5　一元一次方程与二元一次方程(组) 2025年中考数学一轮专题复习（福建）

第二章　方程(组)与不等式(组) 复习5 一元一次方程与二元一次方程(组) 知识点1 等式的基本性质 1．性质一：等式的两边都加(或减)同一个数(或式子)，所得 结果仍是等式，即若a＝b，则a±c＝_____． 2．性质二：等式的两边都乘(或除以)同一个数(或式子)(除数 不为0)，所得结果仍是等式，即若a＝b，则ac＝___或 ＝__ (c≠0)． b±c bc 知识点2 一元一次方程 1．定义：只含有一个未知数，并且未知数的指数都是__的_____ 方程叫一元一次方程．一般形式为ax＋b＝0(a，b是常数，且 a≠0)． 2．解法 (1)去分母：方程中未知数系数有分母时，方程的两边同乘分母 的___________． 1 整式 最小公倍数 【注意】 不要漏乘不含分母的项；分子是多项式时，去分母后要加上括号． (2)去括号：括号外若是负号，则去括号后，括号内的每一项都 要_____． (3)移项：注意要_____． (4)合并同类项：注意找准同类项，合并时，系数相加，字母及 其指数均_____． (5)系数化为1：注意分子分母不要颠倒，不要漏掉_____． 变号 变号 不变 符号 知识点3 二元一次方程(组) 1．二元一次方程：含有___个未知数，并且含未知数的项的次 数都是1的方程． 2．二元一次方程组：共含有两个未知数的两个_________所组 成的一组方程． 两 一次方程 公共 解 4．二元一次方程组的解法 解二元一次方程组的思想是_____，把“二元”变成“一元”， 主要方法有：代入消元法和加减消元法． (1)代入消元法：当方程组中某一个未知数的系数是1或－1时， 常选择代入消元法较为简单． 消元 (2)加减消元法：当同一个未知数的系数不同也不互为相反数时， 可先找系数最小公倍数，将其变形为系数相同或互为相反数的形 式，再采用加减消元法．注意在给方程的两边同乘一个适当的数 时，不要漏乘任何一项． 知识点4 三元一次方程组的解法(选学内容) 知识点5 一次方程(组)的实际应用 1．解题步骤：审、设、列、解、验、答． 2．题型及常见关系式 (1)等积变形问题：变形前体(面)积＝变形后体(面)积． (2)行程问题 基本关系：路程＝速度×时间． 相遇问题：全路程＝甲走的路程___乙走的路程． 追及问题：(ⅰ)同地不同时：前者走的路程＝后者走的路程． ＋ (ⅱ)同时不同地：被追者走的路程＋两地间距离＝追者走的路程． 航行问题：(ⅰ)顺水速度＝静水速度＋水流速度． (ⅱ)逆水速度＝静水速度－水流速度． (3)工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间． (5)数字问题 两位数＝十位数字×10＋个位数字． 三位数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字． (6)储蓄问题(不扣税)：利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金＋利息． 考点1 一元一次方程及其解法 突破1 [2023·永州]关于x的一元一次方程2x＋m＝5的解为x＝1，则m的值为( ) A．3 B.－3 C．7 D.－7 突破2 [2023·海南]若代数式x＋2的值为7，则x等于( ) A．9 B.－9 C．5 D.－5 突破3 [2023·怀化]定义新运算：(a，b)·(c，d)＝ac＋bd， 其中a，b，c，d为实数．例如：(1，2)·(3，4)＝1×3＋2× 4＝11.如果(2x，3)·(3，－1)＝3，那么x＝__． 1 解：去分母，得4(2x－3)－3(x＋2)＝12， 去括号，得8x－12－3x－6＝12， 移项、合并同类项，得5x＝30， 系数化为1，得x＝6. 解：(1) 考点2 二元一次方程(组)的解法 突破2 [2023·泸州]关于x，y的二元一次方程组 的解满足x＋y>2 ，写出a的一个整数值______________. 7(答案不唯一) 突破3 [2024·苏州]解方程组： 考点3 一次方程(组)的应用 题型一　根据实际问题抽象出方程 题型二　二元一次方程的应用 突破1 [2024·齐齐哈尔]校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有( ) A．5种 B.4种 C．3种 D.2种 突破2 [2024·宜宾]某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为( ) A．8箱 B.9箱 C．10箱 D.11箱 题型三　一次方程(组)的应用 突破2 [2024·贵州]在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记 载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里， 慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是___． 20 突破2 [2024·北京]为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段(以下简称“标准”)．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35 mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50 mg/km.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92 mg/km.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40 mg/km，判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 突破3 [2024·安徽]乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表： 已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元．问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？ 1.[2024·福建]今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120 327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额.若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，则符合题意的方程是( ) A.(1＋4.7%)x＝120 327 B.(1－4.7%)x＝120 327 C. =120 327 D. ＝120 327 2.[2022·福建]推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误. 例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下： 设任意一个实数为x，令x＝m， 等式两边都乘以x，得x2＝mx.① 等式两边都减m2，得x2－m2＝mx－m2.② 等式两边分别分解因式，得 (x＋m)(x－m)＝m(x－m).③ 等式两边都除以x－m，得x＋m＝m.④ 等式两边都减m，得x＝0.⑤ 所以任意一个实数都等于0. 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是___. ④ 3.[2024·莆田一模]解方程组： 4.[2022·福建]在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，某班负责校园某绿化角的设计、种植与养护.同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍.已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元. (1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆； (2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值. (2)设购买绿萝m盆，则购买吊兰(46－m)盆， 由题意，得m≥2(46－m)， 解得m≥ ， 设购买两种绿植总费用为w元，则 w＝9m＋6(46－m)＝3m＋276， ∵3>0， ∴w随m的增大而增大， 又∵m≥ ，且m为整数， ∴当m＝31时，w取得最小值， w最小值＝3×31＋276＝369， 答：购买两种绿植总费用的最小值为 369元. 5.[2021·福建]某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元. (1)已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4 600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？ (2)经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%.现该公司要经营1 000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？ (2)设该公司零售农产品m箱，获得总利润w元.则批发农产品的数量为(1 000－m)箱， ∵该公司零售的数量不能多于总数量的30%， ∴m≤300， 依题意，得 w＝70m＋40(1 000－m)＝30m＋40 000(m≤300)， ∵30>0，∴w随着m的增大而增大， ∴m＝300时，w取得最大值49 000元， 此时1 000－m＝700. 所以该公司应零售农产品300箱，批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49 000元. 6.[2024·泉州二模]根据 以下素材，探索完成任务. 解：任务1： 设笔记本的单价为x元， 根据题意，得40x＝20(x＋5)， 解得x＝5， 这时x＋5＝10. ∴笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元； eq \f(a,c) 3．二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的 ___叫做二元一次方程组的解，通常写成eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝b))的形式． 三元一次方程组eq \o(――→,\s\up14(消元))二元一次方程组eq \o(――→,\s\up14(消元))一元一次方程． (4)销售问题 单价×数量＝总价， 售价＝标价×折数． 销售额＝销售单价×销量． 商品利润＝售价－进价(或成本)． 商品利润率＝eq \f(商品利润,商品进价)×100%. 突破4 解方程：eq \f(2x－3,3)－eq \f(x＋2,4)＝1. 突破5 [2023·衢州]小红在解方程eq \f(7x,3)＝eq \f(4x－1,6)＋1时，第一步出现了错误： (1)请在相应的方框内用横线画出小红的错误处； (2)写出你的解答过程． (2)eq \f(7x,3)＝eq \f(4x－1,6)＋1， 去分母，得2×7x＝4x－1＋6， 移项，得14x－4x＝－1＋6， 合并同类项，得10x＝5， 解得x＝eq \f(1,2). 突破1 [2023·眉山]已知关于x，y的二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＝4m＋1，,x＋y＝2m－5))的解满足x－y＝4，则m的值为( ) A．0 B.1 C．2 D.3 eq \r(2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝3＋a，,x＋2y＝6)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝7，,2x－3y＝3.)) 解：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝7①，,2x－3y＝3②，)) ①－②，得4y＝4，解得y＝1， 将y＝1代入①，得x＝3， ∴方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1.)) 突破4 [2024·浙江]解方程组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝5，,4x＋3y＝－10.)) 解：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝5①，,4x＋3y＝－10②，)) ①×3＋②，得10x＝5，解得x＝eq \f(1,2)， 把x＝eq \f(1,2)代入①，得1－y＝5，解得y＝－4， 原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝－4.)) 突破1 [2024·广西]《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为( ) A.eq \f(x,3)＋eq \f(x,4)＋eq \f(x,5)＝1 B.eq \f(x,3)＋eq \f(x,4)＋eq \f(x,5)＝100 C．3x＋4x＋5x＝1 D.3x＋4x＋5x＝100 突破2 [2024·深圳]在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为( ) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7x＋7＝y，,9（x－1）＝y)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7x＋7＝y，,9（x＋1）＝y)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7x－7＝y，,9（x－1）＝y)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7x－7＝y，,9（x＋1）＝y)) 解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为x mg/km，则B类物质排放量为(40－x)mg/km， 由题意，得eq \f(x,1－50%)＋eq \f(40－x,1－75%)＝92， 解得x＝34， ∵34＜35， ∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”． 解：设A农作物的种植面积为x公顷，B农作物的种植面积为y公顷， 由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋3y＝24，,8x＋9y＝60，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4，)) 答：A农作物的种植面积为3公顷，B农作物的种植面积为4公顷． eq \f(x,1＋4.7%) eq \f(x,1－4.7%) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝1，,x＋y＝3.)) 解：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝1①，,x＋y＝3②，))①＋②×3，得5x＝10， 解得x＝2， 把x＝2代入②，得2＋y＝3， 解得y＝1， ∴二元一次方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.)) 解：(1)设购买绿萝x盆，吊兰y盆， 由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝46，,9x＋6y＝390，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝38，,y＝8，)) ∵8×2＝16<38， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝38，,y＝8))符合题意， 答：可购买绿萝38盆，吊兰8盆； eq \f(92,3) eq \f(92,3) 解：(1)设该公司当月零售农产品x箱，批发农产品y箱. 依题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(70x＋40y＝4 600，,x＋y＝100，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝80.)) 所以该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱； 任务2： 设购买钢笔为a支，笔记本为b本，根据题意，得10a＋5b＝400，化简得a＝40－eq \f(1,2)b， 由题意，a≥20，b≥20，且b是10的倍数， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝30，,b＝20，))) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝25，,b＝30，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝20，,b＝40，)) ∴可购买钢笔30支，笔记本20本；或购买钢笔25支，笔记本30本；或购买钢笔20支，笔记本40本； 任务3：当原有钢笔30支，笔记本20本时，设有y张兑换券兑换钢笔，根据题意，得 30＋10y＝20＋20(m－y)，整理得y＝eq \f(2m－1,3)， ∵1≤m≤10，且m，y均为正整数， ∴解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝5，,y＝3))经检验，符合题意， ∴文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本.(答案不唯一) $$