6.4.3 第1课时 余弦定理【8大常考题型归纳】讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【6.4.3第1课时余弦定理及其应用】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：利用余弦定理解三角形】 知识讲解 余弦定理公式 在中，角、、所对的边分别为、、，则有： 证明方法 以下是一种基于向量的证明方法： 证明：在中，设，，。 由向量减法的三角形法则可得，两边平方可得。 根据向量运算法则展开得到：。 因为，，且，所以。 同理可证，。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·天津西青·阶段练习）在中，内角所对应的边分别是，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由余弦定理建立方程，即可解得答案. 【详解】由余弦定理可知， 即， 整理得，解得或（舍去）. 故选：D. 【例题2】（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）在中，，，，则（   ）. A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得： ， 所以. 故选：B. 【例题3】（24-25高一下·天津蓟州·阶段练习）中，，则 . 【答案】或 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理得， 即，解得或， 经检验，符合题意，所以或. 故答案为：或 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·天津南开·阶段练习）已知△ABC内角A， B， C的对边分别为a， b，c．已知则 ． 【答案】3 【分析】先得到，再利用余弦定理求解. 【详解】由，故， 则，故． 故答案为：3 【相似题2】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且，则 . 【答案】3 【分析】由余弦定理即可求解； 【详解】由余弦定理知， 即， 整理得，解得.（负值舍去） 故答案为：3 【相似题3】（2025·上海·模拟预测）在中，若，，，则的长为 . 【答案】 【分析】由余弦定理即可求解； 【详解】， 所以, 故答案为： 【题型2：利用余弦定理求角度】 知识讲解 余弦定理公式 在中，角、、所对的边分别为、、，则有： 例题精选 【例题1】（24-25高三上·江西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知及余弦定理求，再应用平方关系求正弦值. 【详解】由题设， 由三角形内角性质，知. 故选：B 【例题2】（23-24高一下·山东临沂·期中）的三个内角所对边的长分别为，设向量．若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量数量积的坐标表示，再由余弦定理即可求得. 【详解】由可得，即可得， 所以， 因此，又， 所以. 故选：A 【例题3】（2024·上海嘉定·一模）在中，若，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，所以. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（24-25高三上·北京·期中）在中，．则的值是 ；的最大值是 ． 【答案】 / 【分析】利用余弦定理求得，从而求得；利用三角恒等变换的知识求得的最大值. 【详解】由，得， 所以为锐角，且. ， ，，所以当，即时， 取得最大值为. 故答案为：； 【相似题2】（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 【答案】 【分析】在中，利用余弦定理求出，即可求得. 【详解】在中，，由余弦定理， ， 因为，所以， 又在中，， 所以. 故答案为：. 【相似题3】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，且最大角为，求此三角形的最大边长． 【答案】最大边长为14． 【分析】首先由题意确定为最大的边，然后利用余弦定理求得a的值即可. 【详解】解   因为， 所以且， 又，所以，所以， 则，所以， 所以为最大边，故，，． 由余弦定理，得， 即，解得或． 又，所以， 即此三角形的最大边长为14． 【题型3：利用余弦定理进行边角转化】 知识讲解 运用余弦定理：余弦定理给出了三角形三边与一个内角的余弦值之间的关系，如，，。若已知三边关系，可通过余弦定理求出角的余弦值，从而得到角的大小或角之间的关系。 利用三角函数公式：在边化角的过程中，常常需要运用三角函数的恒等变换公式，如两角和与差的余弦公式、二倍角公式等，对得到的角的关系式进行化简和变形，以达到解决问题的目的。 例题精选 【例题1】（24-25高三上·海南海口·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及余弦边角关系可得，进而有，即可求目标函数值. 【详解】由题设，易知，又，则， 所以. 故选：C 【例题2】（2024高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，若，且，则 . 【答案】1 【分析】根据余弦定理得，即可得，进而可求解. 【详解】因为，两边同时乘以得：， 由余弦定理可得，则，所以有， 又，所以，故， 又因为，所以. 故答案为：1 【例题3】（23-24高一下·河北保定·开学考试）在锐角中，若，则角 ． 【答案】/ 【分析】利用余弦定理，可化简已知等式求得，结合是锐角三角形得解. 【详解】由，得， ，又是锐角三角形， . 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）记的内角、、的对边分别为、、，已知，求. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理角化边，再利用余弦定理求出. 【详解】在中，由及余弦定理 得，化简得， 由余弦定理得，而， 所以. 【相似题2】（2023高三·全国·专题练习）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求角． 【答案】 【分析】利用余弦定理将角化边，再由余弦定理求出，即可得解. 【详解】，， ， 整理可得，即， 所以， ， . 【相似题3】（21-22高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知 的三内角 A , B , C 所对的边分别为， 且 (1)求角C﹔ 【详解】（1）由得, 因为, 所以,因为,所以, 因为,所以. 【题型4：利用余弦定理判断三角形的形状】 知识讲解 从边的关系判断 计算边的平方关系：根据余弦定理，，，计算三边平方之间的关系。 判断三角形形状： 若（或，或），则（或，或），（或，或），三角形为直角三角形。 若，且，则，，，三个角均为锐角，三角形为锐角三角形。 若（或，或），则（或，或），为钝角（或为钝角，或为钝角），三角形为钝角三角形。 从角的余弦值判断 计算角的余弦值：直接利用余弦定理公式，，计算出三个角的余弦值。 判断三角形形状： 若（或，或），则（或，或），三角形为直角三角形。 若，且，则三角形为锐角三角形。 若（或，或），则三角形为钝角三角形。 综合判断 有时需要综合考虑边和角的关系来判断三角形的形状。例如，已知且，由可知三角形是等腰三角形，又因为，即，所以该三角形是等腰直角三角形。 在具体问题中，需要根据已知条件灵活运用余弦定理，通过对边和角的分析来准确判断三角形的形状。 例题精选 【例题1】（21-22高一下·北京西城·期末）在中，若，则该三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】利用余弦定理将角转化为边，然后化简可得结果. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 所以，所以， 因为，所以， 所以为等腰三角形， 故选：A 【例题2】（23-24高一下·重庆·期中）在中，内角所对边分别为，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】利用余弦定理角化边，然后整理化简即可得答案. 【详解】因为 所以， 整理得， 即的形状是等腰三角形. 故选：B. 【例题3】（2024高三·全国·专题练习）在中，若，则的形状一定是（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】利用余弦定理可得边的关系，故可得正确的选项. 【详解】因为，故， 整理得到， 故，故或， 即或，故的形状为等腰或直角三角形， 故选：D. 相似练习 【相似题1】（22-23高二上·陕西商洛·期末）在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据余弦定理把题中条件化为边的关系式，即可判定. 【详解】根据余弦定理知， ， 所以，则, 故三角形为直角三角形， 故选： 【相似题2】（22-23高二上·贵州黔东南·开学考试）在中，角的对边分别为，，，且，则的形状为 三角形． 【答案】直角 【分析】由余弦定理化简可得，从而可判断为直角三角形. 【详解】根据余弦定理，得， 化简得，所以为直角三角形. 故答案为：直角. 【相似题3】（21-22高一·全国·课后作业）在中，角，，的对边分别为，，，且，则的形状是 . 【答案】直角三角形 【分析】利用余弦定理将角化边，即可得到，从而得解. 【详解】在中，， ， ， ，，则， 所以为直角三角形. 故答案为：直角三角形 【题型5：利用余弦定理和中线向量求中线长问题】 知识讲解 利用向量表示中线 设中，$AD$是$BC$边上的中线，则有。 对向量进行运算 通常会对表示中线的向量进行平方，即。 展开可得。 结合余弦定理 由向量的数量积公式，以及余弦定理，可以将向量运算结果中的各项用三角形的边和角来表示。 例如，若设，，，，则由可得。 再根据余弦定理，将其代入上式，就可以得到中线与三角形三边的关系。 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）在中，，则边上的中线长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用余弦定理求的长度，再利用中线长定理求解即可. 【详解】由余弦定理可得， 由中线长定理知边上的中线长为， 故选：B 【例题2】（2022高二下河北阶段练习）在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易知，在和中分别利用余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由，得. 故选：C 【例题3】（24-25高三上·山东日照·期末）在中，角的对边分别为，且，若点是的中点，，则 . 【答案】3 【分析】根据题意利用余弦定理求，代入运算求解即可. 【详解】 在中，因，，由余弦定理可得：， 在中，由余弦定理可得： ， 因为，即， 可得，解得. 故答案为：3. 相似练习 【相似题1】（24-25高三下·河北·开学考试）已知中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若点为的中点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，，利用余弦定理即可求得，进而得到结果； （2）设，则，，利用平面向量的线性运算和数量积公式，即可求得结果. 【详解】（1）设，则，， 利用余弦定理可得， 又因为，所以． （2）设，则，， 因为点为的中点，所以， 两边平方可得， 即， 所以，可 得，所以． 【相似题2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，为边上一点． (1)若为的中点，且，求； 【详解】（1）在中，，， 因为为的中点，所以， 两边平方得， 则，解得， 由余弦定理， 所以. 【相似题3】（23-24高一下·广东汕尾·期中）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P． (1)求； (2)求∠MPN的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理即可得解；（2）与的夹角相等，根据向量夹角公式可求其大小. 【详解】（1）因为，为的中点，所以, 在中， ， 所以 （2）因为为的中点，所以， 又， 所以, 所以， ， 所以， 又与的夹角相等， 所以， 所以的余弦值为. 【题型6：利用余弦定理证明等式成立问题】 知识讲解 1. 分析条件和结论： 仔细观察题目中给出的三角形的边、角信息，明确已知条件。 分析待证结论，确定需要证明的是边的关系、角的关系还是边角混合的关系。 2. 选择合适的余弦定理形式： 余弦定理有多种表达形式，如，，。根据题目条件和待证结论，选择合适的形式进行应用。如果已知角以及边、，要证明关于边的结论，就选择。 3. 进行边与角的转化： 将已知条件代入余弦定理中，通过化简、变形等操作，将边转化为角的表达式，或者将角转化为边的表达式，使条件和结论之间建立起联系。例如，要证明，可根据余弦定理，移项即可得证。 4. 利用三角函数的性质和定理： 在证明过程中，可能会用到三角函数的基本性质，如，以及三角形内角和定理等，对式子进行进一步的化简和推导。例如，已知，则，那么，再利用两角和的余弦公式展开进行后续证明。 例题精选 【例题1】（24-25高三上·河南周口·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)证明：； 【详解】（1）因为， 由余弦定理可得， 化简得， 整理得； 【例题2】（24-25高三上·青海·阶段练习）在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，证明：是直角三角形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先应用诱导公式化简再解一元二次方程即可求值； （2）由余弦定理结合已知条件得出，，由即可证明. 【详解】（1）， 可得， 即， 也即， 解得； （2）由余弦定理可得， 因为，所以， 代入上式可得， 化简得. ， 则， 故是直角三角形. 【例题3】（24-25高三上·陕西渭南·期中）记的三个内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求证：为直角三角形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式可求得，进而可求； （2）结合（1）与余弦定理可求得，进而计算可得，可得结论. 【详解】（1）由，可得，解得， 因为，所以. （2）由（1）可知，， 又， 在中，由余弦定理可得， 解得，所以，由勾股定理的逆定理可得， 所以为直角三角形. 相似练习 【相似题1】 （24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）在中， (1)求角A的大小； (2)若，求证：为直角三角形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果； （2）由余弦定理代入计算，即可得到关系，再由勾股定理，即可判断. 【详解】（1）在中，， 可得，即有， ，. （2）证明：由（1）知，又， 由余弦定理得， ，即， 为直角三角形． 【相似题2】（23-24高一下·福建莆田·期末）设的内角所对的边分别为． (1)证明：； (2)若，，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）直接使用余弦定理即可证明； （2）先得到，然后分情况讨论的取值. 【详解】（1）由余弦定理即得. （2）由已知有，故. 若，则； 若，则，解得或（舍去）. 所以或. 【相似题3】（2024·陕西·二模）在中，角所对的边分别为且，． (1)证明：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，等式两边同除以，得到，结合余弦定理，即可得证； （2）由（1），求得，利用余弦定理得到，结合，即可求解. 【详解】（1）证明：因为， 等式两边同除以，可得， 由余弦定理得，可得，所以． （2）由（1）知， 因为，所以， 又因为，，所以，可得， 在中，由余弦定理，得，即 所以， 因为，所以． 【题型7：利用余弦定理+基本不等式结合求角或边长的最值】 知识讲解 1. 分析条件： 仔细阅读题目，明确已知条件，包括三角形的边、角关系以及其他相关信息。 确定已知条件中哪些可以直接应用余弦定理，哪些与基本不等式的应用相关。 2. 选择余弦定理： 根据已知条件和所求问题，选择合适的余弦定理公式。例如，若已知角以及边、，求边的最值，可选用。 3. 运用基本不等式： 观察余弦定理表达式，寻找可以应用基本不等式的形式。常见的基本不等式有（当且仅当时取等号）。 将余弦定理与基本不等式结合起来。例如，在中，利用，可得。 4. 确定最值： 根据已知条件和基本不等式的取等条件，确定边长或角的最值。 若求边的最值，通过对不等式进行变形和分析，得出边的取值范围，进而确定最值。例如，由，当时，取得最小值，此时可根据其他条件求出具体的最小值。 若求角的最值，可将余弦定理变形为关于角的余弦值的表达式，再结合基本不等式和余弦函数的性质来确定角的最值。例如，由，利用基本不等式得到与的关系，进而分析的取值范围，从而确定角的最值。 5. 检验结果： 检验所求的最值是否满足题目中的所有条件，包括三角形的三边关系、角的取值范围等。 确保解答的完整性和正确性。 例题精选 【例题1】（23-24高一下·江西萍乡·期中）在中，点为边的中点，，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】根据题意，，两边平方可得,由余弦定理可得，再结合基本不等式可求解. 【详解】根据题意，点为边的中点，，， 所以，两边平方可得： ， 所以，① 由余弦定理可得，② 即，③ 由①，②，③可得， 所以，即， 所以的最小值为2. 故选：A 【例题2】（23-24高二下·广西南宁·期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理和基本不等式可得的最小值，结合同角三角函数的平方关系可得的最大值. 【详解】因为，则由余弦定理可得： ，当且仅当时取等号． 又，，所以． 故选：C． 【例题3】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】由题意得， 所以， 又，且D是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 故选：A 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·云南昆明·期中）在中，内角的对边分别为，已知，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】解法一：在中由余弦定理得：，即，即， 当且仅当时，等号成立. 所以， 故选：C. 【相似题2】（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）在中，的对边分别是，若，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用余弦定理，结合基本不等式即可得解. 【详解】由，代入余弦定理可得： ， 当且仅当时取等号，所以， 故选：B 【相似题3】（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）在△ABC中， 角 A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且.当取最小值时， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合余弦定理得，代入得最小值，此时，然后结合余弦定理得到，进而得到答案. 【详解】因为，结合余弦定理得， ，整理得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时 此时， 又因为， 所以， 故选：B. 【相似题4】（22-23高一下·吉林通化·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则角B的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理的变形式以及基本不等式即可求解. 【详解】由题知，， 在中， ， 当且仅当时取等号， 又不是三角形的最大边，所以为锐角， 所以的取值范围是. 故选：B. 【题型8：余弦定理综合应用】 【例题精选】 【例题1】（24-25高一下·河南·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用三角形射影定理求出，再利用余弦定理求解. 【详解】在中，由射影定理得，而 则，解得，而，因此， 由余弦定理，得， 则，，所以. 故选：A 【例题2】（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理化简已知条件，求得，利用平方的方法化简，求得，进而求得. 【详解】， ∴，， ∴； 又知，平方可得， ∴，∴. 故选：C 【相似练习】 【相似题1】（24-25高三下·河南·开学考试）在梯形ABCD中，，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】在中，利用余弦定理可得，，再结合几何性质运算求解即可. 【详解】如图， 在中，由余弦定理可得 ，即， 则， 因为，可得，故 由知，所以. 故选：A. 【相似题2】多选题（2025·福建漳州·一模）在中，，，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．边上的高为 B． C． D．边上的中线为 【答案】ABD 【分析】过点C作于点D，由条件结合投影向量定义可得，解三角形求，再求边上的高，判断A，利用余弦定理求，结合同角关系求，判断B，根据数量积定义求判断C，设的中点为，由关系两边平方，结合数量积运算律求边上的中线，判断D. 【详解】如图，过点C作于点D， 则向量在向量上的投影向量为， 由已知，所以， 设，则，又，所以，所以， 在中，，又，所以， 所以，，，所以， 在中，易得， 所以边BC的高为，故选项A正确； 在中，由余弦定理的推论得， 又因为， 所以，故选项B正确； ，故选项C错误； 设的中点为，则， 所以， 则，故选项D正确， 故选：ABD. 【相似题3】（24-25高一下·广东汕尾·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB边上的高为2c，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知，用c表示出a、b，然后由余弦定理可得 【详解】如图，AB边上的高为CD, 因为，所以 所以 由勾股定理可得 由余弦定理可得 故答案为： 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）在中，角所对三条边为，已知，则角（   ） A． B． C． D． 2．（21-22高一下·北京·期中）在中，若，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 3．（2024高三·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别为，，，，则的周长为（    ） A．12 B．20 C．13 D．17 4．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（22-23高一下·福建泉州·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·广东湛江·期中）在中，已知A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，（    ） A． B．2 C． D． 7．（23-24高一下·江苏淮安·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 8．（24-25高三上·江苏镇江·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且，则的形状为 ． 10．（24-25高二下·上海·阶段练习）在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，则 . 11．（24-25高一下·天津·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则 . 12．（24-25高一下·全国·课前预习）在中，，，，则边长 . 13．（24-25高三上·上海·期中）在中，是边的中点.若，，，则 . 三、解答题 14．（24-25高一下·全国·课堂例题）（1）在锐角中，，，，求c的值； （2）在中，若，，，求角A. 15．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知三边之比为．求该三角形的最大角的余弦值． 16．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，分别为角所对的边. (1)若，求角的大小； (2)若，，，求. 《2025年3月29日高中数学作业【作业】》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B B B B B A 1．B 【分析】由余弦定理计算角的余弦值，再结合角的范围即可求角. 【详解】， 所以，且， 所以. 故选：B. 2．B 【分析】结合完全和平方公式，利用余弦定理即可求解. 【详解】因为在中，， 所以由余弦定理可得： ，所以. 故选：B 3．B 【分析】利用余弦定理解三角形即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 联立，解得（均大于）， 所以． 故选：B． 4．B 【分析】将已知数据代入余弦定理中即得的长度. 【详解】由余弦定理可得，则. 故选：B 5．B 【分析】先利用二倍角公式求，再运用余弦定理求即可. 【详解】因为， 所以， 由余弦定理可得， 因为， 所以， 所以. 故选：B. 6．B 【分析】设，则，然后由余弦定理得，求解即可. 【详解】因为，所以设，， 由余弦定理得，， 所以，所以． 故选：B． 7．B 【分析】由已知条件即结合余弦定理和即可得解. 【详解】因为， 所以，且， 所以由余弦定理得，整理得，又， 所以，故是等边三角形. 故选：B. 8．A 【分析】运用数量积定义和余弦定理，结合基本不等式计算. 【详解】，∴，∴， ∴ ， 所以， 故选：A． 9．直角三角形 【分析】应用余弦定理计算求解得出勾股定理即可判断. 【详解】  由余弦定理得，则， 所以，由此知为直角三角形． 故答案为：直角三角形 . 10． 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】令，，， 由余弦定理可得. 故答案为： 11． 【详解】利用余弦定理求出，即可求出，再由二倍角公式计算可得. 【分析】因为，所以， 由余弦定理得， ，，， 则. 故答案为：. 12． 【分析】先由已知条件求出角，然后利用余弦定理可求出. 【详解】由得. 由余弦定理得，， 解得. 故答案为： 13． 【分析】先由余弦定理计算出的余弦值，从而得到，的数量积，再根据平面向量基本定理将分解为，代入结合平面向量的计算即可求得答案. 【详解】如图所示， 由题意得，因为，，， 所以由余弦定理，线段AB与AC的夹角余弦值为：， 所以， 又D是BC中点，所以， 所以. 故答案为：. 14．（1）3；（2） 【分析】（1）运用同角三角函数的平方关系及余弦定理可求得c的值. （2）根据余弦定理即可求解. 【详解】（1）因为为锐角三角形，， 所以， 由余弦定理得：，解得：. 故c的值为3. （2）由余弦定理可得, . 15． 【分析】借助余弦定理可解. 【详解】不妨设，边的对角为， 由已知， 设，则， 根据大边对大角，可得最大角为， 由余弦定理可得， 所以最大角余弦值为. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理表示、可得结果. （2）根据题目条件得，结合余弦定理可求的值. 【详解】（1）由余弦定理得，. ∵， ∴，整理得， ∴. ∵，∴. （2）由，得. 由余弦定理得， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【6.4.3第1课时余弦定理及其应用】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：利用余弦定理解三角形】 知识讲解 余弦定理公式 在中，角、、所对的边分别为、、，则有： 证明方法 以下是一种基于向量的证明方法： 证明：在中，设，，。 由向量减法的三角形法则可得，两边平方可得。 根据向量运算法则展开得到：。 因为，，且，所以。 同理可证，。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·天津西青·阶段练习）在中，内角所对应的边分别是，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题2】（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）在中，，，，则（   ）. A． B． C． D．3 【例题3】（24-25高一下·天津蓟州·阶段练习）中，，则 . 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·天津南开·阶段练习）已知△ABC内角A， B， C的对边分别为a， b，c．已知则 ． 【相似题2】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且，则 . 【相似题3】（2025·上海·模拟预测）在中，若，，，则的长为 . 【题型2：利用余弦定理求角度】 知识讲解 余弦定理公式 在中，角、、所对的边分别为、、，则有： 例题精选 【例题1】（24-25高三上·江西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高一下·山东临沂·期中）的三个内角所对边的长分别为，设向量．若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（2024·上海嘉定·一模）在中，若，则 . 相似练习 【相似题1】（24-25高三上·北京·期中）在中，．则的值是 ；的最大值是 ． 【相似题2】（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 【相似题3】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，且最大角为，求此三角形的最大边长． 【题型3：利用余弦定理进行边角转化】 知识讲解 运用余弦定理：余弦定理给出了三角形三边与一个内角的余弦值之间的关系，如，，。若已知三边关系，可通过余弦定理求出角的余弦值，从而得到角的大小或角之间的关系。 利用三角函数公式：在边化角的过程中，常常需要运用三角函数的恒等变换公式，如两角和与差的余弦公式、二倍角公式等，对得到的角的关系式进行化简和变形，以达到解决问题的目的。 例题精选 【例题1】（24-25高三上·海南海口·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2024高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，若，且，则 . 【例题3】（23-24高一下·河北保定·开学考试）在锐角中，若，则角 ． 相似练习 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）记的内角、、的对边分别为、、，已知，求. 【相似题2】（2023高三·全国·专题练习）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求角． 【相似题3】（21-22高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知 的三内角 A , B , C 所对的边分别为， 且 (1)求角C﹔ 【题型4：利用余弦定理判断三角形的形状】 知识讲解 从边的关系判断 计算边的平方关系：根据余弦定理，，，计算三边平方之间的关系。 判断三角形形状： 若（或，或），则（或，或），（或，或），三角形为直角三角形。 若，且，则，，，三个角均为锐角，三角形为锐角三角形。 若（或，或），则（或，或），为钝角（或为钝角，或为钝角），三角形为钝角三角形。 从角的余弦值判断 计算角的余弦值：直接利用余弦定理公式，，计算出三个角的余弦值。 判断三角形形状： 若（或，或），则（或，或），三角形为直角三角形。 若，且，则三角形为锐角三角形。 若（或，或），则三角形为钝角三角形。 综合判断 有时需要综合考虑边和角的关系来判断三角形的形状。例如，已知且，由可知三角形是等腰三角形，又因为，即，所以该三角形是等腰直角三角形。 在具体问题中，需要根据已知条件灵活运用余弦定理，通过对边和角的分析来准确判断三角形的形状。 例题精选 【例题1】（21-22高一下·北京西城·期末）在中，若，则该三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【例题2】（23-24高一下·重庆·期中）在中，内角所对边分别为，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【例题3】（2024高三·全国·专题练习）在中，若，则的形状一定是（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 相似练习 【相似题1】（22-23高二上·陕西商洛·期末）在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【相似题2】（22-23高二上·贵州黔东南·开学考试）在中，角的对边分别为，，，且，则的形状为 三角形． 【相似题3】（21-22高一·全国·课后作业）在中，角，，的对边分别为，，，且，则的形状是 . 【题型5：利用余弦定理和中线向量求中线长问题】 知识讲解 利用向量表示中线 设中，$AD$是$BC$边上的中线，则有。 对向量进行运算 通常会对表示中线的向量进行平方，即。 展开可得。 结合余弦定理 由向量的数量积公式，以及余弦定理，可以将向量运算结果中的各项用三角形的边和角来表示。 例如，若设，，，，则由可得。 再根据余弦定理，将其代入上式，就可以得到中线与三角形三边的关系。 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）在中，，则边上的中线长为（    ） A．1 B． C． D．2 【例题2】（2022高二下河北阶段练习）在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高三上·山东日照·期末）在中，角的对边分别为，且，若点是的中点，，则 . 相似练习 【相似题1】（24-25高三下·河北·开学考试）已知中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若点为的中点，求的值． 【相似题2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，为边上一点． (1)若为的中点，且，求； 【相似题3】（23-24高一下·广东汕尾·期中）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P． (1)求； (2)求∠MPN的余弦值． 【题型6：利用余弦定理证明等式成立问题】 知识讲解 1. 分析条件和结论： 仔细观察题目中给出的三角形的边、角信息，明确已知条件。 分析待证结论，确定需要证明的是边的关系、角的关系还是边角混合的关系。 2. 选择合适的余弦定理形式： 余弦定理有多种表达形式，如，，。根据题目条件和待证结论，选择合适的形式进行应用。如果已知角以及边、，要证明关于边的结论，就选择。 3. 进行边与角的转化： 将已知条件代入余弦定理中，通过化简、变形等操作，将边转化为角的表达式，或者将角转化为边的表达式，使条件和结论之间建立起联系。例如，要证明，可根据余弦定理，移项即可得证。 4. 利用三角函数的性质和定理： 在证明过程中，可能会用到三角函数的基本性质，如，以及三角形内角和定理等，对式子进行进一步的化简和推导。例如，已知，则，那么，再利用两角和的余弦公式展开进行后续证明。 例题精选 【例题1】（24-25高三上·河南周口·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)证明：； 【例题2】（24-25高三上·青海·阶段练习）在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，证明：是直角三角形. 【例题3】（24-25高三上·陕西渭南·期中）记的三个内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求证：为直角三角形. 相似练习 【相似题1】 （24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）在中， (1)求角A的大小； (2)若，求证：为直角三角形. 【相似题2】（23-24高一下·福建莆田·期末）设的内角所对的边分别为． (1)证明：； (2)若，，，求． 【相似题3】（2024·陕西·二模）在中，角所对的边分别为且，． (1)证明：； (2)若，，求的值． 【题型7：利用余弦定理+基本不等式结合求角或边长的最值】 知识讲解 1. 分析条件： 仔细阅读题目，明确已知条件，包括三角形的边、角关系以及其他相关信息。 确定已知条件中哪些可以直接应用余弦定理，哪些与基本不等式的应用相关。 2. 选择余弦定理： 根据已知条件和所求问题，选择合适的余弦定理公式。例如，若已知角以及边、，求边的最值，可选用。 3. 运用基本不等式： 观察余弦定理表达式，寻找可以应用基本不等式的形式。常见的基本不等式有（当且仅当时取等号）。 将余弦定理与基本不等式结合起来。例如，在中，利用，可得。 4. 确定最值： 根据已知条件和基本不等式的取等条件，确定边长或角的最值。 若求边的最值，通过对不等式进行变形和分析，得出边的取值范围，进而确定最值。例如，由，当时，取得最小值，此时可根据其他条件求出具体的最小值。 若求角的最值，可将余弦定理变形为关于角的余弦值的表达式，再结合基本不等式和余弦函数的性质来确定角的最值。例如，由，利用基本不等式得到与的关系，进而分析的取值范围，从而确定角的最值。 5. 检验结果： 检验所求的最值是否满足题目中的所有条件，包括三角形的三边关系、角的取值范围等。 确保解答的完整性和正确性。 例题精选 【例题1】（23-24高一下·江西萍乡·期中）在中，点为边的中点，，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 【例题2】（23-24高二下·广西南宁·期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·云南昆明·期中）在中，内角的对边分别为，已知，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【相似题2】（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）在中，的对边分别是，若，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．1 【相似题3】（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）在△ABC中， 角 A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且.当取最小值时， 则（    ） A． B． C． D． 【相似题4】（22-23高一下·吉林通化·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则角B的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型8：余弦定理的综合应用】 【例题精选】 【例题1】（24-25高一下·河南·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（   ） A． B． C． D． 【相似练习】 【相似题1】（24-25高三下·河南·开学考试）在梯形ABCD中，，则（    ） A． B．3 C． D． 【相似题2】多选题（2025·福建漳州·一模）在中，，，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．边上的高为 B． C． D．边上的中线为 【相似题3】（24-25高一下·广东汕尾·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB边上的高为2c，，则 ． 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）在中，角所对三条边为，已知，则角（   ） A． B． C． D． 2．（21-22高一下·北京·期中）在中，若，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 3．（2024高三·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别为，，，，则的周长为（    ） A．12 B．20 C．13 D．17 4．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（22-23高一下·福建泉州·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·广东湛江·期中）在中，已知A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，（    ） A． B．2 C． D． 7．（23-24高一下·江苏淮安·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 8．（24-25高三上·江苏镇江·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且，则的形状为 ． 10．（24-25高二下·上海·阶段练习）在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，则 . 11．（24-25高一下·天津·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则 . 12．（24-25高一下·全国·课前预习）在中，，，，则边长 . 13．（24-25高三上·上海·期中）在中，是边的中点.若，，，则 . 三、解答题 14．（24-25高一下·全国·课堂例题）（1）在锐角中，，，，求c的值； （2）在中，若，，，求角A. 15．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知三边之比为．求该三角形的最大角的余弦值． 16．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，分别为角所对的边. (1)若，求角的大小； (2)若，，，求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$