4.1 认识三角形（第3课时） 课件 2024—2025学年北师大版数学七年级下册

4.1 认识三角形 第四章 三角形 4.1.3 三角形的高、中线、角平分线 认识三角形 情 境 导 入 立 柱 横梁 A B C D 立柱与横梁互相垂直. 你能试着用三角形表示吗？ 线段AD叫什么？它有什么性质呢？本节课我们一起来探究. 如图所示，下面的三角形房梁中，立柱与横梁有什么特殊的位置关系？ 合 作 探 究 A B C D A B C F 如图，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点 D的运动过程中，观察点D或线段AD有哪些特殊的位置.说说你的想法并与同伴进行交流. AF⊥BC 新 知 小 结 A B C F 三角形的高的定义： 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高. 如图, 线段AF是△ABC的BC边上的高. ∵AF是△ABC的高, ∴∠AFB ＝∠AFC ＝90°. ∵∠AFB =90°(∠AFC =90°) ∴AF 是△ABC的高. 要标明垂直的记号和垂足的字母. 符号语言： 反之： 合 作 探 究 (1)如图，使折痕过顶点，顶点的对边边缘重合，即可得到三角形的高. (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流. (2)锐角三角形的三条高交于一点. 每人准备一个锐角三角形纸片. (1) 你能画出这个三角形的三条高吗?你能用折纸的办法得到它们吗? 合 作 探 究 A B C (1)画出直角三角形的三条高. (3)直角三角形的三条高交于直角顶点. AB BC BD D (3)直角三角形的三条高有怎样的位置关系？ 在纸上画出一个直角三角形. (2)AC边上的高是 ; 直角边BC边上的高是 ; 直角边AB边上的高是 ; 合 作 探 究 (1) 你能画出钝角三角形的三条高吗？ (2)钝角三角形的三条高交于一点吗？ (2)钝角三角形的三条高不相交于一点. (3)它们所在的直线交于一点吗？ (3)钝角三角形的三条高所在直线交于一点. A B C D F O E AD CE BF AC边上的高是 ; BC边上的高是 ; AB边上的高是 ; 合 作 探 究 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在三角形内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形的三条高的特性： 三角形的三条高所在的直线交于一点. 三角形高的性质： 合 作 探 究 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在三角形内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形的三条高的特性： 3 1 1 相交 相交 不相交 三角形的三条高所在的直线交于一点. 三角形高的性质： 合 作 探 究 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在三角形内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形的三条高的特性： 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三角形内部 直角顶点 三角形外部 三角形的三条高所在的直线交于一点. 三角形高的性质： 典 例 精 析 AD AE BF 例1 如图所示, (1)在△ABC中,BC边上的高是　　　　;  (2)在△AEC中,CE边上的高是　　　　;  (3)在△BCF中,BC边上的高是　　　　.  针 对 练 习 1.画△ABC的边AB上的高,下列画法中,正确的是(　　) D 针 对 练 习 2.如图所示，∠CBD=∠E=∠F=90°，则线段　　　是△ABC中BC边上的高.  AE 合 作 探 究 如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形纸片，你知道怎样确定这个点的位置吗？ 新 知 小 结 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线.如图， AE是BC边上的中线. 三角形的中线的定义： B A C A E 让我们先看看三角形的中线有什么特点. 新 知 小 结 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线.如图， AE是BC边上的中线. 三角形的中线的定义： B A C A E ∵AE是BC边上的中线. ∴BE=EC. 让我们先看看三角形的中线有什么特点. 符号语言： 合 作 探 究 A C B F E D O CF BE AD 例2 如图，点D，E，F分别是边BC，AC，AB上的中点. 则AB边上的中线是： ; BC边上的中线是： ; AC边上的中线是： . 合 作 探 究 (1)在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎样的位置关系？与同伴进行交流． 锐角三角形的三条中线交于一点. (2)钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流． 合 作 探 究 (1)在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎样的位置关系？与同伴进行交流． 锐角三角形的三条中线交于一点. 钝角三角形和直角三角形的三条中线也交于一点. (2)钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流． 新 知 小 结 三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心． 铅笔支起三角形卡片的点就是三角形的重心！ 三角形中线的性质： O 三角形的中心都在三角形的内部，如图，点O就是△ABC的重心． 新 知 小 结 三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心． 铅笔支起三角形卡片的点就是三角形的重心！ 三角形中线的性质： O 三角形的中心都在三角形的内部，如图，点O就是△ABC的重心． 温馨提示：三角形的一条中线，把三角形分成两个面积相等的小三角形。 3.在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝_______. 针 对 练 习 B A C D 提示：将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差. 7cm 针 对 练 习 4.如图所示，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，它们交于点O.若△ABD的面积是6，则△ACF的面积是　　　 　 .  6 合 作 探 究 在一张纸上任意画出一个三角形并剪下，你能通过折纸的方法得到它的一个内角的平分线吗? A B C A D 将它的一个角对折，使其两边重合折痕AD即为三角形的∠A的平分线. 新 知 小 结 1 2 A B C D 三角形的角平分线的定义: 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线. 注意:①三角形的中线、角平分线都是一条线段; ②角的平分线是一条射线. ∵如图，AD是△ABC的角平分线, ∴∠1=∠2. 符号语言： 典 例 精 析 解:∵∠B=90°, ∴∠BAC+∠C=90°. ∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠BAC=2∠BAD. ∵∠C=4∠BAD, ∴2∠BAD+4∠BAD=90°. ∴∠BAD=∠CAD=15°.所以∠C=60°, 则∠ADC=180°-∠CAD-∠C=180°-15°-60°=105°. 例2 如图所示，在△ABC中,∠B=90°，AD是△ABC的角平分线，且∠C=4∠BAD，求∠ADC的度数. 合 作 探 究 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个. (1)你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2)你能用折纸的办法得到它们吗? (3)在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系 ? 合 作 探 究 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个. (1)你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2)你能用折纸的办法得到它们吗? (3)在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系 ? 新 知 小 结 三角形的三条角平分线交于一点． 三角形角平分线的性质： 在每个三角形中，3条角平分线都在三角形的内部. B C A O 针 对 练 习 B D C A 解析：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°， ∴∠DAC＝∠BAD＝34°. 在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°， ∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－36°－34°＝110°. 110° 5.如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠ADB的度数是 . 1.如图所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是(　　) A.DE是△ABC的中线 B.BD是△ABC的中线 C.AD=DC,BE=EC D.DE是△BCD的中线 随 堂 检 测 A 随 堂 检 测 D 2.如图所示,AD⊥BC于点D,那么图中以AD为高的三角形有(　　) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 3.如图所示，在△ABC中，CE是△ABC的中线，BD是△ABC的角平分线，若AB=3 cm，∠A=70°，∠ACB=60°,则∠ABD=　　　°, AE=　　　　cm.  随 堂 检 测 25 1.5 随 堂 检 测 50 4.如图所示，在△ABC中,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC.若∠1=30°,∠2=20°,则∠B=　　　　°.  随 堂 检 测 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝∠BAD＝30°. ∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°， ∴∠B＝50°， ∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－50°－30°＝100°. 5.如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数． 随 堂 检 测 6.已知AD是△ABC的高,∠BAD=70°, ∠CAD=20°,求∠BAC的度数. 解:分以下两种情况: (1)如图①,若高AD在△ABC的内部,则∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°. (2)如图②,若高AD在△ABC的外部, 则∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°. 综上所述,∠BAC的度数为90°或50°. 随 堂 检 测 7.如图所示,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD= 2BD,BE=CE.设△ADC的面积为S1,△ACE的面积为S2.若S△ABC= 6,求S1-S2的值. 课 堂 总 结 下课 $$