第3章 第3节 万有引力定律的应用-【金版教程】2024-2025学年高中物理必修第二册创新导学案课件PPT（粤教版2019）

第三章　万有引力定律 第三节　万有引力定律的应用 1．进一步理解万有引力定律，知道万有引力与地球上物体的重力的关系． 2．了解万有引力定律在预测未知天体中的作用． 3．会用万有引力定律计算天体的质量和密度． 4．掌握天体的线速度、角速度、周期及向心加速度与轨道半径的关系． 5．掌握双星系统的运动特点及其问题的分析方法． 2 目录 1 2 3 课前自主学习 课后课时作业 课堂探究评价 课前自主学习 一　预测地球的形状 1．牛顿通过万有引力定律的理论计算，大胆预测：地球由于自转作用，赤道部分应该隆起，成为两极扁平的______体． 2．万有引力的两大作用效果：一方面是在竖直方向上与物体受到的拉力_____，另一方面是提供物体随地球一起自转的________．分力F1＝FT，即为______，分力F2＝mω2Rcosθ，是物体随地球自转所需的_______，其方向_______________． 椭球 向心力 重力 向心力 平衡 垂直指向地轴 课前自主学习 5 3．当物体从两极移向赤道时，重力______，重力加速度g ______．由于地球呈两极略扁的椭球状，物体在两极时受到的引力比在赤道时_____，从而造成物体从两极移向赤道时所受重力变_____． 二　预测未知天体 ______星的发现，以及英国天文学家______根据万有引力定律预言的哈雷彗星“按时回归”，确立了万有引力定律的地位，充分显示了科学理论对实践的巨大指导作用． 减小 减小 大 小 海王 哈雷 课前自主学习 6 三　估算天体的质量 一般求中心天体质量的两种方法： (1)知道卫星或行星绕中心天体运动的______及两者之间的______． (2)知道天体半径及其________________． 周期 距离 表面重力加速度 课前自主学习 7 1．判一判 (1)物体所受重力就是万有引力．(　　) (2)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的．(　　) (3)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道．(　　) (4)利用地球的自转周期，可计算地球的质量．(　　) 提示：(1)× (2)×　人们依据万有引力定律计算轨道发现的是海王星等，不是天王星． (3)×　计算出海王星轨道的是亚当斯和勒威耶． (4)× 课前自主学习 8 2．想一想 1969年7月20日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印(如图)，迈出了人类征服宇宙的一大步． (1)宇航员在月球上用弹簧秤测出质量为m的物体重力为F，已知月球半径为R，怎样利用这个条件估测月球的质量？ (2)宇航员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间为T，已知月球半径为R，怎样利用这个条件估测月球质量？ 课前自主学习 9 课前自主学习 10 课堂探究评价 课堂任务1　万有引力与重力的关系 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”． 课堂探究评价 12 提示：F1在竖直方向上与物体受到的拉力FT平衡，就是重力．F2是提供物体随地球一起自转的向心力，即F2＝mω2Rcosθ. 课堂探究评价 13 活动2：从两极到赤道，重力加速度如何变化？ 活动3：已知地球半径R＝6400 km，自转周期T＝24 h，计算赤道处物体绕地球自转的向心加速度a2，与重力加速度g相比，a2有什么特点？ 课堂探究评价 14 课堂探究评价 15 课堂探究评价 16 课堂探究评价 17 答案　(1)222.2 N　(2)3.375 m 课堂探究评价 18 (1)本题如何计算重力加速度？ (2)如何计算跳起的高度？ 课堂探究评价 19 课堂探究评价 课堂探究评价 课堂探究评价 22 名师点拨　解答本题的关键是要明确：地球表面的物体所受万有引力可以分解为重力和向心力．在两极，向心力为零，重力等于万有引力；在赤道，万有引力可分解为同向的重力和向心力． 课堂探究评价 23 课堂任务 2 　天体质量和密度的计算 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”． 课堂探究评价 24 活动1：为什么说卡文迪许是“第一位称量地球的人”？ 课堂探究评价 25 活动2：根据行星绕太阳的运动规律，如何计算出太阳的质量？ 课堂探究评价 26 课堂探究评价 27 (2)环绕法 借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”．常见的情况如下： 课堂探究评价 28 课堂探究评价 29 注意区分R、r、h的意义，一般情况下，R指中心天体的半径，r指行星(或卫星)的轨道半径，h指卫星距离行星表面的高度，r＝R＋h. 课堂探究评价 30 例2 土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1 μm到10 m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104 km延伸到1.4×105 km.已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h，引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(估算时不考虑环中颗粒间的相互作用) (　　) A．9.0×1016 kg B．6.4×1017 kg C．9.0×1025 kg D．6.4×1026 kg 课堂探究评价 31 (1)土星“光环”的外缘颗粒为什么能绕土星做圆周运动？ (2)用什么方法可以求解土星的质量？ 提示：这些颗粒受到土星的万有引力，万有引力提供了颗粒绕土星做圆周运动的向心力． 提示：可以把土星周围的这些颗粒当作土星的卫星，找到其轨道半径和绕土星运动的周期，利用“环绕法”来求出土星的质量． 课堂探究评价 32 课堂探究评价 利用环绕法只能求中心天体质量，而不能求环绕中心天体运行的卫星(或行星)的质量． 课堂探究评价 课堂探究评价 35 课堂探究评价 课堂任务3　天体运动中各物理量与轨道半径的关系 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”． 课堂探究评价 37 活动1：与金星、火星相比，地球绕太阳转动一周的时间是更长还是更短？ 课堂探究评价 38 活动2：如果知道地球绕太阳公转的半径和太阳的质量，可以得出地球公转的线速度吗？ 课堂探究评价 39 课堂探究评价 40 课堂探究评价 41 例3 人造地球卫星在运行中，由于受到稀薄大气的阻力作用，其运动轨道半径会逐渐减小，在此进程中，以下说法中正确的是(　　) A．卫星的速率将变小 B．卫星的周期将增大 C．卫星的向心加速度将增大 D．卫星的角速度将变小 课堂探究评价 42 (1)卫星绕地球的运动可近似看成什么运动？ (2)请写出题中各量与卫星所受万有引力的关系式． 提示：匀速圆周运动． 课堂探究评价 43 课堂探究评价 环绕同一中心天体运动的行星(或卫星)的线速度v、角速度ω、周期T、加速度a均由中心天体的质量及行星(或卫星)的轨道半径r确定．中心天体质量给定时，已知v、ω、T、a、r中的一个，即可求解出其他四个量． 名师点拨　由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化，因半径变化缓慢，故卫星每一周的运动仍可以看成是匀速圆周运动． 课堂探究评价 45 课堂探究评价 46 课堂探究评价 47 课堂任务4　双星及多星问题 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”． 课堂探究评价 48 活动1：如图甲所示，两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的某一点做圆周运动，这样的两颗星体组成的系统称为双星系统．两颗星体做圆周运动的向心力由什么力提供？有什么特点？ 提示：两颗星体的万有引力提供彼此的向心力，所以两颗星体的向心力大小是相等的． 活动2：两颗星体的角速度、周期大小相同吗？ 提示：两颗星体总是在它们连线的两个端点，相同时间转过的角度相同，其角速度、周期大小相同． 课堂探究评价 49 课堂探究评价 50 2．多星系统 在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中： (1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同． (2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的． 课堂探究评价 51 课堂探究评价 52 (1)双星靠什么提供它们转动的向心力？ (2)双星转动时的角速度有什么特点？ 提示：各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供． 提示：两颗星体的角速度相同． 课堂探究评价 53 课堂探究评价 课堂探究评价 55 课堂探究评价 56 课后课时作业 1．(重力与纬度的关系)(多选)如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　) A．P、Q受地球引力大小相等 B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等 C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等 D．P、Q两质点的重力大小相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 3．(天体运动各参量的比较)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么(　　) A．地球公转的周期大于火星公转的周期 B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度 C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度 D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 4．(天体质量的计算)(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量．假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量．这两个物理量可以是(　　) A．卫星的速度和角速度 B．卫星的质量和轨道半径 C．卫星的质量和角速度 D．卫星的运行周期和轨道半径 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 5．(天体运动各参量的比较)如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带，假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是(　　) A．太阳对各小行星的引力相同 B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C．小行星带内侧小行星的向心加速度大于外侧小行星的向心加速度 D．小行星带内侧各小行星圆周运动的线速度大于地球公转的线速度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 9．(重力与纬度的关系、天体密度的计算)太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间是T，在行星的赤道处用弹簧秤测量物体重力的读数比在两极时测量的读数小10%，已知引力常量为G，求此行星的平均密度． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 10．(综合)若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响) (1)月球表面的自由落体加速度大小g月； (2)月球的质量M； (3)月球的密度． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 11．(天体密度的计算)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　) A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3 C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 13．(综合)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示．科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞．这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖．若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M， 可以推测出该黑洞质量约为(　　) A．4×104M B．4×106M C．4×108M D．4×1010M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 R 提示：(1)设月球质量为M，则F＝Geq \f(Mm,R2)，故M＝eq \f(FR2,Gm). (2)设月球质量为M，宇航员与指令舱总质量为m′，由万有引力提供向心力，得Geq \f(Mm′,R2)＝m′eq \f(4π2,T2)R，则得M＝eq \f(4π2R3,GT2). 活动1：在纬度θ处相对于地球静止地悬挂着一个质量为m的物体，它受到地球的引力大小F＝Geq \f(Mm,R2)，方向沿地球半径指向球心，如图所示．根据作用效果对F分解如图，F1、F2有什么作用效果？ 提示：根据力的分解知，从两极到赤道，F1减小，则重力加速度g＝eq \f(F1,m)减小． 提示：赤道处物体随地球自转的向心加速度a2＝eq \f(F2,m)＝ω2R＝eq \f(4π2,T2)R＝0.034 m/s2.由此可知a2≪g. 1．万有引力和重力的关系 地球对物体的万有引力F＝Geq \f(Mm,R2)可分解为F1、F2两个分力，其中F1就是物体的重力mg，F2为物体随地球自转做圆周运动的向心力，所以重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg≤Geq \f(Mm,R2)，重力的方向可能偏离地心． 2．重力与纬度的关系 地面上物体的重力随纬度的升高而变大． 在南北两极和赤道上重力和引力的方向是一致的．在地球两极处重力就是引力，在赤道上，重力和引力不等，但在一条直线上． (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上，F引＝F向＋mg，即Geq \f(Mm,R2)＝mω2r＋mg，所以mg＝Geq \f(Mm,R2)－mω2r.地球上任何一点自转的角速度都相等，同一物体赤道上的转动半径最大，需要的向心力最大，故物体在赤道上的重力是最小的． (2)两极处：因为向心力为零，所以mg＝F＝Geq \f(Mm,R2)，故物体在两极处的重力是最大的． 3．重力与高度的关系 由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg＝Geq \f(Mm,R2).若距离地面的高度为h，则mg′＝Geq \f(Mm,（R＋h）2)(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)，可得g′＝eq \f(GM,（R＋h）2)＝eq \f(R2,（R＋h）2)g，所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小． 例1 火星半径是地球半径的eq \f(1,2)，火星质量大约是地球质量的eq \f(1,9)，那么地球表面上质量为50 kg的宇航员(地球表面的重力加速度g取10 m/s2)， (1)在火星表面上受到的重力是多少？ (2)若宇航员在地球表面能跳1.5 m高，那他在火星表面能跳多高？ 提示：根据mg＝Geq \f(Mm,R2)计算． 提示：根据H＝2,0)eq \f(v,2g) 计算． 规范解答　(1)在地球表面有mg＝Geq \f(Mm,R2) 在火星表面上有mg′＝Geq \f(M′m,R′2) 联立并代入数据解得g′＝eq \f(40,9) m/s2 则宇航员在火星表面上受到的重力 G′＝mg′＝50×eq \f(40,9) N≈222.2 N. (2)在地球表面宇航员跳起的高度H＝2,0)eq \f(v,2g) 在火星表面宇航员能够跳起的高度h＝2,0)eq \f(v,2g′) 联立并代入数据解得h＝eq \f(g,g′)H＝eq \f(10,\f(40,9))×1.5 m＝3.375 m. [变式训练1]　某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M.科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍．已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为(　　) A．eq \r(\f(GM,10R3)) B．eq \r(\f(GM,11R3)) C．eq \r(\f(1.1GM,R3)) D．eq \r(\f(GM,R3)) 解析　由万有引力定律得物体在“两极”处有Geq \f(Mm,R2)＝1.1mg，在赤道处有Geq \f(Mm,R2)－mg＝mω2R，联立以上两式解得，该行星自转的角速度为ω＝eq \r(\f(GM,11R3))，B正确，A、C、D错误． 提示：卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值．若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力．由mg＝Geq \f(M地m,R2)得：M地＝eq \f(gR2,G)，知道了引力常量G、代入数据(地球表面重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6400 km)，就可以算出地球的质量M地＝6.0×1024 kg. 提示：如果知道行星绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，可以利用太阳对行星的万有引力提供行星需要的向心力来求太阳质量．由Geq \f(M太m行,r2)＝m行eq \f(4π2,T2)r，得M太＝eq \f(4π2r3,GT2). 1．天体质量的计算 (1)重力加速度法 若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的万有引力，得mg＝Geq \f(Mm,R2)，解得天体的质量为M＝eq \f(gR2,G)，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”． 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r) M＝eq \f(rv2,G) r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)绕中心天体运动的线速度、角速度和周期 Geq \f(Mm,r2)＝mω2r M＝eq \f(ω2r3,G) Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r M＝eq \f(4π2r3,GT2) 2.天体密度的计算 方法一：若天体的半径为R，由“重力加速度法”可知天体的质量为M＝eq \f(gR2,G)，那么由ρ＝eq \f(M,V)及V＝eq \f(4,3)πR3求得天体的密度ρ＝eq \f(3g,4πRG). 方法二：若中心天体的半径为R，由“环绕法”可知中心天体的质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)(r、T为环绕天体的轨道半径和公转周期)，那么由ρ＝eq \f(M,V)及V＝eq \f(4,3)πR3求得中心天体的密度ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3).当行星(或卫星)环绕中心天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R， 则ρ＝eq \f(3π,GT2).ρ＝eq \f(3π,GT2)给出了一种简单地求中心天体密度的方法，但是要注意这里的T是环绕中心天体表面运动时对应的周期，而不是在其他轨道上运动时的周期． 规范解答　土星“光环”的外缘颗粒绕土星做圆周运动，根据万有引力提供向心力：Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，解得M＝eq \f(4π2r3,GT2).其中r为外缘颗粒的轨道半径，大小为1.4×105 km，T为外缘颗粒绕土星运动的周期，约为14 h，代入数据得：M≈6.4×1026 kg，D正确． [变式训练2]　(多选)2011年7月在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星，某同学想根据平时收集的部分火星资料(如图所示)计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较．下列计算火星密度的式子中正确的是(引力常量G已知，忽略火星自转的影响)(　　) A．ρ＝eq \f(3g0,2πGd) B．ρ＝eq \f(g0T2,3πd) C．ρ＝eq \f(3π,GT2) D．ρ＝eq \f(6M,πd3) 规范解答　由ρ＝eq \f(M,V)，V＝eq \f(4,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))eq \s\up12(3)，得ρ＝eq \f(6M,πd3)，D正确；由Geq \f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))\s\up12(2))＝mg0，ρ＝eq \f(M,V)，V＝eq \f(4,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))eq \s\up12(3)，联立解得ρ＝eq \f(3g0,2πGd)，A正确；根据万有引力定律得Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，可得火星质量M＝eq \f(4π2R3,GT2)，又火星的体积V＝eq \f(4,3)πR3，故火星的平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3π,GT2)，C正确． 提示：无论地球、金星还是火星，它们绕太阳的运动都是万有引力提供向心力：Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)r.由此可得出T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，即r越大，T越大．故地球绕太阳转动一周的时间比金星长，比火星短． 提示：可以．利用万有引力提供向心力，即Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，可得出v＝eq \r(\f(GM,r)). 1．天体运动的分析与计算 (1)基本思路：行星绕太阳的运动和卫星绕地球的运动一般情况可看作匀速圆周运动，所需向心力由太阳或地球这样的中心天体对它的万有引力提供，即F引＝F向． (2)常用关系：①Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r. ②忽略自转时，Geq \f(Mm,R2)＝mg(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：GM＝gR2，该公式通常被称为“黄金代换式”，即当GM不知道时，可以用gR2来代换GM. 2．天体运动中的各物理量与轨道半径的关系 设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动． (1)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))，r越大，v越小． (2)由Geq \f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，r越大，ω越小． (3)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)r得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，r越大，T越大． (4)由Geq \f(Mm,r2)＝ma得a＝eq \f(GM,r2)，r越大，a越小． 以上结论可总结为：“一定四定(即：r定了，v、ω、T、a都定了)，越远越慢(即：r越大，v、ω、a越小，T越大)”． 提示：F＝Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(v2,r)＝mreq \f(4π2,T2)＝mrω2. 规范解答　当卫星的轨道半径逐渐变小时，在较长时间内卫星仍可看作做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有F＝Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(v2,r)＝mreq \f(4π2,T2)＝mrω2，解得v＝eq \r(\f(GM,r))、T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))、a＝eq \f(GM,r2)、ω＝eq \r(\f(GM,r3)).由此可知，当卫星的轨道半径逐渐变小时，卫星的速率将变大，周期将减小，向心加速度将增大，角速度将增大，故A、B、D错误，C正确． [变式训练3]　(多选)土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是(　　) A．若v2∝R，则外层的环是土星的卫星群 B．若v∝R，则外层的环是土星的一部分 C．若v∝eq \f(1,R)，则外层的环是土星的一部分 D．若v2∝eq \f(1,R)，则外层的环是土星的卫星群 解析　若外层的环为土星的一部分，则它们各层转动的角速度ω相等，由v＝ωR知v∝R，B正确，C错误；若外层的环是土星的卫星群，则由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，得v2∝eq \f(1,R)，故A错误，D正确． 1．双星系统的特点 (1)两颗星体各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供(如图)，即Geq \f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2. (2)两颗星体的运动周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2. (3)两颗星体的轨道半径与它们之间距离的关系为：r1＋r2＝L. 例4 (多选)有科学家认为，木星并非围绕太阳运转，而是围绕着木星和太阳之间的某个公转点进行公转，因此可以认为木星并非太阳的行星，它们更像是太阳系中的“双星系统”．假设太阳的质量为m1，木星的质量为m2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　) A．太阳的轨道半径为R＝eq \f(m1,m1＋m2)L B．木星的轨道半径为r＝eq \f(m2,m1)L C．这个“双星系统”运行的周期为T＝2πLeq \r(\f(L,G（m1＋m2）)) D．若认为木星绕太阳中心做圆周运动，则木星的运行周期为T＝2πLeq \r(\f(L,Gm1)) 规范解答　双星角速度相等，运动周期相同，根据万有引力提供向心力，对太阳有eq \f(Gm1m2,L2)＝m1eq \f(4π2,T2)R，对木星有eq \f(Gm1m2,L2)＝m2eq \f(4π2,T2)r，其中L＝R＋r，联立解得R＝eq \f(m2,m1＋m2)L，r＝eq \f(m1,m1＋m2)L，T＝2πLeq \r(\f(L,G（m1＋m2）))，故A、B错误，C正确；若认为木星绕太阳中心做圆周运动，由万有引力提供向心力，有eq \f(Gm1m2,L2)＝m2eq \f(4π2,T2)L，解得T＝2πLeq \r(\f(L,Gm1))，故D正确． [变式训练4]　某双星系统由两颗质量近似相等的恒星组成，科学家发现，该双星系统周期的理论计算值是实际观测周期的k倍(k>1)．科学家推测该现象是由两恒星连线中点的一个黑洞造成的，则该黑洞的质量与该双星系统中一颗恒星质量的比值为(　　) A．eq \f(k2－1,4) B．eq \f(k＋1,2) C．eq \f(k2－1,8) D．eq \f(2k2－1,4) 解析　设两恒星的质量均为m，两恒星之间的距离为l，根据万有引力提供向心力，则有eq \f(Gm2,l2)＝m2,理论)eq \f(4π2,T) ·eq \f(l,2)，解得T理论＝πleq \r(\f(2l,Gm))，设黑洞的质量为m′，同理有eq \f(Gm2,l2)＋eq \f(Gmm′,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))\s\up12(2))＝m2,观测)eq \f(4π2,T) ·eq \f(l,2)，解得T观测＝πleq \r(\f(2l,G（m＋4m′）))，又因为T理论＝kT观测，联立解得eq \f(m′,m)＝eq \f(k2－1,4)，故A正确，B、C、D错误． 解析　P、Q两质点所受地球引力都是F＝Geq \f(Mm,r2)，故A正确；P、Q都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道半径大于Q的轨道半径，根据F＝mω2r可知P做圆周运动的向心力大，故B错误，C正确；物体的重力为万有引力的一个分力，在赤道处最小，随着纬度的增加而增大，在两极处最大，故D错误． 2．(重力加速度与高度的关系)地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为eq \f(g,2)，则该处距地球表面的高度为(　　) A．(eq \r(2)－1)R B．R C．eq \r(2)R D．2R 解析　万有引力近似等于重力，设地球的质量为M，物体质量为m，该处距地球表面的高度为h，分别列式Geq \f(Mm,R2)＝mg，Geq \f(Mm,（R＋h）2)＝m·eq \f(g,2)，联立得2R2＝(R＋h)2，解得h＝(eq \r(2)－1)R，A正确． 解析　根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)r＝meq \f(v2,r)＝ma＝mω2r得：公转周期T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，公转线速度v＝eq \r(\f(GM,r))，公转加速度a＝eq \f(GM,r2)，公转角速度ω＝eq \r(\f(GM,r3))，分析可得A、B、C错误，D正确． 解析　设冥王星的质量为M，根据线速度和角速度可以求出半径r＝eq \f(v,ω)，根据万有引力提供向心力，则有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，整理可得M＝eq \f(v3,Gω)，故A正确；由于卫星的质量m对圆周运动无影响，故B、C错误；若知道卫星的运行周期和轨道半径，则Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)r，整理得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，故D正确． 解析　根据万有引力定律F＝Geq \f(Mm,r2)可知，由于各小行星的质量和到太阳的距离不同，万有引力不同，A错误；由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，因为各小行星的轨道半径r大于地球的轨道半径，所以它们的运动周期均大于地球的公转周期，B错误；向心加速度a＝eq \f(F,m)＝eq \f(GM,r2)，内侧小行星到太阳的距离小，向心加速度大，C正确；由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得线速度v＝eq \r(\f(GM,r))，小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，线速度小于地球绕太阳公转的线速度，D错误． 6．(天体质量的计算)“嫦娥五号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥五号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图所示．已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为(　　) A．eq \f(l3,Gθt2) B．eq \f(l3θ,Gt2) C．eq \f(l,Gθt2) D．eq \f(l2,Gθt2) 解析　设月球的质量为M，根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥五号”的轨道半径r＝eq \f(l,θ)，根据转过的角度和时间，可得ω＝eq \f(θ,t)，由于月球对“嫦娥五号”的万有引力提供“嫦娥五号”做圆周运动的向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝mω2r，由以上三式可得M＝eq \f(l3,Gθt2)，故选A. 7．(天体运动各参量的关系)我国计划发射“人造月亮”，届时天空中将会同时出现月亮和“人造月亮”．月亮A和“人造月亮”B绕地球(球心为O)的运动均可视为匀速圆周运动，如图所示，设∠BAO＝θ，运动过程中θ的最大正弦值为p，月亮绕地球运动的线速度和周期分别为v1和T1，“人造月亮”绕地球运动的线速度和周期分别为v2和T2，则(　　) A．eq \f(v1,v2)＝eq \r(p)，eq \f(T1,T2)＝eq \f(1,\r(p3)) B．eq \f(v1,v2)＝eq \r(p)，eq \f(T1,T2)＝eq \r(p3) C．eq \f(v1,v2)＝eq \f(1,\r(p))，eq \f(T1,T2)＝eq \f(1,\r(p3)) D．eq \f(v1,v2)＝eq \f(1,\r(p))，eq \f(T1,T2)＝eq \r(p3) 解析　设月亮和“人造月亮”绕地球运动的轨道半径分别为r1和r2，由题图知，当A、B的连线与“人造月亮”的轨道圆相切时，θ最大，有最大正弦值为p，根据几何关系可得sinθ＝eq \f(r2,r1)＝p.根据万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得v1＝eq \r(\f(GM,r1))，v2＝eq \r(\f(GM,r2))，由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，解得T1＝3,1)eq \r(\f(4π2r,GM)) ，T2＝3,2)eq \r(\f(4π2r,GM)) ，所以eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(r2,r1))＝eq \r(p)，eq \f(T1,T2)＝3,1)eq \r(\f(r,req \o\al(3,2))) ＝eq \f(1,\r(p3))，故A正确，B、C、D错误． 8．(双星问题)科学家通过射电信号首次探测到奇特的时空涟漪，其被称为引力波，形成原因是来自中子星的双星系统．引力波的产生意味着中子星的双星系统能量在降低，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若该双星系统的总质量为m，经过一段时间演化后，两星做匀速圆周运动的周期变为原来的p倍．两星之间的距离变为原来的q倍，则演化后系统的总质量为(　　) A．eq \f(q,p)m B．eq \f(q,\r(p3))m C．eq \f(q3,p2)m D．eq \r(\f(q,p))m 解析　设m1的轨道半径为R1，m2的轨道半径为R2，两星之间的距离为L.由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时万有引力和周期都相同．由万有引力提供向心力，对m1有Geq \f(m1m2,L2)＝m1eq \f(4π2,T2)R1，对m2有Geq \f(m1m2,L2)＝m2eq \f(4π2,T2)R2，又因为R1＋R2＝L，m1＋m2＝m，联立以上各式可得m＝eq \f(4π2L3,GT2)，经过一段时间演化后，两星做圆周运动的周期变为原来的p倍，两星之间的距离变为原来的q倍，故m′＝eq \f(4π2q3L3,Gp2T2)，解得m′＝eq \f(q3,p2)m，故选C. 答案　eq \f(30π,GT2) 解析　设行星的质量为M，半径为R，平均密度为ρ，物体的质量为m， 物体在赤道上的重力比两极小10%，表明其在赤道上随星球自转做圆周运动的向心力为F＝ΔF＝0.1F引，而一昼夜的时间T就是星球的自转周期， 根据牛顿第二定律，有0.1×eq \f(GMm,R2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)R，可得M＝eq \f(40π2R3,GT2)， 根据ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)可得星球平均密度的估算式为ρ＝eq \f(30π,GT2). 答案　(1)eq \f(2h,t2)　(2)eq \f(2hR2,Gt2)　(3)eq \f(3h,2πRGt2) 解析　(1)在月球表面附近物体做自由落体运动，则有h＝eq \f(1,2)g月t2，可得g月＝eq \f(2h,t2). (2)因不考虑月球自转的影响，则有Geq \f(Mm,R2)＝mg月， 得月球的质量M＝eq \f(2hR2,Gt2). (3)月球的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(2hR2,Gt2),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3h,2πRGt2). 解析　设脉冲星质量为M，密度为ρ，星体表面一物块质量为m，根据天体运动规律知eq \f(GMm,R2)≥meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)R，ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)，代入可得ρ≥eq \f(3π,GT2)≈5×1015 kg/m3，故C正确． 12．(三星问题)天文观测中观测到有三颗星分别位于边长为l的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动．已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是(　　) A．它们两两之间的万有引力大小为eq \f(16π4l4,9GT4) B．某颗星的质量为eq \f(3GT2,4π2l3) C．三颗星的质量可能不相等 D．它们的线速度大小均为eq \f(2\r(3)πl,T) 解析　三颗星运动的轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，由几何关系，可知r＝eq \f(\r(3),3)l.根据题意可知任意两颗星对第三颗星的引力的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力大小相等，由这两颗星到第三颗星的距离相同，知这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则F合＝2Fcos30°＝eq \f(\r(3)Gm2,l2)；星球做匀速圆周运动，所受万有引力的合力提供向心力，故F合＝meq \f(4π2,T2)r，解得m＝eq \f(4π2l3,3GT2)；它们两两之间的万有引力F＝eq \f(Gm2,l2)＝eq \f(G\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π2l3,3GT2)))\s\up12(2),l2)＝eq \f(16π4l4,9GT4)；根据v＝eq \f(2πr,T)，得线速度大小v＝eq \f(2\r(3)πl,3T)，故A正确，B、C、D错误． 解析　设中心天体的质量为M中，绕中心天体做匀速圆周运动的环绕天体的质量为m，轨道半径为r，周期为T，由万有引力提供向心力有Geq \f(M中m,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)r，解得M中＝eq \f(4π2r3,GT2).由开普勒第三定律知，绕该黑洞做匀速圆周运动的轨道半径为1000 AU的环绕天体的公转周期与S2的公转周期相同，为T＝2×(2002年－1994年)＝16年，根据M中＝eq \f(4π2r3,GT2)，则eq \f(M黑洞,M)＝eq \f(（1000 AU）3,（1 AU）3)×eq \f(（1年）2,（16年）2)≈4×106，即M黑洞≈4×106M，故选B. 14．(综合)2020年诺贝尔物理学奖授予黑洞的理论研究和天文观测的三位科学家．他们发现某明亮恒星绕银河系中心O处的黑洞做圆周运动，利用多普勒效应测得该恒星做圆周运动的速度为v，用三角视差法测得地球到银河系中心的距离为L，明亮恒星的运动轨迹对地球的最大张角为θ，如图所示．已知引力常量为G，黑洞的半径与质量的关系为Rs＝eq \f(2GM,c2)，其中c为真空中的光速．求： (1)恒星绕银河系中心黑洞运动的周期T； (2)银河系中心黑洞的质量M； (3)银河系中心黑洞的平均密度ρ. 答案　(1)eq \f(2πL,v)sineq \f(θ,2)　(2)eq \f(v2L,G)sineq \f(θ,2) (3)eq \f(3c6,16πGv4L2（1－cosθ）) 解析　(1)设恒星绕黑洞做圆周运动的半径为r，根据几何关系，有r＝Lsineq \f(θ,2)，周期T＝eq \f(2πr,v)， 代入解得T＝eq \f(2πL,v)sineq \f(θ,2). (2)由黑洞对恒星的万有引力提供向心力，设恒星的质量为m，有eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)， 将r＝Lsineq \f(θ,2)代入解得M＝eq \f(v2L,G)sineq \f(θ,2). (3)由Rs＝eq \f(2GM,c2)可知， 银河系中心黑洞的体积为 V＝eq \f(4,3)πReq \o\al(3,s)＝eq \f(32πG3M3,3c6)， 则其平均密度为 ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(32πG3M3,3c6))＝eq \f(3c6,32πG3M2) ＝eq \f(3c6,32πGv4L2sin2\f(θ,2))＝eq \f(3c6,16πGv4L2（1－cosθ）). $$