4.1 功-【金版教程】2024-2025学年高中物理必修第二册创新导学案word（教科版2019）

1．功 1．知道功的概念，并了解功的概念的起源。2.知道功的计算公式W＝Fxcosα，并会用W＝Fxcosα进行相关计算。3.理解正功和负功的含义，会计算总功。 一　功的概念 在物理学中，人们这样规定：如果物体受到力的作用，并在力的方向上发生了位移，我们就说力对物体做了功。 二　功的计算 1．与物体位移成一定夹角的力对物体做的功，等于力的大小、位移的大小、力和位移夹角的余弦这三者的乘积。 2．功的计算公式：W＝Fxcosα，其中F、x、α分别为力的大小、位移的大小和力和位移的夹角。当力的方向与物体位移的方向一致时，W＝Fx。 3．在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。 三　功的正负 1．功是标量，没有方向，但有正负之分。由功的计算公式可知，功随α的变化可能出现以下几种情况： (1)当0≤α<90°时，cosα>0，W>0，表示力对物体做正功； (2)当α＝90°时，cosα＝0，W＝0，表示力对物体不做功； (3)当90°<α≤180°时，cosα<0，W<0，表示力对物体做负功。 2．合力的功：当物体同时受到几个力的作用时，所有这些力对物体所做的功的代数和等于这些力的合力对此物体所做的功。 判一判 (1)力F1、F2做的功分别为10 J和－15 J，则力F1比F2做功多。(　　) (2)力F1、F2做的功分别为W1＝10 J、W2＝－15 J，则W1、W2的方向相反。(　　) (3)力F1、F2做的功分别为10 J和－15 J，则力F1和F2做的总功为－5 J。(　　) 提示：(1)×　功的正负不表示做功的多少，只表示做功的力是动力还是阻力，10 J小于－15 J。 (2)×　功是标量，没有方向。 (3)√　物体所受各力对它做的总功，等于各力做功的代数和，即W＝10 J＋(－15) J＝－5 J。 探究1　功　功的计算 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 活动1：如图甲所示，工业革命早期，工程师们如何比较蒸汽机“能力”的大小？ 提示：当时，大家用“干活多少”来比较这些蒸汽机的“能力”。如竖直提升重物时，提升相同的物体，提升的高度越高，蒸汽机的“能力”越大；提升相同的高度，提升的物体越重，蒸汽机的“能力”越大。 活动2：通过综合分析，工程师们得出衡量蒸汽机“能力”大小的因素是什么？在物理学中，科学家用什么物理量来量度机器“能力”的大小？ 提示：衡量蒸汽机“能力”大小的因素是：蒸汽机对物体施加力的大小和物体在这个力的方向上移动距离的远近。 在物理学中，用机器对物体施加的力与物体在力方向上位移的乘积来量度机器的“能力”。 活动3：在物理学中，量度上述“能力”的物理量称为功。如图乙所示，根据功的概念，当力的方向与物体位移的方向一致时，力对物体所做的功如何计算？ 提示：W＝Fx。 活动4：如图丙所示，当力F的方向与物体位移x的方向成某一夹角α时，如何计算力F对物体所做的功？ 提示：当力F的方向与物体位移x的方向成某一夹角α时，可以把力F分解到平行于位移和垂直于位移这两个方向上。跟位移方向平行(一致)的分力为F0＝Fcosα，该分力所做的功F0x＝Fxcosα；垂直于位移方向的分力为Fsinα，该分力没有对物体做功。因此，图丙中恒力F对物体所做的功W，实际上就等于沿物体位移方向的分力所做的功，即W＝Fxcosα。 活动5：根据上述分析及图丁，可以通过F­x图像来计算图戊中变力做的功吗？ 提示：根据功的计算式可知，图丁灰色矩形的面积表示恒力F0做的功。图戊表示沿位移方向的力的大小随位移不断变化。对于这种情况，我们可以这样处理：如图所示，在曲线下方作阶梯形折线，则折线下方每个小矩形“面积”分别表示相应恒力做的功。当阶梯折线越分越密时，这些小矩形的总面积越趋近于曲线与两坐标轴所围成的曲边梯形的“面积”。可见，曲线与坐标轴所围成的曲边梯形的“面积”在数值上等于变力所做的功。 1．功的理解 (1)由W＝Fxcosα可知，功等于力F在位移方向上的分力Fcosα与位移x的乘积，即W＝Fcosα·x；或者说功等于力F与位移在力F方向上的分量xcosα的乘积，即W＝F·xcosα。 (2)功是一个过程量，描述了力的作用效果在空间上的积累，它总与一个具体运动过程相对应。 2．使用公式W＝Fxcosα的注意事项 W＝Fxcosα仅适用于恒力做功的计算。式中的x是力的作用点的位移，也是物体对地的位移。当力F与位移x同向时，α＝0°，W＝Fx；当力F与位移x反向时，α＝180°，W＝－Fx。 3．变力做功问题的求解方法 功的定义式W＝Fxcosα仅适用于恒力F做功的计算，变力做功时可将物体的位移无限划分为若干小段，在每个小段里变力便可看成“恒力”，每个小段里的功可由公式W＝Fxcosα计算，整个过程中变力做的功就是各小段里“恒力”做功的总和，即W总＝∑FΔxcosα。(微元法) 由上述分析结合活动5可知，当α＝0时，画出变力F与位移x的关系图像，则F­x图线与x轴所围的“面积”表示该过程中变力F做的功。(图像法) 由上述图像法可知，在力的方向不变，大小与位移呈线性关系的直线运动中，可先求该变力在这一过程中的平均值＝，再由W＝xcosα计算功。(力的平均值法) 例1如图所示，利用斜面从货车上卸货，每包货物的质量m＝20 kg，斜面倾角α＝37°，斜面的长度l＝0.5 m，货物与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，货物从斜面顶端滑到底端的过程中(取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，下列说法正确的是(　　) A．重力做功100 J B．支持力做功80 J C．摩擦力做功16 J D．合力做功44 J (1)恒力做功的公式是什么？ 提示：W＝Fxcosα。 (2)货物所受的支持力、摩擦力与运动方向有什么关系？ 提示：支持力与运动方向垂直，摩擦力与运动方向相反。 [规范解答]　重力G对货物做的功W1＝mglsin37°＝20×10×0.5×0.6 J＝60 J，A错误；支持力FN与货物运动方向始终垂直，对货物不做功，W2＝0，B错误；摩擦力Ff对货物做负功，W3＝－Ffl＝－μmgcos37°·l＝－0.2×20×10×0.8×0.5 J＝－16 J，C错误；合力做的功W＝F合l＝(mgsin37°－μmgcos37°)l＝(20×10×0.6－0.2×20×10×0.8)×0.5 J＝44 J，D正确。 [答案]　D 计算恒力做功要注意的三个问题 (1)计算功时一定要明确是哪个力对哪个物体在哪段位移过程中做的功。 (2)力F与位移x必须互相对应，即x必须是力F作用过程中的位移。 (3)某力对物体做的功只跟这个力、物体的位移以及力与位移间的夹角有关，跟物体的运动情况、物体是否还受其他力以及其他力是否做功均无关。 [变式训练1]　如图所示，n个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做的总功为(　　) A．－μMgl B．－μMgl C．－μMgl D．－μMgl 答案　C 解析　方法一：力的平均值法。以所有小方块为研究对象，小方块依次进入粗糙区域，所受摩擦力均匀增大，设小方块全部进入粗糙区域时的摩擦力大小为Ff，则Ff＝μMg，整个过程中摩擦力大小的平均值＝＝μMg，摩擦力对所有小方块做的功为W＝－·l＝－μMgl，故选C。 方法二：图像法。以所有小方块为研究对象，所受摩擦力大小随位移变化的关系如图所示，摩擦力大小的最大值Ff＝μMg，则摩擦力做的功的绝对值等于F­x图线与横轴所包围的面积大小，则W＝－μMgl，故选C。 探究2　功的正负 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 活动1：功的正负的意义是什么？ 提示：当0°≤α＜90°时，cosα为正，力F做正功，此时力F为动力。当90°＜α≤180°时，cosα为负，力F做负功，此时力F为阻力。故功的正负表示的是动力做功还是阻力做功。 活动2：图中F1和F2分别对物体做的功是多少？代数和为多大？ 提示：F1与F2的合力在水平方向上，通过作力的矢量三角形可知，F1、F2与位移的夹角分别为θ1＝53°，θ2＝37°。 力F1做的功：W1＝F1xcosθ1＝3×10×0.6 J＝18 J 力F2做的功：W2＝F2xcosθ2＝4×10×0.8 J＝32 J W1与W2的代数和：W＝W1＋W2＝18 J＋32 J＝50 J。 活动3：图中F1和F2合力为多大？合力做功是多少？ 提示：两力互相垂直，F1与F2的合力： F＝＝ N＝5 N 合力F做的功：W′＝Fx＝5×10 J＝50 J。 活动4：由活动2、3中的运算结果可得出什么结论？ 提示：求合力做的功可以先算出每个力做的功再求代数和，也可以先求出合力再计算功。 1．对正功和负功意义的认识 功是标量，没有方向，但有正、负之分。一个力对物体做负功时，我们可以说成物体克服这个力做了功(正值)。如摩擦力对滑块做了－5 J的功，可以说成滑块克服摩擦力做了5 J的功。 动力学角度 能量角度 正功 力对物体做正功，这个力是动力，对物体的运动起推动作用 力对物体做正功，向物体提供了能量，使物体的能量增加 负功 力对物体做负功，这个力是阻力，对物体的运动起阻碍作用 力对物体做负功，物体对外输出能量(以消耗自身的能量为代价)，物体自身的能量减少 2.计算总功的两种方法 (1)先由W＝Fxcosα计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3…，然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋…。 (2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合xcosα计算总功，此时α为F合的方向与x的方向间的夹角。 3．作用力和反作用力做功的特点 作用力和反作用力作用在两个不同的物体上，它们大小相等，方向相反。可能都做正功、都做负功、都不做功，也可能一个做功一个不做功。做功的大小不一定相等，因为它们分别作用于两个物体上，每个物体都可能还受其他力，其位移情况可能不同。 4．摩擦力做功的特点 摩擦力既可能做负功，也可能做正功，还可能不做功。如下表所示： 图示 做功情况 做负功 滑动摩擦力 如图甲所示，物体A在力F作用下向右运动，地面对它的滑动摩擦力做负功 静摩擦力 如图乙所示，物体A、B在力F作用下一起向右加速运动(A、B相对静止)，物体A对B的静摩擦力做负功 做正功 滑动摩擦力 如图乙所示，物体A、B在力F作用下一起向右加速运动(A、B相对滑动)，物体B对A的滑动摩擦力做正功 静摩擦力 如图乙所示，物体A、B在力F作用下一起向右加速运动(A、B相对静止)，物体B对A的静摩擦力做正功 不做功 滑动摩擦力 如图乙所示，物体B在力F作用下向右运动，物体A仍静止，物体B对A的滑动摩擦力不做功 静摩擦力 如图甲所示，物体A在力F作用下仍静止在地面上时，地面对它的静摩擦力不做功 此外，一对相互作用的静摩擦力做功的代数和为零，而一对相互作用的滑动摩擦力做功的代数和一般不为零。 例2 如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中(g取10 m/s2)，求： (1)斜面对物体的支持力所做的功； (2)斜面对物体的摩擦力所做的功； (3)物体重力所做的功； (4)合力对物体所做的功。 (1)物体与斜面不发生相对滑动，则斜面对物体的摩擦力怎么求？ 提示：通过力的平衡条件求。 (2)求合力对物体做的功有几种方法？分别是什么？ 提示：有两种方法，分别是：a.先求出合力再计算功；b.先求出各力做的功，再计算各功的代数和。 [规范解答]　 对物体受力分析如图所示。由平衡条件得 Ffcosθ－FNsinθ＝0 Ffsinθ＋FNcosθ－G＝0 代入数据得Ff＝10 N，FN＝10 N 4 s内物体竖直向上的位移为x＝vt 代入数据得x＝20 m。 (1)斜面对物体的支持力所做的功 WN＝FNxcosθ 代入数据得WN＝300 J。 (2)斜面对物体的摩擦力所做的功 Wf＝Ffxsinθ 代入数据得Wf＝100 J。 (3)物体重力所做的功 WG＝Gxcos180° 代入数据得WG＝－400 J。 (4)方法1：合力对物体做的功 W合＝WN＋Wf＋WG＝0。 方法2：由平衡条件有F合＝0 则合力对物体所做的功W合＝F合xcosα＝0。 [答案]　(1)300 J　(2)100 J　(3)－400 J　(4)0 [变式训练2]　质量为M的木板放在光滑的水平面上，一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至B点，在木板上前进了L，而木板前进了l，如图所示。若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，求摩擦力对滑块、对木板做功各为多少？这一对摩擦力做功的代数和为多大？ 答案　－μmg(l＋L)　μmgl　－μmgL 解析　滑块所受摩擦力大小Ff＝μmg，位移大小为(l＋L)，且摩擦力与位移方向相反，故摩擦力对滑块做的功W1＝－μmg(l＋L) 木板所受的摩擦力大小Ff′＝μmg，位移大小为l，且摩擦力与位移方向相同，故摩擦力对木板做的功W2＝μmgl 这一对摩擦力做功的代数和 W＝W1＋W2＝－μmgL。 [名师点拨]　(1)计算力做功时物体的位移是指相对地面的位移。 (2)物体在粗糙水平面上沿某一方向做直线运动时，路程与位移大小相等，此时摩擦力做功W＝－Fx(x指位移大小，F指摩擦力大小)。 (3)物体在粗糙水平面上沿某一直线往复运动时，路程与位移大小不同，此时摩擦力做功W＝－Fs(s指路程，F指摩擦力大小)。 课后课时作业 1．(功的理解)(多选)一个力对物体做了负功，则说明(　　) A．这个力一定阻碍物体的运动 B．这个力不一定阻碍物体的运动 C．这个力与物体运动方向的夹角α>90° D．这个力与物体运动方向的夹角α<90° 答案　AC 解析　由功的表达式W＝Fxcosα知，只有当α>90°时，cosα<0，力对物体做负功，此力一定阻碍物体的运动，故A、C正确，B、D错误。 2．(功的理解)关于功的概念，下列说法正确的是(　　) A．物体受力越大，位移越大，力对物体做功越多 B．合力做的功等于各分力做功的矢量和 C．摩擦力可以对物体做正功 D．功有正负，但正负不表示方向，而表示大小 答案　C 解析　因功的决定因素为力、位移及二者的夹角，若力大、位移大，但两者夹角为90°，则做功为0，故A错误；功是标量，有正负之分，但功的正负不表示功的大小，而表示力对物体的做功效果，合力做的功等于各分力做功的代数和，所以B、D错误；摩擦力可以做正功，也可做负功，这要看摩擦力与位移的方向关系，故C正确。 3．(是否做功的判断)一女士站立在图甲台阶式(台阶水平)自动扶梯上匀速上楼，一男士站立在图乙履带式自动人行道上匀速上楼，下列关于两人受到的力对其做功的判断正确的是(　　) A．甲图中支持力对女士不做功 B．甲图中摩擦力对女士做负功 C．乙图中支持力对男士不做功 D．乙图中摩擦力对男士做负功 答案　C 解析　题图甲中，女士匀速上楼，支持力方向竖直向上，与速度方向的夹角为锐角，则支持力做正功，女士不受摩擦力，故A、B错误；题图乙中，男士匀速上楼，支持力方向与速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力方向与速度方向相同，做正功，故C正确，D错误。 4．(功的正负)(多选)如图所示，在加速向左运动的车厢中，一人用力向前推车厢(人与车厢始终保持相对静止)，则下列说法正确的是(　　) A．人对车厢做正功 B．车厢对人做负功 C．人对车厢做负功 D．车厢对人做正功 答案　CD 解析　人与车一起加速向左运动的过程中，车厢给人的力向左，人的位移向左，车厢对人做正功；根据牛顿第三定律，人给车厢的作用力向右，车厢的位移向左，人对车厢做负功，故A、B错误，C、D正确。 5．(功的正负、总功)(多选)一物体在两个力F1、F2的共同作用下发生了一段位移，做功分别为W1＝6 J、W2＝－6 J，下列说法正确的是(　　) A．这两个力一定大小相等、方向相反 B．F1是动力，F2是阻力 C．这两个力做的总功为0 D．F1比F2做的功多 答案　BC 解析　由力F1、F2做功的正负可以确定力F1、F2与位移的夹角分别小于90°、大于90°，但这两个力不一定大小相等、方向相反，A错误；F1做正功一定是动力，F2做负功一定是阻力，其做功一样多，两个力的总功等于这两个力所做功的代数和，故总功为0，B、C正确，D错误。 6．(功的计算)如图所示，一个物体放在水平面上，在跟竖直方向成θ角的斜向下的推力F的作用下沿水平面移动了距离s。若物体的质量为m，物体与地面之间的摩擦力大小为f，则在此过程中(　　) A．摩擦力做的功为fs B．力F做的功为Fscosθ C．力F做的功为Fssinθ D．重力做的功为mgs 答案　C 解析　物体与地面之间的摩擦力大小为f，物体的位移的大小为s，且两者的夹角为180°，由功的公式可得摩擦力做的功为－fs，所以A错误。力F与竖直方向成θ角，在水平方向的分力为Fsinθ，F做的功为Fssinθ，所以B错误，C正确。重力在竖直方向上，物体在竖直方向的位移是零，所以重力做的功为零，D错误。 7．(恒力、变力做功)(多选)如图所示，质量为m的滑块(可视为质点)，从半径为R的半球面的上端A点处以初速度v0滑下，B为最低点，O为球心，A、O、C三点等高，从A到C滑动过程中滑块所受的摩擦力大小恒为Ff，则滑块(　　) A．从A到B过程，重力做功为零 B．从A到B过程，弹力做功为零 C．从A到B过程，摩擦力做功为－πRFf D．从A到C过程，摩擦力做功为－πRFf 答案　BD 解析　滑块从A到B过程，在重力的方向上有位移，重力做功不为零，A错误；弹力方向始终与位移方向垂直，弹力做功为零，B正确；滑块从A到B过程，摩擦力方向始终与速度方向相反，摩擦力做功W1＝－FfsAB＝－Ff＝－πRFf，C错误；同理，滑块从A到C过程，摩擦力做功W2＝－Ff＝－πRFf，D正确。 8．(综合)滑板运动是青少年喜爱的一项运动，玩滑板车能提高孩子的运动技能，身体协调能力，以及全身平衡能力。小明踩着滑板在水平地面上滑行，如图所示的情景中，若他的脚受到的摩擦力为Ff1，脚对滑板的摩擦力为Ff2，下列说法正确的是(　　) A．小明做加速运动，Ff1大于Ff2 B．小明做加速运动，Ff1做正功，Ff2做负功 C．小明做减速运动，Ff1做负功，Ff2做正功 D．因为Ff1、Ff2是静摩擦力，所以无论加速还是减速二者都不做功 答案　C 解析　Ff1和Ff2是一对相互作用力，二者大小相等，方向相反，故A错误；将小明与滑板视为一个系统，则系统受阻力做减速运动，则小明做减速运动，根据牛顿第二定律可知Ff1方向与运动方向相反，则做负功，根据牛顿第三定律可知Ff2方向与运动方向相同，做正功，故B错误，C正确；Ff1、Ff2是静摩擦力，并且在力的方向上发生了位移，二者都做功，故D错误。 9．(功的计算)(多选)一质量为m＝50 kg的滑雪运动员由某一高度无初速沿直线下滑，经测量可知出发点距离底端的高度差为h＝30 m，斜坡的倾角大小为θ＝30°，该运动员在下滑的过程中所受的摩擦力大小为Ff＝200 N，重力加速度为g＝10 m/s2。则(　　) A．合力对运动员所做的功为3000 J B．摩擦力对运动员所做的功为12000 J C．重力对运动员所做的功为15000 J D．支持力对运动员所做的功为15000 J 答案　AC 解析　由于滑雪运动员的高度下降了30 m，则重力对滑雪运动员所做的功为WG＝mgh＝50×10×30 J＝15000 J，则C正确；摩擦力对运动员所做的功为Wf＝－Ff·＝－200× J＝－12000 J，B错误；由于支持力的方向与运动员的运动方向始终垂直，则支持力对运动员所做的功为0，D错误；合力对运动员所做的功为W＝WG＋Wf＝15000 J－12000 J＝3000 J，A正确。 10．(变力做功的计算)如图所示，一轻质立方体被从水表面缓慢压入水中，直至其上表面没入水中，已知立方体的棱长为L，水的密度为ρ，重力加速度为g，不考虑水面高度的变化。该过程中，立方体克服水的浮力所做的功为(　　) A． B． C．ρgL2 D．ρgL4 答案　B 解析　立方体浸入的深度为x时，所受浮力的大小为F＝ρgV＝ρgL2x，浮力不恒定，与立方体进入水中的位移成正比，则F­x图像是过原点的倾斜直线。将位移L划分为极多个微小的位移Δx，在任一个位移Δxi内，浮力均可看成恒力Fi，克服浮力做的功Wi＝Fi·Δxi，在F­x图像中表现为高为Fi、宽为Δxi的矩形的面积；将功Wi累积求和，可知立方体克服水的浮力所做的功等于F­x图像与x轴所围部分的面积，则克服浮力做的功为W＝·L＝L＝，故选B。 [名师点拨]　本题的分析用到微元累积思维，必修第一册分析匀变速直线运动的位移公式时用到过这个方法，后续课程还会遇到，应熟练掌握。 11．(功的计算)如图所示，水平传送带以速度v＝6 m/s顺时针运转，两传动轮M、N之间的距离为L1＝10 m，若在M轮的正上方，将一质量为m＝3 kg的物体轻放在传送带上(取g＝10 m/s2)，已知物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.3，则在物体由M处传送到N处的过程中， (1)传送带对物体的摩擦力做了多少功？ (2)若将传送带速度调至v′＝9 m/s，求传送带对物体的摩擦力做了多少功？ (3)若物体与传送带间的动摩擦因数μ′＝0.1，求传送带对物体的摩擦力做了多少功？ 答案　(1)54 J　(2)90 J　(3)30 J 解析　(1)刚放上时，物体与传送带之间有相对滑动，物体运动的加速度为 a＝＝＝μg＝3 m/s2 当物体的速度增大到与传送带的速度相同时，摩擦力消失，滑动摩擦力的作用时间为 t＝＝2 s 在此时间内物体运动的位移 L＝at2＝6 m<10 m 所以摩擦力对物体做的功 W＝FL＝μmgL＝54 J。 (2)传送带速度调至v′＝9 m/s，加速度不会变，还是3 m/s2，物体的速度增大到与传送带的速度相同所用时间变为： t′＝＝3 s， 在此时间内物体运动的位移：L′＝at′2＝ m>10 m，由实际情况知道，真实作用距离为10 m 所以滑动摩擦力对物体做的功 W′＝FL1＝μmgL1＝90 J。 (3)若μ′＝0.1，则物体在传送带上的加速度 a′＝＝＝μ′g＝1 m/s2 假如物体速度能增大到v＝6 m/s 则位移L″＝＝18 m>L1 故物体从M到N一直加速，滑动摩擦力对物体做的功W″＝F′L1＝μ′mgL1＝30 J。 16 学科网（北京）股份有限公司 $$