第5章 专题提升1 小船渡河与关联速度问题-【金版教程】2024-2025学年高中物理必修第二册创新导学案课件PPT（人教版2019）

第五章　抛体运动 专题提升一　小船渡河与 关联速度问题 目录 1 课后课时作业 提升 2 提升 1．模型建构 将船实际的运动看成船在静水中的运动和船随水流的运动的合运动。 分速度v水：水流的速度； 分速度v船：船在静水中的速度； 合速度v合：船实际航行的速度。 提升1　小船渡河问题 提升 4 2．两种特殊渡河方式 提升 5 提升 6 提升 7 (1)渡河时间与水流速度大小无关，只要船头与河岸垂直，渡河时间即为最短。 (2)求渡河的最短航程时，要先弄清v船与v水的大小关系，不要盲目地认为最短航程一定等于河的宽度。 (3)解决小船渡河问题时，有两种方案：正交分解法(沿河岸、垂直于河岸方向分解)、矢量三角形法(常用于最值分析)。 提升 8 例2　(2023·河南省新乡市高一校考阶段练习)如图所示，甲、乙两船在同一河流中由同一地点开始渡河，河宽d＝60 m，河水流速v水＝3 m/s，两船在静水中的速率均为v船＝5 m/s，渡河时两船头与河岸的夹角均为θ，一段时间后，甲船恰好到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，求： (1)两船渡河所用时间分别为多少？ (2)AB间距离。 答案　(1)15 s　15 s　(2)90 m 提升 9 提升 10 1．对关联速度的理解 两物体由绳或杆相连，在运动过程中的实际速度通常不同。 物体的实际运动是合运动，它产生两个实际效果：一个使绳或杆有伸缩的趋势，另一个使绳或杆有转动的趋势。所以可以根据运动的合成与分解，将由绳或杆关联的两个物体的速度沿绳或杆的方向和垂直于绳或杆的方向进行分解。 通常连接两物体的绳是不可伸长的，连接两物体的杆既不可以伸长也不可以压缩，此时两物体的速度沿绳或杆方向的分速度大小相同。 提升2　关联速度问题 提升 11 2．关联速度问题的解题步骤 (1)确定合速度：牵连物端点的速度(即所连接物体的实际速度)。 (2)分解合速度：沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向分解。常见的模型如图所示： (3)沿绳或杆方向的分速度大小相等，列方程求解。例如：v＝v∥(图甲)；v∥＝v∥′(图乙、丙)。 提升 12 提升 13 提升 14 关联速度问题，关键是要弄清楚哪个速度是合速度、哪个速度是分速度，然后弄清楚哪个分速度是我们需要用来解题的。 提升 15 提升 16 提升 17 提升 18 提升 19 课后课时作业 题型一　小船渡河问题 1．(2024·河北省石家庄市高一上期末)如图所示，两岸平行的河流宽为120 m。一汽艇船从岸边的某点渡河，渡河过程中船头指向与河岸始终垂直。已知汽艇船在静水中的速度大小为4.0 m/s，水流速度v的大小恒为3.0 m/s，则汽艇船渡河的时间为(　　) A．24 s B．30 s C．40 s D．50 s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 2．下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中的箭头所示，虚线为汽艇从河岸M驶向对岸N的实际航线，图示尖端为汽艇头部，下图中可能正确的是(　　) 解析：汽艇的实际运动方向为水速和汽艇在静水中的速度的合速度方向，其中汽艇头部的指向即为汽艇在静水中的速度方向，由平行四边形定则可知，汽艇的实际运动方向在汽艇头部的指向和水速方向之间，故选A。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 4．(多选)在水流速度保持不变的河中，一条船以相对于水流恒定的速度渡河，下列说法不正确的是(　　) A．小船渡河的轨迹为曲线 B．保持船头垂直于河岸，小船渡河的时间最短 C．保持船头垂直于河岸，小船渡河的路程最短 D．船头偏向上游适当角度，小船一定可以到达河的正对岸 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 解析：船在沿河岸方向和垂直河岸方向均做匀速直线运动，则小船的合运动为匀速直线运动，即渡河的轨迹为直线，故A错误；若船头始终垂直于河岸，则在垂直于河岸方向上的速度最大，小船渡河时间最短，故B正确；若水流速度小于船在静水中的速度，船头偏向上游适当角度，合速度的方向与河岸垂直时，小船可以到达河的正对岸，小船渡河的路程最短，若水流速度大于船在静水中的速度，则合速度的方向无法垂直河岸，船头方向与合速度方向垂直时，小船渡河的路程最短，小船无法到达河的正对岸，故C、D错误。本题选说法不正确的，故选A、C、D。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 6．一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s，船在静水中的速度为v2＝5 m/s，则： (1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (3)如果其他条件不变，水流速度变为6 m/s。船过河的最短时间和最小位移是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 8．图甲为发动机活塞连杆组，图乙为连杆组的结构简图，连杆组在竖直平面内，且OA正好在竖直方向上，连杆一端连接A处活塞，另一端与曲柄上B点相连，活塞沿OA直线往复运动并带动连杆使B点绕圆心O沿顺时针方向做圆周运动，某时刻OB刚好水平，∠OAB＝θ，活塞的速率为vA，曲柄上B点的速率为vB，则此时(　　) A．vA·cosθ＝vB B．vB·cosθ＝vA C．vA＝vB D．vA·sinθ＝vB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 解析：活塞的实际运动沿竖直方向，曲柄上B点的实际运动沿虚线圆的切线方向，当OB刚好水平，曲柄上B点的速度方向刚好竖直时，将vA、vB沿连杆方向和垂直于连杆方向分解如图所示，则有v1＝vAcosθ＝vBcosθ，可得vA＝vB，故A、B、D错误，C正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 13．影视作品中的武林高手展示轻功时都是吊威亚(钢丝)的。如图所示，轨道车A通过细钢丝跨过滑轮拉着特技演员B上升，便可呈现出演员B飞檐走壁的效果。轨道车A沿水平地面以速度大小v＝5 m/s向左匀速前进，某时刻连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为37°，连接特技演员B的钢丝竖直，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则下列说法正确的是(　　) A．该时刻特技演员B有竖直向上的加速度 B．该时刻特技演员B处于失重状态 C．该时刻特技演员B的速度大小为3 m/s D．该时刻特技演员B的速度大小为6.25 m/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 解析：设连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为θ，将车速v沿钢丝方向和垂直钢丝方向分解，可知沿钢丝方向的速度与特技演员B的速度大小相等，即特技演员B的速度vB＝v平行＝vcosθ，其中车速v不变，随着轨道车向左运动，θ不断减小，则vB不断增大，即特技演员B有竖直向上的加速度，处于超重状态，故A正确，B错误；当θ＝37°时，特技演员B的速度大小为vB＝vcos37°＝4 m/s，故C、D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 R 以最短时间渡河 船头垂直河岸，即v船垂直于河岸时，渡河时间最短，最短渡河时间tmin＝eq \f(d,v船) 以最短位移渡河 情形1：v船>v水 最短的渡河位移为河的宽度d；船头应偏向河的上游，使船的合速度v合与河岸垂直，则cosθ＝eq \f(v水,v船)，t＝eq \f(d,v合)＝2,船)eq \f(d,\r(v－veq \o\al(2,水))) ＝eq \f(d,v船sinθ) 以最短位移渡河 情形2：v船<v水 船会被水冲向下游，合速度与圆弧相切时，位移最短；则cosα＝eq \f(v船,v水)，xmin＝eq \f(d,cosα)＝eq \f(v水,v船)d 例1　(2023·四川省南充市高一统考期末)一段两岸平直、河宽为L的河流，河水均匀流动的速率为v1，船在静水中的速率为v2，则(　　) A．若船头垂直河岸渡河，其渡河位移最小，为L B．若v1<v2，则船不可能垂直于河岸渡河 C．若v1<v2，则船渡河的最小位移为L D．若v1>v2，则船渡河的最短时间为eq \f(L,v1) 解析　若船头垂直河岸渡河，其渡河轨迹为指向对岸下游的直线，因此位移一定大于L，故A错误；若v1<v2，则v2可以分解为沿河上游方向大小为v1的分速度，和垂直河岸的分速度，水速和船在沿河方向的分速度相互抵消，因此船可以垂直于河岸过河，其位移最小，为L，故B错误，C正确；无论v1与v2的大小关系如何，船垂直河岸方向渡河时所用时间最短，为eq \f(L,v2)，故D错误。 解析　(1)甲、乙两船垂直于河岸方向的分速度相同，均为v1＝v船sinθ 根据合运动与分运动具有等时性可知，两船渡河的时间相等，甲船恰好到达河正对岸的A点，则有v船cosθ＝v水 两船渡河的时间均为t＝eq \f(d,v1) 联立并代入数据解得t＝15 s。 (2)乙船在沿河岸方向的分速度大小v2＝v船cosθ＋v水 AB间的距离x＝v2t 联立并代入数据解得x＝90 m。 例3　如图所示，汽车在岸上用轻绳拉船，若汽车行进速度大小为v，拉船的轻绳与水平方向夹角为eq \f(π,6)，则此时船的速度大小为(　　) A．eq \f(\r(3),3)v B．eq \f(1,2)v C．eq \f(2\r(3),3)v D．2v 解析　船的速度方向水平向左，设船的速度大小为v1，将船的速度v1分解为沿着轻绳方向的分速度vx和垂直于轻绳方向斜向下的分速度vy，如图所示，由平行四边形定则可知vx＝v1coseq \f(π,6)，其中沿着轻绳方向的分速度vx的大小等于汽车的行进速度v，解得v1＝eq \f(2\r(3),3)v，故选C。 例4　(多选)如图所示，放在墙角的均匀直杆A端在竖直墙上，B端放在水平地面，A端沿墙面向下滑动，当滑到图示位置时(α已知)，B端速度大小为v，下列说法正确的有(　　) A．A端和B端垂直杆方向的速度分量大小一定相等 B．A端和B端沿杆方向的速度分量大小一定相等 C．A端速度大小为vcosα D．A端速度大小为eq \f(v,tanα) 解析　将A端和B端的速度沿杆方向和垂直于杆的方向进行分解，如图所示，A端和B端沿杆方向的速度分量大小一定相等，垂直于杆的速度分量分别为vA′＝eq \f(v杆,tanα)、vB′＝v杆·tanα，当tanα＝1时，vA′＝vB′，其余情况两者大小不相等，故A错误，B正确；根据平行四边形定则，A端速度大小vA＝eq \f(v杆,sinα)，而v＝eq \f(v杆,cosα)，联立得vA＝eq \f(v,tanα)，故C错误，D正确。 [跟进训练]　一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)，将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时，A球与球形容器球心O等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小为v2，则(　　) A．v2＝eq \f(1,2)v1 B．v2＝2v1 C．v2＝v1 D．v2＝eq \r(3)v1 解析：根据题意，将A球的速度分解成沿杆方向与垂直于杆方向的速度，同时将B球的速度也分解成沿杆方向与垂直于杆方向的速度，如图所示，对A球有v1∥＝v1sinθ，对B球有v2∥＝v2sinθ，由于两球沿杆方向的速度相同，则有v1∥＝v2∥，联立可得v2＝v1，故C正确，A、B、D错误。 解析：船头始终与河岸垂直时，渡河时间为t＝eq \f(d,v船)＝eq \f(120 m,4 m/s)＝30 s，故选B。 3．如图所示，小船以大小为v1＝5 m/s、船头与上游河岸成θ＝60°角的速度(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d＝180 m，则下列说法中正确的是(　　) A．河中水流速度为2.5eq \r(3) m/s B．小船以最短位移渡河的时间为24eq \r(3) s C．小船渡河的最短时间为24 s D．小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是85eq \r(5) m 解析：由题意可知，小船在静水中的速度与河中水流速度的合速度垂直河岸，则河中水流速度v2＝v1cosθ＝5×eq \f(1,2) m/s＝2.5 m/s，A错误；小船以最短位移渡河时的时间t＝eq \f(d,v1sin60°)＝eq \f(180,5×\f(\r(3),2)) s＝24eq \r(3) s，B正确；当船头方向指向正对岸时渡河时间最短，则小船渡河的最短时间tmin＝eq \f(d,v1)＝eq \f(180,5) s＝36 s，C错误；小船以最短时间渡河时，到达对岸沿水流方向的位移大小x＝v2tmin＝2.5×36 m＝90 m，则合位移大小s＝eq \r(d2＋x2)＝90eq \r(5) m，D错误。 5．如图所示，一条小船位于200 m宽的河的正中A点处，从这里距下游一危险区有100eq \r(3) m，当时水流速度为4 m/s，为了使小船避开危险区到达对岸，如果小船行驶过程中船头始终与河岸垂直，则小船在静水中的速度至少是(　　) A．eq \f(4\r(3),3) m/s B．eq \f(8\r(3),3) m/s C．2 m/s D．4 m/s 解析：为了使小船避开危险区到达对岸，且船头始终与河岸垂直，小船在水中运动的最长时间为t＝eq \f(x,v水)＝eq \f(100\r(3),4) s＝25eq \r(3) s，则小船在静水中的速度至少为v静＝eq \f(\f(d,2),t)＝eq \f(100,25\r(3)) m/s＝eq \f(4\r(3),3) m/s，故选A。 答案：(1)船头朝垂直河岸方向　36 s　90eq \r(5) m (2)船头偏向上游，与河岸夹角为60°　24eq \r(3) s　180 m　(3)36 s　216 m 解析：(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时，如图甲所示。 时间t＝eq \f(d,v2)＝eq \f(180,5) s＝36 s 合速度v合＝2,1)eq \r(v＋veq \o\al(2,2)) ＝eq \f(5\r(5),2) m/s 位移为x＝v合t＝90eq \r(5) m。 (2)欲使船渡河航程最短，应使合运动的速度方向垂直河岸，船头应朝上游与河岸成某一夹角β，如图乙所示，有v2cosβ＝v1，得β＝60° 最小位移xmin＝d＝180 m 所用时间t′＝eq \f(d,v合′)＝eq \f(d,v2sinβ)＝eq \f(180,\f(5\r(3),2)) s＝24eq \r(3) s。 (3)最短渡河时间只与船在静水中的速度有关，与水流速度无关，当船头垂直于河岸渡河时时间最短，t＝eq \f(d,v2)＝36 s； 当水流速度变为v1′＝6 m/s时，v1′＞v2，则合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。如图丙所示，以v1′矢量的末端为圆心、以矢量v2的大小为半径画圆弧，从v1′矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短，设船头与上游河岸夹角为α，则cosα＝eq \f(v2,v1′)，最小位移为xmin′＝eq \f(d,cosα)＝eq \f(v1′,v2)d＝eq \f(6,5)×180 m＝216 m。 题型二　关联速度问题 7．如图所示，均质细杆的上端A靠在光滑竖直墙面上，下端B置于光滑水平面上，现细杆由与墙面夹角很小处滑落，则当细杆A端与B端的速度大小之比为eq \r(3)时，细杆与水平面间夹角θ为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：细杆A端与B端沿杆方向的分速度相等，设细杆与水平面间夹角为θ时，A端和B端的速度大小分别为vA和vB，可得vAsinθ＝vBcosθ，即tanθ＝eq \f(vB,vA)＝eq \f(1,\r(3))，解得θ＝30°，故选A。 9．如图所示，某救援队利用如下装置转运救灾物资，物资穿在竖直固定光滑杆上，若汽车速度为v1，物资运动速度为v2，定滑轮左右两侧轻绳与竖直方向夹角分别为α、β。不计滑轮质量以及绳与滑轮间的摩擦，下列关系正确的是(　　) A．v1＝v2 B．v1＝eq \f(v2cosα,sinβ) C．v1＝2v2sinαcosβ D．v1＝eq \f(v2cosβ,sinα) 解析：根据平行四边形定则，对汽车和物资的速度分别沿绳方向和垂直绳方向进行分解，如图所示，有v1sinα＝v绳，v2cosβ＝v绳，解得v1＝eq \f(v2cosβ,sinα)，故D正确。 10．火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图所示是火警设计的一种让当事人快速逃离现场的救援方案：用一根刚性轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以速度v0匀速运动，被救助的人员紧抱M端随轻杆向平台B端靠近，平台高h。当BN＝2h时，被救人员向B点运动的速率是(　　) A．v0 B．2v0 C．eq \f(\r(3),2)v0 D．eq \f(1,2)v0 解析：设BN＝2h时杆与水平面CD间的夹角为θ，由几何关系可知sinθ＝eq \f(h,BN)＝eq \f(1,2)，得θ＝30°。将杆上N端的速度分解成沿杆方向的分速度v1和垂直于杆方向的分速度v2，由几何关系可得v1＝v0cosθ＝eq \f(\r(3),2)v0，同一根杆上沿杆方向的速度大小相等，故被救人员向B点运动的速率为eq \f(\r(3),2)v0，C正确。 11．民族运动会上有一直线侧向骑射项目如图所示，运动员骑在沿直线奔跑的马上，弯弓放箭射击跑道外侧的固定目标，假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短(不考虑重力和空气阻力的影响)，则(　　) A．运动员放箭处离目标的距离为eq \f(dv2,v1) B．运动员放箭处离目标的距离为2,1)eq \f(d\r(v＋veq \o\al(2,2)),v2) C．箭射到固定目标的最短时间为2,1)eq \f(d\r(v＋veq \o\al(2,2)),veq \o\al(2,2)) D．箭射到固定目标的最短时间为2,2)eq \f(d,\r(v－veq \o\al(2,1))) 解析：要想在最短的时间内射中目标，箭应该垂直于马的运动方向射出，如图所示。箭在空中的运动时间为t＝eq \f(d,v2)，其合运动速度为v＝2,1)eq \r(v＋veq \o\al(2,2)) ，则放箭处离目标的距离为s＝vt＝2,1)eq \f(d\r(v＋veq \o\al(2,2)),v2) ，B正确，A、C、D错误。 12．如图，某河流中水流速度大小恒为v1，A处的下游C处有个漩涡，漩涡与河岸相切于B点，漩涡的半径为r，AB＝eq \f(4,3)r。为使小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中速度的最小值为(　　) A．eq \f(3,5)v1 B．eq \f(24,25)v1 C．v1 D．eq \f(5,3)v1 解析：当小船合速度方向与漩涡边缘相切且小船的速度与合速度垂直时，小船在静水中速度有最小值v2，如图所示，v2＝v1sin2θ，由几何关系得tanθ＝eq \f(r,\f(4,3)r)＝eq \f(3,4)，则sinθ＝eq \f(3,5)，cosθ＝eq \f(4,5)，联立解得v2＝eq \f(24,25)v1，故选B。 14．如图所示为一种竖直门闩的原理图，当在水平槽内向右推动下方木块A时，木块B沿竖直槽向上运动，方可启动门闩。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。现以速度v0向右推动下方木块A，则木块B向上运动的速度大小为(　　) A．eq \f(3v0,4) B．eq \f(4v0,3) C．eq \f(3v0,5) D．eq \f(5v0,3) 解析：将两木块的速度沿垂直接触面和平行接触面两个方向分解，如图所示，两木块运动过程中，垂直接触面的速度大小相等，即vA⊥＝vB⊥，且由平行四边形定则有vA⊥＝v0sin37°，vB⊥＝vBcos37°，联立解得vB＝eq \f(3v0,4)，故选A。 $$