解三角形：周长问题、面积问题、实际应用问题专项训练-2025届高三数学二轮复习

解三角形：周长问题、面积问题、实际应用问题专项训练 解三角形：周长问题、面积问题、实际应用问题专项训练 考点一 周长问题 1．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． (1)求角A的大小； (2)若的面积为，，求的周长和外接圆的面积． 【答案】(1)； (2)10，. 【详解】（1）在中，由及正弦定理 得， 即， 而，则，又， 所以； （2）由（1）知，， 由的面积为，得，所以， 由余弦定理得， 解得， 所以的周长为10. 由正弦定理得的外接圆， 所以外接圆面积为. 2．（24-25高三下·甘肃张掖·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若为中点，，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方法一：因为， 由正弦定理可得， 则， 所以， 因为在中，，所以. 方法二：因为， 由余弦定理可得， 所以， 因此， 因为，所以. （2）方法一：由已知条件得. 在利用余弦定理得. 所以， 由余弦定理得， 所以， 因此， 所以的周长为. 方法二：因为， 所以， 因此， 所以， 又由余弦定理得， 所以，所以， 又，所以， 所以的周长为. 方法三：在和分别利用余弦定理可得， 所以， 又由余弦定理得， 所以，所以， 又，所以， 所以的周长为.    3．（2025·四川成都·三模）设的内角，，所对的边分别为，，，且，． (1)求角； (2)点为边的中点，若，求的面积； (3)如图所示，点是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由可得， 由正弦定理得， ， 所以，即． 由余弦定理，又因为，因此； 或者：由内角和定理得， 由正弦定理可知， 所以，即． 由余弦定理，又因为，因此； （2）因为中线，所以； 两边同时平方得，即， 在中，，由余弦定理可得， 可得，所以； （3）在中，由正弦定理可得，即， 在中，由正弦定理可得，即． 因为四边形的内角和为，且， 所以， 在中， 所以， 则， ， 因为在中，所以， 则，在单调递增， 因为，所以， 所以的取值范围为. 4．（2025·陕西安康·二模）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，的面积为．求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得， 解得或（舍），故. 又为内角，故. （2），则，解得. 由余弦定理可得， 解得. 故的周长为. 5．（24-25高三下·北京·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若的面积为，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解法1：因为，由正弦定理得， 即， 因为，则，故； 解法2：因为，由余弦定理得， 整理得，可得， 由余弦定理可得. （2）因为，且，则， ，所以， 因为由余弦定理得， 于是， 因为，则，所以， 因此，于是的周长. 6．（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求角的大小； (2)若，求周长的范围 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得，可得， 因为，故. （2）解：由余弦定理可得 ，所以，， 当且仅当时，等号成立， 又因为，则，所以，， 因此，周长的取值范围是. 7．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）锐角的内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求； (2)若，求面积的最大值； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【详解】（1）由， 可得， 又为锐角三角形，则， 所以， 所以，又，所以. （2）由余弦定理知，， 当且仅当时，等号成立. 因为，所以， 故的面积， 所以面积的最大值为. （3）由正弦定理知， 所以，，则的周长为. 因为， 所以. 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 故周长的取值范围为. 8．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 (1)求角B的值； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 可得，，即， 由余弦定理得：， 因为，所以. （2）由，则，，， 所以均为锐角， 在锐角中，，， 由正弦定理得：， 故，， 则 ， 因为锐角中，， 则，， 解得：， 故，， 则，， 故， 所以三角形周长的取值范围是. 考点二 面积问题 1．（24-25高一下·广西来宾·阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若，求外接圆的面积； (3)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 整理可得， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）由正弦定理可知的外接圆半径， 所以外接圆的面积为. （3）因为， 由余弦定理可得， 可得， 由（1）可得，即， 整理可得， 且，即，解得， 当且仅当时，等号成立， 则 所以面积的最大值为. 2．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得 因为，则，所以， 又因为， 所以，则， 因为，则，即，所以. （2）因为是锐角的内角，又因为，所以，，得， 由正弦定理，得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 即， 所以面积的取值范围是. 3．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. (1)若，求的长； (2)用表示的长度； (3)求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，且是边长为的正三角形， 则，且， 所以在中，由余弦定理得， 所以. （2）由，则，则， 在中，由正弦定理有， 得， （3）由三角形的面积公式得 ， 又，且，则，所以， 所以，则， 故的取值范围为. 4．（24-25高三下·重庆·阶段练习）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，． (1)求A； (2)若外接圆的面积为，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，所以， （2）设的外接圆半径为，所以所以， 由正弦定理得， 故 又即， ，当且仅当时取等号， 故面积的最大值为. 5．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）在中，角、、所对的边为、、，已知. (1)求角的值； (2)若为边的中点，且，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理可得，因为，故. （2）在中，因为为边的中点，所以 故，即， 所以，，即 解得或（舍）， 所以. 6．（2025·江西南昌·一模）在中，角的对边成公差为2的等差数列． (1)若为锐角三角形，求a的取值范围； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵是公差为2的等差数列， ∴， 由三角形三边关系得，， ∴，又∵为锐角三角形， ∴最大角， ∴，即， ∴，即，解得或， ∴. （2）∵， ∴由正弦定理可得， ∴，解得，则， ∴，∴， ∴． 7．（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)3 (2)6 【详解】（1）由，得， 因为 ，所以, 则有： 移项可得： 因为 ， 所以. （2）因为 ，所以 ， 由（1）知 ，且 ， 则：，即， 整理得，即， 解得 或 因为，，则角是锐角． 由知，，C为锐角，则 ， 所以 ，则，那么 ， 根据 以及，可得： 由正弦定理 以及已知可得：， 的面积. 8．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）记的内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由，及正弦定理得， 因为为三角形内角，故，故得， 又为三角形内角，或. （2）由 得， 又，所以. 由（1）得，故， 而为三角形内角，. 由正弦定理，得， 故的面积. 考点三 实际应用问题 1．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. (1)求； (2)求，之间的距离. 【答案】(1) (2)15km 【详解】（1）由题意知：，， 在中，由余弦定理 因为, 所以 （2），,， 由题意知： 在中，由正弦定理得：，所以 由余弦定理得：， 即， 解得：或（舍） ，之间的距离为 2．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）已知村庄B在村庄A的东北方向，且村庄A，B之间的距离是千米，村庄C在村庄A的北偏西方向，且村庄A，C之间的距离是，现要在村庄B的北偏东方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的倍． (1)求村庄B、C之间的距离； (2)求农贸市场D到村庄B、C的距离之和． 【答案】(1)干米 (2)千米 【详解】（1）由题意可得，，， 在中，由余弦定理可得， 则，故， 即村庄，之间的距离为干米； （2）在中，由正弦定理可得， 则，从而， 故村庄在村庄的正西方向， 因为农贸市场在村庄的北偏东的方向，所以. 在中，由余弦定理可得， 因为，所以， 解得，则， 故， 即农贸市场到村庄､的距离之和为千米. 3．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”的高度，该小组同学在该建筑底部的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在两处测得该建筑顶部的仰角分别为.（已知）    (1)请计算“杭州之门”的高度（保留整数部分）； (2)为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，高直接取（1）的整数结果，市民在底部的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大？（结果保留根式） 【答案】(1)300米； (2)为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 【详解】（1）由题设， 所以米； （2）设米，则，， 由，则 ， 当且仅当时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）如图，某公司要在 、 两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长 35 米，长 80 米. 设、在同一水平面上，从、看的仰角分别为、 .    (1)设计中 是铅垂方向，若要求 ， 求 的长 (结果精确到 0.01 米): (2)施工完成后 与铅垂方向有偏差，现实际测得 ，求 的长和 的大小 (结果精确到 0.01 米和 ). 【答案】(1)的长为米. (2)的长为米，. 【详解】（1）设的长为米，则 ，， 因为，所以，则， 即，解得：米. 故的长为米. （2）由题设， 由正弦定理得，即米， 所以，则米， 又，则， 故的长为米，. 5．（24-25高三上·湖南·阶段练习）某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点，其中，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点上方5m处的，，观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点. (1)求建造中的建筑物已经到达的高度； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，设，因为在，，处观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，且，，， 所以，又，是的中点， 在中，由余弦定理得到， 在中，由余弦定理得到， 又，所以， 整理得到，解得，所以. （2）在中，由正弦定理知①， 在中，由正弦定理知②， 由（1）知， 由②①得到. 6．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地.如图，某学生为测量蜚英塔的高度，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，，求蜚英塔的高度. 【答案】35米 【详解】设米， 在中，，则米. 在中，，则米. 因为， 所以由余弦定理得， 整理得，得. 所以蜚英塔的高度为35米. 7．（23-24高一下·广东肇庆·阶段练习）成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形． (1)若米，求的长； (2)绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到，然后从到，最终返回点拍照．已知，求游客所走路程的最大值． 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1）在中，由余弦定理得 ， 所以米； （2）因为，所以，记， 由正弦定理得， 即， 所以， ， 其中， 所以当时，的最大值为米. 即游客所走路程的最大值为米. 8．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【答案】(1) (2)2小时 【详解】（1）由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. （2）在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解三角形：周长问题、面积问题、实际应用问题专项训练 解三角形：周长问题、面积问题、实际应用问题专项训练 考点一 周长问题 1．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． (1)求角A的大小； (2)若的面积为，，求的周长和外接圆的面积． 2．（24-25高三下·甘肃张掖·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若为中点，，，求的周长. 3．（2025·四川成都·三模）设的内角，，所对的边分别为，，，且，． (1)求角； (2)点为边的中点，若，求的面积； (3)如图所示，点是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围． 4．（2025·陕西安康·二模）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，的面积为．求的周长． 5．（24-25高三下·北京·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若的面积为，且，求的周长． 6．（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求角的大小； (2)若，求周长的范围 7．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）锐角的内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求； (2)若，求面积的最大值； (3)若，求周长的取值范围. 8．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 (1)求角B的值； (2)若，求的周长的取值范围. 考点二 面积问题 1．（24-25高一下·广西来宾·阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若，求外接圆的面积； (3)若，求面积的最大值． 2．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 3．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. (1)若，求的长； (2)用表示的长度； (3)求的面积的取值范围. 4．（24-25高三下·重庆·阶段练习）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，． (1)求A； (2)若外接圆的面积为，求面积的最大值． 5．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）在中，角、、所对的边为、、，已知. (1)求角的值； (2)若为边的中点，且，，求的面积. 6．（2025·江西南昌·一模）在中，角的对边成公差为2的等差数列． (1)若为锐角三角形，求a的取值范围； (2)若，求的面积． 7．（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，，求的面积． 8．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）记的内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的面积. 考点三 实际应用问题 1．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. (1)求； (2)求，之间的距离. 2．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）已知村庄B在村庄A的东北方向，且村庄A，B之间的距离是千米，村庄C在村庄A的北偏西方向，且村庄A，C之间的距离是，现要在村庄B的北偏东方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的倍． (1)求村庄B、C之间的距离； (2)求农贸市场D到村庄B、C的距离之和． 3．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”的高度，该小组同学在该建筑底部的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在两处测得该建筑顶部的仰角分别为.（已知）    (1)请计算“杭州之门”的高度（保留整数部分）； (2)为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，高直接取（1）的整数结果，市民在底部的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大？（结果保留根式） 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）如图，某公司要在 、 两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长 35 米，长 80 米. 设、在同一水平面上，从、看的仰角分别为、 .    (1)设计中 是铅垂方向，若要求 ， 求 的长 (结果精确到 0.01 米): (2)施工完成后 与铅垂方向有偏差，现实际测得 ，求 的长和 的大小 (结果精确到 0.01 米和 ). 5．（24-25高三上·湖南·阶段练习）某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点，其中，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点上方5m处的，，观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点. (1)求建造中的建筑物已经到达的高度； (2)求的值. 6．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地.如图，某学生为测量蜚英塔的高度，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，，求蜚英塔的高度. 7．（23-24高一下·广东肇庆·阶段练习）成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形． (1)若米，求的长； (2)绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到，然后从到，最终返回点拍照．已知，求游客所走路程的最大值． 8．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$