专项训练卷（一）与二次函数图象有关的考法 2024-2025学年人教版九年级数学上册

专项训练卷(一) 时间:60分钟 满分:100分 考试范围:与二次函数图象有关的考法 一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分) 1.已知函数y=-x2+bx+c,其中b>0,c<0,此函数的图象可以是 ( ) 2.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是 ( ) 3.二次函数y=ax2+bx+1与一次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( ) 4. 如图,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+c>n的解集为 ( ) A.x>-1 B.x<3 C.x<-3或x>1 D.x>-1或x<3 5. 如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=mx+n(m≠0)的图象交于A,B两点,则一元二次方程ax2+bx+c=mx+n的解为 ( ) A.x1=x2=-1 B.x1=1,x2=2 C.x1=-1,x2=2 D.x1=x2=2 6.在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:①abc>0;②2a+b=0;③9a+3b+c>0;④b2>4ac;⑤am2+bm≤a+b.其中正确的结论有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,在正方形EFGH中,EF=2,AB和EF在同一直线上,将△ABC向右平移,则△ABC和正方形EFGH重叠部分的面积y与点B移动的距离x之间的函数图象大致是 ( ) 8.如图1,在矩形ABCD中,点E为BC的中点,点P沿BC从点B运动到点C,设B,P两点间的距离为x,PA-PE=y,图2是点P运动时y随x变化的关系图象,则BC的长为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 二、填空题(本题共4小题,每小题6分,共24分) 9.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的右交点为A(5,0),对称轴是直线x=2,当ax2+bx+c>16a时,x的取值范围是 .  10.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,若一元二次方程ax2+bx+m-2=0有两个不相等的实数根,则整数m的最小值为 .  　 11.如图所示,二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为(3,0),则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的解为 .  12.数学课上老师出了这样一道题: 如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2,与x轴的一个交点在(-3,0)和(-4,0)之间,其部分图象如图所示,请同学们据此写出正确结论,每写对一个结论得20分,写错一个结论倒扣10分. 小涛得到了如下结论:①c>0;②4a-b=0;③-3a+c>0;④4a-2b≥at2+bt(t为实数);⑤点(-3,y1),(-5,y2),(0,y3)是该抛物线上的点,则y1>y3>y2,则小涛此题得分为 分.  三、解答题(本大题共3小题,共36分) 13.(10分)已知抛物线y=ax2+bx+c,如图所示,直线x=-1是其对称轴. (1)确定a,b,c,Δ=b2-4ac的符号. (2)求证:a-b+c>0. (3)当x取何值时,y>0?当x取何值时,y<0? 14.(12分)如图,这是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点. (1)求抛物线与x轴的另一个交点. (2)求证:方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根. (3)当y2<y1时,求x的取值范围. (4)若a+bx1=a+bx2,且x1≠x2,求x1+x2的值. 15.(14分)如图1,四边形ABCD是平行四边形,连接BD,动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动,回到点A后停止.设点P运动的路程为x,线段AP的长为y,图2是y与x的函数关系的大致图象,求四边形ABCD的面积. 参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 D B A C C C C C 1.D　【解析】∵a=-1<0,b>0,c<0,∴该函数图象的开口向下,对称轴是直线x=->0,与y轴的交点在y轴的负半轴上. 2.B　【解析】观察函数图象可知:a>0,b>0,c<0,∴二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,对称轴x=-<0,与y轴的交点在y轴负半轴. 3.A　【解析】A.由抛物线可知,a>0,b<0,c=1,对称轴为直线x=-,由直线可知,a>0,b<0,直线经过点(-,0),故本选项符合题意;B.由抛物线可知,对称轴为直线x=-,直线经过点(-,0),故本选项不符合题意;C.由抛物线可知,对称轴为直线x=-,直线经过点(-,0),故本选项不符合题意;D.由抛物线可知,对称轴为直线x=-,直线经过点(-,0),故本选项不符合题意. 4.C　【解析】∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,∴抛物线y=ax2+c与直线y=-mx+n交于(1,p),(-3,q)两点,观察函数图象可知:当x<-3或x>1时,抛物线y=ax2+c在直线y=-mx+n的上方,∴不等式ax2+c>-mx+n的解集为x<-3或x>1,即不等式ax2+mx+c>n的解集是x<-3或x>1. 5.C　【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=mx+n(m≠0)的图象的交点A、B的横坐标分别为-1,2,∴当x=-1或x=2时,ax2+bx+c=mx+n,∴一元二次方程ax2+bx+c=mx+n的解为x1=-1,x2=2. 6.C　【解析】∵图象开口向下,∴a<0.∵对称轴为直线x=-=1,∴b=-2a>0.∵图象与y轴的交点在x轴的上方,∴c>0,∴abc<0,∴①说法错误;∵-=1,∴2a=-b,∴2a+b=0,∴②说法正确;由图象可知点(-1,0)的对称点为(3,0),∵当x=-1时,y<0,∴当x=3时,y<0,∴9a+3b+c<0,∴③说法错误;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴b2>4ac,∴④说法正确;当x=1时,y最大,∴am2+bm≤a+b,∴⑤说法正确.∴正确的为②④⑤. 7.C　【解析】∵∠C=90°,AC=BC=2,∴△ABC的底边AB边上的高为AC·sin 45°=2×=2.①当0<x≤2时,y=x2,故第一段函数图象为开口方向向上的抛物线,可排除选项A、D;②当2<x≤4时,FB=x-2,AE=4-x,∴y=×(2)2-(x-2)2-(4-x)2=-x2+6x-6,故第二段函数图象为开口方向向下的抛物线,可排除选项B;③当4<x≤6时,y=(6-x)2,故第三段函数图象为开口方向向上的抛物线,故选项C符合题意. 8.C　【解析】由函数图象知:当x=0,即P在B点时,BA-BE=1.利用两点之间线段最短,得到PA-PE≤AE.∴y的最大值为AE,∴AE=5.在Rt△ABE中,由勾股定理得BA2+BE2=AE2=25,设BE的长度为t,则BA=t+1,∴(t+1)2+t2=25,即t2+t-12=0,∴(t+4)(t-3)=0,由于t>0,∴t+4>0,∴t-3=0,∴t=3.∴BC=2BE=2t=2×3=6. 二、填空题 9 10 11 12 -3<x<7 1 x1=3,x2=-1 70 9.-3<x<7　【解析】∵y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,∴-=2,b=-4a,∴y=ax2-4ax+c,∵与x轴右交点为(5,0),∴25a-20a+c=0,∴c=-5a,∴y=ax2-4ax-5a,∴ax2-4ax-5a>16a,ax2-4ax-21a>0,∵a<0,∴x2-4x-21<0(两边同除以a,不等号方向改变),∵y=x2-4x-21,a=1,开口向上,当x2-4x-21=0时,(x-7)(x+3)=0,∴x1=7,x2=-3,∴-3<x<7. 10.1　【解析】∵ax2+bx+m-2=0有两个不相等的实数根,∴ax2+bx=2-m有两个不相等的实数根,令y1=ax2+bx,y2=2-m(表示与x轴平行的直线),∴y1与y2有两个交点,∴2-m<2,∴m>0,∵m是整数,∴m=1. 11.x1=3,x2=-1　【解析】∵二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为(3,0),∴横坐标3是方程-x2+2x+k=0的一个根,∴把x1=3代入关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0得,-9+6+k=0,解得k=3,∴原方程可化为-x2+2x+3=0,∴x1+x2=3+x2=2,解得x2=-1. 12.70　【解析】∵与x轴的一个交点在(-3,0)和(-4,0)之间,∴由抛物线的对称性知,另一个交点在(-1,0)和(0,0)之间,∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,即c<0,故①错误;∵抛物线的对称轴为直线x=-=-2,∴4a-b=0,所以②正确;∵由①②知,x=-1时,y>0,且b=4a,即a-b+c=a-4a+c=-3a+c>0,所以③正确;由函数图象知当x=-2时,函数取得最大值,∴4a-2b+c≥at2+bt+c,即4a-2b≥at2+bt(t为实数),故④正确;∵抛物线的开口向下,且对称轴为直线x=-2,∴抛物线上离对称轴水平距离越小,函数值越大,∴y1>y3>y2,故⑤正确;∵写对一个结论得20分,写错一个结论倒扣10分,∴小涛得到了70分. 三、解答题 13.解:(1)∵抛物线开口向下,∴a<0, ∵对称轴x=-=-1,∴b<0, ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方,∴c>0, ∵抛物线与x轴有两个交点,∴Δ=b2-4ac>0;(4分) (2)证明:∵抛物线的顶点在x轴上方,对称轴为x=-1, ∴当x=-1时,y=a-b+c>0;(7分) (3)根据图象可知,当-3<x<1时,y>0;当x<-3或x>1时,y<0.(10分) 14.解:(1)∵对称轴为直线x=-=1,且与x轴的一个交点是B(4,0), 则与x轴的另一个交点是(1-3,0),即(-2,0);(3分) (2)将抛物线y1=ax2+bx+c向下平移3个单位长度,得到y=ax2+bx+c-3, ∴顶点坐标变为(1,0),∴此时抛物线与x轴只有一个交点, ∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;(6分) (3)当1<x<4时,有y2<y1;(8分) (4)若a+bx1=a+bx2,则a+bx1+c=a+bx2+c,即y1=y2, ∴x1、x2关于抛物线的对称轴对称, 由(1)知抛物线对称轴为直线x=-=1, 故(x1+x2)=1,即x1+x2=2.(12分) 15.解:在图1中,作BE⊥AD,垂足为点E,在图2中,取M(6,6),N(12,8).(2分) 当点P从点A到点B时,对应图2中OM线段,得AB=x=6, 当点P从B到D时,对应图2中曲线MN,得AB+BD=x=12, 解得BD=6,(6分) 当点P到点D时,对应图2中到达点N,得AD=AP=y=8, 在△ABD中,AB=BD=6,AD=8,BE⊥AD,解得AE=4.(10分) 在Rt△ABE中,AB=6,AE=4, BE2+AE2=AB2,解得BE=2, ∴四边形ABCD的面积=AD×BE=8×2=16.(14分) 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$