8.4.1平面课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.4.1平面 海面、湖面、桌面、黑板面、墙面 1.平面的概念 桌面 黑板面 平静的水面 平面的形象 墙面 几何里的平面是无限延展的. 讲课人：邢启强 数学中的平面：与点和直线类似,平面也是由现实事物抽象得到的.如课桌面、黑板面、平静的水面等,都给我们以平面的印象,请举出更多这样的例子,并说明平面的含义是什么? 提示平整的地面、天花板等.几何中的平面是无限延展的、非常平、没有边界. 思考：平面有厚薄和大小吗？ 平面的特点： 1.无限延展 3.没有厚度 2.没有大小 讲课人：邢启强 （1）水平放置的平面： （2）垂直放置的平面： a ß 通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450 2.平面的画法 思考：我们一般用线段来表示一条直线,那么通常用什么图形表示平面? 讲课人：邢启强 A B C D 平面可以用希腊字母表示，也可以用代表表示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点字母表示。 如：平面α，平面β，平面ABCD，平面AC平面BD等。 3.平面的表示方法 讲课人：邢启强 思考(1)平面α是由点组成的,直线l也是由点组成的,从集合的观点看,点A与直线l有何关系?点A与平面α有何关系?直线l与平面α呢? A B α 4.点、直线、平面之间的关系 提示A∈l或A∉l.A∈α或A∉α.l⊂α或l⊄α. (2)若A∈a,a⊂α,能否推出A∈α? 提示由直线在平面内的定义可知,若A∈a,a⊂α,则A∈α. 讲课人：邢启强 讲课人：邢启强 思考1:我们知道两点可以确定一条直线,要确定一个平面需要几个点呢? 请你用尺子做实验并回答以下问题 1、过一点有几个平面？ 2、过两点有几个平面？ 3、过在同一直线上的三点有几个平面？ 4、过不在一直线上的三点有几个平面？ 在日堂生活中，我们常常可以看到这样的现象，自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”，三脚架的三脚着地就可以支撑照相机,由这些事实和类似经验,可以得到一个基本事实 讲课人：邢启强 基本事实1：过不在一条直线上的三点， 有且只有一个平面. α ·A ·B ·C 可用于确定一个平面 作用 推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面. 推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。 推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。 基本事实1也可以简单说成 “不共线的三点确定一个平面”， 不在一条直线上的三个点A,B,C所确定的平面，可以记成平面ABC. 讲课人：邢启强 经过不共线三点 确定平面的条件： 经过一条直线和直线外的一点 经过两条相交直线 经过两条平行直线 有且只有一个平面 讲课人：邢启强 思考2:请你用尺子做实验并回答问题 如果直线 与平面α有一个公共点，直线 是否在平面α内？如果直线 与平面α有两个公共点呢？ 如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘是不是就落在了桌面上? 讲课人：邢启强 符号语言 B · · A · . . 基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 能判定一条直线是否在平面内 作用 讲课人：邢启强 基本事实2表明，可以用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的“无限延展”. 讲课人：邢启强 思考3 把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？ 想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去“穿透”课桌面，可以想象，两个平面相交于一条直线.教室里相邻的墙面在地面的墙角处有一个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条直线.由此我们又得到一个基本事实 讲课人：邢启强 符号语言 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. α β · P 作用 可用于判别两平面是否相交。 基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线.两个平面相交成一条直线的事实，使我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”. 讲课人：邢启强 在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。 讲课人：邢启强 证明点、线共面 例1证明:两两相交且不过同一点的三条直线共面. 已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C. 求证:直线l1,l2,l3在同一平面内. 分析先由l1与l2确定一个平面,再证明l3在这个平面内.也可以证明l1,l2确定的平面α与l2,l3确定的平面β重合. 讲课人：邢启强 证法一(纳入平面法)∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又l2⊂α,∴B∈α. 同理可证C∈α.∵B∈l3,C∈l3,∴l3⊂α. ∴直线l1,l2,l3在同一平面内. 证法二(辅助平面法)∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β. ∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α.∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β. 同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内. ∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内. 讲课人：邢启强 证明点共线 例2已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图. 求证:P,Q,R三点共线. 分析证明P,Q,R三点既在平面ABC内,也在平面α内,即得P,Q,R共线.也可以证明点Q既在平面APR内,也在平面α内,即点Q在平面APR与平面α的交线PR上. 讲课人：邢启强 证法一∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α. 又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上, ∴P,Q,R三点共线. 证法二∵AP∩AR=A, ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR. ∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC,∴Q∈平面APR.又Q∈α, ∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线. 讲课人：邢启强 证明线共点 例3 如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点,且四边形EFGH为梯形,HG∥EF,HG∶EF=1∶3. 求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点. 讲课人：邢启强 证明:延长EH,FG,不妨设EH∩FG=O, ∵HG∥EF,HG∶EF=1∶3,且EF≠GH, ∴EH,FG共面,且与FG不平行. ∵O∈EH,EH⊂平面ABD,∴O∈平面ABD, ∵O∈FG,FG⊂平面BCD,∴O∈平面BCD. ∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴O∈BD, ∴EH,BD,FG三条直线相交于同一点O. 讲课人：邢启强 小结：平面的基本性质和作用 名 称 作 用 公理1 判定直线在平面内的依据 公理2 确定一个平面依据 公理3 两个平面相交的依据 会用三种数学语言表示 讲课人：邢启强 文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α 直线l在平面α内 l⊂α 直线l在平面α外 l⊄α 平面α,β相交于l α∩β=l $$