12　二次函数的图象及其性质 课件 2025年中考数学一轮专题复习（福建）

复习12　二次函数的图象及其性质 知识点1 二次函数的概念 1．定义：形如_____________ (a，b，c为常数，a≠0)的函数， 叫做x的二次函数． 2．二次函数表达式的三种形式 一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)． 顶点式：______________，其中，(h，k)为顶点坐标． 交点式：__________________，其中，x1，x2为函数图象与x轴 交点的横坐标． y＝ax2＋bx＋c y＝a(x－h)2＋k y＝a(x－x1)(x－x2) 【温馨提示】 一般式通过配方法可转化为顶点式，通过因式分解法可转化为交点式． 知识点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 知识点3 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数之间的关系 【拓展】 二次函数的图象与特殊代数式之间的关系． 知识点4 二次函数图象的平移与对称 1．设二次函数为y＝a(x－h)2＋k，则平移规律如表： 【温馨提示】 二次函数图象平移时，可先将二次函数解析式化为顶点式，再按照“左加右减，上加下减”进行平移，也可以直接平移一般式，左右平移把x加减平移距离，上下平移把函数值整体加减平移距离． 2．设二次函数为y1＝a(x－h)2＋k，则对称规律如表： 【温馨提示】 (1)二次函数图象对称时，可先将二次函数表达式化成顶点式，借助图象来确定对称后的参数的正负情况； (2)y4的图象，可以看成将y1绕原点O旋转180°后得到的；同样，y3的图象，可以看成将y2绕原点O旋转180°后得到的． 知识点5 二次函数表达式的确定 1．根据所给点坐标设立恰当的表达式 2.代入点坐标：将已知点的坐标代入相应表达式中，得到关于待定系数的方程(组)． 3．求解：解方程(组)求出待定系数的值，从而确定函数的表达式． 知识点6 二次函数与一元二次方程 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，函数可化为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，这时方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标．二次函数与一元二次方程的关系如表所示： 知识点7 二次函数与不等式的关系 (1)不等式ax2＋bx＋c__0⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方； (2)不等式ax2＋bx＋c__0⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴下方； (3)不等式ax2＋bx＋c__kx＋b⇔抛物线图象位于一次函数图象上 方； (4)不等式ax2＋bx＋c__kx＋b⇔抛物线图象位于一次函数图象下 > < > < 考点1 二次函数的图象与性质 突破1 [2024·贵州]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，则下列说法正确的是( ) A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x＜－1时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 突破2 [2024·莆田一模]坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点M，N皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A，B，C，D四点，各点位置如图所示，若AB＝12，BC＝4，CD＝6，则MN的长度是( ) A.8 B.9 C.10 D.11 突破4 [2024·北京]在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2a2x(a≠0)． (1)当a＝1时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知M(x1，y1)和N(x2，y2)是抛物线上的两点．若对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，求a的取值范围． 解：(1)把a＝1代入y＝ax2－2a2x，得y＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∴抛物线的顶点坐标为(1，－1)； ②当a＜0时， 如图2，此时－a＞4， 解得a＜－4， 又∵a＜0，∴a＜－4. 综上所述，当0＜a＜1或a＜－4，都有y1＜y2. 考点2 二次函数的增减性 突破1 [2024·广东]若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2的图象上，则( ) A．y3＞y2＞y1 B.y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D.y3＞y1＞y2 突破2 [2022·荆门]抛物线y＝x2＋3上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若y1＜y2，则下列结论正确的是( ) A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对 突破3 [2024·成都]在平面直角坐标系xOy中，A(x1，y1)， B(x2，y2)，C(x3，y3)是二次函数y＝－x2＋4x－1图象上三点． 若0＜x1＜1，x2＞4，则y1___y2(填“＞”或“＜”)；若对于 m＜x1＜m＋1，m＋1＜x2＜m＋2，m＋2＜x3＜m＋3，存在y1＜y3 ＜y2，则m的取值范围是 ． ＞ 解析：由y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3得抛物线的对称轴为 直线x＝2，开口向下，∵0＜x1＜1，x2＞4，∴|x1－2|＜|x2－ 2|，∴y1＞y2；∵m＜m＋1＜m＋2＜m＋3，m＜x1＜m＋1，m＋1 ＜x2＜m＋2，m＋2＜x3＜m＋3，∴x1＜x2＜x3，∵存在y1＜y3＜ y2，∴x1＜2，x3＞2，且A(x1，y1)离对称轴最远，B(x2，y2)离 对称轴最近，∴2－x1＞x3－2＞|x2－2|，即x1＋x3＜4，且x2 ＋x3＞4，∵2m＋2＜x1＋x3＜2m＋4，2m＋3＜x2＋x3＜2m＋5， ∴2m＋2＜4且2m＋5＞4，解得－ ＜m＜1. 考点3 二次函数的图象与系数的关系 突破1 [2024·广元]如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C(0，－2)与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且－1＜x1＜0， 2＜x2＜3，则下列结论： ①a－b＋c＜0　②方程ax2＋bx＋c＋2＝0有两个 不相等的实数根　③a＋b＞0　④a＞　 ⑤b2－4ac＞4a2.其中正确的结论有( ) A．1个 B.2个 C．3个 D.4个 考点4 二次函数图象的平移、旋转与对称 突破1 [2024·包头]将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为( ) A．y＝(x＋1)2－3 B.y＝(x＋1)2－2 C．y＝(x－1)2－3 D.y＝(x－1)2－2 突破2 [2024·内江]已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平 移两个单位得到抛物线C，点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上， 则y1___y2.(填“＞”或“＜”) ＜ 突破3 [2024·上海模拟]将抛物线y＝－2x2＋3绕点O顺时针旋 转180°后，得到的抛物线表达式为_________． 突破4 已知抛物线y＝2x2－4x＋5，将该抛物线沿x轴翻折后的 新抛物线的表达式为_______________． 突破5 [2023·赣州一模]已知抛物线C1：y＝2x2－8，把C1绕点 (1，0)旋转180°，得到抛物线C2，则C2的函数表达式为 ____________． y＝2x2－3 y＝－2x2＋4x－5 y＝－2x2＋8x 考点5 二次函数表达式的确定 突破1 [2024·陕西]已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应值如表： 则下列关于这个二次函数的结论正确的是( ) A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 突破2 [2024·梅州一模]已知一条抛物线的形状、开口方向均 与抛物线y＝－2x2＋9x相同，且它的顶点坐标为(－1，6)，则这 条抛物线的表达式为_______________． 突破3 [2024·南宁二模]如图，OA＝AB，∠BAO＝90°，OB＝2， 抛物线过O，A，B三点，则该抛物线的表达式 为y＝______． y＝－2x2－4x＋4 x2＋2x 考点6 二次函数与方程、不等式 突破1 [2024·达州]抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是( ) A．b＋c＞1 B. b＝2 C．b2＋4c＜0 D. c＜0 突破2 [2024·牡丹江]在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，A(－3，0)，B(1，0)，与y轴交 点C的纵坐标在－3～－2之间，根据图象判断以下结论：①abc2 ＞0 ② ＜b＜2 ③若ax－bx1＝ax－bx2且x1≠x2，则x1＋x2＝ －2 ④直线y＝－ cx＋c与抛物线y＝ax2＋bx＋c的一个交点 (m，n)(m≠0)，则m＝ .其中正确的结论是( ) A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 突破3 [2024·长春]若抛物线y＝x2－x＋c(c是常数)与x轴没 有交点，则c的取值范围是_____. c＞ ②③④ 突破5 [2024·南充]已知抛物线C1：y＝x2＋mx＋m与x轴交于两 点A，B(A在B的左侧)，抛物线C2：y2＝x2＋nx＋n(m≠n)与x轴交 于两点C，D(C在D的左侧)，且AB＝CD.下列四个结论：①C1与C2 交点为(－1，1) ②m＋n＝4 ③mn＞0　④A，D两点关于(－1，0) 对称．其中正确的结论是_______．(填序号) ①②④ 考点7 二次函数的最值问题 突破1 [2024·乐山]已知二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤t－1)，当x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值， 则t的取值范围是( ) A．0＜t≤2 B.0＜t≤4 C．2≤t≤4 D.t≥2 突破2 [2024·眉山]定义运算：a⊗b＝(a＋2b)(a－b)，例如4⊗3＝(4＋2×3)(4－3)，则函数y＝(x＋1)⊗2的最小值为( ) A．－21 B.－9 C．－7 D.－5 突破3 [2023·杭州]设二次函数y＝a(x－m)(x－m－k)(a＞0，m，k是实数)，则( ) A．当k＝2时，函数y的最小值为－a B．当k＝2时，函数y的最小值为－2a C．当k＝4时，函数y的最小值为－a D．当k＝4时，函数y的最小值为－2a 1.[2024·福建]已知二次函数y＝x2－2ax＋a(a≠0)的图象经 过A ，B(3a，y2)两点，则下列判断正确的是( ) A.可以找到一个实数a，使得y1＞a B.无论实数a取什么值，都有y1＞a C.可以找到一个实数a，使得y2＜0 D.无论实数a取什么值，都有y2＜0 2.[2021·福建]二次函数y＝ax2－2ax＋c(a>0)的图象过A(－3， y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)，D(4，y4)四个点，下列说法一定 正确的是( ) A.若y1y2>0，则y3y4>0 B.若y1y4>0，则y2y3>0 C.若y2y4<0，则y1y3<0 D.若y3y4<0，则y1y2<0 3.[2020·福建]已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线y＝ax2－2ax上的点，下列命题正确的是( ) A.若|x1－1|>|x2－1|，则y1>y2 B.若|x1－1|>|x2－1|，则y1<y2 C.若|x1－1|＝|x2－1|，则y1＝y2 D.若y1＝y2，则x1＝x2 4.[2022·福建]已知抛物线y＝x2＋2x－n与x轴交于A，B两 点，抛物线y＝x2－2x－n与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若 AD＝2BC，则n的值为__. 5.[2023·龙岩模拟]已知直线y＝2x＋t与抛物线y＝ax2＋bx＋ c(a≠0)有两个不同的交点A(3，5)，B(m，n)，且点B是抛物线 的顶点，当－2≤a≤2时，m的取值范围是___________. 8 m≤2或m≥4 6.[2024·福州模拟]在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2－4ax－a(a≠0)的图象经过点A(0，－1). (1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标； (2)一次函数y＝－2x＋b的图象经过点A，点(m，y1)在一次函数y＝2x＋b的图象上，点(m＋4，y2)在二次函数y＝ax2－2ax的图象上，若y1<y2，求m的取值范围. 解：(1)∵二次函数y＝ax2－4ax－a(a≠0)的图象经过点A(0，－1). ∴－a＝－1，解得a＝1， ∴该二次函数的解析式为y＝x2－4x－1， ∵y＝x2－4x－1＝(x－2)2－5， ∴图象顶点的坐标为(2，－5)； (2)∵一次函数y＝－2x＋b的图象经过点A， ∴b＝－1, ∴一次函数y＝2x＋b的解析式为y＝2x－1， ∵a＝1， ∴点(m，y1)在一次函数y＝2x－1的图象上，点(m＋4，y2)在二次函数y＝x2－2x的图象上. ∴y1＝2m－1，y2＝(m＋4)2－2(m＋4)， ∵y1<y2， ∴2m－1<(m＋4)2－2(m＋4)，即m2＋4m＋9>0， ∵m2＋4m＋4＝(m＋2)2≥0， ∴m2＋4m＋9>0恒成立， ∴m为任意实数. 7.[2024·福建]如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(－2，0)，C(0，－2). (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标. ∴n＝2CO＝4. 由m2＋m－2＝4， ∴m1＝－3，m2＝2(舍去). ∴点P坐标为(－3，4). 8.[2024·莆田一模]抛物线y＝ax2＋4ax＋c(a≥－1，且a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知点B(－5，0). (1)求A的坐标； (2)若对任意的实数x，且当a取其范围中的最小值时，代数式ax2＋4ax＋c－9的值都不大于0. ①求出抛物线的解析式； ②点P(m，n)是抛物线y＝ax2＋4ax＋c上的任意一点(不与点C重合)，过点P作PQ⊥y轴于点Q，E(0，－2m)在y轴上，以EQ，PQ为邻边作矩形PQEF，当在矩形PQEF内的抛物线所对应的函数值y随x增大而减小时，直接写出m的取值范围. (2)①∵y＝ax2＋4ax＋c过A(1，0)， ∴0＝a×12＋4a×1＋c， ∴c＝－5a， ∴y＝ax2＋4ax－5a， ∴y1＝ax2＋4ax＋c－9＝ax2＋4ax－5a－9， 则(4a) 2－4a(－5a－9)＝36a2＋36a＝36a(a＋1)， ∵代数式ax2＋4ax＋c－9的值都不大于0， ∴36a(a＋1)≤0， ∵a≥－1，即a＋1≥0， ∴a<0， ∴对任意的实数x都成立时，－1≤a<0， ∴取其范围中的最小值a＝－1， ∴抛物线的解析式为y＝－x2－4x＋5； ②∵抛物线的解析式为y＝－x2－4x＋5， ∴P(m，－m2－4m＋5)， Q(0，－m2－4m＋5)，F(m，－2m)， 如图1，当点P在F上方时且在y轴左侧时， 突破3 [2024·泸州]已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为( ) A．1≤a＜eq \f(9,8) B.0＜a＜eq \f(3,2) C．0＜a＜eq \f(9,8) D.1≤a＜eq \f(3,2) (2)抛物线的对称轴是直线x＝－eq \f(－2a2,2a)＝a.分两种情况： ①当a＞0时，如图1，此时3a＜3， ∴a＜1， 又∵a＞0，∴0＜a＜1； －eq \f(1,2)＜m＜1 eq \f(1,2) eq \f(2,3) 突破2 [2024·自贡]一次函数y＝x－2n＋4，二次函数y＝x2＋ (n－1)x－3，反比例函数y＝eq \f(n＋1,x)在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是( ) A．n＞－1 B.n＞2 C．－1＜n＜1 D.1＜n＜2 突破3 [2024·广安]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的图象与x轴交于点A(－eq \f(3,2)，0)，对称轴是直线x＝－eq \f(1,2)，有以下结论：①abc＜0　②若点(－1，y1)和点(2，y2)都在抛物线上，则y1＜y2③am2＋bm≤eq \f(1,4)a－eq \f(1,2)b(m为任意 实数)　④3a＋4c＝0.其中正确的有( ) A．1个 B.2个 C．3个 D.4个 突破4 [2024·绥化]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝－1，则下列结论中：①eq \f(b,c)＞0　②am2＋bm≤a－b(m为任意实数)　③3a＋c＜1　④若M(x1，y)，N(x2，y)是抛物线上不同的两个点，则x1＋x2≤－3.其中正 确的结论有( ) A．1个 B.2个 C．3个 D.4个 突破4 [2024·苏州]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A(0，m)，B(1，－m)，C(2，n)，D(3，－m)，其中m，n为常数， 则eq \f(m,n)的值为 ． eq \f(4,3) eq \f(5,6) eq \f(1,2) 突破4 [2024·武汉]抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a＜0)经过(－1，1)，(m，1)两点，且0＜m＜1.下列四个结论： ①b＞0 ②若0＜x＜1，则a(x－1)2＋b(x－1)＋c＞1 ③若a＝－1，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝2无实数解 ④点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，若x1＋x2＞－eq \f(1,2)，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m≤eq \f(4,3).其中正确的是 ．(填序号) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，y1)) 解：(1)由题意，将A(－2，0)，C(0，－2)代入y＝x2＋bx＋c，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－2b＋c＝0，,c＝－2，)) ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝1，,c＝－2.)) ∴二次函数的表达式为 y＝x2＋x－2； (2)由题意，设P(m，n)(m＜0，n＞0)， 又∵△PDB的面积是△CDB的面积的2倍， ∴eq \f(S△PBD,S△CBD)＝2，eq \f(\f(1,2)BD·n,\f(1,2)BD·CO)＝2. ∴eq \f(n,CO)＝2. 又∵CO＝2， 解：(1)∵y＝ax2＋4ax＋c， ∴抛物线的对称轴为x＝－eq \f(4a,2a)＝－2， ∴eq \f(xA＋xB,2)＝－2，即eq \f(xA－5,2)＝－2， 解得xA＝1， ∴点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0))； ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－m2－4m＋5>－2m，,m<0，)) 解得－1－eq \r(6)<m<0， 如图2，当点P在F下方时且在y轴右侧时， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－m2－4m＋5<－2m，,m>0，)) 解得m>－1＋eq \r(6)， 综上所述：－1－eq \r(6)<m<0或m>－1＋eq \r(6). $$