9　平面直角坐标系与函数基础 2025年中考数学一轮专题复习（福建）

第三章　函 数 复习9　平面直角坐标系与函数基础 知识点1 平面直角坐标系 1．定义：在平面内，具有公共原点的两条互相垂直的数轴组成 平面直角坐标系，两条数轴分别称为___轴、___轴或__轴、__ 轴，这两条数轴把一个坐标平面分成的四个部分，我们称作是四 个_____． 横 纵 x y 象限 2．平面内点的坐标特征 (1)各象限内的点 如图1所示： (ⅰ)第一象限：x＞0，y＞0； (ⅱ)第二象限：___________； (ⅲ)第三象限：___________； (ⅳ)第四象限：___________． x＜0，y＞0 x＜0，y＜0 x＞0，y＜0 (2)坐标轴上的点 如图2所示： (ⅰ)点在x轴上：y＝__； (ⅱ)点在y轴上：x＝__； (ⅲ)原点的坐标：_______． 0 0 (0，0) (3)各象限角平分线上的点 如图3所示： (ⅰ)第一、三象限角平分线上：y＝__； (ⅱ)第二、四象限角平分线上：y＝____. (4)与坐标轴平行的直线上的点 如图4所示： (ⅰ)平行于x轴的直线上的点___坐标相同； (ⅱ)平行于y轴的直线上的点___坐标相同． x －x 纵 横 【拓展】 3．点的距离特征 (1)点到坐标轴的距离 如图5所示： 点P(x，y)到x轴的距离为____； 点P(x，y)到y轴的距离为____； 点P(x，y)到原点的距离为________． |y| |x| (2)平行于坐标轴的直线上两点间的距离 如图6所示： (ⅰ)P1(x1，y)，P2(x2，y)为平行于x轴的直 线l1上的两点，P1P2＝|x1－x2|； (ⅱ)Q1(x，y1)，Q2(x，y2)为平行于y轴的直 线l2上的两点，Q1Q2＝|y1－y2|. 【拓展】 4．点的平移规律 设点P的坐标为(x，y)，平移后的点为P′，则P′坐标的变化如表所示． 5.点的对称性 (常用于求抛物线上关于对称轴对称的点的坐标) 知识点2 函数 1．定义：一般地，如果在某变化过程中有两个变量x，y，并且 对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那 么我们就称y是x的函数．其中x是_______，y是_______． 自变量 因变量 2．函数的表示方法 (1)列表法；(2)关系式法；(3)_______． 3．函数图象的画法 (1)列表；(2)_____；(3)连线． 图象法 描点 4．函数自变量的取值范围 5．函数的有关应用 (1)结合函数图象解决实际问题应注意以下几点： (ⅰ)横轴和纵轴表示变量的实际意义； (ⅱ)各个变量的取值范围； (ⅲ)函数图象拐点的意义； (ⅳ)函数图象变化趋势的实际意义． (2)根据函数图象解决有关问题时，运用数形结合的思想是解题的关键． 考点1 点的位置与坐标 突破1 [2024·广西]如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为(2，1)，则点Q的坐标为( ) A．(3，0)　　　　　B．(0，2) C．(3，2)　　　　　D．(1，2) 突破2 [2024·贵州]为培养青少年的科学态度和科学思维，某 校创建了“科技创新”社团．小红“科”“技”“创”“新” 写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创” “新”的坐标分别为(－2，0)，(0，0)，则“技”所在的象限 为( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 突破3 [2023·衢州]在如图所示的方格纸上建立适当的平面直 角坐标系，若点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(2，2)，则点 C的坐标为_______． (1，3) 考点2 平面直角坐标系内点的坐标特征 突破1 [2024·成都]在平面直角坐标系xOy中，点P(1，－4)关于原点对称的点的坐标是( ) A．(－1，－4) B．(－1，4) C．(1，4) D．(1，－4) 突破3 [2023·成都]在平面直角坐标系xOy中，点P(5，－1)关 于y轴对称的点的坐标是___________． 突破4 [2024·江西]在平面直角坐标系中，将点A(1，1)向右平 移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐 标为_______． (－5，－1) (3，4) 考点3 函数自变量的取值范围 x≥3 x＞－3且x≠－2 突破1 [2024·江西]将常温中的温度计插入一杯60 ℃的热水(恒温)中，温度计的读数y(℃)与时间x(min)的关系用图象可近似表示为( ) 考点4 与实际问题结合的函数图象 突破2 [2024·武汉]如图，一个圆柱体水槽底部 叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀 速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h 与注水时间t的函数关系的是( ) 突破3 [2024·河南]把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象(如图1)，插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象(如图2)．下列结论中错误的是( ) A．当P＝440 W时，I＝2 A B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1 A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 突破4 [2024·浙江]小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C挡比B挡快40米/分，B挡比A挡快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s(米)与小明跑步时间t(分)的函数关系如图所示． (1)求A，B，C各挡速度(单位：米/分)； (2)求小丽两次休息时间的总和(单位：分)； (3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值． 解：(1)由题意，得A挡速度为4 000÷50＝80(米/分)， 则B挡速度为80＋40＝120(米/分)，C挡速度为120＋40＝160(米/分)； (2)小丽第一段跑步时间为1 800÷120＝15(分)， 小丽第二段跑步时间为1 200÷120＝10(分)， 小丽第三段跑步时间为1 600÷160＝10(分)， 则小丽两次休息时间的总和＝50－10－15－10＝5(分)； (3)由题意，得小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等， 此时小丽在跑第三段，所跑时间为a－10－15－10－5＝(a－40)分， 可得80a＝3 000＋160(a－40)，解得a＝42.5. 考点5 与动点有关的函数图象 突破1 [2024·广元]如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P从点A出发沿A→C→B以1 cm/s的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，△ABP的面积y(cm2)随时间x(s)变化的函数图象，则该三角形的斜边AB的长为( ) 突破2 [2024·齐齐哈尔]如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x(0＜x＜12)，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y.下列图象能反映y与x之间函数关系的是( ) ∴①当HG在BC上方或在BC上时，0＜x≤4， ∵AE＝x，∴EF＝ x， ∴y＝( x)2＝2x2， ∵2＞0， ∴图象为开口向上的抛物线的一部分； ②当HG在BC下方时，4＜x＜12，如图，令EH与BC交于点O， ∵AE＝x，∴EF＝ x，BE＝12－x， ∴EO＝ ， ∴此时，y＝ ＝(12－x)x ＝－x2＋12x，∵－1＜0， ∴图象为开口向下的抛物线的一部分， 综上所述，A正确. 突破3 [2024·甘肃]如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为( ) 突破4 [2024·安徽]如图，在Rt△ABC中， ∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BD是边AC上 的高．点E，F分别在边AB，BC上(不与端点 重合)，且DE⊥DF.设AE＝x，四边形DEBF的 面积为y，则y关于x的函数图象为( ) 考点6 图形中点的坐标的规律 突破2 [2024·武汉]如图，小好同学用计算机软件绘制函数 y＝x3－3x2＋3x－1的图象，发现它关于点(1，0)中心对称．若点A1(0.1，y1)，A2(0.2，y2)，A3(0.3，y3)，…，A19(1.9，y19)，A20(2，y20)都在函数图象上，这20个点的横 坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1＋y2＋y3＋ …＋y19＋y20的值是( ) A．－1 B．－0.729 C．0 D．1 A．a2 023＝40 B．a2 024＝43 C．a(2n－1)2＝2n－6 D．a(2n－1)2＝2n－4 突破5[2023·泰安]已知△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8……都是 边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5……都 在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2 023的坐标 是____________. 1.[2024·漳州二模]“凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月.”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花.如图，将水仙花图置于正方形网格中，点A，B，C均在格点上.若点A(－2，3)，B(0，1)，则点C的坐标为( ) A.(4，2) B.(2，2) C.(1，2) D.(2，1) 2.[2023·福州一模]已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD的三个顶点的坐标为A(－1，2)，B(－1，－1)，C(3，－1)，则第四个顶点D的坐标为( ) A.(2，2) B.(3，2) C.(3，3) D.(2，3) 3.[2023·厦门一模]在平面直角坐标系中，点P(－1，2)关于原点对称的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.[2024·福州模拟]点M(a＋1，a＋3)在y轴上，则a＝____. 5.[2024·福州模拟]点M在第四象限，它到x轴的距离是1，到 y轴的距离是4，则点M的坐标为_________. 6.[2024·福建二模]函数y＝ 中自变量x的取值范围是 _____. －1 (4，－1) x＞1 7.[2024·温州二模]某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用.通过实验，A，B植物的生长高度yA(cm)，yB(cm)与药物施用量x(mg)的关系数据统计如表： 任务1：根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B植物的生长高度yA(cm)，yB(cm)与药物施用量x(mg)的函数图象. 任务2：猜想A，B植物的生长高度yA(cm)，yB(cm)与药物施用量x(mg)的函数关系，并分别求出函数关系式. 任务3：同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过5 cm时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物施用量x(mg)的取值范围. 解：任务1：如图：即为所求； 8.[2023·莆田二模改编]根据以下思考，探索完成任务. 曼哈顿距离的思考 问题背景 很多城市街道交织成格，行人和车辆沿网格线行走，城市街道的抽象涵义是直角坐标系内平行于两条数轴的条条直线.定义城市内街道上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的距离为dPQ＝|x2－x1|＋|y2－y1|，称为曼哈顿距离(简称为曼距)，曼哈顿距离也叫出租车几何，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的. 素材1 如图，在平面直角坐标系中，点B(－3，－2)与点C(2，2)之间的曼距dBC＝|－3－2|＋|－2－2|＝5＋4＝9，可得矩形BKCQ上及内部的任意格点(坐标为整数的点)为G，都有dBG＋dCG＝9. 素材2 在城市里有一个社区，其中的相邻道路恰可以近似地用过直角坐标系内格点的平行线表示(如图).该社区内有数个火警高危点，为了消防安全，拟在某个格点位置设立消防站D，其中格点位置四通八达. 任务1 探求消防站位置 若火警高危点A(3，0)，消防站D的坐标为(－1，n)，且与点A的曼距 dDA＝5，请求出消防站D的位置； 任务2 选择最适合位置 若火警高危点B(－3，－2)，C(2，2)，按设计要求|dDB－dDC|最小，则下列5个点中最适合设为消防站D的是______；(写出所有正确的序号) A.(－1，0) B.(1，－2) C.(3，1) D.(－2，－1) E.(2，－2) 任务3 拟定最短曼距方案 如图，一条笔直的公路起点为E(0，4 )，点F( ，2 )为公路上一点.若消防站D在原点处，请探究消防站D到公路EF(即射线EF)上一点H的曼距dDH的最小值. 解：任务1：∵dDA＝5， ∴|－1－3|＋|n－0|＝5， ∴4＋|n|＝5， ∴n＝±1， ∴消防站D的位置为(－1，－1)或(－1，1)； 任务2：当选(－1，0)作为D点时， ∵B(－3，－2)，C(2，2)， ∴dDB＝|－3－(－1)|＋|－2－0|＝2＋2＝4， dDC＝|2－(－1)|＋|2－0|＝3＋2＝5， ∴|dDB－dDC|＝|4－5|＝1； 同理，当(1，－2)作为D点时， |dDB－dDC|＝1； 当(3，1)作为D点时，|dDB－dDC|＝7； 当(－2，－1)作为D点时， |dDB－dDC|＝5； 当(2，－2)作为D点时，|dDB－dDC|＝1； ∴当选(－1，0)或(1，－2)或(2，－2)时，|dDB－dDC|最小， 故答案为：ABE； 任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为(eq \f(x1＋x2,2)，eq \f(y1＋y2,2))． 坐标系中任意两点间的距离如图7所示：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为坐标系中任意两点，P1P2＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).) 突破2 [2024·湖南]在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当eq \f(y,x)(其中xy≠0)的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点P(2a－4，a＋3)在第二象限，下列说法正确的是( ) A．a＜－3 B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 突破1 [2023·黄石]函数y＝eq \f(\r(x),x－1)的自变量x的取值范围是( ) A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1 突破2 [2024·大兴安岭]在函数y＝eq \f(\r(x－3),x＋2)中，自变量x的取值范围是 ． 突破3 [2024·齐齐哈尔]在函数y＝eq \f(1,\r(3＋x))＋eq \f(1,x＋2)中，自变量x的取值范围是 ． A．5 B．7 C．3eq \r(2) D．2eq \r(3) 解析：当HG与BC重合时，设AE＝a， ∴EF＝EH＝eq \r(2)a，BE＝12－a， 在Rt△EHB中，由勾股定理，得BE2＝BH2＋EH2， ∴(eq \r(2)a)2＋(eq \r(2)a)2＝(12－a)2， ∴a＝4， eq \r(2) eq \r(2) eq \r(2) eq \f(12－x,\r(2)) (eq \r(2)x)·eq \f(12－x,\r(2)) A．2 B．3 C.eq \r(5) D．2eq \r(2) 突破1 [2024·内江]如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，垂足为点B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1突落在直线y＝－eq \f(3,4)x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2也落在直线y＝－eq \f(3,4)x上……如此下去， 若点B的坐标为(0，3)，则点B37的坐标为( ) A．(180，135) B．(180，133) C．(－180，135) D．(－180，133) 突破3 [2023·阜新]如图，四边形OABC1是正方形，曲线C1C2C3C4C5…叫作“正方形的渐开线”，其中eq \o(C1C2,\s\up16(︵))，eq \o(C2C3,\s\up16(︵))，eq \o(C3C4,\s\up16(︵))，eq \o(C4C5,\s\up16(︵))……的圆心依次按O，A，B，C1循环．当OA＝1时，点C2 023的坐标是( ) A．(－1，－2 022) B．(－2 023，1) C．(－1，－2 023) D．(2 022，0) 突破4 [2023·日照]数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1＋2＋3＋4＋…＋100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1＋2＋3＋4＋…＋100＝eq \f(100×（1＋100）,2).人们借助这样的方法，得到1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq \f(n（1＋n）,2)(n是正整数)．有下列问题：如图，在平面直角坐标系中有一系列格点Ai(xi，yi)，其中i＝1，2，3，…，n，且xi，yi是整数．记an＝xn＋yn，如A1(0，0)，即a1＝0，A2(1，0)，即a2＝1，A3(1，－1)，即a3＝0……以此类推．则下列结论正确的是( ) eq \f(x,\r(x－1)) 任务2：一次函数关系.选取两点(0，25)，(4，21)分别代入yA＝kx＋b可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝25，,4k＋b＝21，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝25，,k＝－1，)) ∴yA＝－x＋25; 选取两点(0，10)，(4，18)分别代入yB＝kx＋b，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝10，,4k＋b＝18，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝10，,k＝2，)) ∴yB＝2x＋10； 任务3：当yA－yB≤5时，－x＋25－(2x＋10)≤5，解得x≥eq \f(10,3). 当yB－yA≤5时，2x＋10－(－x＋25)≤5，解得x≤eq \f(20,3). ∴eq \f(10,3)≤x≤eq \f(20,3). ∴在eq \f(10,3)≤x≤eq \f(20,3)时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态. eq \r(5) eq \r(5) eq \r(5) 任务3：设直线EF的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(5)k＋b＝2\r(5)，,b＝4\r(5)，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝4\r(5)，)) ∴直线EF的解析式为y＝－2x＋4eq \r(5). 设H(m，－2m＋4 eq \r(5))， ∴dDH＝|m－0|＋|－2m＋4 eq \r(5)|＝|m|＋|－2m＋4 eq \r(5)|， 当0≤m≤2 eq \r(5)时，dDH＝m－2m＋4 eq \r(5)＝－m＋4 eq \r(5)， ∴此时当m＝2 eq \r(5)时，dDH有最小值2 eq \r(5)； 当m>2 eq \r(5)时，dDH＝m＋2m－4 eq \r(5)＝3m－4 eq \r(5)， ∴此时dDH>2 eq \r(5)， 综上所述，dDH的最小值为2 eq \r(5). $$