17.2勾股定理的逆定理应用题培优练习 2024—2025学年人教版数学八年级下册

17.2勾股定理的逆定理应用题培优练习人教版2024—2025学年八年级下册 1．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形ABCD进行改建，将四边形ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米200元．经测量∠B＝90°，AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m． （1）求A、C两点之间的距离． （2）求购买运动型塑胶地板的费用． 2．劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形ABCD）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长13m（AC＝13m）的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的AB边长5m，BC边长12m，蔬菜区的AD边长7m，∠D＝90°． （1）求蔬菜区边CD的长； （2）求劳动基地（四边形ABCD）的面积． 3．每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯AC长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙OC上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． （1）求云梯顶端C与墙角O的距离CO的长； （2）现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离AB为多少米． 4．笔直的河流一侧有一旅游地点G，河边有两个漂流点A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离．近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点C（点A、B、C在同一条直线上），并新建一条路GC，测得BG＝5km，GC＝4km，BC＝3km． （1）判断△BCG的形状，并说明理由； （2）求原路线GA的长． 5．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处有一台风中心，沿BD方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160km． （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 6．周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.65米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 7．某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得AB＝8m，AD＝6m，BC＝24m，CD＝26m，∠A＝90°． （1）求B，D之间的距离； （2）求四边形ABCD的面积． 8．如图，为一街区的店铺分布图，AC为一条笔直的公路，B，D分别为便利店和面馆，E为公路边的公交站牌，站牌E在便利店B的正东方向，面馆D在便利店B的正南方向，已知A，D之间距离为250米，且A在面馆D的正北方向，公交站牌E到便利店B的距离BE长为120米，到面馆的距离DE长为150米． （1）若小华和小丽分别从公交站牌E走到A处和面馆D处，那么两人的总路程为多少米？ （2）求面馆D到公路AC的距离． 9．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． 实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离． 10．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c． （1）请利用图①证明：a2+b2＝c2； （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH，若该图形的周长为80，OB＝5，求该图形的面积． 11．全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形ABCD进行改建，将四边形ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝24米，BC＝7米，CD＝15米，AD＝20米． （1）求AC的长度； （2）已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形ABCD地面上全部铺设运动型塑胶地板，购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？ 12．如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，且AB＝AC，由于某种原因，从取水点C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（点A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3km，CH＝2.4km，BH＝1.8km． （1）CH是否是村庄C到河边最近的路？请说明理由； （2）求原来的路线AC的长． 13．古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆AB，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且AB＝BC．某人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面E的距离为1.5m． （1）若AB＝7.5m，AE＝15.5m，求从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长（结果保留根号）； （2）若BE的长为12m，CD比BC长6.5m，求桥面的宽AB． 14．为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我校校园里现有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：∠BAD＝90°，AD＝3m，AB＝4m，BC＝13m，CD＝12m．根据你所学过的知识解决下列问题： （1）求证：∠BDC＝90°； （2）求四边形ABCD的面积． 15．为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了∠ABC＝90°． （1）请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离，以及确定∠ABC＝90°的依据； （2）若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？ 16．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围200千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心由西向东，从A移动到B，已知点C是一个海港，且点C与A、B两点的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，A，B两点的距离为：AB＝500km． （1）求∠ACB的度数； （2）海港C会受到这次台风的影响吗？请说明理由． 参考答案 1．【解答】解：（1）如图，连接AC， ∵∠B＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴， 答：A、C两点之间的距离15m． （2）由（1）已得：AC＝15m， ∵CD＝8m，AD＝17m， ∴CD2+AC2＝82+152＝289＝172＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴四边形ABCD的面积为114（m2）， ∵运动型塑胶地板每平方米200元， ∴购买运动型塑胶地板的费用为114×200＝22800（元）， 答：购买运动型塑胶地板的费用为22800元． 2．【解答】解：（1）∵∠D＝90°，AC＝13m，AD＝7m， ∴， 答：蔬菜区边CD的长为． （2）∵AB2+BC2＝52+122＝132＝AC2， ∴∠B＝90°， ∴S△ABC+S△ADC30+7（m2）， 答：劳动基地（四边形ABCD）的面积为． 3．【解答】解：（1）∵∠AOC＝90°，OA＝7米，AC＝25米， ∴OC24（米）， 答：云梯顶端C与墙角O的距离CO的长为24米； （2）∵OD＝OC﹣CD＝24﹣4＝20（米）， ∴OB15（米）， ∴AB＝OB﹣OA＝15﹣7＝8（米）， 答：云梯底端在水平方向上滑动的距离AB为8米． 4．【解答】解：（1）△BCG是直角三角形，理由如下： ∵BG＝5km，GC＝4km，BC＝3km， ∴42+32＝52， ∴GC2+BC2＝BG2， ∴△BCG是直角三角形； （2）∵点A到点B的距离等于点A到点G的距离， ∴AG＝AB， ∵由（1）易知△ACG是直角三角形， 设AG＝AB＝x（km），则AC＝（x﹣3）km， 在Rt△ACG中，AC＝（x﹣3）km，GA＝x（km），GC＝4km， ∵AC2+GC2＝GA2， ∴（x﹣3）2+42＝x2， 解得：， ∴． 5．【解答】解：（1）AD⊥BC，AB＝340km，AD＝160km， ， ∵300÷15＝20（h）， ∴台风中心经过20h从B点移到D点； （2）在射线BC上取点E、F，使得AE＝AF＝200km， 由AD⊥BC得DE＝DF， 在Rt△AED中，， ∴EF＝2ED＝240km， ∴t＝240÷15＝16（h）， ∴时间持续16h． 6．【解答】解：（1）由题意可知：BD＝12米，BC＝20米，CD⊥BD，AB＝DE＝1.65米， 在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝202﹣122＝256， ∴CD＝16（负值已舍去）， ∴CE＝CD+DE＝16+1.65＝17.65（米）， 答：风筝的垂直高度CE为17.65米； （2）∵风筝沿CD方向下降11米，DE保持不变，如图， ∴此时的C′D＝16﹣11＝5（米）， 即此时在Rt△C′DB中，BD＝12米，有BC′13（米）， 相比下降之前，BC缩短长度为20﹣13＝7（米）， ∴他应该往回收线7米． 7．【解答】解：（1）连接BD， 在Rt△ABD中，∠A＝90°，AB＝8m，AD＝6m， 由勾股定理得，， ∴B，D之间的距离为10m； （2）由条件可知： BC2＝242＝576，CD2＝262＝676，BD2＝102＝100， ∴CD2＝BC2+BD2， ∴△BCD是直角三角形， ∴BD⊥BC， ∴， 所以四边形ABCD的面积为144m2． 8．【解答】解：由题意可知：∠ABE＝∠DBE＝90°， 在Rt△DBE中，DE＝150米，BE＝120米， 由勾股定理得：BD90（米）， ∴AB＝AD﹣BD＝250﹣90＝160（米）， ∴AE200（米）， ∴小华和小丽分别从公交站牌E走到A处和面馆D处，两人的总路程为：200+150＝350（米）； （2）∵DE2+AE2＝1502+2002＝62500，AD2＝2502＝62500， ∴DE2+AE2＝AD2， ∴∠AED＝90°， ∴面馆D到公路AC的距离为150米． 9．【解答】解：（1）根据题意得AC＝8dm，BC＝6dm，∠ACB＝90°， ∴AB10（dm）， ∴AB+AC＝10+8＝18（dm）， 答：绳子的总长度为18dm； （2）如图， 根据题意得∠ADB＝90°，AD＝8dm，CD＝7dm，AB＝（10+7）dm， ∴15（dm）， ∴BE＝BD﹣DE＝15﹣6＝9（dm）， 答：滑块B向左滑动的距离为9dm． 10．【解答】（1）证明：S小正方形＝（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2， S小正方形＝c2﹣4ab＝c2﹣2ab， 即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab， ∴a2+b2＝c2； （2）解：∵AB+BC＝80÷4＝20， 设AH＝BC＝x，则AB＝20﹣x，OH＝OB＝5， 在Rt△AOB中，由勾股定理得： OH2+OG2＝GH2， 即52+（5+x）2＝（20﹣x）2， 解得：x＝7， ∴S5×12×4＝120． 11．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC25（米）， （2）∵152+202＝625，252＝625， ∴CD2+AD2＝AC2， ∴△ACD为直角三角形，∠D＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACDAB•BCAD•CD24×720×15＝234（米2）， ∴购买运动型塑胶地板的费用为：234×200＝46800（元）， 答：购买运动型塑胶地板的费用需要46800元． 12．【解答】解：（1）CH是村庄C到河边最近的路；理由如下： ∵CH2+BH2＝2.42+1.82＝9，BC2＝32＝9， ∴CH2+BH2＝BC2， ∴△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°， ∴CH⊥AB， ∵垂线段最短， ∴CH是村庄C到河边最近的路； （2）∵∠CHB＝90°， ∴∠CHA＝90°， ∴AC2＝AH2+CH2， ∵AB＝AC， ∴AH＝AB﹣HB＝AC﹣1.8， ∴AC2＝（AC﹣1.8）2+2.42， 解得：AC＝2.5， 答：原来的路线AC的长为2.5km． 13．【解答】解：（1）由题意知：∠ABC＝90°，BC＝AB＝7.5m， ∴ACAB＝7.5（m）， ∵AE＝15.5m， ∴BE＝AE﹣AB＝8m， 由题意可知：四边形BEDF是矩形， ∴DF＝BE＝8m， 由题意知：DE＝BF＝1.5m， ∴CF＝BC﹣BF＝6m， ∴CD10（m）， ∴AC+CD＝（7.510）m， ∴从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长为（7.510）m； （2）由（1）知DF＝BE＝12m，DE＝BF＝1.5m， ∴CF＝BC﹣BF＝（AB﹣1.5）m， ∵CD比BC长6.5m， ∴CD＝BC+6.5＝（AB+6.5）m， ∵CF2+DF2＝CD2， ∴（AB﹣1.5）2+122＝（AB+6.5）2， ∴AB＝1.5m， ∴桥面的宽AB1.5m． 14．【解答】（1）证明：∵∠BAD＝90°，AD＝3m，AB＝4m， ∴BD5（m）， ∵BC＝13m，CD＝12m， ∴BD2+CD2＝52+122＝169，BC2＝132＝169， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠BDC＝90°； （2）解：四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积 AD•ABBD•CD 3×45×12 ＝6+30 ＝36． 15．【解答】解：（1）施工人员测量的是AC的距离．依据：若AC＝15m，则∠ABC＝90°． 在△ABC中，AB2+BC2＝92+122＝225，AC2＝152＝225， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°． （2）在△ADC中，AD2+AC2＝82+152＝289，DC2＝172＝289， ∴△ADC为直角三角形，且∠DAC＝90°． ∴， ∴114×110＝12540（元）． 答：该学校建成这块塑胶场地需花费12540元． 16．【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形． ∴∠ACB＝90°； （2）海港C不受台风的影响，理由如下： 如图，过点C作CD⊥AB于点D． ∴， 即300×400＝500CD． 解得：CD＝240， ∵240km＞200km． ∴海港C不受台风的影响． 学科网（北京）股份有限公司 $$