10.1 二元一次方程组的概念 导学案 2024--2025学年人教版七年级数学下册

10．1 二元一次方程组的概念 一、教材分析 地位与作用：本节课是 2024 人教版七年级数学下册第十章《二元一次方程组》的起始课,二元一次方程组是初中数学的重要内容之一.它是在学生学习了一元一次方程的基础上进行的拓展,为后续学习二元一次方程组的解法以及利用方程组解决实际问题奠定基础.通过对二元一次方程组概念的学习,让学生进一步体会方程思想,感受数学与现实生活的紧密联系,在数学知识体系中起着承上启下的关键作用. 内容结构：教材首先通过实际问题情境,如新疆棉花采摘问题,引导学生分析问题中的数量关系,尝试用方程表示.在列出方程的过程中,自然地引出二元一次方程的概念,接着通过实例加深学生对二元一次方程概念的理解.随后,将两个相关的二元一次方程联立,引出二元一次方程组的概念.教材通过对具体方程（组）的分析,介绍了二元一次方程（组）解的概念,并通过实例让学生学会检验一对数值是否为方程（组）的解.内容编排由浅入深,从实际问题到数学概念,符合学生的认知规律. 二、核心素养目标 数学抽象：通过对实际问题的分析,引导学生从具体情境中抽象出二元一次方程（组）的概念,培养学生的数学抽象能力,让学生学会用数学语言表达现实世界中的数量关系. 数学运算：在检验一对数值是否为二元一次方程（组）的解的过程中,培养学生的数学运算能力,使学生能够准确地进行代入计算和判断. 逻辑推理：通过分析二元一次方程（组）中未知数的个数、次数等特征,以及解与方程（组）的关系,培养学生的逻辑推理能力,让学生能够有条理地思考和解决问题. 数学建模：引导学生根据实际问题中的数量关系列出二元一次方程（组）,培养学生的数学建模素养,让学生体会数学模型在解决实际问题中的作用,提高学生应用数学知识解决实际问题的能力. 应用意识：通过解决实际问题,让学生感受到数学与生活的紧密联系,增强学生的应用意识,激发学生学习数学的兴趣和积极性. 教学重点：二元一次方程（组）的意义和二元一次方程组解的概念． 教学难点：利用列表的方法尝试求简单二元一次方程（组）的解． 教学过程： 一、情境导入——问题驱动,激活思维． 播放视频：教师播放一段新疆棉花采摘的精彩视频,视频中展示了激烈的棉花采摘的画面,从而提出问题. 问题1: (引言）新疆是我国棉花的主要产地之一,近年来,机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机,1h就完成了8h㎡ 棉田的采摘.如果大型采棉机1h完成2h㎡ 棉田的采摘,小型采棉机1h完成1h㎡ 棉田的采摘,那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？ 问题2：这些问题中包含哪些相等关系？ 追问：你能用方程把这些相等关系表示出来吗? 【设计意图】 ①引出课题并通过问题情境复习旧知,为探索新知做好铺垫； ②从实际问题中抽象出二元一次方程（组）的数学模型,将现实问题转化为数学符号表达,体现了建模思想同时强化了数学与现实的联系． 2、 新课讲授 1.探究二元一次方程的概念 问题3：观察方程x + y = 6,2x+ y = 8,类比一元一次方程的概念,你能说出二元一次方程的概念吗？ 概念讲解：教师引导学生观察方程x + y = 6 和 2x+ y = 8,指出像这样含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程.强调二元一次方程的三个特征：含有两个未知数、未知数的项的次数都是 1、整式方程. 【设计意图】 ①开放性问题的设置不仅激发学生的求知欲,而且通过该开放性问题让学生真正感受二元一次方程的形成； ②通过问题引出二元一次方程的概念． 练习1.你能自己编写一个二元一次方程吗？ 练习2.若 2 xm-1 ＋（n－1）y ＝ 3 是关于 x、y 的二元一次方程，你能说出 m 与 n 的取值吗？ 2.探究二元一次方程组的概念 问题4：“在刚才的棉花采摘问题中,我们得到了两个方程 x + y = 6 和 2x+y= 8,这两个方程有什么联系？” 引导学生思考引言中的问题是需要同时满足这两个方程. 概念讲解：教师讲解把两个含有相同未知数的二元一次方程联立起来,就组成了一个二元一次方程组. 【设计意图】 ①通过问题引出二元一次方程组的概念． ②从具体情境的问题中提炼数学模型,加深学生对知识的理解. 练习3.判断下列方程组是二元一次方程组吗？ 3.探究二元一次方程（组）解的概念 探究：在方程x + y = 6①,2x+ y = 8②中 ,符合实际意义的 x , y 的值有哪些? 把它们分别填入表格中. x + y = 6① x y 2x+ y = 8② x y 概念讲解：教师讲解一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.对于二元一次方程组,把二元一次方程组中两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解. 【设计意图】 ①体会二元一次方程以及二元一次方程组的解的意义； ②通过引导学生自主取值,从而更深刻的体会二元一次方程（组）解的本质:满足两个未知数关系的数对.体现从具体到抽象的思维过程. ③此处设计主要是想让学生形成求二元一次方程的解的一般方法,讨论方程（组）解的过程中,领悟解的唯一性、无解、无穷性,从而形成知识的“正迁移”.培养学生讨论和严谨推理的能力,渗透数学的主元思想.以此突破本节课的难点． ④通过列表求解的方法,让学生直观感受二元一次方程的解与二元一次方程组的解这之间的联系.培养学生数形结合的意识. 练习5. 若二元一次方程 4x - y = 5 有一个解为 则 m= . 练习6. 二元一次方程组 的解是（ ）. 三、随堂练习 1. 下列不是二元一次方程组的是 ( 　 ) 2.若 2x2m+3 + (n+3)y 3|n| - 8 = 0 是关于 x,y 的二元一次方程,则 m +n = . 3. 如果 是方程组 的解, 求 m , n 的值 . 4. 加工某种产品需经两道工序,第一道工序每人每天可完成 900 件,第二道工序每人每天可完成 1200 件.现有 7 位工人参加这两道工序,应怎样安排人力,才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？请列出符合题意的二元一次方程组. 【设计意图】 强调用方程解决实际问题的意识,体现数学的工具性价值. 五、课后作业 课本：P89页 练习题 六、课堂小结 1.知识回顾：含有两个未知数 （x 和 y） 二元一次方程 整式方程 二元一次方程组的概念 未知数的项的次数都是 1 有两个未知数 二元一次方程组 有两个整式方程 每个未知数的项的次数都是 1 二元一次方程(组)的解 2.情感升华：强调方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型,通过学习二元一次方程（组）,我们能够更好地解决生活中的实际问题.鼓励学生在今后的学习中,积极运用数学知识解决实际问题,感受数学的魅力. 设计说明 本节授课内容属于概念课教学.数学学科的内容有其固有的组成规律和逻辑结构,它总是由一些最基本的数学概念作为核心和逻辑起点,形成系统的数学知识,所以数学概念是数学课程的核心.只有真正理解数学概念,才能理解数学.二元一次方程作为初中阶段接触的第二类方程,形成概念并不难,关键如何理解它的概念,因此本节课采用先让同学自己试着下定义,然后与教材中的完整定义相互比较,发现不同点,进而理解概念的内涵. 在二元一次方程的解的教学过程中,采用的是让学生体会“一个解——不止一个解——无数个解”的渐进过程,感受到用一个二元一次方程并不能求出一对确定的未知数的取值,从而让学生产生有后续学习的愿望. 本次课内容是以“数学抽象”和“逻辑推理”为基础,通过“数学建模”和“运算能力”解决实际问题,辅以直观想象的数形结合思想,全面培养学生的数学核心素养.教学中需注重从实际问题出发,引导学生经历“抽象—建模—求解—验证”的完整过程,深化对数学本质的理解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$