15　平面图形及其位置关系(含命题、定理) 2025年中考数学一轮专题复习（福建）

第四章　图形的初步认识 复习15　平面图形及其位置关系(含命题、定理) 知识点1 直线、射线、线段 1．直线 (1)经过一点可以画_____条直线． (2)基本事实：_________________． 无数 两点确定一条直线 2．线段 (1)基本事实：_________________． (2)线段中点：如图1，点C是线段AB的中点． 则AC＝BC＝____(或AB＝____＝____)． (3)两点之间的距离就是连接两点之间_____的长度． 两点之间线段最短 2AC 2BC 线段 【注意】 直线、射线、线段的区别 知识点2 角 1．角的定义 (1)由具有_________的两条射线组成的图形． (2)角可以看作是一条射线绕着它的_____旋转到另一个位置 所形成的图形． 2．平角 一条射线绕着它的端点旋转，当终边与始边成一条直线时，所 成的角叫做平角． 公共端点 端点 3．周角 平角的终边继续旋转，当终边与始边重合时，所成的角叫做周角． 4．角的度量 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.度、分、秒的换算都是60进制． 1周角＝______，1平角＝______， 1°＝_____，1′＝_____． 360° 180° 60′ 60″ 5．角的平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等 的角的射线，叫做这个角的角平分线．如图2所 示，根据角平分线的定义，可得到如下结论： (1)若∠BOC＝______＝________，则OC是∠AOB的角平分线． (2)若OC是∠AOB的角平分线，则∠BOC＝______＝________或 ∠AOB＝_______＝_______． ∠AOC ∠AOC 2∠AOC 2∠BOC 6．余角和补角 (1)互余：如果两个角的和为_____，那么这两个角互为余角． (2)互补：如果两个角的和为______，那么这两个角互为补角． (3)性质：同角或等角的余角_____，同角或等角的补角_____． 90° 180° 相等 相等 知识点3 相交线 1．邻补角和对顶角 (1)邻补角：互为邻补角的两个角之和等于______，如图3所示， ∠1与_________，∠7与_________等． (2)对顶角：对顶角_____，如图3所示， ∠1与∠3，____与∠8等． 180° ∠2或∠4 ∠6或∠8 相等 ∠6 2．三线八角(如图3) (1)同位角：∠1与∠5，∠2与____，∠3与∠7，∠4与∠8. (2)内错角：∠2与∠8，∠3与____． (3)同旁内角：∠2与∠5，∠3与____． ∠6 ∠5 ∠8 3．垂线 (1)基本事实：同一平面内，过一点有且只有_____直线与已知 直线垂直． (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中_______最短． (3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的_______的长度． 一条 垂线段 垂线段 知识点4 平行线 1．平行公理及推论 (1)公理：经过___________，有且只有_____直线与这条直线平 行． (2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 也互相_____． 直线外一点 一条 平行 2．平行线的性质与判定 (1)两直线平行⇔同位角_____． (2)两直线平行⇔内错角_____． (3)两直线平行⇔同旁内角_____． 相等 相等 互补 知识点5 命题、公理与定理 1．定义：用来说明一个名词或者一个术语的意义的语句叫做 定义． 2．命题 判断一件事情的句子，叫做命题． (1)命题组成：如果……，那么…… 那么…… (2)真命题：___________叫真命题． 假命题：_____________叫假命题． 可以通过举反例来说明一个命题是假命题． (3)互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的___________分 别是另一命题的___________，那么这两个命题称为互逆命题． 正确的命题 不正确的命题 条件和结论 结论和条件 3．公理、定理 (1)公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的_______ 叫做公理． (2)定理：经过证明的_______叫做定理． (3)互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么 它叫原定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理． 真命题 真命题 【注意】 任何一个命题一定有它的逆命题，而一个定理不一定有它的 逆定理． 4．初中阶段的九条基本事实 (1)两点确定一条直线． (2)两点之间线段最短． (3)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． (4)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． (5)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． (6)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． (7)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． (8)三边分别相等的两个三角形全等． (9)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 考点1 线段、射线、直线 突破1 [2021·包头]已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为( ) A．1 B.3 C．1或3 D.2或3 突破2 [2023·宁夏]如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的 数是－1，点B是AC的中点，线段AB＝ ，则点C表示的数是 _______. 突破3 [2024·吉林]如图，从长春站去往胜利公园，与其他道 路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是________ _________． 两点之间， 线段最短 考点2 角有关的计算 突破1 [2024·北京]如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为( ) A．29° B.32° C．45° D.58° 突破2 [2023·乐山]如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分 线，若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为_____． 20° 考点3 平行线的性质和判定 突破1 [2024·甘孜州]如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠1＝ 30°，则∠2＝( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 突破2 [2024·苏州]如图，AB∥CD，若∠1＝65°，∠2＝120°， 则∠3的度数为( ) A．45° B.55° C．60° D.65° 突破3 [2024·南充]如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数为( ) A.80° B.90° C.100° D.120° 考点4 命题、定理和证明 突破1 [2024·湖南]下列命题中，正确的是( ) A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等 C．正五边形的外角和为720° D．直角三角形是轴对称图形 突破2 [2023·台州]如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD.下列命题中是假命题的是( ) A.若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC B.若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE C.若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC D.若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE 1.[2024·福建]在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 2.[2024·厦门二模]如图所示的是一杆杆秤，杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、秤钩、提绳等组成.在称物品时，提绳AB与秤砣绳CD互相平行，若∠α＝92°，则∠β的度数为( ) A.92° B.90° C.88° D.86° 3.[2024·泉州模拟]光在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时要发生折射.如图，∠1＝70°，∠2＝175°，则∠3的度数是( ) A.70° B.80° C.85° D.75° 4.[2024·泉州三模]如图，在《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面b上，镜面AB的调节角(∠ABC)的调节范围为10°～72°，激光笔发出的光束PD射到平面镜上，若激光笔与水平天花板a的夹角∠EFD＝30°，则反射光束DE与天花板所形成的角(∠DEF)不可能取到的度数为( ) A.52° B.25° C.175° D.7° 5.[2024·三明一模]如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝70°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是( ) A.10° B.20° C.50° D.70° 6.[2024·龙岩二模]如图，已知直线m∥n，将一块含30°角的 直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，使A，B两点分别落在 直线m，n上.若∠1＝58°，则∠2的度数是_____. 28° 7.[2024·厦门三模]随着科技发展，骑行共享单车这种“低 碳”生活方式已融入人们的日常生活.如图是共享单车车架的 示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管(点C在AB 上)，EF为后下叉.已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF ＝137°，则∠ADE的度数为___度. 70 8.[2024·厦门二模]如图，∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，AF＝DC.求证：AB∥DE. 解：∵AF＝CD， ∴AF＋CF＝CD＋CF， 即AC＝DF. ∵∠ACB＝∠DFE， BC＝EF， ∴△ABC≌△DEF(SAS)， ∴∠A＝∠D， ∴AB∥DE. 9.[2024·福建模拟]如图，点E在线段AC上，AB＝CE，AC＝CD，AB∥CD.求证：∠ACB＝∠CDE. 证明：∵AB∥CD， ∴∠DCE＝∠CAB， 在△DCE和△CAB中， ∴△DCE≌△CAB(SAS)， ∴∠ACB＝∠CDE. 10.[2024·宁德二模]如图，点A，B，D在同一条直线上，CB＝BD，CA＝BE，∠C＝∠DBE.求证：BC∥DE. 证明：在△ABC和△EDB中， ∴△ABC≌△EDB(SAS)， ∴∠ABC＝∠D， ∴BC∥DE. 11.[2023·漳州一模]如图，点B，F，E，C在同一条直线上，BE＝CF，AB＝CD，AB∥CD.求证：AF∥DE. 证明：∵BE＝CF， ∴BE－EF＝CF－EF，即BF＝CE， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C， ∵AB＝CD， ∴△ABF≌△DCE， ∴∠AFB＝∠DEC， ∴∠AFE＝∠DEF， ∴AF∥DE. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(条件：如果……,结论：　　　　　　)) eq \r(2) 2eq \r(2)－1 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝AC，,∠DCE＝∠CAB，,CE＝AB，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CB＝BD，,∠C＝∠DBE，,CA＝BE，)) $$