1.2 运动的合成与分解-【金版教程】2024-2025学年高中物理必修第二册创新导学案课件PPT（教科版2019）

第一章　抛体运动 2.运动的合成与分解 1．知道什么是合运动和分运动。2.理解分运动的独立性，掌握运动的合成与分解的方法。3.能用平行四边形定则分析运动的合成与分解在实际情景中的应用。 2 目录 1 2 课后课时作业 课前自主学习 课堂探究评价 3 课前自主学习 一　矢量的合成与分解 1．常见的矢量：力、位移、_____和加速度。 2._________________是矢量合成与分解遵循的普遍法则。这也是矢量与标量在_______方面的显著区别。 3．力(运动)的合成与分解，既体现了矢量的运算法则，同时又反映了物理学研究问题的重要方法——_____________。合成与分解本身也是研究物理问题的_________。 4．通过________________将合矢量与分矢量的关系转化为平行四边形的对角线和邻边的关系，可以把矢量运算转化为_____________。 速度 平行四边形定则 运算 等效替代 基本方法 平行四边形定则 几何运算 课前自主学习 5 二　位移和速度的合成与分解 1．分运动与合运动：物体同时参与的两个运动叫作_______，实际的运动叫作________。 2．位移的合成与分解：一个物体同时发生两个方向的位移(分位移)，可与合位移互相代替。已知____位移求____位移叫作位移的合成；已知_____位移求______位移叫作位移的分解，它们都遵循_________________。 3．速度的合成与分解、加速度的合成与分解，均遵循________________。 4．运动的合成与分解：运动的合成与分解包括_______、______和_______的合成与分解。已知____运动求____运动，叫作运动的合成；已知____运动求____运动，叫作运动的分解。 分运动 合运动 分 合 合 分 平行四边形定则 平行四边形定则 位移 速度 加速度 分 合 合 分 课前自主学习 6 三　运动合成与分解的应用 研究比较复杂的运动时，常常可以把一个运动分解成两个或几个__________的运动，从而使问题变得容易解决。 比较简单 课前自主学习 7 判一判 (1)合速度等于两个分速度的代数和。(　　) (2)合速度不一定大于任一分速度。(　　) (3)合位移一定大于任意一个分位移。(　　) (4)运动的合成就是把两个分运动加起来。(　　) (5)运动的分解就是把一个运动分成两个完全相同的运动。(　　) (6)运动的合成与分解遵循平行四边形定则。(　　) 课前自主学习 8 提示：(1)×　合速度是各分速度的矢量和，而不是代数和。 (2)√ (3)×　根据平行四边形定则可知，合位移不一定大于任意一个分位移。 (4)×　运动的合成遵循平行四边形定则，而不是简单相加。 (5)×　(6)√ 课前自主学习 9 课堂探究评价 探究1　运动的合成与分解 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 课堂探究评价 11 活动1：跑步机履带外侧的机身上有正对的A、B两点，小车开始时位于A点且车头指向B点。如图甲、乙、丙是3种情况下拍到小车运动的频闪照片。图甲中小车的位移与图乙、图丙中小车的位移有什么关系？ 提示：图甲中小车的位移可以与图乙、图丙中小车的两个位移相互代替。 课堂探究评价 12 活动2：如图甲，小车实际发生的位移(合位移)x与图乙、丙两个运动方向的分位移x1、x2间遵循什么规律？试用x1、x2表示矢量x。 课堂探究评价 13 活动3：如图甲，小车实际的速度(合速度)v与图乙、丙两个运动方向的分速度v1、v2间遵循什么规律？试用v1、v2表示矢量v。 课堂探究评价 14 1．合运动与分运动的关系 (1)等时性：合运动与分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。 (2)独立性：各分运动之间互不相干、彼此独立、互不影响。 (3)等效性：各分运动的共同效果与合运动的效果相同。 课堂探究评价 15 2．矢量的合成与分解 (1)描述物体运动的位移、速度和加速度是矢量，其合成与分解的方法均遵循平行四边形定则。平行四边形定则是矢量合成与分解遵循的普遍法则。这是矢量与标量在运算方面的显著区别。 (2)根据几何知识知，矢量的合成与分解也遵循三角形定则，且三角形定则与平行四边形定则等效。 课堂探究评价 16 3．运动的合成与分解的应用 运动的分解与运动的合成互为逆运算。利用运动的分解可以将曲线运动问题转化为直线运动问题进行分析计算，然后利用运动的合成求解实际运动(合运动)。 (1)对物体实际运动的位移、速度、加速度，一般根据运动特点、受力特点等，沿特定的两个方向进行分解(这两个方向可能不垂直)，当运动特点、受力特点等不清楚时，则一般只能按正交分解法分解。 (2)应用正交分解法计算合运动的一般方法 ①将物体的运动沿互相垂直的两个坐标轴进行分解，根据匀速直线运动规律、匀变速直线运动规律分别在两个方向列式。 ②根据平行四边形定则，由直角三角形知识，对分位移、分速度、分加速度进行合成，若无特别说明，须计算出合位移、合速度、合加速度的方向(用三角函数表示)。 课堂探究评价 17 4．合运动性质的判断 分析两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度v0与合加速度a，然后进行判断。 (1)判断是否做匀变速运动 ①若a＝0，物体沿合初速度v0的方向做匀速直线运动。 ②若a≠0且a恒定，物体做匀变速运动。 ③若a变化，物体做非匀变速运动。 (2)判断轨迹的曲直 ①若a与v0在同一直线上，物体做直线运动。 ②若a与v0不在同一直线上，物体做曲线运动。 课堂探究评价 18 例1 (多选)如图甲，旋臂式起重机的 天车吊着质量为100 kg的货物正在沿水平 方向以4 m/s的速度向右匀速运动，同时 又使货物沿竖直方向做向上的匀加速运动， 其竖直方向的速度—时间关系图像如图乙 所示，则下列说法正确的是(　　) A．2 s末货物的速度大小为5 m/s B．货物的运动轨迹可能是一条如图丙所示的抛物线 C．货物所受的合力大小为150 N D．0到2 s末这段时间内，货物的位移大小为10 m 课堂探究评价 19 (1)货物在水平方向和竖直方向分别做什么运动？ (2)如何求货物的合速度、合位移、合力？ 提示：匀速直线运动和初速度为0的匀加速直线运动。 提示：运用矢量的合成法则进行合成。 课堂探究评价 20 课堂探究评价 21 课堂探究评价 22 [变式训练1]　路灯维修车如图所示，车上带有竖直自动升降梯。若车匀速向左运动的同时梯子匀速上升，则关于梯子上的工人的描述正确的是(　　) A．工人相对地面的运动轨迹为曲线 B．仅增大车速，工人相对地面的速度可能不变 C．仅增大车速，工人到达顶部的时间将变短 D．仅增大车速，工人相对地面的速度方向与竖直方向的夹角将变大 课堂探究评价 23 解析　车匀速向左运动的同时梯子匀速上升，根据运动的合成可知，工人相对地面做匀速直线运动，故A错误；仅增大车速，不影响工人竖直方向的运动，则工人到达顶部的时间不变，故C错误；仅增大车速，工人水平方向速度增大，竖直方向速度不变，依据矢量的合成法则，工人相对地面的速度将变大，速度方向与竖直方向的夹角将变大，故B错误，D正确。 课堂探究评价 24 探究2　小船渡河与关联速度问题 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 课堂探究评价 25 活动1：图甲反映的是小船渡河的什么情况？ 活动2：图乙反映的是什么情况？ 活动3：甲、乙两图的共同点是什么？ 提示：图甲反映的是小船渡河的分速度与合速度的情况。 提示：图乙反映的是小船靠岸时的分运动与合运动的情况。 提示：物体的运动(合运动)都相当于参与了两个分运动，合运动或所有分运动的情况反映物体的运动规律。 课堂探究评价 26 课堂探究评价 27 课堂探究评价 28 2．关联速度问题 (1)对关联速度的理解 用绳、杆相牵连的物体在运动过程中的速度通常不同，但两物体沿绳或杆方向的分速度大小相等。 (2)关联速度问题的解题步骤 ①确定合速度：牵连物端点的速度(即所连接物体的实际速度)是合速度。 课堂探究评价 29 ②分解合速度：按平行四边形定则进行分解，作好矢量图。合运动所产生的实际效果：一方面产生使绳或杆伸缩的效果；另一方面产生使绳或杆转动的效果。两个分速度的方向：沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向。常见的模型如图所示： ③沿绳或杆方向的分速度大小相等，列方程求解。例如：v＝v∥(图甲)；v∥＝v∥′(图乙、丙)。 课堂探究评价 30 例2　一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s，船在静水中的速度为v2＝5 m/s，则： (1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (3)如果其他条件不变，水流速度变为6 m/s。船过河的最短时间和最小位移是多少？ 课堂探究评价 31 (1)小船渡河时同时参与了几个分运动？如何渡河时间最短？ (2)当v水<v船和v水＞v船时，分别怎样渡河位移最小？ 提示：参与了两个分运动，一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动(即水的运动)。当v船垂直于河岸时到达对岸用时最短，最短时间与v水无关。 课堂探究评价 32 课堂探究评价 33 课堂探究评价 34 课堂探究评价 35 课堂探究评价 36 课堂探究评价 37 例3　图甲为发动机活塞连杆组，图乙为连杆组的结构简图，连杆组在竖直平面内，且OA正好在竖直方向上，连杆一端连接A处活塞，另一端与曲柄上B点相连，活塞沿OA直线往复运动并带动连杆使B点绕圆心O沿顺时针方向做圆周运动，某时刻OB刚好水平，∠OAB＝θ，活塞的速率为vA，曲柄上B点的速率为vB，则此时(　　) A．vA·cosθ＝vB B．vB·cosθ＝vA C．vA＝vB D．vA·sinθ＝vB 课堂探究评价 38 (1)活塞的实际运动沿什么方向？曲柄上B点的实际运动沿什么方向？ (2)应将A、B点的运动沿什么方向分解？ 提示：沿竖直方向；沿虚线圆的切线方向。 提示：沿连杆方向和垂直于连杆方向分解。 课堂探究评价 39 规范解答　活塞的实际运动沿竖直方向，曲柄上B点的实际运动沿虚线圆的切线方向，当OB刚好水平，曲柄上B点的速度方向刚好竖直时，将vA、vB沿连杆方向和垂直于连杆方向分解如图，则有v1＝vAcosθ＝vBcosθ，可得vA＝vB，故A、B、D错误，C正确。 课堂探究评价 40 关联速度问题，关键是要弄清楚哪个速度是合速度、哪个速度是分速度，然后弄清楚哪个分速度才是我们需要用来解题的。 课堂探究评价 41 课堂探究评价 42 课堂探究评价 43 课后课时作业 1．(运动的合成与分解)(多选)关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是(　　) A．物体的两个分运动是直线运动，则它们的合运动一定是直线运动 B．若不在一条直线上的分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动，则合运动一定是曲线运动 C．合运动与分运动具有等时性 D．速度、加速度和位移的合成都遵循平行四边形定则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 解析　物体的两个分运动是直线运动，若合初速度方向与合加速度方向共线，则为直线运动，否则为曲线运动，故A错误，B正确；合运动和分运动，同时开始同时结束，具有等时性，故C正确；速度、加速度和位移都是矢量，矢量合成都遵循平行四边形定则，故D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 2．(分运动的独立性)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机由静止跳下后，在下落过程中不免会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是(　　) A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作 B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害 C．运动员下落时间与风力有关 D．运动员着地速度与风力无关 解析　运动员同时参与了两个分运动，竖直方向的下落运动和水平方向的随风飘动，两个分运动同时发生，相互独立，因而，水平风力越大，落地的合速度越大，但落地时间不变，故B正确，A、C、D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 3．(合运动与分运动的性质)小船横渡一条河，船头方向始终与河岸垂直，若小船相对静水的速度大小不变，运动轨迹如图所示，则河水的流速(　　) A．由A到B逐渐减小 B．由A到B逐渐增大 C．由A到B先增大后减小 D．由A到B先减小后增大 解析　如图所示，对船的实际运动速度进行分解，则v水＝v船tanθ，由题图可知，合速度的方向与船相对静水的速度方向的夹角θ越来越小，因为v船不变，故由A到B过程中v水逐渐减小。故选A。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 4．(合运动的性质)(多选)如图，在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业。为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，消防队员同时相对梯子匀速向上运动。在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是(　　) A．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动 B．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动 C．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动 D．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速直线运动 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 解析　当消防车匀速前进时，因消防队员同时相对梯子匀速向上运动，根据运动的合成可知，消防队员一定做匀速直线运动，故A错误，B正确；当消防车匀加速前进时，合速度的方向与合加速度的方向不在同一直线上，其加速度的方向大小不变，所以消防队员做匀变速曲线运动，故C正确，D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 8．(运动的合成与分解)如图甲所示是直升机抢救伤员的情境。假设直升机放下绳索吊起伤员后，竖直方向的速度图像和水平方向的位移图像分别如图乙、丙所示，则(　　) A．绳索中拉力可能倾斜向上 B．在地面上观察到伤员的运动轨迹是一条直线 C．伤员始终处于失重状态 D．绳索中拉力先大于重力，后小于重力 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 解析　由图乙、丙可知，伤员沿水平方向做匀速直线运动，水平方向的合力等于零，竖直方向为匀变速运动，则绳索中拉力一定沿竖直方向，合力与合速度不在同一直线上，运动轨迹一定是曲线，故A、B错误；在竖直方向伤员先向上做加速运动，后向上做减速运动，所以加速度的方向先向上后向下，伤员先超重后失重，绳索中拉力先大于重力，后小于重力，故C错误，D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 9．(小船渡河问题)一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽150 m、水流速度为4 m/s的河流中渡河，则该小船(　　) A．能到达正对岸 B．渡河的时间可能少于50 s C．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 m D．以最短位移渡河时，位移大小为150 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 12．(综合)如图所示，在风平浪静的海面上有一艘匀速 行驶的邮轮。一名船员A用水桶B到海中取水。某段时间内， 船员拉着连接水桶的绳索将装满水的水桶提起，同时船员和 水桶以相同的水平速度相对于海面匀速运动，A与B之间的距离数值以l＝H－t＋t2的规律变化(H为A到海面的距离，H、l、t的单位均为国际单位)。则在这段时间内水桶B的受力情况和相对于海面的运动轨迹正确的是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 解析　根据l＝H－t＋t2可知，B在竖直方向上的位移为x＝H－l＝t－t2，由此可知水桶B在竖直方向匀减速上升，且由题意可知其在水平方向匀速运动，所以F、G都在竖直方向上，且绳索对B的拉力大小小于B的重力大小，B所受合力竖直向下，运动轨迹应向下弯曲，故只有B符合。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 13．(小船渡河问题)(多选)一条船要在最短时间内渡过宽为100 m的河，已知河水的流速v1与船离河岸的距离x变化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v2与时间t的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是(　　) A．船渡河的最短时间是20 s B．船运动的轨迹可能是直线 C．船在河水中航行的加速度大小为a＝0.4 m/s2 D．船在河水中航行的最大速度是5 m/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 15．(关联速度问题)某工程队不慎将深水泵掉落井中，通过如图所示的装置进行打捞。已知轻绳与水平方向的夹角为θ，小型卡车向右行驶的速度大小为v2。若深水泵脱离水面后以v1＝1 m/s的速度匀速上升。 (1)分析说明小型卡车应向右做加速、减速还是匀速运动； (2)当θ＝60°时，求小型卡车向右运动速度v2的大小； (3)若深水泵质量为m，小型卡车质量为M，重力加速度为g，滑轮质量不计，当θ＝37°时，求小型卡车对地面的压力大小(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)。 答案　(1)向右做减速运动　(2)2 m/s　(3)Mg－0.6mg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 16．(运动的合成与分解)图a是我国 传统农具——风鼓车，图b是其工作原理 示意图，转动摇柄，联动风箱内的风叶， 向车斗内送风，入料仓漏口H漏出的谷物 经过车斗，质量大于2.0×10－5 kg的谷粒为饱粒，落入第一出料口A1B；质量为1.2×10－5 kg～2.0×10－5 kg的谷粒为瘪粒，落入第二出料口A2B；质量小于1.2×10－5 kg的草屑被吹出出风口。已知A1、B、A2三点在同一水平线上，A1B的宽度为0.12 m；A1在H正下方，A1H的高度为0.4 m；质量为2.0×10－5 kg的谷粒从H漏出，恰好经B点落入A2B。设谷物从H漏出时速度竖直向下，大小为1 m/s；谷粒在车斗内所受水平风力恒定且相等，只考虑其所受重力和水平风力作用，取重力加速度g为10 m/s2。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 (1)求谷粒从H落到出料口所经历的时间； (2)求谷粒所受水平风力的大小； (3)若瘪粒恰好能全部落入A2B，求A2B的宽度。 答案　(1)0.2 s　(2)1.2×10－4 N　(3)0.08 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 R 提示：遵循平行四边形定则。x＝2,1)eq \r(x＋xeq \o\al(2,2)) ，且x与履带运动方向的夹角θ满足tanθ＝eq \f(x1,x2)。 提示：由于合位移与分位移对应的时间是相同的，而位移的合成与分解遵循平行四边形定则，那么，速度的合成与分解，即v与v1、v2间，也必然遵循平行四边形定则。v＝2,1)eq \r(v＋veq \o\al(2,2)) ，且v与v2方向的夹角α满足tanα＝eq \f(v1,v2)。 规范解答　货物水平方向的速度大小为4 m/s，2 s末货物竖直方向的速度大小为3 m/s，故2 s末货物的速度大小为v＝2,x)eq \r(v＋veq \o\al(2,y)) ＝5 m/s，A正确；由于货物加速度向上，所受合力竖直向上，故运动轨迹向上弯曲，丙图不符合题意，B错误；货物的加速度大小为a＝eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(Δvy,Δt)＝1.5 m/s2，则所受合力大小为F＝ma＝150 N，C正确；0到2 s末这段时间内，货物在水平方向的位移大小为x＝vxt＝8 m，在竖直方向的位移大小为y＝eq \f(1,2)at2＝3 m，因此位移大小为s＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(73) m，D错误。 求解合运动或分运动的步骤 (1)根据题意确定物体的合运动与分运动。 (2)根据平行四边形定则作出矢量合成或分解的平行四边形。 (3)根据所画图形求解合运动或分运动的参量，若两个分运动相互垂直，则合速度的大小v＝2,x)eq \r(v＋veq \o\al(2,y)) ，与x轴的夹角θ满足tanθ＝eq \f(vy,vx)；合位移的大小s＝2,x)eq \r(s＋seq \o\al(2,y)) ，与x轴的夹角α满足tanα＝eq \f(sy,sx)。 1．小船渡河问题 (1)三个速度：v船(船在静水中的速度)、v水(水流速度)、v合(船的实际速度)。 (2)两个问题 ①渡河时间 a．船头与河岸成α角时，渡河时间为t＝eq \f(d,v船sinα)(d为河宽)。 b．船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝eq \f(d,v船)(d为河宽)。 ②最短航程 a．若v水＜v船，则当合速度v合垂直于河岸时，航程最短，xmin＝d。船头指向上游与河岸的夹角α满足cosα＝eq \f(v水,v船)。如图①所示。 b．若v水＞v船，则合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。如图②所示，以v水矢量的末端为圆心、以v船矢量的大小为半径画圆弧，从v水矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短，由图可知船头指向上游，与河岸的夹角α满足cosα＝eq \f(v船,v水)，最短航程xmin＝eq \f(d,cosα)＝eq \f(v水,v船)d。 答案　(1)船头朝垂直于河岸方向　36 s　90eq \r(5) m　(2)船头偏向上游，与河岸夹角为60°　24eq \r(3) s　180 m　(3)36 s　216 m 提示：当v水<v船时，合运动垂直于河岸时航程最短，最小位移为xmin＝d。当v水＞v船时，船不能垂直到达河对岸，但仍存在最短航程，当v船与v合垂直时，航程最短，最小位移为xmin＝eq \f(v水,v船)d。 规范解答　(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时，如图甲所示。 时间t＝eq \f(d,v2)＝eq \f(180,5) s＝36 s，v合＝2,1)eq \r(v＋veq \o\al(2,2)) ＝eq \f(5\r(5),2) m/s，位移为x＝v合t＝90eq \r(5) m。 (2)欲使船渡河航程最短，应使合运动的速度方向垂直河岸，船头应朝上游与河岸成某一夹角β，如图乙所示，有v2cosβ＝v1，得β＝60°。 最小位移为xmin＝d＝180 m， 所用时间t′＝eq \f(d,v合′)＝eq \f(d,v2sinβ)＝eq \f(180,\f(5\r(3),2)) s＝24eq \r(3) s。 (3)最短渡河时间只与v2有关，与v1无关，当船头垂直于河岸渡河时时间最短，t＝eq \f(d,v2)＝36 s； 当水流速度变为6 m/s时，v1＞v2，则合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。如图丙所示，以v1矢量的末端为圆心、以矢量v2的大小为半径画弧，从v1矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短，设船头与上游河岸夹角为α，则cosα＝eq \f(v2,v1)，最小位移为xmin＝eq \f(d,cosα)＝eq \f(v1,v2)d＝eq \f(6,5)×180 m＝216 m。 小船渡河的最短时间与最短航程 (1)不论水流速度多大，船头垂直于河岸渡河，时间最短，tmin＝eq \f(d,v船)，且这个时间与水流速度大小无关。 (2)当v水＜v船时，合运动的速度方向可垂直于河岸，最短航程为河宽。 (3)当v水＞v船时，船不能垂直到达河对岸，但仍存在最短航程，当v船与v合垂直时，航程最短，最短航程为xmin＝eq \f(v水,v船)d。 [变式训练2]　如图所示，一条小船位于200 m宽的河的正中A点处，从这里距下游一危险区有100eq \r(3) m，当时水流速度为4 m/s，为了使小船避开危险区到达对岸，如果小船行驶过程中船头始终与河岸垂直，则小船在静水中的速度至少是(　　) A．eq \f(4\r(3),3) m/s B．eq \f(8\r(3),3) m/s C．2 m/s D．4 m/s 解析　为了使小船避开危险区到达对岸，且船头始终与河岸垂直，小船在水中运动的最长时间为t＝eq \f(x,v水)＝eq \f(100\r(3),4) s＝25eq \r(3) s，则小船在静水中的速度至少为v静＝eq \f(\f(d,2),t)＝eq \f(100,25\r(3)) m/s＝eq \f(4\r(3),3) m/s，故选A。 [变式训练3]　如图所示，某救援队利用如下装置转运救灾物资，物资穿在竖直固定光滑杆上，若汽车速度为v1，物资运动速度为v2，定滑轮左右两侧轻绳与竖直方向夹角分别为α、β。不计滑轮质量以及绳与滑轮间的摩擦，下列关系正确的是(　　) A．v1＝v2 B．v1＝eq \f(v2cosα,sinβ) C．v1＝2v2sinαcosβ D．v1＝eq \f(v2cosβ,sinα) 解析　根据平行四边形定则，对汽车和物资的速度分别沿绳方向和垂直绳方向进行分解，如图所示，有v1sinα＝v绳，v2cosβ＝v绳，解得v1＝eq \f(v2cosβ,sinα)，故D正确。 5．(运动的合成与分解)如图所示，一重物在塔吊机的作用下运动，某时刻重物相对地面的速度大小为3 m/s，水平速度大小为2 m/s，则此刻重物竖直方向上的速度大小为(　　) A．1 m/s B．eq \r(5) m/s C．5 m/s D．13 m/s 解析　由平行四边形定则可知，此刻重物竖直方向上的速度大小为vy＝2,x)eq \r(v2－v) ＝eq \r(5) m/s，A、C、D错误，B正确。 6．(运动的合成与分解)春天到了，燕子从南方飞回来了。一只叼着食物的燕子水平飞行时松开嘴巴，食物(可视为质点)运动一段时间后落在地面上。以燕子释放食物的位置为原点，沿燕子的运动方向与竖直方向建立xOy直角坐标系，描出食物沿x方向和y方向的x­t图像和vy­t图像分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是(　　) A．食物在水平方向做加速直线运动 B．食物在竖直方向做自由落体运动 C．3 s时，食物的速度大小为2eq \r(5) m/s D．3 s时，食物与坐标原点的距离为10 m 解析　由x­t图像得，食物在水平方向做匀速直线运动，速度vx＝eq \f(Δx,Δt)＝2 m/s，由vy­t图像得，食物在竖直方向先做加速度逐渐减小的加速运动，后做匀速直线运动，3 s时食物的竖直速度vy＝4 m/s，所以3 s时食物的速度v＝2,x)eq \r(v＋veq \o\al(2,y)) ＝2eq \r(5) m/s，故A、B错误，C正确；由vy­t图线与t轴所围面积表示竖直方向的位移可知，0～2 s内，食物的竖直位移y1>4 m，2～3 s内，食物的竖直位移y2＝4 m，所以0～3 s内，食物的竖直位移y＝y1＋y2>8 m，由x­t图像可知，0～3 s内，食物的水平位移x＝6 m，则3 s时，食物与坐标原点的距离s＝eq \r(x2＋y2)>10 m，故D错误。 7．(运动的合成与分解)(多选)玻璃生产线的最后有一台切割机，能将一定宽度但很长的原始玻璃板按需要的长度切成矩形。假设送入切割机的原始玻璃板的宽度是L＝2 m，它沿切割机的轨道(与玻璃板的两侧边平行)以v1＝0.15 m/s的速度水平向右匀速移动；已知割刀相对玻璃板的切割速度v2＝0.2 m/s，为了确保割下的玻璃板是矩形，则相对地面参考系(　　) A．割刀运动的轨迹是一段直线 B．割刀完成一次切割的时间为10 s C．割刀运动的实际速度大小为0.05eq \r(7) m/s D．割刀完成一次切割的时间内，玻璃板的位移大小是1.5 m 解析　为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，割刀相对玻璃板的运动速度应垂直于玻璃板侧边。割刀实际参与了两个分运动，即沿玻璃板运动方向的运动和垂直于玻璃板运动方向的运动。两个分运动都是匀速直线运动，则合运动为匀速直线运动，故A正确；对于垂直于玻璃板运动方向的运动，运动时间t＝eq \f(2,0.2) s＝10 s，故B正确；割刀运动的实际速度大小v＝2,1)eq \r(v＋veq \o\al(2,2)) ＝eq \r(0.152＋0.22) m/s＝0.25 m/s，故C错误；10 s内玻璃板沿轨道方向的位移x＝v1t＝1.5 m，故D正确。 解析　因为小船在静水中的速度小于水流速度，所以小船不能到达正对岸，故A错误；当船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，最短时间t＝eq \f(d,v船)＝50 s，故渡河时间不会少于50 s，故B错误；以最短时间渡河时，沿水流方向位移x＝v水t＝200 m，故C正确；当v船与实际运动方向垂直时渡河位移最短，设此时船头与河岸的夹角为θ，则cosθ＝eq \f(v船,v水)＝eq \f(3,4)，故渡河位移s＝eq \f(d,cosθ)＝200 m，故D错误。 10．(关联速度问题)(多选)如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时(　　) A．人拉绳行走的速度为vcosθ B．人拉绳行走的速度为eq \f(v,cosθ) C．船的加速度为eq \f(Fcosθ－f,m) D．船的加速度为eq \f(F－f,m) 解析　船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v人＝v∥＝vcosθ，A正确，B错误；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此对船有Fcosθ－f＝ma，解得a＝eq \f(Fcosθ－f,m)，C正确，D错误。 11．(运动的合成与分解)民族运动会上有一直线侧向骑射项目如图所示，运动员骑在沿直线奔跑的马上，弯弓放箭射击跑道外侧的固定目标，假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短(不考虑空气阻力的影响)，则(　　) A．运动员放箭处离目标的距离为eq \f(dv2,v1) B．运动员放箭处离目标的距离为2,1)eq \f(d\r(v＋veq \o\al(2,2)),v2) C．箭射到固定目标的最短时间为2,1)eq \f(d\r(v＋veq \o\al(2,2)),veq \o\al(2,2)) D．箭射到固定目标的最短时间为2,2)eq \f(d,\r(v－veq \o\al(2,1))) 解析　要想在最短的时间内射中目标，箭应该垂直于马的运动方向射出，如图所示。箭在空中的运动时间为t＝eq \f(d,v2)，其合运动速度为v＝2,1)eq \r(v＋veq \o\al(2,2)) ，则放箭处离目标的距离为s＝vt＝2,1)eq \f(d\r(v＋veq \o\al(2,2)),v2) ，B正确。 解析　当船头垂直河岸渡河时渡河时间最短，为tmin＝eq \f(d,v2)＝eq \f(100,5) s＝20 s，故A正确；船在沿河岸方向上做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀速直线运动，因此船运动的轨迹一定是曲线，故B错误；船行驶到河中心所用时间Δt＝10 s，则由图甲可知，船在河水中航行的加速度大小为a＝eq \f(Δv1,Δt)＝eq \f(4,10) m/s2＝0.4 m/s2，故C正确；船在河水中航行的最大速度是vmax＝eq \r(42＋52) m/s＝eq \r(41) m/s，故D错误。 14．(小船渡河问题)如图，某河流中水流速度大小恒为v1，A处的下游C处有个漩涡，漩涡与河岸相切于B点，漩涡的半径为r，AB＝eq \f(4,3)r。为使小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中速度的最小值为(　　) A．eq \f(3,5)v1 B．eq \f(24,25)v1 C．v1 D．eq \f(5,3)v1 解析　当小船合速度方向与漩涡边缘相切时，小船在静水中速度有最小值v2，如图所示，v2＝v1sin2θ，由几何关系得tanθ＝eq \f(r,\f(4,3)r)＝eq \f(3,4)，则sinθ＝eq \f(3,5)，cosθ＝eq \f(4,5)，解得v2＝2sinθcosθv1＝eq \f(24,25)v1，故选B。 解析　(1)如图所示，将v2分解为沿绳方向的分速度v2x和垂直绳方向的分速度v2y， 根据平行四边形定则， 有v2x＝v1＝v2cosθ 解得v2＝eq \f(v1,cosθ) 当小型卡车向右运动时，夹角θ逐渐减小，而v1不变，则v2将逐渐减小，即向右做减速运动。 (2)当θ＝60°时，小型卡车向右运动的速度 v2＝eq \f(v1,cosθ)＝eq \f(1,0.5) m/s＝2 m/s。 (3)对小型卡车分析受力可知，其在竖直方向受力平衡，有Tsin37°＋FN＝Mg 又T＝mg 联立解得FN＝Mg－0.6mg 根据牛顿第三定律知，小型卡车对地面的压力大小FN′＝FN＝Mg－0.6mg。 解析　(1)谷粒从H落到出料口的过程，竖直方向做初速度为1 m/s、加速度为g的匀加速直线运动，有h＝v0t＋eq \f(1,2)gt2 代入数据可得所经历的时间为t＝0.2 s。 (2)质量m＝2.0×10－5 kg的谷粒从H漏出恰好经B点，水平方向有x1＝eq \f(1,2)at2 设风力大小为F，由牛顿第二定律得 F＝ma 联立并代入数据可得F＝1.2×10－4 N。 (3)由题意知质量m′＝1.2×10－5 kg的瘪粒恰好落到A2点，设A2B宽度为x2，则有 x1＋x2＝eq \f(1,2)a′t2 F＝m′a′ 联立并代入数据可得x2＝0.08 m。 $$