广东省汕头市潮阳林百欣中学2025届高三下学期校模拟考试（2）数学试题

1 潮阳林百欣中学 2025 届校模拟考试（2） 数学试题 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合  2log 2P x x  ，  2 2 3 0Q x x x    ，那么P Q （ ） A． 1 3x x   B． 0 3x x  C． 3 1x x   D． 0 1x x  2．已知 Ra ，若 aiz  22 ，且 9 zz ，则 a （ ） A．1 或-1 B． 2 或 2 C． 3 或 3 D． 5 或 5 3．已知 Rba ， ，b为a 和 2 的等差中项，则 b a 9 1 3  的最小值为（ ） A． 3 1 B． 2 C． 2 1 D． 3 2 4. “四书五经”是我国 9 部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》 《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书 五经”知识讲座，每部名著安排 1 次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则 排法种数为（ ） A． 6 3 6 5A A B． 6 3 9 7A A C． 6 3 6 7A A D． 6 2 2 6 7 2A A A 5．已知点 在双曲线 )001 2 2 2 2  ba b y a x C ，（： 上，且点 到 的两条渐近线的距离 之积等于 2 2a ，则 的离心率为 A．2 B．3 C． D． 6．已知棱长为 3 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的中心为O，若球O的球面与该正方体的棱 有公共点，则球O的表面积的取值范围是（ ） A． 3π, 6π B． 3π, 9π C． 6π,12π D． 6π, 9π 7．某食品保鲜时间 y（单位：小时）与储藏温度 x（单位： C ）满足函数关系 ekx by  （ k ， b 为常数）若该食品在0 C 的保鲜时间是 168 小时，在20 C 的保鲜时间是 42 小时，则该 食品在30 C 的保鲜时间是（ ） A．21 小时 B．22 小时 C．23 小时 D．24 小时 2 8.已知函数    sin 0 6 f x x            在区间 0, 2      内有最大值，但无最小值，则的 取值范围是（ ） A． 4 10 , 3 3       B． 4 8 , 3 3       C． 2 10 , 3 3       D． 2 8 , 3 3       二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分. 9. 设离散型随机变量 X 的分布列为 若离散型随机变量Y 满足 2 1Y X  ，则（ ） A． 0.1m  B．  7 0.2P X Y   C．   2E X  ，   1.8D X  D．   5E Y  ，   8.2D Y  10．已知函数  f x 的定义域为 R，  1f x 为奇函数，  2f x 为偶函数，且对任意的  1 2, 1,2x x  ， 1 2x x ，都有    1 2 1 2 0 f x f x x x    ，则（ ） A．  f x 是奇函数 B．  2023 0f  C．  f x 的图象关于  1,0 对称 D．    π ef f 11．若数列 na 满足 2 1n na a  ，则称 na 为“平方递推数列”.已知数列 nb 满足： 1 99b  ， 点  1,n nb b  在函数   2 2f x x x  的图象上.设 )1()1)(1( 21  nn bbbT  ，     n i i i n b T S 1 )1lg( lg ，则（ ） A． 1nb  为平方递推数列 B． 100 1 n nb   C． 1lg 2 2nnT   D．使得 4048nS  成立的n 的最小值为 2026 X 0 1 2 3 4 P m 0.4 0.1 2m 0.2 3 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12． 6 1 32 x       的展开式中的有理项个数为 ． 13. 已知等差数列 na 的公差为 d，记 nS 是数列 na 的前 n 项和，若 5 3 20S a  ， 15 2 3 8S a a a ，则 na 的通项公式为 ． 14．已知函数     2 ln 2 , 1, 1, 1, x x f x x x         设    g x f x ax a   ，若函数  g x 仅有一个 零点，则实数a的取值范围是 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15.（本小题满分 13 分） 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ． （1）求证： ； （2）若 ，求 的面积． 16.（本小题满分 15 分） 如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD为直角梯形， //AB CD， 90BAD  ， 2 2AB AD DC DP    ， 2 2PA  ， 2 3PC  . （1）若M ， F 分别是PA， BC 的中点，证明：MF AD ； （2）求二面角P BC D  的余弦值. 17．（本小题满分 15 分） 记数列 na 的前n 项和为 nS ，已知 1 3a  ， 1 2n n nS S a    . （1）求 na 的通项公式； （2）求数列 2 1 4 na nS       的前n 项和 nT . 4 18．（本小题满分 17 分） 已知等轴双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b     的一个焦点为 ( 2,0)F . （1）求双曲线 C 的方程； （2）已知点 A 是 C 上一定点，过点 (0,1)B 的动直线与双曲线 C 交于 P，Q 两点，若 AP AQk k 为定值，求点 A 的坐标及实数的值． 19．（本小题满分 17 分） 对于定义在 D 上的函数 ( )f x ，若存在距离为 d 的两条平行直线 1 1:l y kx b  和 2 2:l y kx b  ， 使 得 对 任 意 的 x D 都 有 1 2( )kx b f x kx b    ， 则 称 函 数 ( ) ( )f x x D 有一个宽度为d 的通道，1l 与 2l 分别叫做函数 ( )f x 的通道下界与通道上界． （1）若 e 1 ( ) e 1 x x f x    ，请写出满足题意的一组 ( )f x 通道宽度不超过 3 的通道下界与通 道上界的直线方程； （2）若 ( ) sin cosg x x x x   ，证明： ( )g x 存在宽度为 2 的通道； （3）探究 2ln 3 ( ) , [1, ) x h x x x     是否存在宽度为 2 2 的通道？并说明理由． 1 潮阳林百欣中学 2025 届校模拟考试（2） 数学参考答案 1.B 2．A 3．D 4. C 5．C 6. D 7. A 8.B 9. AC 10．BC 11．AC 12．3 13. 2 1na n  或 8 nan （没写 na 或不完整均不给分） 14． ]2,0[]1,(  5. 【分析】P 到两渐近线的距离之积为 2 2 2 22 a c ba  （可用特殊点）可得 22 2ac  6. 【分析】由题意分析得到最小的球为正方体的棱切球，最大的球为正方体的外接球.然后分别 求出半径，后求出表面积的范围. 【详解】由题意知，当球O是正方体的棱切球时，球与棱有公共点， 如图：此时球的半径     2 2 1 3 3 6 2 2 r    ， 当球O是正方体的外接球时，球与棱有公共点， 此时球的半径       2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 r     ， 所以球的半径 6 3 , 2 2 r       ，故球的表面积  6π,9πS . 7. 【分析】利用指数幂的运算计算可求解. 【详解】当 0x  时，e 168b  ，当 20x = 时， 20e 42k b  ，所以 20 42 1e 168 4 k   ， 10 1e 2 k  ； 当 30x  时，     3 3 30 10 1e e e 168 21 2 k b k b          . 8.【分析】求出 π 6 x  的范围，由条件结合正弦函数的图象列不等式求结论. 【详解】因为 0  ，所以 π 0 2 x  时，则有 π π π π 6 6 2 6 x     ， 因为  f x 在区间 π 0, 2      内有最大值，但无最小值， 结合函数图象，得 5π π 6 2  π 3π 6 2   ，解得 4 8 3 3   . 9. 【分析】根据分布列的性质列方程来求得m ，根据概率、期望、方差的知识进行分析，从而 确定正确答案. 【详解】因为 0.4 0.1 2 0.2 1m m     ，所以 0.1m  ，故 A 正确； 由 7X Y  得3 1 7X   ，即 2X ， 所以  7 0.2 0.2 0.4P X Y     ，故 B 错误； 又   0 0.1 1 0.4 2 0.1 3 0.2 4 0.2 2E X            ，             2 2 2 2 2 0 2 0.1 1 2 0.4 2 2 0.1 3 2 0.2 4 2 0.2 1.8D X                 ，故 C 正确； 因为 2 1Y X  ，所以    2 1 5E Y E X   ，    4 7.2D Y D X  ，故 D 错误. 10.【分析】根据函数 ( )f x 的奇偶性和题设条件，推得 ( )f x 是周期为 4 的周期函数，结合周期 函数的性质求值，利用单调性比较大小，逐项判定即可求解. 【详解】因为 ( 1)f x 为奇函数，所以    1 1f x f x     即函数  f x 关于 (1,0) 对称，C 正确; 由函数  f x 关于  1,0 对称可知    2f x f x    ,又因为  2f x 为偶函数，所以    2 2f x f x    ，即函数 ( )f x 关于 2x  对称， 则    4f x f x   ,所以    4 2f x f x    ,即    2f x f x   , 所以      4 2f x f x f x     ,所以是  f x 周期为 4 的周期函数， 所以        2023 4 505 3 3 1f f f f      ,又    3 1f f , 所以    1 1f f  ,所以  1 0f  ,所以  2023 0f  ,B 正确;          2 2 2 2f x f x f x f x f x          是偶函数，A 错误； 对任意的  1 2, 1,2x x  ,且 1 2x x ,都有    1 2 1 2 0 f x f x x x    ,可得函数  f x 在  1,2 上单调递增， 又由函数  f x 关于  1,0 对称，所以  f x 在  0,2 上单调递增，D 错误 11. 【分析】由题意可得 2 1 2n n nb b b   ，可得   2 1 1 1n nb b    ，结合“平方递推数列”的定义， 可判断 A；由等比数列的定义和通项公式，可判断 B；由等比数列的求和公式和对数的运算性 质，可判断 C；由等比数列的求和公式和不等式的解法，可判断 D. 【详解】对于 A，由题意得 2 1 2n n nb b b   ，所以   22 1 1 2 1 1n n n nb b b b       ，所以 1nb  为平方递推数列，故 A 正确； 对于 B，   2 1 1 1n nb b    得    1lg 1 2lg 1n nb b    ，其中  1lg 1 2b   ， 所以  lg 1nb  是以 2 为首项 2 为公比的等比数列，所以  lg 1 2 n nb   ，所以 21 10 n nb   ，即 210 1 n nb   ，故 B 错误； 对于 C，因     1 21 1 1 ,n nT b b b     L 所以       2 11 2lg lg 1 lg 1 lg 1 2 2 2 2 2 n n n nT b b b             L L ，故 C 正确； 为 2 对于 D，因为   1 1 lg 2 2 1 2 lg 1 2 2 n n n n n T b        ， 所以 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n S n n                                          ， 由 4048nS  得 2025n  ，故 D 错误 12.【详解】 6 1 32 x       的展开式通项为   1 6 63 3 1 6 6C 2 C 2 0 6, k k k k k k kT x x k k                  N ， 由 3 k Z 可得  0,3,6k 13.【详解】由 5 3 20S a  ，  1 5 5 3 5 5 2 a a S a    ，得 3 35 20a a  ，解得 3 5a  ， 由 15 2 3 8S a a a ，  1 15 15 8 15 15 2 a a S a    ，所以 8 2 815 5a a a ，所以 8 0a  或 2 3a  ， 当 8 0a  时， 1d ，此时 8)1(3  ndnaan ； 当 2 3a  时， 3 2 2d a a   ，此时  3 3 2 1na a n d n     ； 答案为 2 1na n  或 8 nan （没写 na 或不完整均不给分） 14. 【详解】因为函数    g x f x ax a   仅有一个零点， 所以函数  y f x 的图象与函数 y ax a  的图象只有一个交点. 函数 y ax a  恒过定点  1,0 ，     2 ln 2 , 1, 1, 1, x x f x x x        ， 同一坐标系内作出两函数图象，如图所示，两个函数图象已经有一个交点  1,0 . 1x  时，   2 1y f x x   ，其导函数 2y x  ， 当直线 y ax a  与函数   2 1y f x x   在  1,0 处相切时，只有一个交点  1,0 ， 此时 2 1 2 0 a a      ，解得 2a  ，则当 2a  时，有两个交点. 1x  时，    ln 2y f x x   ，其导函数 1 2 y x     ， 当直线 y ax a  与函数    ln 2y f x x   在  1,0 处相切时，只有一个交点  1,0 ， 此时 1 1 2 1 0 a a         ，解得 1a   ，则当 1 0a   时，有两个交点 综上，要使函数  g x 仅有一个零点，则实数a 的取值范围是    , 1 0,2   15. 【分析】 16. (1)取 AD中点E ，连接ME ， FE， 因为M ， F 分别是PA， BC 的中点，所以ME PD∥ ， EF CD . 因为 2 2 28AD PD PA   ，所以 AD PD . 所以 AD ME ，又 AD CD ，所以 AD EF . . ……6 分 ……13 分 3 因为 EF ME E ，又 EF ， ME 平面MFE， 所以 AD 平面MFE， 因为MF 平面MFE，所以MF AD . ……6 分 (2)在平面 PDC 内过点D作 DH CD ，交 PC 于点 H ， 因为 90BAD  ，所以BA AD ，又因为 //AB CD，所以 AD DC ， 因为 AD PD ， PD DC D  ， ,PD DC 平面 PDC ， 所以 AD 平面 PDC ，又DH 平面 PDC ，所以 AD DH ， 所以 DA， DC ， DH 两两垂直，…………………………………………………………8 分 以 D为原点，分别以 DA， DC ， DH 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系， 又所以   2 2 22 2 2 3 1 cos 2 2 2 2 PDC         ，所以 2π 3 PDC  ， 则  0, 1, 3P  ，  2,1,0B ，  0,2,0C ，所以  2,2, 3PB   ，  0,3, 3PC   .…10 分 设平面 PBC 的法向量为  , ,n x y z ， 则 2 2 3 0 3 3 0 n PB x y z n PC y z            ， 令 1y  ，则 1 ,1, 3 2 n        .…………………12 分 易知平面 ABCD的一个法向量为  0,0,1m  ，(…13 分)所以 2 51 cos , 17 m n m n m n     .…14 分 由图知，二面角 P BC D  的平面角为锐角，故其余弦值为 2 51 17 . 17. (1)由已知 1 2n n nS S a    ，则 1 1 2n n n na S S a     ， 所以数列 na 是以3为首项，2 为公差的等差数列， 所以  3 2 1 2 1na n n     ；……………………………………………………………6分 (2)由（1）得 2 1na n  ，则    1 2 2 n n a a n S n n     ， 则   2 12 1 2 1 1 1 1 1 4 4 4 2 2 2 2 na n n nS n n n n               ， 所以 1 2 31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 1 4 4 4 2 2 3 2 2 2 4 2 2 3 5 2 2 2 n nT n n                                           1 4 1 4 1 1 1 12 1 1 4 2 2 1 2 n n n                  2 2 3 1 4 3 2 1 2 12 n n n n        .……………………………………………………………15分 18. (1)由题意 2 2 2, 2a b a b c    ，解得 1a b  ，所以双曲线C的标准方程为 2 2 1x y  ． 故答案为： 2 2 1x y  ……………………………………………………………………3分 (2)设 ( , )A m n ，过点 B 的动直线为： 1y kx  ．…………………………………………4分 设 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y ，联立 2 2 1 1 x y y kx       得 2 2(1 ) 2 2 0k x kx    ，…………6分 所以   2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 0 Δ 4 8 1 0 2 1 2 1 k k k k x x k x x k                     ，由 21 0k  且 0  ，解得 2 2k  且 2 1k  ………8分 因为 AP AQk k   ，即 1 2 1 2 y n y n x m x m        ，即 1 2 1 2 1 1kx n kx n x m x m          化简得 2 1 2 1 2(2 ) ( 1 )( ) 2 2 0k x x mk n m x x m mn m             所以 2 2 2 2 2 (2 ) ( 1 ) 2 2 0 1 1 k k mk n m m mn m k k                 ，． 化简得 2 2( 2 ) 2( 1) 2 2 2 0m m n k m n k m mn m            ……………………13分 由于上式对无穷多个不同的实数 k 都成立， 4 所以 2 ( 2 ) 0 1 0 2 2 2 0 m m n m n m mn m                如果 0m  ，那么 1n   ，此时 (0, 1)A  不在双曲线 C 上，舍去． 因此 0m  ，从而 2 1m n n    ，所以 1n  ，代入 22 2 2 0m mn m     得 22 m  ，解得 2m   ，此时 ( 2,1)A  在双曲线 C 上． 综上， ( 2,1)A ， 2  ，或者 ( 2,1)A  ， 2   ．……………17分 19. (1)函数 e 1 ( ) e 1 x x f x    的定义域为 R， 2 ( ) 1 e 1x f x    在 R 上单调递增， 而 e 1 1x   ，则 2 0 2 e 1x    ，即 2 1 1 1 e 1x      ，因此 1 ( ) 1f x   ， 取 1 20, 1, 1k b b    ，得通道下界 1l 的直线方程： 1y   ，通道上界 2l 的直线方程： 1y  ， 显然直线 1y   与 1y  的距离为 2，因此通道宽度不超过 3， 所以通道下界与通道上界的直线方程分别为 1y   与 1y  .……………5分 (2)函数 ( ) sin cosg x x x x   的定义域为 R，而 π sin cos 2 sin( ) [ 2, 2] 4 x x x     ， 即 2 sin cos 2x x    ，则 2 ( ) 2x g x x    ， 取 1 21, 2, 2k b b    ，得通道下界 1l 的直线方程： 2y x  ，通道上界 2l 的直线方程： 2y x  ， 显然直线 2 0x y   与 2 0x y   的距离 2 2 2 2 2 1 ( 1) d     ， 所以 ( )g x 存在宽度为 2 的通道. ……………10分 (3)函数 2ln 3 ( ) , [1, ) x h x x x     ，求导得 2 2ln 1 ( ) 0 x h x x      ，函数 ( )h x 在[1, ) 上单调 递减， 则 max( ) (1) 3h x h  ，显然当 1x  时，恒有 ( ) 0h x  ，即0 ( ) 3h x  ， 假设存在宽度为 2 2 的通道，设通道下界与通道上界的直线方程分别为 1y kx m  ， 2 1 2( )y kx m m m   ， 则对任意 [1, )x  ， 1 2( )kx m h x kx m    恒成立，即 1 2( )m h x kx m   ， 令 2ln 3 , 1( ) ( ) x x x h x kx kx x      ， 当 0k  时，则0 ( ) 3x  ，而 2 3 0 2   ，不符合题意； 当 0k  时，对任意 [1, )x  ， ( ) 3 xx k   ，函数 3y kx  在[1, ) 上单调递减，值域为 ( ,3 ]k  ， 因此不存在 1m ，使得对任意 [1, )x  ， 1( )x m  成立，即不存在宽度为 2 2 的通道； 当 0k  时，对任意 [1, )x  ， ( ) xx k   ，函数 y kx  在[1, ) 上单调递增，值域为 [ , )k  ， 因此不存在 2m ，使得对任意 [1, )x  ， 2( )x m  成立，即不存在宽度为 2 2 的通道， 综上， 2ln 3 ( ) , [1, ) x h x x x     不存在宽度为 2 2 通道. ……………17分 的