第4单元长方体(二) (讲义)-2024-2025学年五年级下册数学北师大版

长方体（二） 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 思维导图 第二部分 典型例题 例题1：用1200块砖砌一面长15m，厚10cm，高2m的墙。如果每立方米用砖500块，那么还差多少块砖？ 【答案】300块。 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出砖墙的体积，再乘500求出需要的砖数，再用需要的砖数减1200即可。 【解答】解：10厘米＝0.1米 15×2×0.1×500 ＝3×500 ＝1500（块） 1500﹣1200＝300（块） 答：还差300块砖。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 例题2：一个集装箱长是9m，宽是3.4m，高是2.5m。这个集装箱的容积是多少立方米？（厚度忽略不计） 【答案】76.5立方米。 【分析】根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【解答】解：9×2.5×3.4 ＝22.5×3.4 ＝76.5（立方米） 答：这个集装箱的容积是76.5立方米。 【点评】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 例题3：一个玻璃鱼缸，从里面量长8分米，宽4分米，放入一石块，这时水深3分米，当取出石块后水深2.5分米，这个石块的体积是多少立方分米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】取出石块后，水面下降了，下降的水的体积就是这个石块的体积，下降部分的底面积是不变的，是一个长是8分米，宽是4分米，高（3﹣2.5）分米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高求出体积即可． 【解答】解：8×4×（3﹣2.5） ＝32×0.5 ＝16（立方分米） 答：这块石块的体积是16立方分米． 【点评】本题主要考查不规则物体体积的计算方法，将物体放入或取出，水面上升或下降的体积就是物体的体积．容器是什么形状，就按此形状的体积来计算． 例题4：明明家有一个长50厘米、宽30厘米、高30厘米的长方体鱼缸，里面装有高25厘米的水，明明往缸内放入两条鱼后，水溢出了500mL。这两条鱼的体积是多少？ 【答案】8000立方厘米。 【分析】这两条鱼的体积＝上升部分水的体积+溢出水的体积，然后根据长方体体积＝长×宽×高计算即可。 【解答】解：30﹣25＝5（厘米） 50×30×5＝7500（立方厘米） 500mL＝500立方厘米 7500+500＝8000（立方厘米） 答：这两条鱼的体积是8000立方厘米。 【点评】解题关键是求出上升部分水的体积，再根据长方体体积公式计算。 例题5：有一块80立方分米的铁块放进一个长是10分米，宽是4分米的玻璃容器中，铁块全部浸没，并且水没有溢出，那么水升高多少分米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】因为铁块完全浸入水中，所以铁块的体积就是上升的那部分水的体积，用铁块的体积除以水的底面积，得出上升水的高度，据此解答即可． 【解答】解：80÷（10×4） ＝80÷40 ＝2（分米） 答：水升高2分米． 【点评】此题考查探索某些实物体积的测量方法，解决此题的关键是明确铁块完全浸入水中，铁块的体积就是上升的那部分水的体积． 第三部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 一、体积、容积及其单位 体积，或称容量、容积，几何学专业术语，是物件占有多少空间的量． 体积的国际单位制是立方米． 常用的单位：立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米． 二、体积、容积进率及单位换算 体积单位： 1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 1立方分米＝1000立方厘米， 容积单位： 1升＝1000毫升 1升＝1立方分米＝1000立方厘米 1毫升＝1立方厘米 单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率． 三、长方体和正方体的表面积 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 四、长方体和正方体的体积 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 五、探索某些实物体积的测量方法 1．用排水法来测量不规则物体的体积．在有刻度的量杯里装上水，记下水的体积，把不规则的物体放入杯中，记下此时的体积，求出两次体积的差，就求出了不规则物体的体积，最后再将容积单位换算成体积单位． 2．通过测多个相同物体的体积，然后除以数量得到每个物体的体积． 第四部分 高频真题 1．一根长方体木料，体积是108立方分米，木料的横截面面积是1200平方厘米，这根木料有多长？ 2．1个底面积为16平方厘米，高为20厘米的长方体容器，注入水后水面高13厘米，把5个小球沉浸在杯内，溢出容器的水重12.56克，1个小球的体积是多少立方厘米？（1立方厘米水重1克） 3．一个正方体的棱长总和是96cm，这个正方体的体积是多少立方分米？ 4．一个正方体的底面不变，高增加2cm，得到一个长方体，这个长方体的表面积比原来正方体的表面积增加96cm2，原来正方体的体积是多少立方厘米？ 5．小明在一个底面积为90dm2的长方体鱼缸中放了一个假山石，水面上升了4cm．这个假山石的体积是多少立方分米？ 6．在棱长为2.5分米的正方体容器里倒入适量的水，然后放入4块大小相同的橡皮泥，橡皮泥全部浸没水中，水面上升了2厘米，算一算一块橡皮泥的体积是多少？ 7．将一个长是10m，宽是2m，深是0.5m的长方体坑用细沙填平，需要多少方的细沙？ 8．一个长方体蓄水池，长10米，宽4米，深2米． （1）这个蓄水池的占地面积有多大？ （2）蓄水池最多能蓄水多少立方米？ 9．一个长方体的底面是边长为5厘米的正方形，它的表面积是290平方厘米，这个长方体的体积是多少立方分米？ 10．一个长方体的玻璃缸，长9dm、宽6dm、高4dm，水深3dm。将一个正方体铁块完全浸入水中之后，缸里的水面上升了0.5dm。铁块的体积是多少？ 11．迎门墙是中国古典建筑的标志性建筑之一。顾名思义，迎门墙靠近大门，一般位于大门与内院之间。某公园入口要砌一道长12m、厚25cm、高2m的迎门墙。如果每立方米用砖520块，一共需要多少块砖？ 12．有一个长8dm，宽5dm，高9dm的长方体玻璃缸，里面水深3.8dm，把一个实心铁球完全浸没在水中，水上升了5dm，求这个实心铁球的体积？ 13．一个正方体油罐，从里面量，棱长为6分米，油罐里装的汽油占油罐容积的，油罐里装了多少升汽油？ 14．用1cm厚的玻璃做一个鱼缸，从外面量得鱼缸的长是12dm，宽是8dm，高是7dm。求这个鱼缸的容积。（得数保留整数） 15．小马虎用5块铁皮（如图，单位：分米），焊接成一个没有盖子的长方体油箱，这个油箱最多可以注入汽油多少升？由于汽油易挥发、易燃、易爆，所以需要请你给这个油箱加个盖子，盖子需要铁皮多少平方分米？ 16．一个装满水的水池，长25m，宽20m，高1.5m，如果用水泵向外排水，每分钟排2.5m3的水，需要几小时排完？ 17．用一根4.8m长的铁丝正好围成一个正方体，这个正方体的体积是多少立方分米？ 18．一个长方体水箱，从内部量长12分米，宽5分米，高9分米，把一个铁块放入其中，全部淹没，水深由4分米上升到5.2分米．这个铁块的体积是多少？ 19．一个长方体玻璃容器，长20厘米，宽10厘米，放入一个红薯（红薯完全浸没在水里）后水面升高0.3厘米．这个红薯的体积是多少？ 20．爸爸在一个长8分米，宽5分米的长方体鱼缸里放了一个珊瑚石，水面上升了3厘米。这个珊瑚石的体积有多大？ 21．一块长方体石料，长100厘米，宽60厘米，高50厘米。如果1dm3石料的质量是2.7kg，这块石料的质量是多少千克？ 22．一个长方体容器的底面积是48平方厘米，浸入一块不规则的铁块后水面上升了0.5厘米，这块铁块的体积是多少？ 23．茶厂工人要将棱长为20cm的正方体茶盒，装入一个长6dm，宽4dm，高7dm的长方体箱子里，最多能装几盒？ （你可以先在图中画一画草图，再列式计算） 24．一个正方体玻璃容器长2dm，向容器内倒入5L水，再把一块石头放入水中，完全浸没，这时量得容器内水深15cm。石头的体积是多少dm3？ 25．将棱长为80厘米的正方体玻璃缸中的水全倒入长128厘米，宽40厘米的长方体玻璃缸中，这时水深是多少厘米？ 26．把一个棱长是0.8m的正方体钢坯，锻造成横截面的面积是20dm2的长方体钢材，锻造的钢材有多长？（损耗忽略不计） 27．一个底面是正方形的长方体纸盒，高60厘米，如果把它的侧面展开，那么正好是一个正方形．这个纸盒的容积是多少立方厘米？ 28．教室有一排长方体的储物柜，共占地1.44平方米，储物柜高0.75米。这排储物柜所占的空间是多少立方米？ 29．网课学习中，我做了一份实践作业。我将家里的太空沙装在一个圆锥形容器里（刚好装满），容器上标注：底面半径6cm，高10cm，爸爸找来一个长方体形状的盒子，经过测量，长20cm，宽6m将圆锥形容器中的太空沙都装进长方体盒子里（压平整），根据体积不变的原理，我很快就计算出了盒子中太空沙的高度，你可以吗，写出你的计算过程？ 30．一个棱长7分米的正方体水槽里装满了水，把这些水倒入一个长10分米、宽7分米、高8分米的长方体水槽里（不计损耗），水槽里水深是多少？ 31．一个长方体，如果高减少2cm，正好变成一个正方体，这时表面积比原来减少56平方厘米，原来长方体的体积是多少平方厘米？ 32．一个长方体玻璃容器，从里面量底面是边长为4分米的正方形，高是3分米，向容器中注入24升水，再把一块石头放入水中（完全浸没），这时量得容器内的水深为20厘米，求这块石头的体积是多少？ 33．龙一鸣把同样的盒装饼干摆成如下形状，每一盒的体积是多大？ 34．在一个长25cm，宽20cm的长方体容器中装有水，把一个底面边长10cm的正方形的小长方体铁块完全没入水中，水面上升1cm（水未溢出），求铁块的高． 35．爸爸在一个长是9分米，宽是5分米，高是7分米的长方体鱼缸里放了一个假山石（假山石全部浸没在水里），这时水面上升了3厘米，这个假山石的体积有多大？ 36．一个正方体容器，从里面量棱长是8分米，往容器里倒入352升水，水深是多少分米？ 37．一个无水的长方体鱼缸，从里面量得长50厘米、宽20厘米，里面放着一个高30厘米体积3000立方厘米的假石山．如果水管以每分钟180立方厘米的流量向鱼缸中滴水，至少需要多长时间才能将假石山完全浸没？ 38．如图，从长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器，这个容器的体积是多少立方厘米？ 39．一个长方体（如图），如果高增加4cm，就变成了棱长是10cm的正方体。表面积和体积各增加了多少？ 40．一个长是8分米，宽是5分米，高是3分米的长方体硬纸盒，它的体积是多少？ 41．一个长方体水箱，长10dm，宽8dm，水深5dm，当把一块石头放入水中完全浸没于水箱，且水未溢出，水位上升到8dm．这块石头的体积是多少立方分米？ 42．住校生宿舍有一排长方体储物柜，共占地0.84平方米，储物柜的高1.25米。这排储物柜所占空间是多少立方米？ 43．张明在一个长8厘米、宽6厘米、高12厘米的长方体容器中加入一些水后，准备测量一块石头的体积，具体情况如图所示，请问这块石头的体积是多少立方厘米？ 44．一个长方体容器，从里面量长8分米、宽6分米、高5分米，里面有一些水，水深2.4分米。把一块铁块完全浸没水中，水面上升到3.9分米。这块铁块的体积是多少立方分米？ 45．爸爸拿出一个钢球，对小洁说：“你能求出这个钢球的体积吗？”小洁说：“当然能。”于是，小洁将家中一个底面直径是20cm的圆柱形玻璃杯装一部分水，量得水深10cm，然后把钢球完全浸没在水中，这时又量得水面高度是12cm。你知道这个钢球的体积是多少吗？ 46．往一个长32厘米，宽25厘米，高为20厘米的长方体浴缸内倒入水，水面高度为16厘米。把一个假山浸没在鱼缸内，水满后还溢出128毫升。求假山石的体积是多少立方厘米？ 47．把一个苹果放入已有9升水的长方体的玻璃容器里（玻璃的厚度不计），已知容器的长是3分米，宽2分米．这时量得容器的水深是17厘米，你能知道这个苹果的体积吗？ 48．一个从里面量底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯中装有一些水，水中完全浸没着一个底面直径为12厘米，高为10厘米的圆锥形铅锤。当取出铅锤后，玻璃杯中的水面下降多少厘米？（π值取3.14） 49．一个棱长为9厘米的正方体容器，里面装了水，明轩把一块石头放进容器中，石头全部浸没后，水面升高了3厘米（水没有溢出），这块石头的体积是多少？ 50．一个容量为500mL的烧杯，里面盛了一些水，水的高度刚好是烧杯高度的，放入五颗一样的钢珠后水面上升到最高刻度。每颗钢珠的体积是多少立方厘米？ 参考答案与试题解析 1．一根长方体木料，体积是108立方分米，木料的横截面面积是1200平方厘米，这根木料有多长？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据长方体的体积公式：V＝Sh，h＝V÷S．把数据代入公式解答即可． 【解答】解：1200平方厘米＝12平方分米 108÷12＝9（分米） 答：这根木料长9分米． 【点评】此题主要考查长方体的体积公式在实际生活中的应用． 2．1个底面积为16平方厘米，高为20厘米的长方体容器，注入水后水面高13厘米，把5个小球沉浸在杯内，溢出容器的水重12.56克，1个小球的体积是多少立方厘米？（1立方厘米水重1克） 【答案】24.912立方厘米。 【分析】由题意可知：小球的体积就等于溢出的水的体积加上容器内升高的水的体积，溢出的水的体积依据“1立方厘米的水重1克”可以求出；升高的水的高度应为（20﹣13）厘米，于是可以利用长方体的体积＝底面积×高，求出升高部分的水的体积，从而求出小球的体积。 【解答】解：因为1立方厘米的水重1克， 所以溢出的水的体积是12.56立方厘米； 升高的水的体积：16×（20﹣13） ＝16×7 ＝112（立方厘米） 1个小球的体积：（112+12.56）÷5 ＝124.56÷5 ＝24.912（立方厘米） 答：1个小球的体积是24.912立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体体积的计算方法的灵活应用，关键是明白：5个小球的体积就等于溢出的水的体积加上容器内升高的水的体积。 3．一个正方体的棱长总和是96cm，这个正方体的体积是多少立方分米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】首先用正方体的棱长总和除以12 求出棱长，再根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答． 【解答】解：96÷12＝8（厘米） 8×8×8＝512（立方厘米） 512立方厘米＝0.512立方分米， 答：这个正方体的体积是0.512立方分米． 【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 4．一个正方体的底面不变，高增加2cm，得到一个长方体，这个长方体的表面积比原来正方体的表面积增加96cm2，原来正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】1728立方厘米。 【分析】由题意可知表面积增加的部分是以原来正方体的底面边长为边长高是2厘米的4个侧面的面积，由此可以求出增加部分一个侧面的面积，进而求出原来正方体的底面边长，然后根据正方体的表面积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。 【解答】解：96÷4÷2 ＝24÷2 ＝12（厘米） 12×12×12 ＝144×12 ＝1728（立方厘米） 答：原来正方体的体积是1728立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 5．小明在一个底面积为90dm2的长方体鱼缸中放了一个假山石，水面上升了4cm．这个假山石的体积是多少立方分米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据放入物体的体积与水面上升的水柱的体积相等，计算放入的假山石的体积即为底面积是90立方分米，高是4厘米的水柱的体积，利用长方体体积公式，把数代入计算即可． 【解答】解：4cm＝0.4dm 90×0.4＝36（dm3） 答：这假山石的体积是36立方分米． 【点评】本题主要考查实物体积的测量方法，关键利用放入的假山石的体积与水柱体积的关系做题． 6．在棱长为2.5分米的正方体容器里倒入适量的水，然后放入4块大小相同的橡皮泥，橡皮泥全部浸没水中，水面上升了2厘米，算一算一块橡皮泥的体积是多少？ 【答案】0.3125立方分米。 【分析】根据题意可知，水柱上升的体积，就是放入的4块橡皮泥的体积，利用长方体体积公式，求4块橡皮泥的体积，然后求一块橡皮泥的体积。 【解答】解：2厘米＝0.2分米 2.5×2.5×0.2÷4 ＝1.25÷4 ＝0.3125（立方分米） 答：一块橡皮泥的体积是0.3125立方分米。 【点评】本题考查了探索某些实物体积的测量方法，本题关键是明白：容器里水上升的体积就是4块西红柿的体积，进而得解。 7．将一个长是10m，宽是2m，深是0.5m的长方体坑用细沙填平，需要多少方的细沙？ 【答案】见试题解答内容 【分析】需要多少方细沙才能填满沙坑，要求沙子的体积，实际上是求沙坑的容积，沙坑的长、宽、高已知，利用长方体的体积V＝abh，代入数据即可求解． 【解答】解：10×2×0.5＝10（立方米） 答：需要10立方米的细沙． 【点评】此题主要考查长方体的体积的计算方法，掌握体积公式是解题关键． 8．一个长方体蓄水池，长10米，宽4米，深2米． （1）这个蓄水池的占地面积有多大？ （2）蓄水池最多能蓄水多少立方米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把这个蓄水池看成一个长方体，求这个蓄水池占地面积就是求这个长方体的底面积，用长乘宽即可求解； （2）求它的容积就是求这个长方体的体积，用底面积乘高求解． 【解答】解：（1）10×4＝40（平方米） （2）40×2＝80（立方米） 答：这个蓄水池占地面积是40平方米，容积是80立方米． 【点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么（体积、表面积还是几个面的面积），再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题． 9．一个长方体的底面是边长为5厘米的正方形，它的表面积是290平方厘米，这个长方体的体积是多少立方分米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】先求出长方体的底面积，进一步求出侧面积，再根据长方形的面积公式求出长方体的高，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，列式计算求出长方体的体积． 【解答】解：（5×5）×[（290﹣5×5×2）÷4÷5] ＝25×[（290﹣50）÷4÷5] ＝25×[240÷4÷5] ＝25×12 ＝300（立方厘米） 300立方厘米＝0.3立方分米 答：这个长方体的体积是0.3立方分米． 【点评】本题考查了长方体的表面积和体积计算，本题关键是得到长方体的高． 10．一个长方体的玻璃缸，长9dm、宽6dm、高4dm，水深3dm。将一个正方体铁块完全浸入水中之后，缸里的水面上升了0.5dm。铁块的体积是多少？ 【答案】27立方分米。 【分析】因为正方体铁块完全浸入水中，铁块的体积等于上升水的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高解答即可。 【解答】解：9×6×0.5 ＝9×3 ＝27（立方分米） 答：铁块的体积是27立方分米。 【点评】此题考查探索某些实物体积的测量方法，解决此题的关键是因为铁块完全浸入水中，铁块的体积等于上升水的体积。 11．迎门墙是中国古典建筑的标志性建筑之一。顾名思义，迎门墙靠近大门，一般位于大门与内院之间。某公园入口要砌一道长12m、厚25cm、高2m的迎门墙。如果每立方米用砖520块，一共需要多少块砖？ 【答案】3120块。 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出这道墙的体积，然后再乘每立方米用砖的块数即可。 【解答】解：25厘米＝0.25米 12×0.25×2×520 ＝3×2×520 ＝6×520 ＝3120（块） 答：一共需要3120块砖。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 12．有一个长8dm，宽5dm，高9dm的长方体玻璃缸，里面水深3.8dm，把一个实心铁球完全浸没在水中，水上升了5dm，求这个实心铁球的体积？ 【答案】48立方分米。 【分析】将这个实心铁球完全浸入水中，可知水面不管升高多少分米，容器的底面积是不变的；根据题意可知水面上升了（5﹣3.8）分米，再根据长方体的体积公式V＝abh，求出升高了的那部分水的体积，就是这个实心铁球的体积。 【解答】解：8×5×（5﹣3.8） ＝40×1.2 ＝48（立方分米） 答：这个实心铁球的体积是48立方分米。 【点评】此题考查了长方体体积公式的运用，解决此题关键是把求这个不规则物体的体积，转变成求水位升高了的那部分水的体积，也即转变为求长方体的体积。 13．一个正方体油罐，从里面量，棱长为6分米，油罐里装的汽油占油罐容积的，油罐里装了多少升汽油？ 【答案】见试题解答内容 【分析】先依据正方体的体积公式V＝a×a×a计算出油罐的容积，再根据分数乘法的意义，用油罐的容积乘上即可得解． 【解答】解：6×6×6＝216（立方分米） 216立方分米＝216升 216162（升） 答：油罐里装了162升汽油． 【点评】此题主要考查正方体的体积公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式． 14．用1cm厚的玻璃做一个鱼缸，从外面量得鱼缸的长是12dm，宽是8dm，高是7dm。求这个鱼缸的容积。（得数保留整数） 【答案】635立方分米。 【分析】玻璃的厚度是1厘米，那么鱼缸里面的长是（12﹣1×2）厘米，里面的宽是（8﹣1×2）厘米，里面的高是（7﹣1）厘米，根据长方体的容积（体积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【解答】解：1厘米＝0.1分米 （12﹣0.1×2）×（8﹣0.1×2）×（7﹣0.1） ＝11.8×7.8×6.9 ＝90.04×6.9 ＝635.076 ≈635（立方分米） 答：这个鱼缸的容积是635立方分米。 【点评】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。重点是先求出鱼缸里面的长、宽、高。 15．小马虎用5块铁皮（如图，单位：分米），焊接成一个没有盖子的长方体油箱，这个油箱最多可以注入汽油多少升？由于汽油易挥发、易燃、易爆，所以需要请你给这个油箱加个盖子，盖子需要铁皮多少平方分米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等，由此可知：用一块长5分米、宽2.4分米的长方形铁皮作为长方体油箱的底面，用边长5分米的两块铁皮作为长方体油箱的前后面，用另外两块长5分米、宽2.4分米的长方形铁皮作为长方体油箱的左右面．根据长方体的容积（体积）公式：V＝abh，把数据代入公式即可求出这个油箱的容积，要给这个油箱加个盖子，盖子的长是5分米，宽是2.4分米，根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答． 【解答】解：5×2.4×5＝60（立方分米） 60立方分米＝60升 5×2.4＝12（平方分米） 答：这个油箱最多可以注入汽油60升．盖子需要铁皮12平方分米． 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体的容积（体积）公式、长方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 16．一个装满水的水池，长25m，宽20m，高1.5m，如果用水泵向外排水，每分钟排2.5m3的水，需要几小时排完？ 【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据长方体的体积公式：V＝abh，求出水池内水的体积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答即可． 【解答】解：25×20×1.5÷2.5 ＝75÷2.5 ＝300（分钟） 300分钟＝5小时 答：需要5小时排完． 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 17．用一根4.8m长的铁丝正好围成一个正方体，这个正方体的体积是多少立方分米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和÷12，据此求出棱长，再根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答． 【解答】解：4.8米＝48分米 48÷12＝4（分米） 4×4×4＝64（立方分米） 答：这个正方体的体积是64立方分米． 【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 18．一个长方体水箱，从内部量长12分米，宽5分米，高9分米，把一个铁块放入其中，全部淹没，水深由4分米上升到5.2分米．这个铁块的体积是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知：上升部分水的体积就等于铁块的体积，根据长方体的体积公式：v＝abh，把数据代入公式解答． 【解答】解： 12×5×（5.2﹣4） ＝60×1.2 ＝72（立方分米） 答：这个铁块的体积是72立方分米． 【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 19．一个长方体玻璃容器，长20厘米，宽10厘米，放入一个红薯（红薯完全浸没在水里）后水面升高0.3厘米．这个红薯的体积是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出上升部分水的体积也就是这个红薯的体积． 【解答】解：20×10×0.3 ＝200×0.3 ＝60（立方厘米）， 答：这个红薯的体积是60立方厘米． 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用．关键是熟记公式． 20．爸爸在一个长8分米，宽5分米的长方体鱼缸里放了一个珊瑚石，水面上升了3厘米。这个珊瑚石的体积有多大？ 【答案】12000立方厘米。 【分析】这块珊瑚石的体积等于上升的水的体积，用底面积乘上升的厘米数即可。 【解答】解：8分米＝80厘米 5分米＝50厘米 80×50×3＝12000（立方厘米） 答：这块珊瑚石的体积石12000立方厘米。 【点评】此题主要考查某些实物体积的测量方法。 21．一块长方体石料，长100厘米，宽60厘米，高50厘米。如果1dm3石料的质量是2.7kg，这块石料的质量是多少千克？ 【答案】810千克。 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出这块石料的体积，然后用这块石料的体积乘每立方分米石料的质量即可。 【解答】解：100×60×50 ＝6000×50 ＝300000（cm3） 300000cm3＝300dm3 300×2.7＝810（千克） 答：这块石料的质量是810千克。 【点评】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 22．一个长方体容器的底面积是48平方厘米，浸入一块不规则的铁块后水面上升了0.5厘米，这块铁块的体积是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】首先要明确的是：铁块的体积就等于上升的水的体积，长方体容器的底面积、水面上升的高度已知，从而利用长方体的体积公式即可求解． 【解答】解：48×0.5＝24（立方厘米） 答：这块铁块的体积是24立方厘米． 【点评】此题主要考查长方体的体积的计算方法，关键是要明白：铁块的体积就等于上升的水的体积． 23．茶厂工人要将棱长为20cm的正方体茶盒，装入一个长6dm，宽4dm，高7dm的长方体箱子里，最多能装几盒？ （你可以先在图中画一画草图，再列式计算） 【答案】18盒。 【分析】20cm＝2dm，以高为边，最多能装7÷2≈3（盒），以宽为边，最多能装4÷2＝2（盒），以长为边，最多能装6÷2＝3（盒），再利用长方体的体积公式即可计算。 【解答】解：如图： 7÷2≈3（盒） 4÷2＝2（盒） 6÷2＝3（盒） 所以最多能装：3×2×3＝18（盒） 答：最多能装18盒。 【点评】此类问题，先求出每条棱长上最多能装下的茶盒的个数，再利用长方体的体积公式即可计算出最多能装下的个数。 24．一个正方体玻璃容器长2dm，向容器内倒入5L水，再把一块石头放入水中，完全浸没，这时量得容器内水深15cm。石头的体积是多少dm3？ 【答案】1立方分米。 【分析】根据题意可知，把石头放入容器中，水与石头的体积和减去水的体积就是石头的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【解答】解：15厘米＝1.5分米。 5升＝5立方分米 2×2×1.5﹣5 ＝4×1.5﹣5 ＝6﹣5 ＝1（立方分米） 答：石头的体积是1立方分米。 【点评】此题考查的目的是理解掌握不规则物体体积的测量方法及应用，长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 25．将棱长为80厘米的正方体玻璃缸中的水全倒入长128厘米，宽40厘米的长方体玻璃缸中，这时水深是多少厘米？ 【答案】100厘米。 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3求出水的体积，长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，把数据代入公式解答即可。 【解答】解：80×80×80÷（128×40） ＝6400×80÷5120 ＝512000÷5120 ＝100（厘米） 答：这时水深100厘米。 【点评】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 26．把一个棱长是0.8m的正方体钢坯，锻造成横截面的面积是20dm2的长方体钢材，锻造的钢材有多长？（损耗忽略不计） 【答案】2.56米。 【分析】由正方体变成长方体，它的体积不变，先利用正方体的体积V＝a3，求出这块钢坯的体积，因为这块钢坯的体积是不变的，于是可以利用长方体的体积V＝Sh求出锻成的钢材的长度。 【解答】解：20dm2＝0.2m2 0.8×0.8×0.8÷0.2 ＝0.512÷0.2 ＝2.56（米） 答：锻成的钢材长2.56米。 【点评】此题主要考查正方体和长方体的体积的计算方法在实际中的应用，关键是明白：这块钢坯的体积是不变的。 27．一个底面是正方形的长方体纸盒，高60厘米，如果把它的侧面展开，那么正好是一个正方形．这个纸盒的容积是多少立方厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知，这个长方体的侧面展开图是一个正方形，也就是长方体的底面周长和高相等，根据正方形的周长公式：C＝4a，那么a＝C÷4，据此求出长方体的底面边长，再根据长方体的容积（体积）公式：V＝Sh，把数据代入公式解答． 【解答】解：60÷4＝15（厘米） 15×15×60 ＝225×60 ＝13500（立方厘米） 答：这个纸盒的容积是13500立方厘米． 【点评】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式． 28．教室有一排长方体的储物柜，共占地1.44平方米，储物柜高0.75米。这排储物柜所占的空间是多少立方米？ 【答案】1.08立方米。 【分析】根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答即可。 【解答】解：1.44×0.75＝1.08（立方米） 答：这排储物柜所占的空间是1.08立方米。 【点评】此题考查了长方体的体积计算公式的灵活应用。 29．网课学习中，我做了一份实践作业。我将家里的太空沙装在一个圆锥形容器里（刚好装满），容器上标注：底面半径6cm，高10cm，爸爸找来一个长方体形状的盒子，经过测量，长20cm，宽6m将圆锥形容器中的太空沙都装进长方体盒子里（压平整），根据体积不变的原理，我很快就计算出了盒子中太空沙的高度，你可以吗，写出你的计算过程？ 【答案】3.14厘米。 【分析】可根据圆锥的体积底面积×高，求出太空沙的体积是多少；再根据高＝长方体的体积÷（长×宽），求出高即可解答。 【解答】解：3.14×62×10÷（20×6） 3.14×36×10÷120 ＝376.8÷120 ＝3.14（厘米） 答：盒子中太空沙的高度是3.14厘米。 【点评】此题主要考查的是圆锥的体积公式和长方体的体积公式的灵活应用。 30．一个棱长7分米的正方体水槽里装满了水，把这些水倒入一个长10分米、宽7分米、高8分米的长方体水槽里（不计损耗），水槽里水深是多少？ 【答案】4.9分米。 【分析】利用正方体的体积计算公式，可以先求出正方体水槽内水的体积，把水全部倒进长方体的水槽里，水的体积没有变，因此用水的体积除以长方体的底面积解答即可。 【解答】解：（7×7×7）÷（10×7） ＝343÷70 ＝4.9（分米） 答：水槽里水深是4.9分米。 【点评】此题属于应用长方体和正方体的体积计算公式解决实际问题，考查的目的是理解掌握长方体、正方体的体积计算及解决问题的能力。 31．一个长方体，如果高减少2cm，正好变成一个正方体，这时表面积比原来减少56平方厘米，原来长方体的体积是多少平方厘米？ 【答案】441立方厘米。 【分析】根据高减少2厘米，就剩下一个正方体可知，这个正方体比原长方体表面积减少的4个面是相同的，根据已知表面积减少56平方厘米，56÷4÷2＝7（厘米），求出减少面的宽，也就是剩下的正方体的棱长，然后7+2＝9（厘米），求出原长方体的高，再计算原长方体的体积即可。 【解答】解：减少的面的宽（剩下正方体的棱长）56÷4÷2＝7（厘米） 原长方体的高7+2＝9（厘米） 原长方体体积为： 7×7×9＝441（立方厘米） 答：原长方体的体积是441立方厘米。 【点评】根据截去后剩下是正方体，可知减少的部分是宽为2厘米的4个面，从而可以分别求出长方体的长、宽、高，进而利用长方体的表面积和体积的计算方法即可求解。 32．一个长方体玻璃容器，从里面量底面是边长为4分米的正方形，高是3分米，向容器中注入24升水，再把一块石头放入水中（完全浸没），这时量得容器内的水深为20厘米，求这块石头的体积是多少？ 【答案】8立方分米。 【分析】求石头的体积就是上升水的体积，可以先求出放入石头后水与石头的体积和，再减去原有水的体积，即石头的体积，然后根据长方体的体积计算公式“V＝abh”即可解答。 【解答】解：20厘米＝2分米 24升＝24立方分米 4×4×2﹣24 ＝32﹣24 ＝8（立方分米） 答：这块石头的体积是8立方分米。 【点评】此题主要考查求不规则物体的体积，关键是理解不规则物体的体积等于上升水的体积。记住并会运用长方体体积计算公式。 33．龙一鸣把同样的盒装饼干摆成如下形状，每一盒的体积是多大？ 【答案】见试题解答内容 【分析】观察图示可知，把6盒同样的饼干摆成了长方体，根据长方体的体积公式V＝abc求出总体积，然后进一步解答即可． 【解答】解：40×10×21÷6 ＝400×21÷6 ＝8400÷6 ＝1400（立方厘米） 答：每盒饼干的体积是1400立方厘米． 【点评】本题主要考查了对长方体的体积公式V＝abc的理解和灵活运用情况． 34．在一个长25cm，宽20cm的长方体容器中装有水，把一个底面边长10cm的正方形的小长方体铁块完全没入水中，水面上升1cm（水未溢出），求铁块的高． 【答案】见试题解答内容 【分析】水面上升的体积等于铁块的体积．根据长方体体积计算公式“V＝abh”即可求出铁块的体积；由铁块的体积即可求出铁块的高． 【解答】解：（25×20×1）÷（10×10） ＝500÷100 ＝5（厘米） 答：铁块的高5厘米． 【点评】解答此类题注意再点：一是水面上升的体积等于铁块的体积；二是铁块全部没入水中；且水不外溢． 35．爸爸在一个长是9分米，宽是5分米，高是7分米的长方体鱼缸里放了一个假山石（假山石全部浸没在水里），这时水面上升了3厘米，这个假山石的体积有多大？ 【答案】13.5立方分米。 【分析】根据题意可知：把假山石放入鱼缸后上升部分的水的体积等于这个假山上的体积，根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答即可。 【解答】解：3厘米＝0.3分米 9×5×0.3 ＝45×0.3 ＝13.5（立方分米） 答：这个假山石的体积有13.5立方分米。 【点评】此题考查的目的是理解掌握不规则图形体积的计算方法及应用，一般利用“排水法”，根据长方体的体积公式解答。 36．一个正方体容器，从里面量棱长是8分米，往容器里倒入352升水，水深是多少分米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据长方体的容积（体积）公式：V＝sh，用水的体积除以容器的底面积即可求出水深． 【解答】解：352升＝352立方分米 352÷（8×8） ＝352÷64 ＝5.5（分米） 答：水深5.5分米． 【点评】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式． 37．一个无水的长方体鱼缸，从里面量得长50厘米、宽20厘米，里面放着一个高30厘米体积3000立方厘米的假石山．如果水管以每分钟180立方厘米的流量向鱼缸中滴水，至少需要多长时间才能将假石山完全浸没？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知，水面上升到和立方体一样时，即水面浸没假石山．此时，水的体积＝30厘米高鱼缸的容积﹣假山石的体积，利用长方体体积公式计算得：50×20×30＝3000＝27000（立方厘米）．然后求注这些水所用时间即可． 【解答】解：（50×20×30﹣3000）÷180 ＝（30000﹣3000）÷180 ＝27000÷180 ＝150（分钟） 答：至少需要150分钟能将假石山完全浸没． 【点评】本题主要考查不规则物体体积的测量，关键利用转化思想，把不规则立体图形转化为规则图形进行计算． 38．如图，从长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器，这个容器的体积是多少立方厘米？ 【答案】80立方厘米。 【分析】先根据题意计算出折成的长方体的长、宽、高，即长方体的长＝原长方形的长﹣2个正方形的边长，长方体的宽＝原长方形的宽﹣2个正方形的边长，长方体的高＝正方形的边长，再根据长方体的体积＝长×宽×高，计算出体积即可。 【解答】解：（12﹣2×2）×（9﹣2×2）×2 ＝8×5×2 ＝80（立方厘米） 答：这个容器的体积是80立方厘米。 【点评】本题考查了长方体展开图和体积公式的灵活运用。 39．一个长方体（如图），如果高增加4cm，就变成了棱长是10cm的正方体。表面积和体积各增加了多少？ 【答案】160平方厘米，400立方厘米。 【分析】根据题意，如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体，表面积增加的只是高是4厘米，4个完全相同的侧面的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab解答；同理增加的体积也是高为4厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，列式解答。 【解答】解：10×4×4＝160（平方厘米） 10×10×4＝400（立方厘米） 答：表面积增加了160平方厘米，体积增加了400立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体的表面积、体积的计算，关键是理解表面积增加的是4个侧面的面积；体积增加的是高为4厘米的长方体的体积。 40．一个长是8分米，宽是5分米，高是3分米的长方体硬纸盒，它的体积是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答问题． 【解答】解：8×5×3＝120（立方分米） 答：它的体积是120立方分米． 【点评】此题主要考查了长方体的体积公式的计算应用． 41．一个长方体水箱，长10dm，宽8dm，水深5dm，当把一块石头放入水中完全浸没于水箱，且水未溢出，水位上升到8dm．这块石头的体积是多少立方分米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】水上升部分的体积等于这个石头的体积，水位上升到8dm，即上升了（8﹣5）dm，根据长方体的体积计算公式“V＝abh”即可解答． 【解答】解：10×8×（8﹣5） ＝10×8×3 ＝240（dm3） 答：这块石头的体积是240立方分米． 【点评】此题是考查长方体体积的计算，关键是弄清题意，记住并会运用长方体体积计算公式． 42．住校生宿舍有一排长方体储物柜，共占地0.84平方米，储物柜的高1.25米。这排储物柜所占空间是多少立方米？ 【答案】1.05立方米。 【分析】储物柜所占空间是个长方体，共占地0.84平方米是长方体的底面积，储物柜的高1.25米是长方体的高，根据长方体的体积＝底面积×高，把数据代入公式解答。 【解答】解：0.84×1.25＝1.05（立方米） 答：这排储物柜所占的空间是1.05立方米。 【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用。 43．张明在一个长8厘米、宽6厘米、高12厘米的长方体容器中加入一些水后，准备测量一块石头的体积，具体情况如图所示，请问这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】盛水的长方体容器里放入一个石头后，水面由②到③，下降了的水的体积就是这石头的体积，下降的部分是一个长8厘米，宽6厘米，高（12﹣10）厘米的长方体，根据长方体的体积计算公式列式解答即可． 【解答】解：8×6×（12﹣10） ＝48×2 ＝96（立方厘米） 答：这个石头的体积是96立方厘米． 【点评】此题主要考查特殊物体体积的计算方法，将物体放入或取出水中，水面上升或下降的体积就是物体的体积；也考查了长方体的体积＝长×宽×高． 44．一个长方体容器，从里面量长8分米、宽6分米、高5分米，里面有一些水，水深2.4分米。把一块铁块完全浸没水中，水面上升到3.9分米。这块铁块的体积是多少立方分米？ 【答案】72立方分米。 【分析】这块铁块的体积等于上升的水的体积，用底面积乘上升的分米数即可。 【解答】解：3.9﹣2.4＝1.5（分米） 8×6×1.5 ＝48×1.5 ＝72（立方分米） 答：这块铁块的体积是72立方分米。 【点评】此题主要考查某些实物体积的测量方法。 45．爸爸拿出一个钢球，对小洁说：“你能求出这个钢球的体积吗？”小洁说：“当然能。”于是，小洁将家中一个底面直径是20cm的圆柱形玻璃杯装一部分水，量得水深10cm，然后把钢球完全浸没在水中，这时又量得水面高度是12cm。你知道这个钢球的体积是多少吗？ 【答案】628立方厘米。 【分析】这个钢球的体积等于上升的水的体积，用底面积乘上升的厘米数即可。 【解答】解：20÷2＝10（厘米） 3.14×10²×（12﹣10） ＝314×2 ＝628（立方厘米） 答：这个钢球的体积是628立方厘米。 【点评】解答此题的关键求出放入钢球后水面上升的高度。 46．往一个长32厘米，宽25厘米，高为20厘米的长方体浴缸内倒入水，水面高度为16厘米。把一个假山浸没在鱼缸内，水满后还溢出128毫升。求假山石的体积是多少立方厘米？ 【答案】3328立方厘米。 【分析】根据题意，假山石的体积包括两部分的，一部分是溢出水的体积，题目已知；还有一部分水上升的体积，只要求出上升的高度就可以利用长方体的底面积×高计算，最后把两部分体积相加即可。 【解答】解：水上升的高度：20﹣16＝4（厘米） 上升水的体积：32×25×4 ＝32×100 ＝3200（立方厘米） 128毫升＝128立方厘米 3200+128＝3328（立方厘米） 答：假山石的体积是多少立方厘米3328立方厘米。 【点评】此题主要考查某些实物体积的测量方法。 47．把一个苹果放入已有9升水的长方体的玻璃容器里（玻璃的厚度不计），已知容器的长是3分米，宽2分米．这时量得容器的水深是17厘米，你能知道这个苹果的体积吗？ 【答案】见试题解答内容 【分析】已知容器的长是3分米，宽2分米，向容器中倒入9升水，再把一块苹果放入水中，这时量得容器内水深17厘米；根据长方体的体积公式，求出长方体内9升水与苹果的体积和，减去9升水的体积．由此解答． 【解答】解：9升＝9000立方厘米 3分米＝30厘米 2分米＝20厘米 30×20×17﹣9000 ＝10200﹣9000 ＝1200（立方厘米） 答：这个苹果的体积是1200立方厘米． 【点评】此题属于不规则物体的体积计算，用排水法来解答，注意单位的换算． 48．一个从里面量底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯中装有一些水，水中完全浸没着一个底面直径为12厘米，高为10厘米的圆锥形铅锤。当取出铅锤后，玻璃杯中的水面下降多少厘米？（π值取3.14） 【答案】1.2厘米。 【分析】由题意可知：当铅锤取出后，下降的水的体积就等于铅锤的体积，铅锤的体积容易求出，用铅锤的体积除以容器的底面积就是下降的水的高度，从而问题得解。 【解答】解：3.14×（12÷2）2×10[3.14×（20÷2）2] ＝3.14×36×10314 ＝3.14×120÷314 ＝1.2（cm） 答：玻璃杯中的水面下降1.2厘米。 【点评】解答此题的关键是明白：下降的水的体积就等于铅锤的体积，从而问题得解。 49．一个棱长为9厘米的正方体容器，里面装了水，明轩把一块石头放进容器中，石头全部浸没后，水面升高了3厘米（水没有溢出），这块石头的体积是多少？ 【答案】243立方厘米。 【分析】因为石块完全浸入水中，石块的体积等于上升水的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高解答即可。 【解答】解：9×9×3 ＝81×3 ＝243（立方厘米） 答：这块石头的体积是243立方厘米。 【点评】此题考查探索某些实物体积的测量方法，解决此题的关键是因为石块完全浸入水中，石块的体积等于上升水的体积。 50．一个容量为500mL的烧杯，里面盛了一些水，水的高度刚好是烧杯高度的，放入五颗一样的钢珠后水面上升到最高刻度。每颗钢珠的体积是多少立方厘米？ 【答案】40立方厘米。 【分析】把500mL烧杯容量看作单位“1”，先求出上升水的体积是多少mL，根据分数乘法的意义，用乘法计算；5颗钢珠的体积就是上升的水的体积，5颗一样的钢珠的体积相等，进而用除法计算求得每颗钢珠的体积即可。 【解答】解：500×（1） ＝500 ＝200（mL） 200mL＝200立方厘米 200÷5＝40（立方厘米） 答：每颗钢珠的体积是40立方厘米。 【点评】此题主要考查某些实物体积的测量方法，关键是理解5颗钢珠的体积等于上升的水的体积，再根据钢珠的体积相等，进而求得每颗钢珠的体积。 第五部分 错题笔记 学科网（北京）股份有限公司 $$