2025年中考数学二轮专题训练：圆周角定理

2025年中考数学二轮专题训练： 圆周角定理 一．选择题 1．如图，AB、AC是⊙O的弦，OB、OC、OD是⊙O的半径，连接CD，BO∥CD，若∠A＝25°，则∠COD＝（　　） A．60° B．70° C．80° D．130° 2．如图，点A，B，C，D在⊙O上，若AB＝CD，则下列结论错误的是（　　） A． B．AC＝BD C．AD＝BD D．∠ADC＝∠BAD 3．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为64°，则∠BCD的度数为（　　） A．58° B．60° C．62° D．64° 4．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 5．如图，正方形边长为a，点E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°．连接CE，则下面给出的四个结论中，所有正确结论的序号为（　　） ①； ②； ③∠BCE的度数最大值为60°； ④当CE＝a时，． A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④ 6．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A、B两点，若⊙O的直径为8，则弦AB长为（　　） A．8 B．4 C． D． 7．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，CE⊥AB于点E，若∠D＝48°，则∠1＝（　　） A．42° B．45° C．48° D．52° 8．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 9．如图，用直角三角板经过两次画图找到圆形工件的圆心，这种方法应用的道理是（　　） A．垂径定理 B．勾股定理 C．直径所对的圆周角是直角 D．90°的圆周角所对的弦是直径 10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE的度数是（　　） A．13° B．16° C．18° D．21° 11．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝8，则半径OB等于（　　） A． B． C．4 D．5 12．如图，点A、B分别在x轴、y轴上（OA＞OB），以AB为直径的圆经过原点O，C是的中点，连结AC，BC．下列结论：①∠ACB＝90°；②AC＝BC；③若OA＝4，OB＝2，则△ABC的面积等于5；④若OA﹣OB＝4，则点C的坐标是（2，﹣2）．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2． 填空题 13．如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C、D均在⊙O上．若∠ADC＝75°，则∠BOC＝ 　 　 ． 14．如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上，，AD与CO交于点E，∠DAB＝30°，若AO，则CE的长为 　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，以第一象限内的点P为圆心的⊙P经过原点，交x轴于点A（8，0），交y轴于点B（0，6），则OP的长为 　 　 ． 16．如图，AB是半圆O的直径，∠ABD＝35°，点C是上的一点，则∠C＝　 　 度． 17．如图，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，连接AB，AC，若∠BAD＝30°，则∠ACB的度数是 　 　 ° 18．如图，点A是以BC为直径的半圆O上的一点，D，E分别是和的中点，连结DE交AB于M，交AC于N．若AB＝8，AC＝6时，则MN的值为　 　 ． 19．以菱形ABCD对角线BD上的点O为圆心，OD为半径作圆，与BC相交于点E，点A，C恰好都在圆O上，若OD：OB＝2：3，圆的半径r＝4，则菱形ABCD的边长为 　 　 ． 20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD，OF⊥CD，垂足分别为E、F，若OF，则AB＝　 　 ． 3． 解答题 21．如图，在⊙O中半径OA⊥OB，连接AB，C为平面内一点，连接AC、BC，∠OAC＝30°，∠OCA＝30°，连接CO并延长交AB于点D． （1）求证：OC为⊙O的半径； （2）若OB＝1，CD＝3，求DB的长度． 22．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，延长AC到点G，连接GB．过点C作CD∥GB，交AB于点F，交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线DE，交GB的延长线于点E，且DE∥AB． （1）求证：CG＝CB； （2）若AC＝4，BC＝2，求BE的长． 23．如图，在正方形ABCD中，若AD＝5．在边AB上取点E，使AE＝1，又以点D为圆心，DE为半径作⊙D，交BC的延长线于点F，连接EF交DC于点G． （1）求证：∠ADE＝∠CDF； （2）请求出EF的长； （3）请求出GC的长． 24．如图，已知半径为r的⊙O中，弦AB，CD交于点E，连结BC，BD．设k（k≥1）． （1）若AB＝DC． ①求证：CE＝BE； ②若k＝1，且BC＝BD＝4，求r的值； （2）若90°，且5，求k的值． 25．如图1，点C是半圆AB上一点（不与A、B重合），OD⊥BC交弧BC于点D，交弦BC于点E，连接AD交BC于点F． （1）如图1，如果AD＝BC，求∠ABC的大小； （2）如图2，如果AF：DF＝3：2，求∠ABC的正弦值； （3）连接OF，⊙O的直径为4，如果△DFO是等腰三角形，求AD的长． 26．如图，已知AB是⊙O的直径，P是半径OB上一点，作弦CD⊥AB交⊙O于点C，D，其中CD＝8，AB＝10．E是上一点，延长AE交CD的延长线于点F，延长BD交EF于点G，连结DE． （1）求证：∠AEC＝∠DEF． （2）连结BC，当四边形BCEG中有一组对边平行时，求DE的长． （3）当tanF时，求的值． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C A C B B C C D A B 题号 12 答案 A 二．填空题 13．解：∵∠ADC＝75°， ∴∠AOC＝2∠ADC＝150°， ∴∠BOC＝180°﹣150°＝30°． 故答案为：30°． 14．解：∵， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∵∠DAB＝30°，AO， ∴OE＝OA•tan30°1， ∵OC＝OA， ∴CE＝OC﹣OE1． 故答案为：1． 15．解：如图，过点P作PC⊥OB于点C，PD⊥OA于点D， ∵点A（8，0），B（0，6）， ∴OA＝8，OB＝6， ∵PC⊥OB，PD⊥OA， ∴， ∴P（4，3）， ∴， 故答案为：5． 16．解：∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝35°， ∴∠A＝90°﹣∠ABD＝55°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠A＝125°， 故答案为：125． 17．解：连接BD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∵∠BAD＝30°， ∴∠ADB＝90°﹣∠BAD＝60°， ∴∠ADB＝∠ACB＝60°， 故答案为：60． 18．解：连接OD交AB于一点H，连接OE交AC于一点W，如图： ∴， ∴OD＝OE＝OB＝OD＝5， ∵D，E分别是和的中点，AB＝8，AC＝6， ∴OD⊥AB，OE⊥AC， ∴点H，W分别是AB，AC的中点， 由条件可知， ∴DH＝OD﹣OH＝2，EW＝OE﹣OW＝1， ∵∠AHO＝∠HAW＝∠AWO＝90°， ∴四边形HOWA是矩形， ∴∠DOE＝90°， ∵OD＝OE＝5， ∴∠D＝∠E＝45°，， ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴∠HMD＝45°，∠WNE＝45°， ∴HM＝DH＝2，NW＝EW＝1， ∴，， ∴， 故答案为：． 19．解：连接AC交BD于H点，连接OC，如图， ∵OD：OB＝2：3，圆的半径r＝4， ∴OC＝OD＝4，OB＝6， ∴BD＝10， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，BH＝DHBD＝5， ∴OH＝OB﹣BH＝6﹣5＝1， 在Rt△OCH中，CH， 在Rt△BCH中，BC2， 即菱形ABCD的边长为 2． 故答案为：2． 20．解：作直径DG，连接CG，如图， ∵DG为直径， ∴∠DCG＝90°， ∴∠CDG+∠G＝90°， ∵AC⊥BD， ∴∠DAC+∠ADB＝90°， ∵∠DAC＝∠G， ∴∠ADB＝∠CDG， ∴， ∴AB＝CG， ∵OF⊥CD， ∴DF＝CF， ∵OD＝OG， ∴OF为△DCG的中位线， ∴CG＝2OF＝25， ∴AB＝5． 故答案为5． 三．解答题 21．（1）证明：∵∠OAC＝30°，∠OCA＝30°， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴OA＝OC， ∵OA是⊙O的半径， ∴OC是⊙O的半径； （2）解：过点D作DE⊥OB于点E，如图所示： ∴∠OED＝∠BED＝90°， ∵在⊙O中半径OA⊥OB，OA＝OB， ∴∠AOB＝90°， ∴△OAB是等腰直角三角形， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， 根据圆周角定理得：∠ACB∠AOB＝45°， ∵∠OCA＝30°， ∴∠OCB＝∠ACB﹣∠ACO＝45°﹣30°＝15° ∵OC＝OB＝AO， ∴∠OCB＝∠OBC＝15°， ∵∠BOD是△OBC的外角， ∴∠BOD＝∠OCB+∠OBC＝30°， ∵CO＝OB，CD， ∴OD＝CD﹣OC2， 在Rt△ODE中，∠BOD＝30°， ∴DEOD＝1， ∵DE⊥OB，∠OBA＝45°， ∴△BDE是等腰直角三角形， 即BE＝DE＝1， 由勾股定理得：DB． 22．（1）证明：如图：连接OD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠BCG＝90°． ∵DE与⊙O相切， ∴∠ODE＝90°， ∵DE∥AB， ∴∠A O D＝∠O D E＝90°， ∴． ∵CD∥GB， ∴∠G＝∠ACD＝45°， ∴∠CBG＝45°， ∴∠G＝∠CBG， ∴CG＝CB． （2）解：在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝2， 由勾股定理得：， ∴． ∵CD∥GB，AC＝4，BC＝CG＝2， ∴AF：BF＝AC：CG＝4：2＝2：1， 设BF＝k，AF＝2k， ∴， 解得：， ∴， ∴， 在Rt△ODF中，，，由勾股定理得：． ∵CD∥GE，DE∥AB， ∴四边形DEBF为平行四边形， ∴． 23．解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°， 在Rt△DAE和Rt△DGF中，， ∴Rt△DAE≌Rt△DGF（HL）， ∴∠ADE＝∠CDF； （2）在Rt△ADE中，AE＝1，AD＝5， ∴DE， ∵∠ADE＝∠CDF， ∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC， 即∠ADC＝∠EDF＝90°， 在Rt△EDF中，根据勾股定理得EF， ∴EF的长为； （3）∵四边形ABCD是正方形， ∴DC∥AB， ∴△FGC∽△FEB， ∴， ∵AB＝AD＝5，AE＝1， ∴BE＝4， ∵△DAE≌△DGF， ∴CF＝AE＝1， ∴BF＝6， ∴， 解得GC， ∴GC的长为． 24．（1）①证明：如图， ∵AB＝DC， ∴． ∴， ∴∠CBA＝∠BCD， ∴CE＝BE； ②解：若k＝1， ∵k， ∴DE＝CE． ∵BC＝BD， ∴BE⊥CD． ∴AB经过圆心， ∵AB＝CD， ∴AB，CD均为⊙O的直径，点E与圆心重合，如图， ∴∠CBD＝90°， ∴CD4， ∴rCD＝2； （2）解：连接AD，OD，CB，如图， ∵若90°， ∴AB为⊙O的直径，∠BOD＝90°． ∴AB＝2r． ∵5， ∴AE＝5BE， ∴AEABr，BEABr， ∴OE＝OB﹣BEr． ∴DEr． ∵∠A＝∠C，∠AED＝∠CEB， ∴△AED∽△CEB， ∴， ∴， ∴ECr， ∴． ∴k． 25．解：（1）连接OC，如图， ∵AD＝BC， ∴， ∴∠AOD＝∠BOC． ∴∠AOC＝∠BOD． ∵OD⊥BC， ∴∠COD＝∠BOD， ∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD． ∵∠COD+∠BOD+∠AOC＝180° ∴∠AOC＝60°． ∴∠ABC∠AOC＝30°； （2）连接AC，如图， ∵OD⊥BC， ∴E是BC中点， ∵OA＝OB， ∴OE∥AC，AC＝2OE， ∵AF：DF＝3：2， ∴AC：DE＝AF：DF＝3：2． 设AC＝3x，则DE＝2x， ∴OEx， ∴OD＝OBx． ∴sin∠ABC＝OE：OB； （3）①当DF＝OF时，如图， ∵FE⊥DO， ∴DE＝OEOD＝1， ∴AC＝2OE＝2，BE． ∴CE＝BE． ∴BC＝2BE＝2． ∵OD∥AC， ∴CF：EF＝AC：DE＝AF：DF＝2：1． ∴EFCE． ∴DF， ∴AF＝2DF． ∴AD＝AF+DF＝2； ②当DF＝OD＝2时，如图， 设OE＝x，则DE＝2﹣x，AC＝2x， ∵OD∥AC， ∴DF：AF＝DE：AC， ∴AF． ∴AD． 过点O作OH⊥AD于H，则AD＝2DH． 在△DHO和△DEF中， ， ∴△DHO≌△DEF（AAS）． ∴DH＝DE， ∴AD＝2DE， ∴． 解得：或（舍去）， ∴AD＝2DE1． 综上所述，AD长或2． 26．（1）证明∵∠DEG+∠AED＝180°，∠ACD+∠AED＝180°， ∴∠ACD＝∠DEF， ∵直径AB⊥CD， ∴， ∴∠AEC＝∠ACD， ∴∠AEC＝∠DEF； （2）解：当CE∥BG时，∠ECD＝∠GDF， ∵∠CDB＝∠GDF， ∴∠ECD＝∠CDB， ∴， ∴BC＝DE， ∵直径AB⊥CD， ∴CPCD＝4， ∵OC＝5， ∴OP3，PB＝2， ∴DE＝BC2． 当BC∥EG时，∠AEC＝∠ECB， ∵∠BCE＝∠BAE， ∴∠ACD＝∠BAE， ∴AP∥DE， ∴∠EDF＝∠APF＝90°， ∴CE是⊙O的直径， ∴DE＝2OP＝6． 综上所述，满足条件的DE的值为2或6； （3）在Rt△APF中，tanF，AP＝8， ∴PF＝12， ∴DF＝8 ∵180°， ∴∠ACE+∠PAF＝90°， ∵∠PAF+∠F＝90°， ∴∠ACE＝∠F， ∵∠DEG＝∠AEC， ∴△ACE∽△DFE， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/29 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