20　相似三角形 2025年中考数学一轮专题复习（福建）

复习20　相似三角形 知识点1 比例 1．两线段的比：在同一长度单位下，两线段的_____的比叫两 线段的比． 2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果 ，那么这 四条线段a，b，c，d叫成比例线段，简称比例线段． 长度 ad＝bc 对应线段 成比例 0.618 知识点2 相似三角形 1．性质 (1)相似三角形对应角_____，对应边_______． (2)相似三角形的对应线段(高线、中线、角平分线)的比都等于 _______． (3)相似三角形周长的比等于_______，面积的比等于_________ _____． 相等 成比例 相似比 相似比 相似比的 平方 2．判定 (1)两角_________的两三角形相似． (2)两边___________且夹角相等的两三角形相似． (3)_______________的两三角形相似． 分别相等 对应成比例 三边对应成比例 【温馨提示】 知识点3 相似多边形 1．性质 (1)对应角相等，对应边_______． (2)对应边的比、周长的比都等于_______，面积的比等于_____ _________． 2．判定：各对应角相等，各对应边成比例的多边形叫相似多边 形． 成比例 相似比 相似 比的平方 知识点4 图形的位似 1．定义：如果两个_____多边形每组对应顶点A，A′的连线都 经过__________，且有OA′＝k·OA(k≠0)，那么这样的两个 多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心．实际上，k就是两 个相似多边形的相似比． 相似 同一个点O 【温馨提示】 1.位似中心有时在两个对应点之间，有时在两个对应点连线的 延长线上． 2．位似是在相似的基础上要求对应点的连线交于一点，因此位 似是相似的特殊情况． 2．性质 (1)位似图形对应角_____． (2)位似图形对应边_____(或共线)且成比例． (3)位似图形对应点的连线或延长线相交于_______． (4)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 _______；位似图形面积比等于_____________． 相等 平行 同一点 相似比 相似比的平方 3．位似变换与坐标 (1)在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标 都乘同一个数k(k≠0，1)，所对应的图形与原图形_____，位似 中心是_________，它们的相似比为____. (2)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心， 相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k. 位似 坐标原点 |k| 考点1 比例线段和平行线分线段成比例 突破4 [2023·丽水]小慧同学在学习了比例线段后，发现学习 内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值， 感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：__． 2 考点2 黄金分割 突破2 [2023·开福区二模]我们把顶角为36°的等腰三角形称 为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为 .如图，在 △ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC ＝2，则CD的长为( ) 突破3 [2023·达州]如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个 端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割 点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的 距离为 cm.(结果保留根号) 考点3 相似三角形的性质和判定 突破4 [2024·广州]如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF. 考点4 图形的位似 突破1 [2024·浙江]如图，在平面直角坐标系中，△ABC与 △A′B′C′是位似图形，位似中心为点O.若点A(－3，1)的 对应点为A′(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B′的坐标 为( ) A．(－4，8) B.(8，－4) C．(－8，4) D.(4，－8) 突破2 [2023·遂宁]在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC，△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为( ) A．(－1，0) B.(0，0) C．(0，1) D.(1，0) 突破4 [2023·绥化]如图，在平面直角坐标系中，△ABC与 △AB′C′的相似比为1∶2，点A是位似中心，已知点A(2，0)， 点C(a，b)，∠C＝90°，则点C′的坐标为______________． (结果用含a，b的式子表示) (6－2a，－2b) 突破5 [2022·河池]如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(2，3)，C(1，2)． (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内 画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比 为2∶1，并写出点B2的坐标． 解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作； (2)如图，△A2B2C2即为所求作，点B2的坐标为(－4，－6)． 考点5 相似三角形的应用 突破1 [2024·扬州]物理课上学过小孔成像的原理，它是一种 利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡 烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′.设AB ＝36 cm，A′B′＝24 cm.小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O 到A′B′的距离为___cm. 20 突破2 [2024·自贡]为测量水平操场上旗杆的高度，九(2)班各学习小组运用了多种测量方法． (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE.此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3 m，据此可得旗杆高度为_____m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A.小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5 m，小李到镜面距离EC＝2 m，镜面到旗杆的距离CB＝16 m．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如图： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.8 m，DG＝1.5 m．将观测点D后移24 m到D′处，采用同样方法，测得C′G′＝1.2 m，D′G′＝2 m．求雕塑高度(结果精确到1 m)． 整理，得3.6(1.5＋x)＝1.8(25.5＋x)， 解得x＝22.5，经检验符合题意， ∴AB＝1.8×(1.5＋22.5)÷1.5＝28.8≈29(m)， 答：雕塑高度为29 m. 1.[2024·泉州模拟]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，D为BC上一点，且满足AD＝CD，E为AC的中点，连接BE交AD于点F，则△ABF的面积为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 2.[2024·泉州模拟]如图，在平行四边形ABCD中，BE平分 ∠ABC，AC交BE于点F，若CD∶ED＝3∶2，则BF∶EF＝_____. 5∶3 3.[2023·福建]如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点.AO⊥BC于点O，交CD于点E.DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相交于点M. (1)求证：△ADE∽△FMC； (2)求∠ABF的度数； (3)若N是AF的中点，如图2. 求证：ND＝NO. 解：(1)证明：∵DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的， ∴△DFC是等腰直角三角形， ∴∠DFC＝45°， ∵AB＝AC，AO⊥BC， ∴∠BAO＝ ∠BAC. ∵∠BAC＝90°，∴∠BAO＝∠ABC＝45°. ∴∠BAO＝∠DFC. ∵∠EDA＋∠ADM＝90°，∠M＋∠ADM＝90°， ∴∠EDA＝∠M.∴△ADE∽△FMC； (2)如图1，设BC与DF的交点为I. ∵∠DBI＝∠CFI＝45°，∠BID＝∠FIC， ∴△BID∽△FIC， ∵∠BIF＝∠DIC， ∴△BIF∽△DIC， ∴∠IBF＝∠IDC. 又∵∠IDC＝90°， ∴∠IBF＝90°. ∵∠ABC＝45°，∠ABF＝∠ABC＋∠IBF， ∴∠ABF＝135°； (3)证明：如图2，延长ON交BF于点T，连接DT，DO. ∵∠FBI＝∠BOA＝90°， ∴BF∥AO， ∴∠FTN＝∠AON. ∵N是AF的中点， ∴AN＝NF. 又∵∠TNF＝∠ONA， ∴△TNF≌△ONA(AAS)， ∴NT＝NO，FT＝AO. ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AO⊥BC， ∴AO＝CO， ∴FT＝CO. 由(2)知，△BIF∽△DIC， ∴∠DFT＝∠DCO. ∵DF＝DC， ∴△DFT≌△DCO(SAS)， ∴DT＝DO，∠FDT＝∠CDO， ∴∠FDT＋∠FDO＝∠CDO＋∠FDO， 即∠ODT＝∠CDF. ∵∠CDF＝90°， ∴∠ODT＝∠CDF＝90°， ∴ND＝ TO＝NO. 4.[2023·福建]阅读下列材料，回答问题. 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1. 工具：一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪，如图2.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度)； 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3. (1)补全小明求解过程中①②所缺的内容； (2)小明求得AB用到的几何知识是___________； (3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB.请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程.要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示；测量次数不超过4次.(测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分) (2)根据相似三角形的判定和性质求得AB＝3MN＝3c， 故答案为：相似三角形的判定与性质； (3)测量过程： (ⅰ)在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得∠ABC＝α，在点A处测得∠BAC＝β； (ⅱ)用皮尺测得BC＝a m. 求解过程： 由测量知，在△ABC中，∠ABC＝α，∠BAC＝β， BC＝a. 过点C作CD⊥AB，垂足为点D. 在Rt△CBD中，cos∠CBD＝ 即cosα＝ ∴BD＝acosα. 3．比例尺 比例尺＝eq \f(图上距离,实际距离). 4．比例的性质 (1)基本性质：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)⇔ (a，b，c，d都不为零)． (2)反比性质：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)⇔eq \f(b,a)＝eq \f(d,c)(a，b，c，d都不为零). (3)更比性质：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)⇔eq \f(a,c)＝eq \f(b,d) 或 eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)⇔eq \f(c,a)＝eq \f(d,b)(a，b，c，d都不为零). (4)合分比性质：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)⇔____________(bd≠0)． (5)等比性质：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝…＝eq \f(m,n)(b＋d＋…＋n≠0) ⇒eq \f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝___． eq \f(a±b,b)＝eq \f(c±d,d) 5．平行线分线段成比例 (1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的_________ _______． ∵l1∥l 2∥l 3， ∴eq \f(AB,BC)＝eq \f(DE,EF)，eq \f(AB,AC)＝eq \f(DE,DF)等． (2)推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例． ∵DE∥BC， ∴eq \f(AD,DB)＝ ，eq \f(AD,AB)＝ ，eq \f(DB,AB)＝ . 6．黄金分割：如图3所示，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如 果 ，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的 黄金分割点，AC与AB的比叫黄金分割比，其中eq \f(AC,AB)＝eq \f(CB,AC)＝ ≈ . 突破1 [2023·恩施州]如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，eq \f(AE,BE)＝eq \f(2,5)，BF＝8，则DE的长为( ) A.eq \f(16,5) B.eq \f(16,7) C．2 D.3 突破2 [2023·吉林]如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E.若AD＝2，BD＝3，则eq \f(AE,AC)的值是( ) A.eq \f(2,5) B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,5) D.eq \f(2,3) 突破3 [2023·北京]如图，直线AD，BC相交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则eq \f(BE,EC)的值为____. 突破1 [2024·聊城一模]大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，则下列结论中正确的是( ) ①AB2＝AP2＋BP2 ②BP2＝AP·BA ③eq \f(AP,BP)＝eq \f(\r(5)－1,2) ④eq \f(BP,AP)＝eq \f(\r(5)－1,2) A．1个 B.2个 C．3个 D.4个 eq \f(\r(5)－1,2) A.eq \r(5)－1 B.eq \r(5)－3 C.eq \r(5)＋2 D.eq \f(\r(5)＋2,2) 突破1 [2024·陕西]如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为( ) A．2 B.3 C.eq \f(5,2) D.eq \f(8,3) 突破2 [2024·云南]如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD. 若eq \f(OA＋OC＋AC,OB＋OD＋BD)＝eq \f(1,2)，则eq \f(AC,BD)＝___. 突破3 [2024·乐山]如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD相交于点O，若eq \f(S△ABD,S△BCD)＝eq \f(1,3)，则eq \f(S△AOD,S△BOC)＝____. 证明：∵BE＝3，EC＝6，∴BC＝9， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB＝9，∠B＝∠C＝90°， ∵eq \f(AB,EC)＝eq \f(9,6)＝eq \f(3,2)，eq \f(BE,CF)＝eq \f(3,2)， ∴eq \f(AB,EC)＝eq \f(BE,CF) 又∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△ECF. 突破3 [2024·绥化]如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(3，2)，C(0，2)，以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比eq \f(1,3)缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是( ) A．(9，4) B.(4，9) C．(1，eq \f(3,2)) D.(1，eq \f(2,3)) 解：(1)由题意，得DE＝EF，由题意，得eq \f(DE,AB)＝eq \f(EF,BC)， ∴AB＝BC＝11.3 m， 故答案为：11.3； (2)由题意得，DE＝1.5 m，EC＝2 m，BC＝16 m， 根据镜面反射可知，∠ACB＝∠ECD， ∵AB⊥BE，DE⊥BE， ∴∠ABC＝∠DEC＝90°， ∴△ACB∽△DCE， ∴eq \f(AB,DE)＝eq \f(CB,CE)，即eq \f(AB,1.5)＝eq \f(16,2)， ∴AB＝12， 答：旗杆高度为12 m； (3)设BG＝x m， 由题意，得△DGC∽△DBA，△D′G′C′∽△D′BA， ∴eq \f(CG,AB)＝eq \f(DG,DG＋x)，eq \f(C′G′,AB)＝eq \f(D′G′,D′D＋DG＋x)， 即eq \f(1.8,AB)＝eq \f(1.5,1.5＋x)，eq \f(1.2,AB)＝eq \f(2,24＋1.5＋x)， ∴eq \f(\f(1.8,AB),\f(1.2,AB))＝eq \f(\f(1.5,1.5＋x),\f(2,24＋1.5＋x))， eq \f(1,2) ∴eq \f(BI,FI)＝eq \f(DI,CI)，∴eq \f(BI,DI)＝eq \f(FI,CI). eq \f(1,2) 小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB，其测量及求解过程如下： 测量过程： (ⅰ)在小水池外选点C，如图4，测得AC＝a m，BC＝ b m； (ⅱ)分别在AC，BC上测得CM＝eq \f(a,3) m，CN＝eq \f(b,3) m；测得MN＝c m. 求解过程： 由测量知，AC＝a，BC＝b，CM＝eq \f(a,3)，CN＝eq \f(b,3)， ∴eq \f(CM,CA)＝eq \f(CN,CB)＝eq \f(1,3)，又∵①______， ∴△CMN∽△CAB，∴eq \f(MN,AB)＝eq \f(1,3). 又∵MN＝c，∴AB＝②______(m). 故小水池的最大宽度为______m. 解：(1)∵AC＝a，BC＝b，CM＝eq \f(a,3)，CN＝eq \f(b,3)， ∴eq \f(CM,CA)＝eq \f(CN,CB)＝eq \f(1,3)， 又∵∠C＝∠C，∴△CMN∽△CAB， ∴eq \f(MN,AB)＝eq \f(1,3). 又∵MN＝c，∴AB＝3c(m). 故小水池的最大宽度为3c m； 故答案为：∠C＝∠C，3c； eq \f(BD,BC)， eq \f(BD,a)， 同理，CD＝asinα. 在Rt△ACD中，tan∠CAD＝eq \f(CD,AD)， 即tanβ＝eq \f(asinα,AD)，∴AD＝eq \f(asinα,tanβ). 所以AB＝BD＋AD＝(acosα＋eq \f(asinα,tanβ))m. 故小水池的最大宽度为(acosα＋eq \f(asinα,tanβ))m. $$