4.5 机械能守恒定律-【金版教程】2024-2025学年高中物理必修第二册创新导学案课件PPT（教科版2019）

第四章　机械能及其 守恒定律 5.机械能守恒定律 1．知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化。2.能够根据动能定理、重力做功与重力势能变化的关系，推导出机械能守恒定律。3.会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒，能运用机械能守恒定律解决有关问题。 2 目录 1 2 课后课时作业 课前自主学习 课堂探究评价 3 课前自主学习 一　动能和势能的相互转化 1．机械能：动能和_______(包括___________和___________)统称为机械能。 2．动能和势能之间的转化是通过__________或_________做功来实现的。 二　机械能守恒定律 1．内容：在只有________或________做功的系统内，__________和_________会发生相互转化，但______________保持不变。 2．表达式： _________＝ΔEk或Ep1＋Ek1＝___________。 3．机械能守恒的条件：只有______力或_______力做功。 势能 重力势能 弹性势能 重力 弹力 重力 弹力 动能 势能 总机械能 -ΔEp Ep2＋Ek2 重 弹 课前自主学习 5 判一判 (1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转化。(　　) (2)合力为零，物体的机械能一定守恒。(　　) (3)合力做功为零，物体的机械能一定守恒。(　　) (4)只有重力做功，物体的机械能一定守恒。(　　) (5)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用。(　　) 提示： (1) √ 　(2) × (3)×　合力为零或合力做功为零，物体的机械能都不一定守恒，如物体沿斜面匀速下滑时，物体的机械能减少。 (4) √ 　机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功。 (5) × 课前自主学习 6 课堂探究评价 探究1　机械能守恒定律的理解 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 如图所示，质量为m的物体从光滑曲面顶端由静止下滑，经过A、B两个位置。 课堂探究评价 8 活动1：根据重力做功与重力势能变化的关系，物体从A到B，重力做的功W重力等于什么？ 活动2：根据动能定理，物体从A到B，合力做的功W合力等于什么？ 提示： W重力＝－ΔEp＝mgh1－mgh2。 课堂探究评价 9 活动3：根据活动1和2，物体在位置A和B时的机械能有什么关系？ 课堂探究评价 10 可以证明，在只有弹力做功的系统内，动能和弹性势能相互转化，总机械能也保持不变。与只有重力做功的系统一样，均满足关系：Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2。 1．机械能守恒的几种常见情况 做功情况 例证 只有重 力做功 所有做抛体运动的物体(不计空气阻力)机械能守恒 只有弹 力做功 轻质弹簧拉着物块在光滑水平面上做往复运动，物块 和弹簧组成的系统机械能守恒 课堂探究评价 11 只有重力和系统内弹力做功 如图，不计空气阻力，球在运动过程中，只有重力和弹簧 与球间的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒。但 对球(或者弹簧)来说，机械能不守恒 如图，所有摩擦不计，A自B上自由下滑过程中，只有重力 和A、B间弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒。但对B 来说，A对B的弹力做正功，而这个力对B来说是外力，B的 机械能不守恒，同理A的机械能也不守恒 课堂探究评价 12 2.机械能守恒的判断方法 (1)做功条件分析：只有重力和系统内弹力做功，其他力不做功，则机械能守恒。 (2)能量转化分析：系统内只有动能、重力势能及弹性势能间相互转化，即系统内只有物体间的机械能相互转移，则机械能守恒。 (3)定义判断法：如物体沿竖直方向或沿斜面匀速运动时，动能不变，势能变化，机械能不守恒。 3．机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在力学范围内的一种特殊情况，系统机械能的减少或增加，并不意味着能量的消失或创生。从更普遍的范围考察发现，能量既不能创生，也不能消失，只能从一种形式转化为另一种形式，或从一个物体转移到另一个物体，在这些过程中能量的总量保持不变。 课堂探究评价 13 例1　如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　) A．图甲中，火箭升空的过程中，若匀速升空 机械能守恒，若加速升空机械能不守恒 B．图乙中物体匀速运动，机械能守恒 C．图丙中小球做加速运动，机械能守恒 D．图丁中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小 车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒 课堂探究评价 14 (1)机械能守恒的条件是什么？ (2)多个物体组成的系统什么情况下机械能守恒？ 提示：系统内只有重力或弹力做功。 提示：多个物体组成的系统如果只有重力或系统内的弹力做功，则系统的机械能没有转变为其他形式的能，只是一部分机械能增大另一部分减小，总机械能仍是守恒的。 课堂探究评价 15 课堂探究评价 16 判断机械能是否守恒应注意的问题 (1)合力为零是物体处于平衡状态的条件。物体受到的合力为零时，它一定处于匀速直线运动状态或静止状态，但它的机械能不一定守恒。 (2)合力做功为零是物体动能不变的条件。合力对物体不做功，它的动能一定不变，但它的机械能不一定守恒。 (3)只有重力对物体做功时，物体的机械能一定守恒；只有重力或系统内弹力做功时，系统的机械能一定守恒，但系统内单个物体的机械能不一定守恒。 课堂探究评价 17 课堂探究评价 18 课堂探究评价 19 探究2　机械能守恒定律的应用 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 课堂探究评价 20 活动1：如图所示，把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆，摆长为l，最大偏角为θ。阻力可以忽略。可以用牛顿运动定律和运动学规律直接求小球运动到最低点时的速度大小是多少吗？ 提示：小球运动到最低点的过程中做速度大小不断变化的圆周运动，小球所受细线的拉力也在不断变化，故难以用牛顿运动定律和运动学规律直接求解。 课堂探究评价 21 活动2：可以用机械能守恒定律求解小球运动到最低点时的速度大小是多少吗？ 提示：在阻力可以忽略的情况下，小球摆动过程中受重力和细线的拉力。细线的拉力与小球的运动方向垂直，不做功，所以这个过程中只有重力做功，机械能守恒。 小球在最高点只有重力势能，动能为0，计算小球在最高点和最低点重力势能的差值，根据机械能守恒定律就能得出它在最低点的动能，从而算出它在最低点的速度。 课堂探究评价 22 活动3：什么情况下可以应用机械能守恒定律？应用机械能守恒定律解题有什么便捷之处？ 提示：如果研究对象在某一过程中满足机械能守恒的条件，应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态间过程的细节，这样就简化了计算。如果直接用牛顿定律解决问题，需要分析过程中各种力的作用，而这些力又往往在变化着。因此，一些难以用牛顿运动定律解决的问题，应用机械能守恒定律则有可能易于解决。 课堂探究评价 23 1．机械能守恒定律常用的三种表达式 课堂探究评价 24 第一种表达式，必须选择零势能面才可以解题。第二种表达式的好处是不用选择零势能面，势能的变化与零势能面的选取无关。第三种表达式是对两个物体总机械能守恒而言的。 2．应用机械能守恒定律解题的步骤 (1)对研究对象(某个物体或多个物体)进行正确的受力分析，判断各个力是否做功，分析是否满足机械能守恒的条件。 (2)若机械能守恒，选择合适的表达式列出方程，或再辅以其他方程进行求解。 课堂探究评价 25 课堂探究评价 26 (1)在A球下降、B球上升的过程中，每一个球的机械能都守恒吗？A、B球组成的系统呢？ (2)从开始到A球落地前瞬间怎么利用机械能守恒列式？ 提示：由于A、B间线的拉力对B做正功，对A做负功，所以B球的机械能增加，A球的机械能减少，A、B球各自的机械能都不守恒。但线的拉力对A做的功与对B做的功的代数和为0，故A、B球组成的系统机械能守恒。 提示：这个过程A、B球获得的动能，是由这个系统的势能转化而来的，可以利用ΔEk＝－ΔEp列式。 课堂探究评价 27 课堂探究评价 28 多物体组成的系统机械能守恒的分析技巧 (1)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (2)当研究对象为两个物体时：若两个物体的势能都在减小(或增加)，或动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp 来求解；若A物体的机械能增加(或减小)，B物体的机械能减小(或增加)，可优先考虑应用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。 课堂探究评价 29 [变式训练2]　如图所示，不可伸长细绳的一端固定在O点，另一端系着一金属小球，小球的质量为m，细绳长为l。将细绳拉直，让细绳从偏离水平方向30°的位置由静止释放小球，已知重力加速度为g。求： (1)细绳刚伸直时小球的速度大小； (2)小球运动到最低点A时细绳受到的拉力。 课堂探究评价 30 课堂探究评价 31 课堂探究评价 32 课堂探究评价 33 例3　为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为L＝2.0 m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与半径为R＝0.2 m的竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的。其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示。一个质量m＝1 kg的小物块以初速度v0＝5.0 m/s从A点沿倾斜轨道滑下，小物块到达C点时速度vC＝4.0 m/s。取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 (1)求小物块到达C点时对圆轨道压力的大小； (2)求小物块从A到B运动过程中摩擦力所做的功； (3)为了使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆轨道的半径应满足什么条件？ 答案　　(1)90 N　(2)－16.5 J (3)R≤0.32 m 课堂探究评价 34 (1)整个运动过程哪些部分有摩擦，哪些部分没有？ (2)可以对整个运动过程应用机械能守恒定律吗？ 提示：整个轨道除AB段以外都是光滑的。 提示：不能，包含有AB段的过程机械能不守恒。 课堂探究评价 35 课堂探究评价 36 课堂探究评价 37 1．机械能守恒定律和动能定理的比较 　规律 内容　 　 机械能守恒定律 动能定理 表达式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA＝－ΔEB W总＝ΔEk 应用范围 只有重力或弹力做功 无条件限制 研究对象 单个物体或系统 单个物体 关注角度 守恒的条件和初、末状态机械能的形式及大小 合力做功情况及动能的变化 物理意义 重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程 合力对物体做的功是动能变化的量度 课堂探究评价 38 2.机械能守恒定律和动能定理的选择：单个物体只受重力作用时，动能定理和机械能守恒定律表达式在变形后相同；对两个物体组成的系统，当机械能守恒时，应用机械能守恒定律较方便；对有摩擦力或其他力做功的情况只能用动能定理来解题。 课堂探究评价 39 [变式训练3]　跷跷板是一种常见的游乐设施。游乐时两人对坐两端，轮流用脚蹬地，使一端上升，另一端下落，如此反复。如图所示，质量分别为2m、m的甲、乙两人对坐在跷跷板的两端，跷跷板的长度为L，开始时甲所在端着地，跷跷板与水平面之间的夹角为α＝30°，甲蹬地后恰好让乙所在端着地，该过程中甲、乙两人的速度大小始终相等且乙的脚未与地面接触。假设在跷跷板转动过程中甲、乙两人均可看成质点，跷跷板的质量、转轴处的摩擦和甲蹬地过程中跷跷板转动的角度均忽略不计，重力加速度为g，求： (1)甲蹬地结束时甲的速度大小v； (2)甲蹬地结束至乙所在端着地过程中，跷跷板对乙做的功W。 课堂探究评价 40 课堂探究评价 41 课后课时作业 1．(机械能的理解)一个物体在运动的过程中所受的合力为零，则这个过程中(　　) A．机械能一定不变 B．物体的动能保持不变，而势能一定变化 C．若物体的势能变化，机械能一定变化 D．若物体的势能变化，机械能不一定变化 解析　由于物体在运动的过程中所受的合力为零，即物体做匀速直线运动，物体的动能不变，势能有可能变化，当物体的势能变化时机械能一定变化，C正确，A、B、D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 2．(机械能守恒的判断)下列关于各图中机械能是否守恒的判断正确的是(　　) A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒 B．乙图中，在拉力作用下沿斜面匀速下滑时，物体B机械能守恒 C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落、B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒 D．丁图中，ω越来越大，小球慢慢升高，小球的机械能仍然守恒 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 解析　甲图中只有重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A将弹簧压缩的过程中，弹簧的弹力对A做负功，物体A机械能减小，所以物体A机械能不守恒，A错误；乙图中物体B动能不变，势能减小，机械能不守恒，B错误；丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，两功代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，C正确；丁图中小球的动能增加，重力势能也增加，故机械能增加，机械能不守恒(拉力对小球做正功)，D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 3．(机械能守恒定律的应用)以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力，则(　　) A．h1＝h2>h3 B．h1＝h2<h3 C．h1＝h3<h2 D．h1＝h3>h2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 5．(机械能)如图所示，质量m＝60 kg的运动员，由滑雪道顶端P静止滑下，从滑道末端R飞出，已知P、R的高度差h＝20 m，运动员从R飞出时的速度大小v＝18 m/s，重力加速度g＝10 m/s2，则运动员滑行过程中损失的机械能与减少的重力势能之比约为(　　) A．0.8 B．0.3 C．0.2 D．0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 7．(综合)某游乐场过山车简化为如图所示模型，光滑的过山车轨道位于竖直平面内，该轨道由一段斜轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R，可视为质点的过山车从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。 (1)若要求过山车能通过圆形轨道最高点，则过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度至少要多少？ (2)考虑到游客的安全，要求全过程游客受到的支持力不超过自身重力的7倍，过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度不得超过多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 答案　(1)2.5R　(2)3R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 11．(与能有关的图像问题)2020年5月15日消息，我国新飞船试验舱在预定区域成功着陆，试验取得圆满成功。高空回收常用装置有降落伞，回收舱上的降落伞打开前可看成是做自由落体运动，打开伞后回收舱减速下降，最后匀速下落。若用h表示回收舱下落的高度，t表示下落的时间，Ek表示回收舱的动能，E表示回收舱的机械能，v表示回收舱下落的速度，Ep表示回收舱的重力势能，如果回收舱的质量不变，打开伞后空气阻力与速度平方成正比，取水平地面为重力零势能面，所研究的过程中回收舱离地面距离远远小于地球半径，重力视为恒力，则下列图像可能正确的是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 解析　回收舱先做自由落体运动，机械能守恒，则Ek＝mgh，动能与下落的高度成正比，打开降落伞后回收舱做减速运动，速度减小，阻力减小，由牛顿第二定律知，回收舱做加速度减小的减速运动，当阻力与重力大小相等时，回收舱做匀速直线运动，故动能先减小得快，后减小得慢，最后动能不变，机械能先不变后一直减小，A正确，B、C错误；重力势能与回收舱下落的高度呈线性关系，D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 12．(多物体组成的系统机械能守恒)如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求： (1)重物落地后，小球线速度的大小v； (2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球 受到杆的作用力的大小F； (3)重物下落的高度h。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 R 提示：W合力＝ΔEk＝eq \f(1,2)mveq \o\al(2,2)－eq \f(1,2)mveq \o\al(2,1)。 提示：曲面光滑，则只有重力做功，W合力＝W重力，即eq \f(1,2)mveq \o\al(2,2)－eq \f(1,2)mveq \o\al(2,1)＝mgh1－mgh2，移项可得eq \f(1,2)mveq \o\al(2,2)＋mgh2＝eq \f(1,2)mveq \o\al(2,1)＋mgh1。即物体在位置A和B时的动能与重力势能之和相等，即机械能相等。 [规范解答]　题图甲中无论火箭匀速上升还是加速上升，都有推力做正功，机械能增加，A错误；题图乙中物体沿斜面匀速上升，动能不变，重力势能增加，机械能增加，B错误；题图丙中，小球沿粗糙斜面加速滚下过程中，除了重力做功，还有摩擦力做负功，机械能减少，C错误；题图丁中，弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能转化为两小车的动能，两小车组成的系统机械能增加，而两小车与弹簧组成的系统机械能守恒，D正确。 [变式训练1]　(多选)质量为m的物体以加速度a＝eq \f(3,4)g匀加速下落h，g为重力加速度，则(　　) A．物体重力势能减小eq \f(3,4)mgh B．物体重力势能减小mgh C．物体动能增加eq \f(3,4)mgh D．物体机械能减小eq \f(1,4)mgh 解析　重力势能减少量等于重力做的功，所以重力势能减小mgh，故A错误，B正确；物体动能增量ΔEk等于合力做的功，故ΔEk＝mah＝eq \f(3,4)mgh，C正确；由动能和重力势能的变化得物体机械能减小eq \f(1,4)mgh，D正确。 表达式 物理意义 从不同状态看 Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1 eq \f(1,2)mveq \o\al(2,2)＋mgh2＝eq \f(1,2)mveq \o\al(2,1)＋mgh1 E2＝E1 末状态的机械能等于初状态的机械能 从转化角度看 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2 ΔEk＝－ΔEp(或ΔEp＝－ΔEk) 动能的增加量等于势能的减少量(反之也成立：势能的增加量等于动能的减少量) 从转移角度看 EA2－EA1＝EB1－EB2 ΔEA＝－ΔEB(或ΔEB＝－ΔEA) 当系统只有A、B两物体时，A机械能的增加量等于B机械能的减少量(反之也成立：B机械能的增加量等于A机械能的减少量) 例2如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　) A．2R B．eq \f(5R,3) C．eq \f(4R,3) D．eq \f(2R,3) [规范解答]　设A、B的质量分别为2m、m，当A落到地面，B恰运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为研究对象，机械能守恒，故有2mgR－mgR＝eq \f(1,2)(2m＋m)v2，当A落地后，B球以速度v竖直上抛，到达最高点时上升的高度为h′＝eq \f(v2,2g)＝eq \f(R,3)，故B上升的总高度为R＋h′＝eq \f(4,3)R，C正确。 答案　(1)eq \r(2gl)　(2)3.5mg 解析　(1)小球先做自由落体运动，设细绳刚伸直时小球的速度大小为v1，小球下降的高度 h＝2lsin30° 根据机械能守恒定律得mgh＝eq \f(1,2)mveq \o\al(2,1) 解得v1＝eq \r(2gl)。 (2)细绳伸直后瞬间，设小球在垂直细绳方向的速度为v2，根据运动的分解得 v2＝v1cos30°＝eq \r(\f(3,2)gl) 设小球运动到最低点A时的速度为v3，以过A点的水平面为零势能面，根据机械能守恒定律得eq \f(1,2)mveq \o\al(2,2)＋mgl(1－sin30°)＝eq \f(1,2)mveq \o\al(2,3) 联立解得v3＝eq \r(\f(5,2)gl) 小球在最低点，由牛顿第二定律得 T－mg＝m2,3)eq \f(v,l) 解得细绳对小球的拉力T＝3.5mg 由牛顿第三定律可知，小球运动到最低点A时细绳受到的拉力为3.5mg。 [名师点拨]　一般情况下物体的碰撞或绳子的拉伸等，都会使物体一部分机械能转化为内能，此时物体机械能必定不守恒，而同学们做题时容易将这一点忽略，从而造成错解。本题易犯的错误是误认为小球运动的整个过程中机械能守恒，从而得到mgh＝eq \f(1,2)mv2，代入数据可得小球运动到最低点A时的速度v＝eq \r(3gl)，导致出现错解。 [规范解答]　(1)设小物块到达C点时受到圆轨道的支持力大小为FN，根据牛顿第二定律有：FN－mg＝m2,C)eq \f(v,R) 解得FN＝90 N 根据牛顿第三定律，小物块到达C点时对圆轨道压力的大小为90 N。 (2)由于水平轨道BC光滑，无摩擦力做功，所以可将研究小物块从A到B的运动过程转化为研究从A到C的过程。物块从A到C的过程中，根据动能定理有： mgLsin37°＋Wf＝eq \f(1,2)mveq \o\al(2,C)－eq \f(1,2)mveq \o\al(2,0) 解得Wf＝－16.5 J。 (3)设小物块进入圆轨道到达最高点时速度大小为v，根据牛顿第二定律有：FN＋mg＝meq \f(v2,R)，且FN≥0 以C点所在水平面为零势能面，小物块从圆轨道最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律有： eq \f(1,2)mveq \o\al(2,C)＝eq \f(1,2)mv2＋mg·2R，联立得R≤2,C)eq \f(v,5g) 解得R≤0.32 m。 解析　(1)甲蹬地结束时，甲、乙的速度大小均为v，设水平地面为零势能面，跷跷板转动过程，对甲、乙组成的系统，由机械能守恒定律得 eq \f(1,2)·2mv2＋eq \f(1,2)mv2＋mgLsinα＝2mgLsinα 解得v＝eq \f(\r(3gL),3)。 (2)对乙由动能定理得 W＋mgLsinα＝0－eq \f(1,2)mv2 解得W＝－eq \f(2,3)mgL。 答案　　(1)eq \f(\r(3gL),3)　(2)－eq \f(2,3)mgL 解析　做竖直上抛运动的物体和沿斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为0，由机械能守恒得mgh＝eq \f(1,2)mveq \o\al(2,0)，所以h1＝h3＝h＝2,0)eq \f(v,2g) ，做斜上抛运动的物体在最高点速度不为零，设为v1，则mgh2＝eq \f(1,2)mveq \o\al(2,0)－eq \f(1,2)mveq \o\al(2,1)，h2＝2,0)eq \f(v－veq \o\al(2,1),2g) ，所以h1＝h3>h2，故D正确。 4．(与弹性杆有关的机械能守恒)如图所示为被称为“亚洲撑竿跳女王”的李玲比赛时的英姿，撑竿跳运动的过程大概可以分为助跑、起跳、下落三个阶段。已知李玲和撑竿总质量为m，某次比赛中，助跑结束时恰好达到最大速度v，起跳后重心上升高度h后成功越过横杆，落在缓冲海绵垫上，撑竿脱离运动员之后会出现弹跳现象，重力加速度为g，不计空气阻力，取地面为零势能面，则下列说法正确的是(　　) A．助跑过程中，运动员所处高度不变，运动员和撑竿整体机械能守恒 B．从运动员离开地面到手脱离撑竿的过程中，撑竿的弹性势能不断增大 C．运动员在最高点的重力势能Ep＝eq \f(1,2)mv2 D．越过横杆后，落到海绵垫上之前，运动员机械能守恒 解析　助跑加速时，运动员和撑竿的重力势能不变，但运动员和撑竿的总动能增大，则整体的机械能增加，故A错误；从运动员离开地面到手脱离撑竿的过程中，撑竿的形变量先增大再减小，则撑竿的弹性势能先增大再减小，故B错误；撑竿脱离运动员之后会出现弹跳现象，说明撑竿的弹性势能并没有全部转化为运动员的机械能，并且运动员在最高点有水平方向的速度，所以运动员在最高点的重力势能必然小于起跳前人和竿的总动能eq \f(1,2)mv2，故C错误；运动员越过横杆后在空中下落过程中，只有重力做功，其机械能守恒，故D正确。 解析　由题意可知，运动员滑行的过程中减小的重力势能为ΔEp＝mgh＝60×10×20 J＝1.2×104 J，运动员滑行过程中损失的机械能为ΔE机＝mgh－eq \f(1,2)mv2＝2.28×103 J，则运动员滑行过程中损失的机械能与减少的重力势能之比为eq \f(ΔE机,ΔEp)＝eq \f(2.28×103 J,1.2×104 J)≈0.2，C正确。 6．(多物体组成的系统机械能守恒)(多选)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1 m。两球从静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2。则下列说法中正确的是(　　) A．下滑的整个过程中A球机械能守恒 B．下滑的整个过程中两球组成的系统机械能守恒 C．两球在光滑水平面上运动时的速度大小为2 m/s D．下滑的整个过程中B球机械能的增加量为eq \f(2,3) J 解析　当B球到达水平面上时，杆开始对A球做负功，A球机械能不守恒，A错误；下滑的整个过程中，对A、B组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，B正确；设两球在光滑水平面上的速度为v，由机械能守恒定律知，mBgh＋mAg(Lsin30°＋h)＝eq \f(1,2)(mA＋mB)v2，解得v＝eq \f(2,3) eq \r(6) m/s，C错误；下滑的整个过程中B球的机械能的增加量为ΔEB＝eq \f(1,2)mBv2－mBgh＝eq \f(2,3) J，D正确。 解析　(1)设过山车总质量为M，从高度h1处开始下滑，恰能以v1通过圆形轨道最高点， 在圆形轨道最高点有：Mg＝M2,1)eq \f(v,R) ① 运动过程机械能守恒：Mgh1＝2MgR＋eq \f(1,2)Mveq \o\al(2,1)② 由①②式得：h1＝2.5R，即高度至少为2.5R。 (2)设过山车从高度h2处开始下滑，游客质量为m，过圆周最低点时速度为v2，游客受到的支持力是N＝7mg， 在最低点由牛顿第二定律有：N－mg＝m2,2)eq \f(v,R) ③ 运动过程机械能守恒：mgh2＝eq \f(1,2)mveq \o\al(2,2)④ 由③④式得：h2＝3R，即高度不得超过3R。 8．(与弹簧有关的机械能守恒)如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中(　　) A．圆环的机械能守恒 B．弹簧弹性势能变化了eq \r(3)mgL C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零 D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变 解析　圆环在下滑过程中机械能减少，弹簧弹性势能增加，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒，即圆环的重力势能、动能和弹簧的弹性势能之和保持不变，A、D错误；圆环下滑到最低点时速度为零，但是加速度不为零，即合力不为零，C错误；圆环下降高度h＝eq \r(（2L）2－L2)＝eq \r(3)L，所以圆环重力势能减少了eq \r(3)mgL，且始末状态圆环的动能均为0，由机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能增加了eq \r(3)mgL，B正确。 9．(均匀物体的机械能守恒)如图，总长为l、质量为m的均匀软绳对称地挂在轻小滑轮上，用细线将质量也为m的物块与软绳连接。将物块由静止释放，直到软绳刚好全部离开滑轮，不计一切摩擦，重力加速度为g，则(　　) A．刚释放时细线的拉力大小为mg B．该过程中物块的机械能减少了eq \f(1,2)mgl C．该过程中软绳的重力势能减少了eq \f(1,2)mgl D．软绳离开滑轮时速度大小为eq \f(1,2) eq \r(3gl) 解析　刚释放时，根据牛顿第二定律有mg－T＝ma，故细线的拉力T小于mg，A错误；该过程中物块的重力势能减少eq \f(1,2)mgl，但物块的速度增大，动能增加，故物块的机械能损失小于eq \f(1,2)mgl，故B错误；因为软绳均匀，所以软绳相当于向下移动了eq \f(1,4)l，故软绳减少的重力势能为eq \f(1,4)mgl，C错误；由机械能守恒定律得mg×eq \f(1,2)l＋eq \f(1,4)mgl＝eq \f(1,2)×2mv2，解得软绳离开滑轮时速度大小为v＝eq \f(1,2) eq \r(3gl)，D正确。 [名师点拨]　(1)在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。 (2)这类物体虽然不能看成质点来处理，但若只有重力做功，则物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。一般情况物体各部分速度大小相同，动能用eq \f(1,2)mv2表示。 10．(曲线运动中的机械能守恒)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)(　　) A．eq \f(v2,16g) B．eq \f(v2,8g) C．eq \f(v2,4g) D．eq \f(v2,2g) 解析　设小物块的质量为m，滑到轨道上端时的速度为v1。小物块上滑过程中，机械能守恒，有eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)mveq \o\al(2,1)＋2mgR① 小物块从轨道上端水平飞出，做平抛运动，设水平位移为x，下落时间为t，有2R＝eq \f(1,2)gt2② x＝v1t③ 联立①②③式整理得x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v2,2g))) eq \s\up12(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4R－\f(v2,2g))) eq \s\up12(2) 可得x有最大值eq \f(v2,2g)，对应的轨道半径R＝eq \f(v2,8g)，代入①式得v1＝2eq \r(gR)>eq \r(gR)，则物块不脱离圆轨道，符合题意。故选B。 解析　(1)由题意可知，重物落地后，鼓形轮转动的角速度为ω，则根据线速度与角速度的关系可知，小球线速度的大小v＝2Rω。 (2)小球匀速转动，合力提供向心力，对转到水平位置A的小球分析受力，如图所示， 根据牛顿第二定律得 eq \r(F2－（mg）2)＝meq \f(v2,2R)， 解得F＝meq \r(4R2ω4＋g2)。 答案　(1)2Rω　(2)meq \r(4R2ω4＋g2) (3)eq \f(（M＋16m）R2ω2,2Mg) (3)设重物落地时的速度为v1，重物下落过程中，对重物、鼓形轮和小球组成的系统，根据机械能守恒定律得 Mgh＝eq \f(1,2)Mveq \o\al(2,1)＋eq \f(1,2)×4mv2 重物落地时的速度等于鼓形轮匀速转动时边缘的线速度，即v1＝Rω 联立解得h＝eq \f(（M＋16m）R2ω2,2Mg)。 $$