第7章 3.万有引力理论的成就-【金版教程】2024-2025学年高中物理必修第二册创新导学案word（人教版2019）

3．万有引力理论的成就 1．了解万有引力理论的重要成就，掌握计算天体质量和密度的基本思路。2.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的基本思路。 任务1　天体质量和密度的计算 1．“称量”地球的质量 原理：若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的引力，即mg＝G，解得m地＝，由于g、R、G已经测出，因此可计算出地球的质量。 微点拨：“称量”地球质量的关键是知道引力常量G的值。 2．计算天体的质量 (1)太阳质量的计算 原理：行星绕太阳做匀速圆周运动，向心力是由它们之间的万有引力提供的，由此可以依据万有引力定律和牛顿第二定律列出方程G＝m，测出行星的公转周期T和它与太阳的距离r，由此可得太阳的质量m太＝。 (2)行星质量的计算 原理：利用绕行星运转的卫星，测出卫星绕行星 运动的周期和该卫星与行星之间的距离，可以算出行星的质量。 目前，观测人造地球卫星的运动，是测量地球质量的重要方法之一。 (3)月球质量的计算：测得航天器绕月运行的轨道半径和周期，可以计算月球的质量。 思考：根据上述方法，由行星环绕恒星的运动参量能求出行星的质量吗？ 提示：上述方法中，环绕天体行星的质量会被约去，所以不能求出。 想一想 (1)假设宇航员在月球上用弹簧秤测出质量为m的物体重力为F，已知月球半径为R，怎样利用这个条件估测月球的质量？ 提示：设月球质量为M，则F＝G，故M＝。 (2)嫦娥五号绕月球表面飞行一周的时间为T，已知月球半径为R，怎样利用这个条件估测月球质量？ 提示：设月球质量为M，嫦娥五号质量为m′，由万有引力提供向心力，得G＝m′R，则得M＝。 1．天体质量的计算 方法 已知量 结果 重力加速度法 天体表面的重力加速度g和天体半径R 由G＝mg得天体质量M＝ 环绕法 环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T 由G＝m得中心天体的质量M＝ 深化思考：若已知的量不是r、T，而是r、v，请写出计算中心天体质量的表达式。 提示：若已知r、v，利用G＝m得M＝。 2．天体密度的计算 方法 已知量 结果 重力加速度法 天体表面的重力加速度g和天体半径R ρ＝＝＝ 环绕法 环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动的半径r、周期T、中心天体的半径R ρ＝＝＝ 环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动的周期T r≈R，则ρ＝ 例1　土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1 μm到10 m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104 km延伸到1.4×105 km。已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h，引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(估算时不考虑环中颗粒间的相互作用)(　　) A．9.0×1016 kg B．6.4×1017 kg C．9.0×1025 kg D．6.4×1026 kg [解析]　土星“光环”的外缘颗粒绕土星做圆周运动，根据万有引力提供向心力：G＝mr，解得M＝。其中r为外缘颗粒的轨道半径，大小为1.4×105 km，T为外缘颗粒绕土星运动的周期，约为14 h，代入数据得：M≈6.4×1026 kg，D正确。 [答案]　D 例2　(多选)某同学想根据平时收集的部分火星资料(如图所示)计算出火星的平均密度。下列计算火星密度的式子中正确的是(引力常量G已知，忽略火星自转的影响)(　　) A．ρ＝ B．ρ＝ C．ρ＝ D．ρ＝ [解析]　由ρ＝，V＝π，得ρ＝，D正确；由G＝mg0，ρ＝，V＝π，联立解得ρ＝，A正确；对于“近火”卫星，根据万有引力提供向心力得G＝m·，可得火星质量M＝，又火星的体积V＝π，故火星的平均密度ρ＝＝，C正确。 [答案]　ACD 任务2　发现未知天体　预言哈雷彗星回归 1．海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出天王星轨道外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。 2．其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。 3．哈雷彗星回归：英国天文学家哈雷通过计算发现，1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道如出一辙，他大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年，并预言了这颗彗星再次回归的时间。1759年3月这颗彗星如期通过了近日点。 4．万有引力理论的其他成就 (1)牛顿用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象，用万有引力定律和其他力学定律，推测地球呈赤道处略为隆起的扁平形状。 (2)万有引力定律可以用于分析地球表面重力加速度微小差异的原因，以及指导重力探矿。 判一判 (1)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。(　　) (2)海王星的发现确立了万有引力定律的地位。(　　) (3)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。(　　) 提示：(1)×　人们依据万有引力定律计算轨道发现的是海王星等，不是天王星。 (2)√ (3)×　计算出海王星轨道的是亚当斯和勒维耶。 任务3　天体运动中各物理量与轨道半径的关系 图片所示为太阳系行星运行轨道图，问：如果知道地球绕太阳公转的半径和太阳的质量，可以得出地球公转的线速度吗？ 提示：可以。利用万有引力提供向心力，即G＝m，可得出v＝。 1．天体运动的分析与计算 (1)基本思路：行星绕太阳的运动和卫星绕地球的运动一般情况可看作匀速圆周运动，所需向心力由太阳或地球这样的中心天体对它的万有引力提供，即F引＝F向。 (2)基本关系式：G＝ma＝m＝mω2r＝mr。 (3)辅助关系式：由G＝mg可得，GM＝gR2，该公式通常被称为“黄金代换式”，即当GM不知道时，可以用gR2来代换GM。 2．天体运动中的各物理量与轨道半径的关系 项目 推导式 关系式 结论 v与r的关系 G＝m v＝ r越大，v越小 ω与r的关系 G＝mrω2 ω＝ r越大，ω越小 T与r的关系 G＝mr T＝2π r越大，T越大 a与r的关系 G＝ma a＝ r越大，a越小 例3　(2024·北京市大兴区高一下期末)木星有4颗卫星是伽利略发现的，称为伽利略卫星，其中有两颗卫星的轨道半径之比约为1∶4。根据以上信息可知这两颗卫星的(　　) A．线速度大小之比约为2∶1 B．周期之比约为8∶1 C．向心加速度大小之比约为4∶1 D．向心力大小之比约为16∶1 [解析]　根据万有引力提供向心力有F＝＝m＝mr＝ma，解得v＝，T＝2π，a＝，两颗卫星的轨道半径之比约为1∶4，可知线速度大小之比约为2∶1，周期之比约为1∶8，向心加速度大小之比约为16∶1，因两颗卫星的质量关系不确定，不能判断两颗卫星向心力的关系，故A正确，B、C、D错误。 [答案]　A 由G＝ma＝＝mω2r＝mr，对确定的中心天体，若轨道半径r不变，则向心加速度、线速度、角速度、周期等都不会改变；若轨道半径r改变，则向心加速度、线速度、角速度、周期等都会随之改变。环绕同一中心天体运动的行星(或卫星)的线速度v、角速度ω、周期T、加速度a均由中心天体的质量及行星(或卫星)的轨道半径r确定。中心天体质量给定时，已知v、ω、T、a、r中的一个，即可求解出其他四个量。 [跟进训练]　 (2024·安徽省宿州市高一下期末)如图所示是在同一轨道平面上的三颗不同的人造地球卫星，关于各物理量的关系，下列说法正确的是(　　) A．线速度vA<vB<vC B．万有引力FA>FB>FC C．角速度ωA>ωB>ωC D．向心加速度aA<aB<aC 答案：C 解析：由万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，有F＝G＝m＝mω2r＝ma，解得v＝，ω＝，a＝，由图示可知，卫星的轨道半径rA＜rB＜rC，则三颗卫星的线速度vA＞vB＞vC，角速度ωA＞ωB＞ωC，向心加速度aA＞aB＞aC，故C正确，A、D错误；由于不知道卫星间的质量关系，无法比较卫星所受地球万有引力的大小，故B错误。 课后课时作业 知识点一　天体质量和密度的计算 1．(2024·北京市丰台区高一下期末)某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径是r，周期是T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，则地球的质量为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：设地球的质量为M，在地球表面任取一质量为m的物体，万有引力充当该物体的重力，有＝mg，解得M＝，故A、B错误；设该人造地球卫星的质量为m′，由万有引力提供人造卫星的向心力，可得＝m′r，解得M＝，故C正确，D错误。 2．(多选)已知月球半径为R，地心与月球中心之间的距离为r，月球绕地球公转周期为T1，嫦娥四号飞船绕月球表面的运行周期为T2，万有引力常量为G，由以上条件可知正确的选项是(　　) A．地球质量为 B．月球质量为 C．地球的密度为 D．月球的密度为 答案：AD 解析：设嫦娥四号飞船的质量为m，当其绕月球表面运行时，由万有引力提供向心力，有＝mR，可得月球质量M月＝，B错误；月球的密度ρ月＝＝，D正确；月球绕地球运行时，由万有引力提供向心力，有＝M月r，解得地球质量M地＝，A正确；地球的密度ρ地＝＝，C错误。 3．(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是(　　) A．卫星的线速度和角速度 B．卫星的质量和轨道半径 C．卫星的质量和角速度 D．卫星的运行周期和轨道半径 答案：AD 解析：设冥王星的质量为M，若已知卫星的线速度和角速度，根据r＝可以求出卫星的轨道半径，根据万有引力提供向心力，则有G＝m，整理可得M＝，故A正确；由于卫星的质量m对圆周运动无影响，则在知道轨道半径或角速度的情况下无法计算出冥王星的质量，故B、C错误；若知道卫星的运行周期和轨道半径，由G＝mr，整理得M＝，故D正确。 知识点二　天体运动中各物理量与轨道半径的关系 4．(2024·甘肃省武威市高一下期末)某人造地球卫星在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动。已知地球质量为M，地球半径为R，卫星质量为m，引力常量为G。则卫星在圆形轨道上运行时(　　) A．线速度大小v＝ B．线速度大小v＝ C．角速度大小ω＝ D．角速度大小ω＝ 答案：B 解析：根据万有引力提供向心力，有G＝m＝mω2(R＋h)，可得卫星在圆形轨道上运行时的线速度大小v＝，角速度大小ω＝，故选B。 5．假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么(　　) A．地球公转的周期大于火星公转的周期 B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度 C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度 D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度 答案：D 解析：根据G＝mr＝m＝ma＝mω2r得：公转周期T＝2π，公转线速度v＝，公转加速度a＝，公转角速度ω＝，分析可得A、B、C错误，D正确。 6．如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带，假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　) A．太阳对各小行星的引力相同 B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C．小行星带内侧小行星的向心加速度大于外侧小行星的向心加速度 D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度大于地球公转的线速度 答案：C 解析：根据万有引力定律可知F＝G，由于各小行星的质量、到太阳的距离以及与太阳连线的方向可能不同，所以太阳对各小行星的引力可能不同，A错误；由G＝mr，得T＝2π，因为各小行星的轨道半径均大于地球的轨道半径，所以它们的公转周期均大于地球的公转周期，即均大于一年，B错误；向心加速度an＝＝，小行星带内侧小行星到太阳的距离小于外侧的，故其向心加速度大于外侧的，C正确；由G＝m得线速度v＝，小行星带内各小行星的轨道半径均大于地球的轨道半径，则其做圆周运动的线速度均小于地球公转的线速度，D错误。 7．一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速度减小为原来的，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的(　　) A．向心加速度大小之比为4∶1 B．角速度之比为2∶1 C．周期之比为1∶4 D．轨道半径之比为1∶4 答案：D 解析：设卫星变轨前后的速度分别为v1、v2，则有v1∶v2＝2∶1，根据G＝m，可得r＝，可知变轨前后卫星的轨道半径之比为r1∶r2＝v∶v＝1∶4，D正确；根据G＝ma，可得a＝，可知变轨前后卫星的向心加速度大小之比为a1∶a2＝r∶r＝16∶1，A错误；根据G＝mω2r，可得ω＝，可知ω1∶ω2＝∶＝8∶1，B错误；根据T＝，可知T1∶T2＝ω2∶ω1＝1∶8，C错误。 8．有科学家推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息我们可能推知(　　) A．这颗行星的公转周期与地球相等 B．这颗行星的自转周期与地球相等 C．这颗行星质量等于地球的质量 D．这颗行星的密度等于地球的密度 答案：A 解析：由题意知，该行星的公转周期应与地球的公转周期相等，这样，从地球上看，它才能永远在太阳的背面，故A正确；行星的自转周期、质量和密度都只与行星本身有关，而与绕中心天体如何运行无关，B、C、D错误。 9．(多选)土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是(　　) A．若v2∝R，则外层的环是土星的卫星群 B．若v∝R，则外层的环是土星的一部分 C．若v∝，则外层的环是土星的一部分 D．若v2∝，则外层的环是土星的卫星群 答案：BD 解析：若外层的环为土星的一部分，则它们各层转动的角速度ω相等，由v＝ωR知v∝R，B正确，C错误；若外层的环是土星的卫星群，则由G＝m，得v2∝，故A错误，D正确。 10．理论表明：黑洞质量M和其半径R的关系为＝，其中c为光速，G为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知(　　) A．该黑洞的质量M＝ B．该黑洞的质量M＝ C．该黑洞的密度ρ＝ D．该黑洞的密度ρ＝ 答案：C 解析：设星体质量为m，根据星体受到黑洞的万有引力提供向心力，有＝m，可得该黑洞的质量M＝，故A、B错误；该黑洞的密度为ρ＝，V＝πR3，又根据题意知＝，联立解得ρ＝，故C正确，D错误。 11．火星探测器在火星表面着陆时，一般使用降落伞和保护罩的方式减速缓冲。“毅力号”火星探测器由于质量太大(设为m)，在抛掉降落伞时，速度还很大，为v0，无法保障探测器安全降落，此时距降落点的高度为h，“毅力号”立即启动喷气式着陆器进一步减速，当到达火星表面时，恰好减速为零。已知“毅力号”火星探测器喷气式着陆器着陆时的推力恒定，大小为F，火星的半径为R，引力常量为G，忽略火星的自转及探测器运动过程中受到稀薄气体的阻力，求： (1)火星表面的重力加速度大小g； (2)火星的质量M。 答案：(1)－　(2) 解析：(1)设探测器下降的加速度大小为a，根据牛顿第二定律有mg－F＝－ma 根据运动学规律有0－v＝－2ah 联立解得g＝－。 (2)火星表面质量为m′的物体所受火星的万有引力近似等于重力，即G＝m′g 解得M＝。 12．(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为(提示：可用开普勒第三定律求解)(　　) A．4×104M B．4×106M C．4×108M D．4×1010M 答案：B 解析：设中心天体的质量为M中，绕中心天体做匀速圆周运动的环绕天体的质量为m，轨道半径为r，周期为T，由万有引力提供向心力有G＝mr，解得M中＝。由开普勒第三定律知，绕该黑洞做匀速圆周运动的轨道半径为1000 AU的环绕天体的公转周期与S2的公转周期相同，为T＝2×(2002年－1994年)＝16年，根据M中＝，则＝×≈4×106，即M黑洞≈4×106M，故选B。 12 学科网（北京）股份有限公司 $$