. (1)分别求接收的信号为0和1的概率； l 解：设“发送的信号为0”，“接收的信号为0”，“发送的信号为1”，“接收的信号为1”.由题意得， (2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率. l 解：设“发送的信号为0”，“接收的信号为0”，“发送的信号为1”，“接收的信号为1”.由题意得， (2) 1.某公司有三个制造厂，全部产品的40%由甲厂生产，45%由乙厂生产，15%由丙厂生产，而甲、乙、丙三厂生产的不合格品率分别为1%，2%，3%.求从该公司产品中随机抽出一件产品为不合格品的概率. 解：设“抽到甲厂的产品”，“抽到乙厂的产品”，“抽到丙厂的产品”，“抽到不合格品”，则两两互斥，且. 由题意可知：，， 由全概率公式，得 当 堂 小 测 全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求出最后结果的概率，解题步骤如下： (1)找出条件事件里某一个完备事件组，分别命名为； (2)命名目标的概率事件为事件； (3)代入全概率公式求解. 【技巧归纳】 2.某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2：3，今有一客户从成品仓库中随机提一台成品，则该产品合格的概率是？ 解：设“从仓库中随机提出的一台是合格品”，“提出的一台是第车间生产的”().则有，由题意知，，，， 由全概率公式得 当 堂 小 测 1.全概率公式： 若样本空间中的事件，满足： (1)任意两个事件均互斥，即，，； (2)； (3)，，，，.则对任意的事件，都有 .则称该公式为全概率公式. 上述公式可借助图形来理解： 课 堂 总 结 $$