第二十四章 圆 能力提优卷2024-2025学年 人教版九年级数学上册

第二十四章 圆 时间:60分钟　　满分:100分 一、选择题(本题共8小题,每小题4分,共32分) 1.下列说法正确的是 (　　) A.相等的圆心角所对的弧相等 B.平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧 C.相等的弦所对的圆心角相等 D.等弧所对的弦相等 2.如图,一块直角三角板的60°的顶点A落在☉O上,两边分别交☉O于B,C两点,若☉O的半径是1,则的长是 (　　) A. B. C. D. 3.如图,在☉O中,=,过点A作BC的平行线交过点C的圆的切线于点D,若∠ABC=46°,则∠ADC的度数是 (　　) A.74° B.67° C.66° D.60° 4.嘉淇用一些完全相同的△ABC纸片拼接图案,已知用六个△ABC纸片按照图1所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形的图案,若用n个△ABC纸片按图2所示的方法拼接,那么可以得到外轮廓的图案是 (　　) A.正十二边形 B.正十边形 C.正九边形 D.正八边形 5.已知☉O的半径为5,点O到直线l的距离为3,则☉O上到直线l的距离为2的点共有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图所示,在矩形纸片ABCD中,AB=4 cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的侧面和底面,则底面圆的直径的长为 (　　) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 7.如图,AB是☉O的直径,点E是AB上一点,过点E作CD⊥AB,交☉O于点C,D,以下结论正确的是 (　　) A.若☉O的半径是2,点E是OB的中点,则CD= B.若CD=,则☉O的半径是1 C.若∠CAB=30°,则四边形OCBD是菱形 D.若四边形OCBD是平行四边形,则∠CAB=60° 8.在《九章算术》卷九中记载了一个问题:“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其大意是:“如图,今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆(内切圆)的直径是多少步?”根据题意,该内切圆的直径为 (　　) A.3步 B.4步 C.5步 D.6步 二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分) 9.如图,AB是☉O的直径,点C在上,点D在AB上,AC=AD,OE⊥CD于E.若∠COD=84°,则∠EOD的度数是　　　　.  10.如图,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,OC⊥OA,OC交AB于点P.若∠BPC=70°,则∠ABC的度数等于　　　　.  11.如图,在扇形OAB中,∠AOB=90°.D,E分别是半径OA,OB上的点,以OD,OE为邻边的矩形ODCE的顶点C在弧AB上.若OD=3,OE=4,则阴影部分图形的周长是　　　　(结果保留π).  12.如图,☉O是正五边形ABCDE的内切圆,点M,N,F分别是边AE,AB,CD与☉O的切点,则∠MFN的度数为　　　　°.  三、解答题(本大题共6小题,共52分) 13.(6分)如图,图1,图2均为由菱形ABCD与圆组合成的轴对称图形.请你只用无刻度的直尺,分别在图1(已知A,C两点在☉O内,B,D两点在☉O上),图2(已知A,C,D三点在☉O外,点B在☉O上,且∠A=90°)中找出圆心O的准确位置. 14.(8分)如图,∠EAD是☉O内接四边形ABCD的一个外角,且∠EAD=75°,DB=DC. (1)求∠BDC的度数. (2)若☉O的半径为2,求的长. 15.(8分)在☉O中,弦CD与直径AB相交于点P,∠ABC=64°. (1)如图1,若∠APC=100°,求∠BAD和∠CDB的大小. (2)如图2,若CD⊥AB,过点D作☉O的切线,与AB的延长线相交于点E,求∠E的大小. 16.(8分)如图,△ABC内接于☉O,点D在☉O上,且OD⊥BC,垂足为H,连接DC. (1)求证:∠BCD=∠BAC. (2)延长AB到点E,使EB=AC,连接DE.若DE与☉O相切,试判断四边形BCDE的形状,并说明理由. 17.(10分)如图,已知A,B是☉O上的点,P为☉O外一点,连接PA,PB,分别交☉O于点C,D,=. (1)求证:PA=PB. (2)若∠APB=60°,=3,△AOC的面积等于9,求图中阴影部分的面积. 18.(12分)如图,AB为☉O的直径,PD切☉O于点C,与BA的延长线交于点D,DE⊥PO交PO的延长线于点E,连接OC,PB,已知PB=6,DB=8,∠EDB=∠EPB. (1)求证:PB是☉O的切线. (2)求☉O的半径. (3)连接BE,求BE的长. 参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B C C A C D 1.D　【解析】A.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所以A选项的说法错误;B.平分弦(非直径)的直径垂直弦并平分弦所对的弧,所以B选项的说法错误;C.在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆心角对应相等,所以C选项的说法错误;D.等弧所对的弦相等,所以D选项的说法正确. 2.C　【解析】连接OC,OB.∵∠BOC=2∠A=120°,∴的长==. 3.B　【解析】连接OA,∵=,∴∠BOC=∠AOB,∵OB=OC,OB=OA,∴∠BCO=∠OBC,∠OAB=∠OBA,∴∠OBA=∠CBO,∵∠ABC=46°,∴∠OCB=∠OBC=23°,∵CD是圆的切线,∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°,∴∠BCD=∠BCO+∠OCD=113°,∵CB∥AD,∴∠ADC=180°-∠BCD=180°-113°=67°. 4.C　【解析】∵正六边形每一个内角为120°,∴∠ACB=120°-80°=40°,∴∠CAB=180°-120°=60°,∴图2中正多边形的每一个内角为60°+80°=140°,∵=9,∴可以得到外轮廓的图案是正九边形. 5.C　【解析】如图,∵☉O的半径为5,点O到直线l的距离为3,∴CE=2,过点D作AB⊥OC,垂足为D,交☉O于A、B两点,且DE=2,∴☉O上到直线l的距离为2的点为A、B、C,∴☉O上到直线l的距离为2的点有3个. 6.A　【解析】设圆锥的底面圆的半径为r cm,根据题意得=2πr,解得r=1,∴底面圆的直径为2 cm. 7.C　【解析】A.∵OC=OB=2,点E是OB的中点,∴OE=1,∵CD⊥AB,∴∠CEO=90°,CD=2CE,∴CE==,∴CD=2CE=2,本选项错误,不符合题意;B.根据CD=,缺少条件,无法得出半径是1,本选项错误,不符合题意;C.∵∠A=30°,∴∠COB=60°,∵OC=OB,∴△COB是等边三角形,∴BC=OC,∵CD⊥AB,∴CE=DE,∴BC=BD,∴OC=OD=BC=BD,∴四边形OCBD是菱形,故本选项正确,符合题意;D.∵四边形OCBD是平行四边形,∴OC=BC,∵OC=OB,∴OC=OB=BC,∴∠BOC=60°,∴∠CAB=∠BOC=30°,故本选项错误,不符合题意. 8.D　【解析】先利用勾股定理计算出斜边,直角三角形的斜边为=17,然后根据直角三角形的内切圆的半径为(a、b为直角边,c为斜边),得直角三角形的内切圆的半径==3,故直角三角形的内切圆的直径为6步. 二、填空题 9 10 11 12 21° 70° +10 36 9.21°　【解析】∵∠COD=84°,∴∠A=∠COD=42°.又∵AC=AD,∴∠ADC=∠ACD==69°.∵OE⊥CD,∴∠OED=90°,∴∠EOD=90°-69°=21°. 10.70°　【解析】∵BC为切线,∴OB⊥CB,∴∠OBC=90°,∵OC⊥OA,∴∠AOC=90°,∵∠OPA=∠BPC=70°,∴∠OAP=90°-70°=20°,∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=20°,∴∠ABC=90°-∠OBA=90°-20°=70°. 11.+10　【解析】连接OC,∵四边形DOEC是矩形,OD=3,OE=4,∴EC=OD=3,∠OEC=90°,OE=CD=4,∴OC===5,∴阴影部分图形的周长是AD+DC+CE+BE+=(5-3)+4+3+(5-4)+=+10. 12.36　【解析】如图,连接OM,ON.∵M,N,F分别是AE,AB,CD与☉O的切点,∴OM⊥AE,ON⊥AB,∴∠OMA=∠ONA=90°,∵∠A=108°,∴∠MON=180°-108°=72°,∴∠MFN=∠MON=36°. 三、解答题 13.解:如图1,2,点O即为所求.(每小题3分) 14.解:(1)∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠DAB+∠C=180°, ∵∠EAD+∠DAB=180°,∴∠C=∠EAD, ∵∠EAD=75°,∴∠C=75°, ∵DB=DC,∴∠DBC=∠C=75°, ∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=30°;(4分) (2)连接OB、OC, ∵∠BDC=30°,∴∠BOC=2∠BDC=60°(圆周角定理), ∵☉O的半径为2, ∴的长是=.(8分) 15.解:(1)∵∠APC是△PBC的一个外角, ∴∠C=∠APC-∠ABC=100°-64°=36°, 由圆周角定理得∠BAD=∠C=36°,∠ADC=∠ABC=64°, ∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°, ∴∠CDB=∠ADB-∠ADC=90°-64°=26°;(4分) (2)连接OD,如图所示. ∵CD⊥AB,∴∠CPB=90°, ∴∠PCB=90°-∠ABC=90°-64°=26°, ∵DE是☉O的切线,∴DE⊥OD,∴∠ODE=90°, ∵∠BOD=2∠PCB=52°, ∴∠E=90°-∠BOD=90°-52°=38°.(8分) 16.解:(1)证明:如图,连接OB,OC, ∵OD⊥BC,∴==, ∴∠BCD=∠BAC;(4分) (2)四边形BCDE是平行四边形,理由如下: 如图,连接BD,AD, ∵DE与☉O相切,∴OD⊥DE, ∵OD⊥BC,∴BC∥DE, 根据圆内接四边形的性质可知∠DBE=∠DCA, 在△DBE和△ACD中,,∴△DBE≌△DCA(SAS), ∴∠BED=∠DAC,(5分) ∵BC∥DE,∴∠BED=∠ABC=∠DAC,∴=, ∵=,∴∠BCD=∠CBD=∠ABC,∴EB∥CD, ∵BC∥DE,∴四边形BCDE是平行四边形.(8分) 17.解:(1)证明:连接OA,OC,OD,OB,作OM⊥AC于点M,ON⊥BD于点N. ∵=,∴AC=BD, ∵OA=OC=OB=OD,OM⊥AC,ON⊥BD, ∴CM=AM,BN=DN,∠OMC=∠OND=90°, ∴CM=DN,(3分) 在Rt△OMC和Rt△OND中,, ∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL),∴OM=ON, 在Rt△POM和Rt△PON中,, ∴Rt△POM≌Rt△PON(HL),∴PM=PN, ∵AM=BN,∴PA=PB.(5分) (2)∵∠APB=60°,∠PMO=∠PNO=90°,∴∠MON=120°, ∵△POM≌△PON,∴∠POM=∠PON=60°, ∵=3,∴∠COP=3∠COM,∴∠COM=15°, ∴∠AOC=2∠COM=30°,(8分) 过点A作AJ⊥OC于点J.设OA=OB=R,则AJ=R, ∵S△AOC=9,∴·R·R=9,∴R=6, ∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC=-9=3π-9.(10分) 18.解:(1)证明:∵DE⊥PE,∴∠DEO=90°, ∵∠EDB=∠EPB,∠BOE=∠EDB+∠DEO,∠BOE=∠EPB+∠OBP, ∴∠OBP=∠DEO=90°,∴OB⊥PB, ∴PB为☉O的切线.(3分) (2)在Rt△PBD中,PB=6,DB=8, 根据勾股定理得PD==10, ∵PD与PB都为☉O的切线,∴PC=PB=6, ∴DC=PD-PC=10-6=4; 在Rt△CDO中,设OC=r,则有OD=8-r, 根据勾股定理得(8-r)2=r2+42,解得r=3, 则圆O的半径为3.(7分) (3)延长PB、DE相交于点F, ∵PD与PB都为☉O的切线,∴OP平分∠CPB,∴∠DPE=∠FPE, ∵PE⊥DF,∴∠PED=∠PEF=90°, 又∵PE=PE,∴△PED≌△PEF(ASA), ∴PF=PD=10,DE=EF, ∴BF=PF-PB=10-6=4, 在Rt△DBF中,DF===4, ∴BE=DF=2.(12分) · 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$