4　二次根式课件 2025年中考数学一轮专题复习（福建）

复习4　二次根式 知识点1 二次根式的有关概念 1．定义：形如 (a≥0)的式子． 2．二次根式有意义的条件：____________________． 3．最简二次根式需同时满足两个条件 (1)被开方数中不含_____． (2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式． 被开方数大于或等于0 分母 最简二次根式 被开方数 知识点2 二次根式的性质 a≥0 a a -a 知识点3 二次根式的运算 1．加减法：(1)先把各个二次根式分别化成_____________； (2)再将同类二次根式分别_____． 最简二次根式 合并 知识点4 二次根式的估算 【温馨提示】 考点1 二次根式有意义 x≥9 考点2 最简二次根式及同类二次根式 考点3 二次根式的性质 2 考点4 二次根式的运算 10 考点5 二次根式的估算 1(答案不唯一) 1.[2024·泉州模拟]化简 的结果是( ) A.2 B.4 C. D.2 2.[2023·福建模拟]下列各式中，能与 合并的是( ) 3.[2024·厦门模拟]要使二次根式 有意义，x的值可以是( ) A.－1 B.0 C.2 D.4 4.[2024·福州二模]若－ 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_____. x≥3 4．同类二次根式：几个二次根式化为 后，如果它们的 相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，如eq \r(27)，4eq \r(3)是同类二次根式． 1.eq \r(a)具有双重非负性：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(　 　， ,　 .)) 2．(eq \r(a))2＝ (a≥0)． 3.eq \r(a2)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(　 　（a≥0），,　 　（a＜0）.)) 4．积的算术平方根：eq \r(ab)＝ (a≥0，b≥0)． 5．商的算术平方根：eq \r(\f(a,b))＝ (a≥0，b>0)． 2．乘法：eq \r(a)·eq \r(b)＝ (a≥0，b≥0)． 3．除法：eq \f(\r(a),\r(b))＝ (a≥0，b>0)． 1．估计eq \r(a)(a>0)的值在哪两个连续整数之间 如eq \r(15)与－eq \r(15)： (1)先看被开方数15在哪两个连续平方数之间： 15在9和16之间． (2)那么eq \r(15)就在这两个数的算术平方根之间，即eq \r(9)＜eq \r(15)＜eq \r(16) ，即 3＜eq \r(15)＜4； 同理可得 －eq \r(16)＜－eq \r(15)＜－eq \r(9)，即－4＜－eq \r(15)＜－3. ①确定eq \r(a)±b的值时，只需在步骤(2)的不等式两边都±b； ②确定neq \r(a)的值时，需先将neq \r(a)化成eq \r(n2a)，再按上述步骤进行． 2．确定eq \r(m)(m＞0)的整数或小数部分 (1)先确定eq \r(m)在哪两个连续整数之间：如3＜eq \r(15)＜4； (2)再确定整数或小数部分：eq \r(15)的整数部分为3，小数部分 为eq \r(15)－3. 突破1 [2023·绵阳]使代数式eq \f(1,\r(x＋3))＋eq \r(4－3x)有意义的整数x 有( ) A．5个 B.4个 C．3个 D.2个 突破2 [2024·北京]若eq \r(x－9)在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 突破1 [2024·江门模拟]下列二次根式中是最简二次根式的 是( ) A.eq \r(32) B.eq \r(0.4) C.eq \r(15) D.eq \r(\f(4,3)) 突破2 [2024·石家庄二模]下列二次根式中，能与eq \r(5)进行合并的是( ) A.eq \r(20) B.eq \r(30) C.eq \r(40) D.eq \r(50) 突破1 [2024·乐山]已知1＜x＜2，化简eq \r(（x－1）2)＋|x－2|的结果为( ) A．－1 B.1 C．2x－3 D.3－2x 突破2 [2021·达州改编]已知a，b满足等式a2＋6a＋9＋eq \r(b－\f(1,3))＝0，则a2 023b2 024＝ ． 突破3 [2022·遂宁]实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋1))－eq \r(（b－1）2)＋eq \r(（a－b）2)＝ ． 突破1 [2023·西宁]下列运算正确的是( ) A.eq \r(2)＋eq \r(3)＝eq \r(5) B.eq \r(（－5）2)＝－5 C.(3－eq \r(2))2＝11－6eq \r(2) D．6÷eq \f(2,\r(3))×eq \r(3)＝3 突破2 [2024·湖南]计算eq \r(2)×eq \r(7)的结果是( ) A．2eq \r(7) B.7eq \r(2) C．14 D.eq \r(14) 突破3 [2024·天津]计算(eq \r(11)－1)(eq \r(11)＋1)的结果为 ． 突破4 [2024·凉山州]计算：eq \f(1,\r(3)－1)＋|2－eq \r(3)|＋2－1＋cos30°－(－1)0. 解：　eq \f(1,\r(3)－1)＋|2－eq \r(3)|＋2－1＋cos30°－(－1)0 ＝eq \f(\r(3)＋1,（\r(3)－1）（\r(3)＋1）)＋2－eq \r(3)＋eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)－1 ＝eq \f(\r(3)＋1,2)＋2－eq \r(3)＋eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)－1 ＝eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)＋2－eq \r(3)＋eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)－1 ＝2. 突破1 [2024·盐城]矩形相邻两边长分别为eq \r(2) cm，eq \r(5) cm，设其面积为S cm2，则S在哪两个连续整数之间( ) A．1和2 B.2和3 C．3和4 D.4和5 突破2 [2024·重庆]已知m＝eq \r(27)－eq \r(3)，则实数m的范围是( ) A．2＜m＜3 B.3＜m＜4 C．4＜m＜5 D.5＜m＜6 突破3 [2024·赤峰]请写出一个比eq \r(5)小的整数 . eq \r(2) eq \r(2) eq \r(8) eq \r(2) A.eq \r(4) B.eq \r(24) C.eq \r(12) D.eq \r(8) eq \r(x－3) eq \r(x－3) 5.[2024·福州二模]计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－1)＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\r(2)))－eq \r(8). 解：原式＝2＋eq \r(2)－1－2 eq \r(2)＝1－eq \r(2). 6.[2024·厦门模拟]先化简，再求值：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(4,a＋2)))÷eq \f(a2－4a＋4,a2－4)，其中a＝eq \r(2)＋2. 解：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(4,a＋2)))÷eq \f(a2－4a＋4,a2－4)＝eq \f(2(a＋2)－4,a＋2)·eq \f((a＋2)(a－2),(a－2)2) ＝eq \f(2a＋4－4,a＋2)·eq \f((a＋2)(a－2),(a－2)2)＝eq \f(2a,a＋2)·eq \f((a＋2)(a－2),(a－2)2) ＝eq \f(2a,a－2)， 当a＝eq \r(2)＋2时，原式＝eq \f(2(\r(2)＋2),\r(2)＋2－2)＝2＋2eq \r(2). $$