第2章 第2节 第2课时 向心力与向心加速度-【金版教程】2024-2025学年高中物理必修第二册创新导学案课件PPT（粤教版2019）

第二章　圆周运动 第二节　向心力与向心加速度 第2课时　向心力与向心加速度 1．会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能用来进行计算． 2．理解向心加速度的概念． 3．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式． 4．能够运用向心加速度公式求解有关问题． 2 目录 1 2 4 3 课前自主学习 科学思维 课堂探究评价 课后课时作业 课前自主学习 一　向心力的大小 研究表明，物体做匀速圆周运动时所受向心力的大小：F＝_________或F＝_________． 二　向心加速度 1．定义：在匀速圆周运动中，F是指向圆心的向心力，所以加速度a也一定指向_______，称为向心加速度． mω2r 圆心 课前自主学习 5 2．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向_______，故向心加速度只改变速度的_______，不改变速度的_______． 3．向心加速度公式 a＝_______或a＝________． 4．向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动． 垂直 ω2r 大小 方向 课前自主学习 6 课前自主学习 7 课前自主学习 8 课前自主学习 9 课堂探究评价 课堂任务1　匀速圆周运动的向心力及加速度 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”． 课堂探究评价 11 活动1：如图所示，若已知小球质量m，绳拉力FT，绳与竖直方向的夹角α，如何求小球做匀速圆周运动的向心力？ 提示：小球受重力mg和绳的拉力FT，其合力等于向心力，由力的合成知向心力F＝mgtanα. 课堂探究评价 12 活动2：根据牛顿第二定律，小球的加速度沿什么方向？ 提示：加速度指向圆心． 课堂探究评价 13 课堂探究评价 14 课堂探究评价 15 2．对向心加速度的理解 (1)向心加速度的方向：与向心力的方向相同，总指向圆心，方向时刻改变． (2)向心加速度的作用：向心加速度方向总是与线速度方向垂直，故向心加速度的作用只是改变速度的方向，对速度的大小无影响． (3)圆周运动的性质：圆周运动的向心加速度的方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动． 课堂探究评价 16 课堂探究评价 17 (3)向心加速度的注意要点 ①向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算，包括非匀速圆周运动，但a与v具有瞬时对应性． ②向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．向心加速度表示速度方向改变的快慢． ③无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心．非匀速圆周运动合加速度不指向圆心，但向心加速度一定指向圆心，是专门改变速度方向的． 课堂探究评价 18 课堂探究评价 19 课堂探究评价 20 例1　(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是(　　) A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直 B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小 C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心 D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心 课堂探究评价 21 (1)向心加速度的物理意义是什么？ (2)向心加速度方向________． 提示：加速度是表示速度变化快慢的物理量，向心加速度仅表示物体线速度方向变化的快慢，不表示物体线速度大小变化的快慢． 提示：始终指向圆心 课堂探究评价 22 规范解答　向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心．故A、B、D正确，C错误． 课堂探究评价 向心加速度的理解 (1)向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢． (2)向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，且方向在不断改变． 课堂探究评价 [变式训练1]　下列说法中正确的是(　　) A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢 B．向心加速度描述线速度方向变化的快慢 C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 D．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 解析：匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变线速度的方向，A错误，B正确；匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻变化，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动，故C、D错误． 课堂探究评价 25 例2　图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋．若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后 课堂探究评价 26 质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时： (1)绳子拉力的大小； (2)转盘角速度的大小． 课堂探究评价 27 (1)人和座椅做匀速圆周运动的半径是什么？ (2)什么力提供人和座椅做匀速圆周运动的向心力？ 提示：这个情景和圆锥摆模型相似，在圆锥摆的半径基础上加转盘的半径即等于人和座椅做匀速圆周运动的半径． 提示：人和座椅整体所受的重力和拉力的合力提供其做匀速圆周运动的向心力． 课堂探究评价 28 课堂探究评价 匀速圆周运动中力学问题的解题步骤 (1)明确研究对象，确定物体在哪个平面内做匀速圆周运动，明确圆心和半径r. (2)对研究对象进行受力分析，明确向心力是由什么力提供的． (3)确定v、ω、T、n等物理量中什么是已知的，选择合适的公式列式求解． (4)根据F合＝F向列方程，求解． 课堂探究评价 [变式训练2－1]　(多选)如图所示是静止在地面上的起吊重物的吊车，某次操作过程中，液压杆长度收缩，吊臂绕固定转轴O顺时针转动，吊臂上的M、N两点做圆周运动，此时M点的角速度为ω，ON＝2OM＝2L，则(　　) A．M点的速度方向垂直于液压杆 B．N点的角速度为ω C．M、N两点的线速度大小关系为vN＝4vM D．N点的向心加速度大小为2ω2L 课堂探究评价 31 解析　吊臂绕固定转轴O旋转，因此M点的速度方向垂直于吊臂，故A错误；M、N点在吊臂上绕同一固定转轴O旋转，具有相同的角速度，即ωN＝ω，故B正确；根据v＝ωr可知vN＝2vM，故C错误；根据a＝ω2r可知，N点的向心加速度大小为aN＝2ω2L，故D正确． 课堂探究评价 32 课堂探究评价 33 课堂探究评价 34 课堂探究评价 35 名师点拨　本题首先要正确进行受力分析，整体上看，“山东舰”只受重力及海水对它的作用力，其中海水对“山东舰”的作用力是指海水的浮力、海水对螺旋桨的反作用力、阻力的合力． 课堂探究评价 36 课堂任务2　变速圆周运动 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”． 课堂探究评价 37 活动1：图中小球在细线拉力的作用下在竖直面内做圆周运动，小球受哪些力？ 提示：小球受重力和细线对它的拉力． 课堂探究评价 38 活动2：什么力提供小球做圆周运动的向心力？ 提示：向心力是指向圆心的，也就是细线的方向．而重力的方向竖直向下，重力和细线对它的拉力的合力不可能沿着线的方向(如图所示)， 故不可能是整个合力提供向心力．可以把合力沿细线方向和垂 直细线方向分解，其中沿细线方向的分力提供向心力． 课堂探究评价 39 活动3：小球在竖直面内可能做匀速圆周运动吗？和圆锥摆有什么不同？ 提示：不可能做匀速圆周运动，因为合外力沿切线方向也就是速度方向有分力，它一定会改变线速度的大小．而圆锥摆的重力和拉力的合力总是沿圆周运动轨道半径指向圆心，提供向心力，所以圆锥摆做匀速圆周运动． 课堂探究评价 40 1．变速圆周运动 (1)受力特点：变速圆周运动所受的合外力F不指向圆心，产生两个方向的效果： 课堂探究评价 41 课堂探究评价 42 2．匀速圆周运动与变速圆周运动的比较 运动种类 项目 匀速圆周运动 变速圆周运动 特点 v、Fn大小不变但方向变化，ω、T、n不变 v、Fn、ω大小均变化 向心力来源 合外力 合外力沿半径方向指向圆心的分力 课堂探究评价 43 课堂探究评价 44 例3　如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直．当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是(　　) A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为c B．当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力 C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为b 课堂探究评价 45 (1)匀速圆周运动中物体受合外力有何特点？ (2)变速圆周运动中合外力如何使物块加速或减速？ 提示：合外力就是向心力，始终指向圆心． 提示：变速圆周运动中物块受到的合外力一定不会指向圆心，如果沿切向的分力与速度方向一致，则会使物块加速，相反就会使物块减速． 课堂探究评价 46 规范解答　转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支 持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩 擦力方向指向圆心O点，A正确，B错误；当转盘加速转动 时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向 心力，还有沿a方向的切向力，使线速度增大，两方向的 合力即摩擦力，方向可能为b，C错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有沿a相反方向的切向力，使线速度减小，两方向的合力即摩擦力，方向可能为d，D错误． 课堂探究评价 (1)物体做变速圆周运动时，在任何位置均是合外力沿半径指向圆心方向的分力提供向心力． (2)物体做变速圆周运动时必然有一个切向分力改变速度的大小． 课堂探究评价 [变式训练3]　如图所示，质量为1 kg的小球用细绳悬挂于O 点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2 m/s， 已知球心到悬点的距离为1 m，重力加速度g＝10 m/s2，求小球 在最低点时对绳的拉力的大小． 答案　14 N 课堂探究评价 49 课堂探究评价 50 科学思维 1．概述 第一章讲述了建立固定的直角坐标系分解曲线运动的方法，其特点是两个分运动均为直线运动，可以用直线运动的规律分析求解．除此之外还有一种较常用的分解曲线运动的方法，即不分解位移、速度，而只将力或加速度按运动的切向和径向方向进行分解． 这种分解方法常用于涉及变速圆周的向心力、速率变化问题，也可用于一般曲线运动(此时可借助曲率半径的概念和圆周运动的规律分析)．其一般步骤为： 科学思维　等效思维(分解与合成思想)——在曲线运动问题中的应用(二) 52 (1)将力分解为切向力Ft和径向力Fn； (2)在沿轨迹切线方向运用牛顿运动定律和加速度的定义分析计算，在沿垂直轨迹切线方向运用向心力公式和圆周运动规律分析计算； (3)运用矢量合成法则综合得出合运动的规律． 科学思维　等效思维(分解与合成思想)——在曲线运动问题中的应用(二) 53 2．两种分解方法的比较 (1)按运动的切向和径向方向对曲线运动进行分解，实际 是在运动轨迹的某一点建立与该点速度方向有关的直角坐标系 (即移动直角坐标系)，只能分析该点附近的短暂瞬时运动过程． 这种方法只适于某一点的瞬时值分析计算，常用于定性分析变 速圆周运动的整个过程． (2)沿固定方向建立直角坐标系对曲线运动进行分解，优点是可以用直线运动的规律定量分析求解，常用于除圆周运动之外的一般曲线运动，应用更普遍． 科学思维　等效思维(分解与合成思想)——在曲线运动问题中的应用(二) 54 科学思维　等效思维(分解与合成思想)——在曲线运动问题中的应用(二) 55 科学思维　等效思维(分解与合成思想)——在曲线运动问题中的应用(二) 56 科学思维　等效思维(分解与合成思想)——在曲线运动问题中的应用(二) 57 科学思维　等效思维(分解与合成思想)——在曲线运动问题中的应用(二) 58 方法感悟　物体做变速圆周运动时，一般按切向和径向方向进行分解分析，需要注意物体沿垂直于运动方向受力不平衡，且物体所受的合外力既不等于径向合力，也不等于切向合力． 科学思维　等效思维(分解与合成思想)——在曲线运动问题中的应用(二) 59 课后课时作业 1．(对向心力的理解)(多选)关于向心力，下列说法正确的是(　　) A．做匀速圆周运动的物体一定受到一个向心力的作用 B．向心力是指向圆心方向的力，它是根据力的作用效果命名的 C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是某个力的分力 D．向心力只能改变物体的运动方向，不能改变物体运动的快慢 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 解析　向心力是根据力的作用效果命名的，而不是一种性质力，物体之所以能做匀速圆周运动，不是因为物体受了一个向心力的作用，而是物体所受各种力的合力始终指向圆心，从而只改变速度的方向而不改变速度的大小，故A错误，B、C、D正确． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 2．(向心力的来源)如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点相对圆盘静止．关于小强的受力， 下列说法正确的是(　　) A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用 B．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P点受到的摩擦力为零 C．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力 D．如果小强随圆盘一起做变速圆周运动，那么其所受摩擦力仍指向圆心 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 解析　由于小强随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心方向，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此他会受到摩擦力作用，摩擦力充当向心力，A、B错误，C正确；当小强随圆盘一起做变速圆周运动时，合力不再指向圆心，则其所受的摩擦力不再指向圆心，D错误． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 3．(向心加速度的计算)在做甩手动作的物理原理课题研究中， 采用手机的加速度传感器测定手的向心加速度．某次一高一同学先 用刻度尺测量手臂长如图所示，然后伸直手臂，以肩为轴从水平位 置自然下摆．当手臂摆到竖直方向时，手握住的手机显示手的向心 加速度大小约为6 m/s2，由此可估算手臂摆到竖直位置时手的线速度大小约为(　　) A．0.2 m/s B．2 m/s C．20 m/s D．200 m/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 解析　物体做加速曲线运动，合外力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合外力不指向圆心，合外力沿半径方向的分力等于向心力，合外力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合外力的方向夹角为锐角，合外力与速度不垂直，B、C错误，D正确． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 6．(综合)(多选)如图甲所示，质量相等、 大小可忽略的a、b两小球用不可伸长的等长轻 质细线悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回 摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，小球a摆动时细线偏离竖直方向的最大夹角和连接小球b的细线与竖直方向的夹角都为θ，运动过程中两细线拉力大小随时间变化的关系如图乙中c、d所示．则下列说法正确的是(　　) A．图乙中直线d表示细线对小球b的拉力大小随时间变化的关系 B．图乙中曲线c表示细线对小球b的拉力大小随时间变化的关系 C．θ＝60° D．θ＝45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 解析　由于小球b在水平面内做匀速圆周运动，细线的拉力大小不变，因此直线d表示细线对小球b的拉力大小随时间变化的关系，故A正确，B错误；由图乙及平衡条件可知，对小球b，有4F0cosθ＝mg，而对小球a，因其在竖直平面内来回摆动，在最高点时有F0＝mgcosθ，两式联立可得θ＝60°，故C正确，D错误． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 8．(传动问题)如图甲，修正带通过两个齿轮的相互咬合进行工作，其原理简化为图乙所示．若齿轮匀速转动，大齿轮内部的A点以及齿轮边缘上B、C两点到各自转轴间的距离分别为rA＝R、rB＝2R、rC＝3R，则(　　) A．ωB∶ωC＝2∶3 B．vA∶vC＝1∶1 C．TA∶TC＝3∶2 D．aB∶aC＝3∶2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 9．(用实验探究向心力的大小)在“探究向心力大小的表达式”的实验中会用到向心力演示器，如图甲所示．实验时匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动，使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 (1)本实验中主要用到的研究方法为_______． A．等效法 B．控制变量法 C．留迹法 D．微元法 (2)为探究向心力大小与半径的关系，将两质量相等的钢球置于半径为2∶1的槽内，皮带连接的变速塔轮的半径之比应为_______，匀速转动手柄，标尺显示情况如图乙所示，可知此时左、右两槽内放置的钢球所受向心力之比为_______，可得出结论：_____________________________________________________． B 1∶1 2∶1 在质量与角速度一定的情况下，向心力大小与半径成正比 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 解析　(1)本实验要分别探究向心力大小与质量、角速度、半径的关系，应用到的探究方法主要为控制变量法． (2)探究向心力大小与半径的关系时， 应控制小球质量相同、角速度相同，两塔轮 通过皮带相连，则塔轮边缘的线速度相同， 由v＝ωr可知想要角速度相同，塔轮的半径需为1∶1；图乙中左侧标尺露出红格、白格各两格，而右侧标尺露出红格、白格各一格，可知本次实验左、右两钢球的向心力之比为2∶1；由题干可知两小球放置于半径也为2∶1的槽内，故可得出结论：在质量与角速度一定的情况下，向心力大小与半径成正比． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 10．(向心力的计算)如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力 加速度g＝10 m/s2.求： (1)物块做平抛运动的初速度大小v0； (2)物块与转台间的动摩擦因数μ. 答案　(1)1 m/s　(2)0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 11.(临界问题)(多选)如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2 kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力为fmax＝6.0 N，绳的一端系在木块上，另一端通过转台的中心孔O(孔光滑)悬挂一个质量m＝1.0 kg的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是(g取10 m/s2，M、m均视为质点)(　　) A．0.04 m B．0.08 m C．0.16 m D．0.32 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 12.(综合)(多选)飞机飞行时除受到发动机的推力和空气阻力外，还受到重力和机翼的升力，机翼的升力垂直于机翼所在平面向上，当飞机在空中盘旋时机翼向内侧倾斜(如图所示)，以保证重力和机翼升力的合力提供向心力．设飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动时机翼与水平面成θ角，飞行周期为T，则下列说法正确的是(　　) A．若飞行速率v不变，θ增大，则半径R减小 B．若飞行速率v不变，θ增大，则周期T减小 C．若θ不变，飞行速率v增大，则半径R变小 D．若飞行速率v增大，θ增大，则周期T一定不变 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 13．(向心加速度和向心力的计算)为提高一级方程式赛车的性能，在设计形状时要求赛车上下方空气存在一个压力差——气动压力，从而增大赛车对路面的正压力．如图所示，一辆总质量m＝500 kg的赛车以v＝216 km/h的恒定速率经过一个半径r＝180 m的水平弯道，转弯时赛车不发生侧滑，侧向附着系数(即侧向摩擦力与正压力的比值)η＝0.8，求： (1)赛车过弯道时加速度的大小； (2)赛车受到的侧向摩擦力的大小； (3)赛车受到的气动压力的大小． 答案　(1)20 m/s2　(2)1×104 N　(3)7.5×103 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课后课时作业 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 R meq \f(v2,r) eq \f(v2,r) 1．判一判 (1)根据F＝meq \f(v2,r)知向心力F与半径r成反比．(　　) (2)做匀速圆周运动的物体的加速度总指向圆心．(　　) (3)匀速圆周运动是加速度不变的运动．(　　) (4)可以用公式a＝eq \f(v2,r)求变速圆周运动中的加速度．(　　) 提示：(1)× (2)√　做匀速圆周运动的物体所受合外力总是指向圆心，根据牛顿第二定律，加速度也总指向圆心． (3)×　做匀速圆周运动的物体的加速度总是指向圆心，所以其方向不断变化． (4)×　变速圆周运动中，向心加速度a＝eq \f(v2,r)，而加速度为向心加速度a与切向加速度a′的矢量和． 2．想一想 荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千向下荡时，请思考： (1)此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？ (2)加速度指向悬挂点吗？运动过程中，公式a＝eq \f(v2,r)＝ω2r还适用吗？ 提示：(1)秋千荡下时，速度越来越大，做的是变速圆周运动． (2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，由于秋千做变速圆周运动，合力既有指向圆心的分力，又有沿切向的分力，所以合力不指向悬挂点，加速度不指向悬挂点．公式a＝eq \f(v2,r)＝ω2r仍然适用． 活动3：实验及理论研究均表明，向心力大小F＝mω2r或F＝meq \f(v2,r).做匀速圆周运动的小球的加速度称为向心加速度，试写出向心加速度的一般表达式及小球的向心加速度大小． 提示：根据F＝mω2r或F＝meq \f(v2,r)及牛顿第二定律F＝ma知，向心加速度的一般表达式为a＝ω2r或a＝eq \f(v2,r).根据F＝mgtanα及F＝ma知，小球的向心加速度a＝gtanα.a 1．向心力公式及其理解 (1)向心力的大小 F＝mω2r＝meq \f(v2,r)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)r＝m(2πn)2r＝mωv. (2)向心力公式的瞬时性 对于匀速圆周运动，向心力大小始终不变，但对非匀速圆周运动(如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动)，其向心力大小随速率v的变化而变化，公式表述的只是瞬时值． 3．向心加速度公式及其理解 (1)向心加速度的大小 a＝eq \f(v2,r)＝ω2r＝eq \f(4π2,T2)r＝4π2n2r＝ωv. (2)向心加速度与半径的关系 ①当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比，如图甲所示． ②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比，如图乙所示． 由a­r图像可以看出：向心加速度a与r是成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定． 拓展：用运动学的方法推导向心加速度的方向和大小 (1)Δv的方向：如图所示，质点做匀速圆周运动从A点运动到B点，用下图体现时间逐渐减小到趋于零时Δv与线速度的关系． 结论：Δt趋于零，Δv垂直于此时的线速度．即Δv指向圆心． (2)向心加速度的方向：由于Δv指向圆心，由加速度定义a＝eq \f(Δv,Δt)可知，加速度总是与Δv的方向一致，故向心加速度方向指向圆心． (3)向心加速度的大小：先作出做匀速圆周运动的物体的速度情况如图甲所示，再作出速度与速度改变量的关系图如图乙所示． 由于A点的速度vA方向垂直于半径r，B点的速度vB方向垂直于另一条半径r，所以∠AOB＝∠CBD，故等腰△AOB和△CBD相似，根据对应边成比例可得：eq \f(r,vA)＝eq \f(AB,Δv)，由于时间t很短，故弦长AB近似等于弧长eq \o(AB,\s\up15(︵))，而弧长eq \o(AB,\s\up15(︵))＝vA·Δt，所以eq \f(r,vA)＝eq \f(vA·Δt, Δv)，又a＝eq \f(Δv, Δt)，故a＝2,A)eq \f(v,r) .由于v＝ωr，代入a＝2,A)eq \f(v,r) 可得a＝ω2r. 答案　(1)750 N　(2)eq \f(\r(3),2) rad/s 　规范解答　(1)如图所示，对人和座椅进行受力分析，图中F为绳子的拉力．质点在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上合力为零． 故Fcos37°－mg＝0 解得F＝eq \f(mg,cos37°)＝750 N. (2)人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，有mgtan37°＝mω2R 分析可知：R＝d＋lsin37° 联立解得ω＝eq \r(\f(gtan37°,d＋lsin37°))＝eq \f(\r(3),2) rad/s. 名师点拨　(1)传动问题中比较向心加速度大小时公式的选用 ①皮带传动问题，两轮边缘线速度大小相等，常选择公式a＝eq \f(v2,r). ②同轴转动问题，各点角速度相等，常选择公式a＝ω2r. (2)求向心加速度的两种角度 ①动力学角度：a＝eq \f(F,m). ②运动学角度：a＝eq \f(v2,r)＝ω2r＝eq \f(4π2,T2)r＝4π2n2r. [变式训练2－2]　“山东舰”是我国首艘完全自主建造的航空母舰，现已正式入编．如图所示是某次进行小半径转弯训练时，在海平面上画出的圆形航迹．若将此过程看成半径为R、速率为v的匀速圆周运动，“山东舰”质量为m，重力加速度为g.则下列说法正确的是(　　) A．海水对“山东舰”的作用力方向竖直向上 B．海水对“山东舰”的作用力与重力的合力不一定指向圆心 C．海水对“山东舰”的作用力大小为meq \r(g2－\f(v4,R2)) D．海水对“山东舰”的作用力大小为meq \r(g2＋\f(v4,R2)) 　　解析　“山东舰”做匀速圆周运动，由重力和海水对“山东舰”的作用力的合力提供向心力，其受力如图所示，可知合力一定指向圆心，且海水对“山东舰”的作用力方向不是竖直向上，故A、B错误；根据向心力公式有F合＝meq \f(v2,R)，根据平行四边形定则，如图，海水对“山东舰”的作用力F＝2,合)eq \r(（mg）2＋F) ＝meq \r(g2＋\f(v4,R2))，故C错误，D正确． (2)变速圆周运动中某一点的向心力仍可用Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r等公式求解，这时v、ω都是指物体运动到该点的瞬时速度． 说明：为了区分径向分力(加速度)和切向分力(加速度)，常用下标“n”和“t”标注，因此常用an表示径向加速度(即向心加速度)，用at表示切向加速度． 周期性 有 不一定有 条件 合外力的大小不变，方向始终与线速度方向垂直 合外力方向与线速度 方向不垂直 性质 均是非匀变速曲线运动 公式 Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r都适用 解析　小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg和绳的拉力FT的合力提供，如图所示． 即FT－mg＝meq \f(v2,r)， 所以FT＝mg＋meq \f(v2,r)＝14 N， 小球对绳的拉力与绳对小球的拉力是一对作用力和反作用力，所以小球在最低点时对绳的拉力大小为14 N. 例1　一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图甲所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径，此时做曲线运动的物体所受合力沿曲率半径方向的分量提供向心力．现将一物体沿水平方向以速度v0抛出，经过时间t＝eq \f(v0,g)到达P点，如图乙所示，则在P处的曲率半径是(　　) A．2,0)eq \f(v,g) B．2,0)eq \f(2\r(2)v,g) C．2,0)eq \f(\r(2)v,g) D．2,0)eq \f(2v,g) 规范解答　物体抛出后做平抛运动，竖直方向有：vy＝gt＝g·eq \f(v0,g)＝v0，则P点的速度vP＝2,0)eq \r(v＋veq \o\al(2,y)) ＝eq \r(2)v0，此时速度方向与竖直方向的夹角θ＝45°，在P点，重力沿半径方向的分力提供向心力，根据向心力公式得：mgsin45°＝m2,P)eq \f(v,R) ，解得：R＝2,0)eq \f(2\r(2)v,g) ，故B正确． 例2　如图所示是荡秋千的照片，若该时刻人的速度为v，秋千绳与竖直方向的夹角为θ，每段秋千绳长均为l，重力加速度为g.下列说法正确的是(　　) A．该时刻秋千对人的作用力为mgcosθ B．该时刻人所受合力为mgsinθ C．该时刻人所受合力为meq \f(v2,l) D．从最高点向最低点摆动过程秋千对人的作用力越来越大 规范解答　设该时刻秋千对人的作用力为F，沿摆绳方向分析受力有F－mgcosθ＝meq \f(v2,l)，解得F＝mgcosθ＋meq \f(v2,l)，从最高点到最低点摆动过程中，人的速度v越来越大，而θ越来越小，由此式可知秋千对人的作用力越来越大，故A错误，D正确；该时刻沿运动方向的合力为Ft＝mgsinθ，垂直于运动方向的合力为Fn＝meq \f(v2,l)，根据矢量合成法则，则该时刻人所受合力为F合＝2,t)eq \r(F＋Feq \o\al(2,n)) ＝meq \r(（gsinθ）2＋\f(v4,l2))，故B、C错误． 　解析　手握住手机转动时，由图可读出该同学手臂长度即手机转动半径r＝65.0 cm＝0.650 m，根据向心加速度a＝eq \f(v2,r)，代入数据得此时手的线速度v＝eq \r(ar)＝eq \r(6×0.650) m/s≈2 m/s，B正确． 　4．(向心力的计算)如图所示，半径为r的圆筒绕竖直中心轴OO′旋转，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．现要使a不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为(　　) A．eq \r(μgr) B．eq \r(μg) C．eq \r(\f(g,r)) D．eq \r(\f(g,μr)) 　解析　对物块a受力分析知f＝mg，F向＝FN＝mω2r，又由于f≤μFN，所以解这三个方程得角速度ω至少为eq \r(\f(g,μr))，D正确． 　5．(变速圆周运动)如图所示，某物体沿eq \f(1,4)光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点过程中，物体的速率逐渐增大，则(　　) A．物体的合外力为零 B．物体的合外力大小不变，方向始终指向圆心O C．物体的合外力就是向心力 D．物体的合外力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外) 7．(变速圆周运动)如图所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，物块滑到最低点时速度大小为v.若物块与球壳内壁之间的动摩擦因数为μ，则物块在最低点时，下列说法正确的是(　　) 　A．需要的向心力大小为mg＋meq \f(v2,R) B．受到的摩擦力大小为μmeq \f(v2,R) C．受到的摩擦力大小为μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(mg＋m\f(v2,R))) D．受到的合力方向竖直向上 解析　物块在最低点由竖直方向的合力Fy提供向心力，大小为Fy＝meq \f(v2,R)，A错误；而Fy＝FN－mg，则FN＝mg＋meq \f(v2,R)，所以物块受到的滑动摩擦力f＝μFN＝μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(mg＋m\f(v2,R)))，B错误，C正确；f方向水平向左，故物块受到的f与Fy的合力方向斜向左上方，D错误． 　解析　同缘传动时，边缘点的线速度相等，即vB＝vC，根据v＝ωr可知ωB∶ωC＝rC∶rB＝3∶2，故A错误；同轴转动时，角速度相等，即ωA＝ωC，由v＝ωr可得vA∶vC＝rA∶rC＝1∶3，故B错误；同轴转动时，周期相等，则TA∶TC＝1∶1，故C错误；由向心加速度an＝eq \f(v2,r)，可得aB∶aC＝rC∶rB＝3∶2，故D正确． 　解析　(1)物块做平抛运动， 在竖直方向上有H＝eq \f(1,2)gt2，① 在水平方向上有s＝v0t，② 由①②式解得v0＝1 m/s.③ (2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有 fmax＝m2,0)eq \f(v,R) ，④ fmax＝μN＝μmg，⑤ 由③④⑤式解得μ＝0.2. 　解析　当木块有远离轴心运动的趋势时，有mg＋fmax＝Mω2rmax，解得rmax＝eq \f(mg＋fmax,Mω2)＝0.32 m；当木块有靠近轴心运动的趋势时，有mg－fmax＝Mω2rmin，解得rmin＝eq \f(mg－fmax,Mω2)＝0.08 m，所以木块相对转台静止，木块到O点的距离r应满足0.08 m≤r≤0.32 m，故B、C、D正确． 解析　对飞机进行受力分析，由向心力公式得mgtanθ＝meq \f(v2,R)，解得R＝eq \f(v2,gtanθ)，若飞行速率v不变，θ增大，则半径R减小，由T＝eq \f(2πR,v)知，周期T减小，A、B正确；若θ不变，飞行速率v增大，由上述分析可知半径R变大，C错误；由T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2πv,gtanθ)知，若飞行速率v增大，θ增大，则周期T可能不变，D错误． 解析　(1)由题知赛车速率v＝216 km/h＝60 m/s，根据向心加速度公式，得 a＝eq \f(v2,r)＝eq \f(602,180) m/s2＝20 m/s2. (2)因为侧向摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律，得 f＝ma＝500×20 N＝1×104 N. (3)因为侧向摩擦力f＝ηFN＝η(mg＋F)， 所以气动压力F＝eq \f(f,η)－mg＝eq \f(1×104 N,0.8)－500×10 N＝7.5×103 N. $$